专题8.1 平行四边形（高效培优讲义）数学新教材苏科版八年级下册

专题8.1 平行四边形 教学目标 1.理解平行四边形的概念，增强几何直观概念。 2.掌探索并证明平行四边形的性质定理1、2，并能运用其性质进行证明和计算，提升推理能力，探索并证明平行四边形的对称性。 3.探索并证明平行四边形的判定定理1、2、3，并能运用其判定解决简单问题（如拼图、分地、篱笆搭建等生活情境）。 教学重难点 1.重点 （1）平行四边形的定义、性质与判定定理的准确理解； （2）几何语言的规范表达，在计算与证明中灵活调用性质。 2.难点 （1）判定定理的选择与辨析‌；性质的推理论证；‌ （2）复杂图形中的识别能力。 知识点01 平行四边形的概念与性质 1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（parallelogram）。 下图中的四边形ABCD是平行四边形，记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。 2．平行四边形的性质: 1）平行四边形的性质定理1：平行四边形的对边相等（且平行），对角相等（且邻角互补）。 符号语言：若四边形ABCD是平行四边形，则AD=BC，AB=CD，∠DAB=∠BCD，∠ABC=∠CDA。 2）平行四边形的性质定理2：平行四边形的对角线互相平分。 符号语言：若四边形ABCD是平行四边形，则OA=OC，OB=OD。 3）平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·山东淄博·期末）关于平行四边形的性质，下列说法不一定正确的是（　　） A．对角相等 B．对边相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 2．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，平分交边于点E，，，则的周长是（   ） A．14 B．16 C．28 D．32 4．（25-26八年级上·山东泰安·期末）关于平行四边形的对称性的描述，错误的是（   ） A．平行四边形一定是中心对称图形 B．平行四边形一定是轴对称图形 C．平行四边形的对称中心是两条对角线的交点 D．平行四边形的对称中心只有一个 5．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，点是对角线，的交点，过点且垂直于．(1)求证：；(2)若，，则与之间的距离为____________； (3)若的周长是24，，则四边形的周长为____________． 知识点02 平行四边形的判定 1、平行四边形的判定： 1）平行四边形的判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 符号语言：∵AD=BC，AB=CD；∴四边形ABCD是平行四边形。 2）平行四边形的判定定理2：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 符号语言：∵AD//BC，AD=BC；（或AB//CD，AB=CD）；∴四边形ABCD是平行四边形。 3）平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 符号语言：∵OA=OC，OB=OD；∴四边形ABCD是平行四边形。 4）平行四边形的判定定理4：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义法）。 符号语言：∵AD//BC，AB//CD；∴四边形ABCD是平行四边形。 【即学即练】 1．（23-24八年级下·重庆北碚·期末）下列说法正确的是（   ） A．一组对角相等的四边形是平行四边形 B．一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线相等的四边形是平行四边形 D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2．（25-26八年级上·山东淄博·期末）在四边形中，已知，若再从下列条件：①；②；③；④中任意选取一个来判定四边形是平行四边形，则能断定四边形是平行四边形的选法共有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 3．（25-26八年级上·山东济南·月考）已知四边形中．与交于点，如果只给出条件“”，那么可以判定四边形是平行四边形的是（    ） ①再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ②再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ③再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ④再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． A．①和② B．①和③和④ C．②和③ D．②和③和④ 4．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，，垂足分别为、，且．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，，则四边形的周长是____________． 题型01 平行四边形的性质辨析 1．（24-25八年级下·广东江门·月考）在中，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江丽水·二模）如图，四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·云南红河·期末）平行四边形的对角线一定具有的性质是（   ） A．相等 B．互相垂直 C．互相平分 D．以上都不对 4．（25-26九年级上·广东珠海·期末）下列图形中不是轴对称图形，只是中心对称图形的是（    ） A．等边三角形 B．圆 C．平行四边形 D．线段 5．（24-25八年级下·成都期中）有下列说法：①平行四边形具有四边形的所有性质；②平行四边形是轴对称图形；③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．其中正确说法的序号是(   ) A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 题型02 运用平行四边形的性质求角度 1．（25-26八年级上·江苏南通·月考）在平行四边形中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，于点E，若，则为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏·课前预习）如图，平行四边形的对角线交于点，过点作，交于点．连接．若，则______． 4．（25-26八年级下·江苏·专项训练）如图，在中，，平分，则的度数为_________． 题型03 运用平行四边形的性质求长度、周长、面积 1．（25-26八年级下·江苏课后作业）如图，在中，对角线AC，BD交于点O．若，，，则BC的长为________． 2．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）如图，在中，，对角线与相交于点O，，则的周长为（    ） A．8 B．11 C．12 D．15 3．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，点在边上，且于点，平分．若，，则的长为____________． 4．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：（1）分别以A、B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于P、Q两点；（2）连接分别交于F、E两点；（3）连接，若，，则的面积为______． 5．（25-26八年级·上海·假期作业）在中，，、的角平分线分别交于、，若，则_____ ． 题型04 平行四边形的性质的相关证明 1．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）在中，，垂足为点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接． (1)如图1，当点在线段上，时，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上，时，求证：； (3)如图3，当点在线段的延长线上，时，直接写出线段，，的数量关系，不需要证明． 2．（25-26八年级上·山东泰安·期末）【感知】如图1，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，于点E，F．易证：（不需要证明）． (1)【探究】如图2，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．求证：． (2)【应用】如图3，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．连接，，若，的面积为1，则的面积为______，四边形的面积为______． 3．（22-23八年级下·河北沧州·月考）如图：的对角线交于点O．    (1)基础训练：经过点O且与、分别相交于E、F．求证： (2)拓展变式若将条件改为经过点O且与、的延长线分别相交于E、F，第（1）问的结论是否成立，请按题意画出图形，标注字母，并给予证明． (3)观察归纳：的对角线交于点O，直线是经过点O的任意一条直线，将的面积分为两部分，设四边形的面积为，四边形的面积为，则______． (4)实践操作：你能否只画一条直线，将下图中两个平行四边形的面积同时平分，若能，请画出这条直线（用虚线画出辅助线）；若不能，请说明理由． 4．（25-26九年级上·河南驻马店·月考）如图，在中，连接，． (1)尺规作图：在边上找一点E，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，求证：． 5．（25-26八年级上·福建·期末）如图，在中，点是的中点，连接．将沿翻折至，点的对应点，落在内．射线交于，与射线相交于．延长交于． (1)求证：；(2)连接，若，平分． ①求证：；②若，求证：． 题型05 平行四边形的判定（选填型） 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在四边形中，与相交于点，，以下条件能判断四边形是平行四边形的是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）小强不小心将一块平行四边形的玻璃打碎成如图所示的四块，他带了其中的两块碎玻璃到商店配了一块与原先相同的平行四边形玻璃，他带的两块碎玻璃编号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 4．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图1，战国时期《考工记》详细记载了用几何方法校验轮轴支架（“轸”）为平行四边形的技术：“凡察车之道，必自载于地者始也．合矩以为方，中规乃行”．如图2，实际操作为：构成轮轴支架四边形的顶点分别为A，B，C，D，若，且，则轮轴支架形成的四边形是平行四边形的最简明理由是（    ） A．对角线互相平分 B．两组对边分别相等 C．一组对边平行且相等 D．两组对边分别平行 5．（25-26八年级上·山东东营·期中）如图，在四边形中，已知，在不添加辅助线的情况下，请你再添加一个条件_____（写出一个即可），则四边形是平行四边形． 题型06 平行四边形的判定（证明型） 1．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，在中，点、分别在边和上，且． (1)求证：．(2)求证：四边形是平行四边形． 2．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在四边形中，点E、F在上，且，，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，，，求的长． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，求的长． 4．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在四边形中，的平分线交于点E，已知，(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，四边形周长为32，求的长度． 5．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，对角线、相交于点，且，(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，求的长．    题型07 平行四边形的性质和判定的综合运用 1．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，连接，过点作，交射线于点，过点作延长线于点．若，则的长为_____． 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，点E为平行四边形的对角线上一点，，，连接并延长至点F，使得，连接，则为_______． 3．（24-25八年级下·福建莆田·期末）如图，在中，相交于点O，，过点B作于点E，若，则_______ 4．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，在四边形中，，点E为上一点，连接．若，则______． 5．（24-25八年级下·四川成都·期末）在四边形中，，． (1)如图1，证明：四边形是平行四边形； (2)如图2，的角平分线交于点，点在上，，连接． ①若，点是线段的中点，，求四边形的周长；②如图3，对角线、交于点，连接，若，，，求四边形的面积． 6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在四边形中，对角线，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为上一点，点为延长线上一点，连接，，，若，求证：； (3)在（2）的条件下，如图3，点在上，交于点，，连接，若，，求线段的长． 题型08 坐标系中的平行四边形存在问题 1．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·月考）在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，再找一点，使它与点，，构成的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能是(　　) A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·重庆·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，在坐标系中找一点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标是_________． 4．（24-25八年级下·江苏南京·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，解答下列问题：(1)将先向右平移5个单位，再向下平移5个单位得到，作出并写出三个顶点的坐标；(2)将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； (3)若将绕某一点旋转可得到，在图中作出该点并写出旋转中心的坐标 ； (4)若以A、B、C、D四个点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为 ． 题型09 平行四边形与图形变换（平移、对称、旋转）综合问题 1．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点，若恰为等边三角形，则的长度是______． 2．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，将平行四边形绕点旋转得到平行四边形，点落在边上，若，则当，，三点共线时，等于_________． 3．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，连接，将绕点顺时针旋转一定角度，得到，点分别旋转到了点．已知点在边上，，，则的长为_______． 4．（24-25八年级下·山西晋中·期末）综合与探究 问题情境：如图1，在中，，，．将绕点按逆时针方向旋转得到，旋转角为，点，的对应点分别为点，，交于点． 猜想证明：（1）如图2，在旋转过程中当点落在边上时，判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究：（2）在（1）的条件下，判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）在旋转的过程中，连接，当且是等腰三角形时，直接写出的面积． 题型10 平行四边形中的最值问题 1．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，中，，，点D在边上，以，为邻边作，则长度的最小值是______． 2．（24-25八年级下·贵州六盘水·期末）如图，在面积为24的中，，点为边上的一点，连接，则的最小值为___________． 3．（24-25八年级下·广东惠州·月考）如图，在平行四边形中，，，将线段沿着直线上下平移得到线段，连接，则的最小值是______． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）问题探究 （1）如图1，已知等边的边长为4，则点到的距离为______； （2）如图2，在和中，连接、、，求证：； 问题解决 （3）如图3，某农业观光园中有一块等边三角形的蔬菜种植基地．经测量，，、分别是边、上的点，且满足，是边上的动点（不与端点重合），下方有一块空地（空地足够大），为了增加蔬菜种植基地的面积，管理员计划以、为邻边构造区域，用来种植新品有机蔬菜，扩建后沿修一条灌溉水渠．为节约成本，要求水渠的长度尽可能的短，请求出水渠的最小长度． 1．（25-26八年级上·上海·月考）根据下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．一组对边平行且相等的四边形 B．一组对边相等一组对角是直角的四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相平分的四边形 2．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·天津河西·期中）如图，过平行四边形对角线的交点O的一条直线，分别交边于点E，F，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．与全等 D．四边形与四边形的面积相等 4．（25-26八年级下·江苏·课后作业）如图，在中，，，于点．下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D．的面积是12 5．（2025·河北·校考一模）如图，平行四边形，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·山东淄博·月考）已知四边形是平行四边形，，的平分线，分别交边于点E，F．若，，则的长为（　　） A．5 B．5或6 C．6或7 D．5或7 7．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，于点，连接、，若，则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，过点O作平行于的直线交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 9．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 10．（25-26八年级上·山东淄博·期末）在中，若，则_______． 11．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以点、为圆心，大于的一半长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交的延长线于点．连接，若，，，则的长为_____ ． 12．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）如图，在四边形中，对角线、相交于点，，，，，则四边形的面积为___________． 13．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在中，点，点分别是，的中点，连接，．若平分，，，则四边形的周长为_______． 14．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，的垂直平分线经过点C，与交于点R，的角平分线分别与，交于点Q，P，连接，则_________． 15.（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若是等边三角形，且，求的长． 16．（24-25八年级下·吉林延边·月考）如图，点、是对角线上的两点，且，连接、，，。(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若． ①求线段的长；②求四边形的面积． 17．（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，在四边形中，，对角线，相交于点，且． (1)求证：．四边形为平行四边形．(2)过点作，交于点，交于点，连结若，，求的度数． 18．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图1，在平行四边形中，，平分交的延长线于点E，交于点F．    (1)试判断的形状，并说明理由；(2)如图2，连接，若，，求的面积； (3)如图3，在（2）的条件下，O为的中点，G为的中点，求的长． 19．（24-25八年级下·重庆江津·期末）如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接，，，点F是线段上一动点，连接． (1)如图1，若，，求平行四边形的面积； (2)如图2，若，连接，求证：； (3)如图3，线段上另有一点G，满足，连接．若，，请直接写出的最小值． 20．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，在平行四边形中，，点在射线上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点落在的延长线上． (1)如图，若，，求证：； (2)如图，当点在边上时，（）中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)如图，当点在延长线上时，连接，若，，，求的长． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.1 平行四边形 教学目标 1.理解平行四边形的概念，增强几何直观概念。 2.掌探索并证明平行四边形的性质定理1、2，并能运用其性质进行证明和计算，提升推理能力，探索并证明平行四边形的对称性。 3.探索并证明平行四边形的判定定理1、2、3，并能运用其判定解决简单问题（如拼图、分地、篱笆搭建等生活情境）。 教学重难点 1.重点 （1）平行四边形的定义、性质与判定定理的准确理解； （2）几何语言的规范表达，在计算与证明中灵活调用性质。 2.难点 （1）判定定理的选择与辨析‌；性质的推理论证；‌ （2）复杂图形中的识别能力。 知识点01 平行四边形的概念与性质 1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（parallelogram）。 下图中的四边形ABCD是平行四边形，记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。 2．平行四边形的性质: 1）平行四边形的性质定理1：平行四边形的对边相等（且平行），对角相等（且邻角互补）。 符号语言：若四边形ABCD是平行四边形，则AD=BC，AB=CD，∠DAB=∠BCD，∠ABC=∠CDA。 2）平行四边形的性质定理2：平行四边形的对角线互相平分。 符号语言：若四边形ABCD是平行四边形，则OA=OC，OB=OD。 3）平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·山东淄博·期末）关于平行四边形的性质，下列说法不一定正确的是（　　） A．对角相等 B．对边相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【答案】D 【详解】解：依题意，平行四边形的基本性质是对角相等、对边相等、对角线互相平分，这是所有平行四边形都满足的性质，∴选项A、B、C一定正确； ∵平行四边形不一定具备对角线互相垂直的性质，∴D选项不一定正确，故选：D． 2．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，， ∵，∴，，∴．故选：B． 3．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，平分交边于点E，，，则的周长是（   ） A．14 B．16 C．28 D．32 【答案】C 【详解】解：∵平分交边于点E，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，，， ∴，∴，∴，∴， ∴的周长是，故选：C． 4．（25-26八年级上·山东泰安·期末）关于平行四边形的对称性的描述，错误的是（   ） A．平行四边形一定是中心对称图形 B．平行四边形一定是轴对称图形 C．平行四边形的对称中心是两条对角线的交点 D．平行四边形的对称中心只有一个 【答案】B 【详解】解：∵平行四边形绕两条对角线的交点旋转后能与自身重合， ∴它是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，且只有一个（选项A、C、D正确），但一般的平行四边形没有对称轴，∴不一定是轴对称图形，故选：B． 5．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，点是对角线，的交点，过点且垂直于．(1)求证：；(2)若，，则与之间的距离为____________； (3)若的周长是24，，则四边形的周长为____________． 【答案】(1)见解析(2)4(3)16 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，O是与的交点， ∴，，∴，， ∴，∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，O是与的交点，∴，∴， ∵过点且垂直于，∴，∵，∴， ∵，∴，即与之间的距离为4，故答案为：4； （3）解：∵四边形是平行四边形，周长是24，∴， ∵，∴，由（1）的结论知， ∴四边形的周长为，故答案为：16． 知识点02 平行四边形的判定 1、平行四边形的判定： 1）平行四边形的判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 符号语言：∵AD=BC，AB=CD；∴四边形ABCD是平行四边形。 2）平行四边形的判定定理2：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 符号语言：∵AD//BC，AD=BC；（或AB//CD，AB=CD）；∴四边形ABCD是平行四边形。 3）平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 符号语言：∵OA=OC，OB=OD；∴四边形ABCD是平行四边形。 4）平行四边形的判定定理4：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义法）。 符号语言：∵AD//BC，AB//CD；∴四边形ABCD是平行四边形。 【即学即练】 1．（23-24八年级下·重庆北碚·期末）下列说法正确的是（   ） A．一组对角相等的四边形是平行四边形 B．一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线相等的四边形是平行四边形 D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 【答案】D 【详解】解：A、一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，不符合题意； B、一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，不符合题意； C、对角线相等的四边形不一定是平行四边形，不符合题意； D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，符合题意；故选：D． 2．（25-26八年级上·山东淄博·期末）在四边形中，已知，若再从下列条件：①；②；③；④中任意选取一个来判定四边形是平行四边形，则能断定四边形是平行四边形的选法共有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】A 【详解】解：如图所示，①∵，∴ ∵，∴，∴不能得到四边形是平行四边形； ②由，，不能得到四边形是平行四边形； ③∵∴，∴不能得到四边形是平行四边形； ④∵∴；∵∴四边形是平行四边形． 综上所述，能断定四边形是平行四边形的选法共有1种．故选：A． 3．（25-26八年级上·山东济南·月考）已知四边形中．与交于点，如果只给出条件“”，那么可以判定四边形是平行四边形的是（    ） ①再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ②再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ③再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ④再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． A．①和② B．①和③和④ C．②和③ D．②和③和④ 【答案】C 【详解】如图，∵，①若，四边形可能为等腰梯形，不一定是平行四边形，故①错误． ②若，∵，∴， 又∵，∴，∴， ∴四边形为平行四边形，故②正确． ③若，∵，∴，，， ∴（），∴， 又∵，∴四边形为平行四边形，故③正确． ④若，该条件不足以证明平行四边形，可能存在反例（如等腰梯形），故④错误． ∴正确条件为②和③，故选：C． 4．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，，垂足分别为、，且．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，，则四边形的周长是____________． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，又∵，∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，∴， ∵，∴， 在中，， 在中，， ∴四边形的周长为：． 题型01 平行四边形的性质辨析 1．（24-25八年级下·广东江门·月考）在中，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，四边形是平行四边形， ，，，，， 观察四个选项，选项D符合题意．故选：D． 2．（2025·浙江丽水·二模）如图，四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，， 无法判断，故选：D． 3．（24-25八年级下·云南红河·期末）平行四边形的对角线一定具有的性质是（   ） A．相等 B．互相垂直 C．互相平分 D．以上都不对 【答案】C 【详解】解：∵平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等、互相垂直，∴选项C正确；故选：C 4．（25-26九年级上·广东珠海·期末）下列图形中不是轴对称图形，只是中心对称图形的是（    ） A．等边三角形 B．圆 C．平行四边形 D．线段 【答案】C 【详解】解：A、等边三角形是轴对称图形、不是中心对称图形，不符合题意； B、圆既是轴对称图形、又是中心对称图形，不符合题意； C、平行四边形不是轴对称图形、是中心对称图形，符合题意； D、线段既是轴对称图形、又是中心对称图形，不符合题意；故选：C． 5．（24-25八年级下·成都期中）有下列说法：①平行四边形具有四边形的所有性质；②平行四边形是轴对称图形；③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．其中正确说法的序号是(   ) A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【详解】解：由题意可得，平行四边形具有四边形的所有性质，故①正确， 平行四边形不是轴对称图形，故②错误， 平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形，故③正确， 平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形，故④正确，故选：C． 题型02 运用平行四边形的性质求角度 1．（25-26八年级上·江苏南通·月考）在平行四边形中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：四边形是平行四边形，，，， ，设，，，解得， ，．故答案选：C 2．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，于点E，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴，故选：A． 3．（25-26八年级下·江苏·课前预习）如图，平行四边形的对角线交于点，过点作，交于点．连接．若，则______． 【答案】 【详解】解：四边形是平行四边形，∴， ∵，∴垂直平分∴∴ ∵，∴∴故答案为： 4．（25-26八年级下·江苏·专项训练）如图，在中，，平分，则的度数为_________． 【答案】 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴， ∵，∴ ∵平分，∴，∴． 题型03 运用平行四边形的性质求长度、周长、面积 1．（25-26八年级下·江苏课后作业）如图，在中，对角线AC，BD交于点O．若，，，则BC的长为________． 【答案】 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，． 在中，∵，，，∴，∴是直角三角形，且． 在中，．故答案为：． 2．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）如图，在中，，对角线与相交于点O，，则的周长为（    ） A．8 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，， ∵，∴，∵，∴的周长．故选：B． 3．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，点在边上，且于点，平分．若，，则的长为____________． 【答案】1 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，，，，． 平分，，，，． ，．又，，，．故答案为：． 4．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：（1）分别以A、B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于P、Q两点；（2）连接分别交于F、E两点；（3）连接，若，，则的面积为______． 【答案】30 【详解】解：由作图得垂直平分，即， ∵四边形为平行四边形，∴，， ∴的面积．故答案为：30． 5．（25-26八年级·上海·假期作业）在中，，、的角平分线分别交于、，若，则_____ ． 【答案】4或7/7或4 【详解】解：分两种情况讨论：①当、相交时，如下图， ∵平分，∴，∵四边形为平行四边形，， ∴，，，∴，∴， ∴，同理，∴，即，∴， ∵，∴，∴，∴； ②当、不相交时，如下图， ∵平分，∴，∵四边形为平行四边形，， ∴，，，∴， ∴，∴，同理，∴， ∵，∴，∴，∴．故答案为：4或7． 题型04 平行四边形的性质的相关证明 1．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）在中，，垂足为点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接． (1)如图1，当点在线段上，时，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上，时，求证：； (3)如图3，当点在线段的延长线上，时，直接写出线段，，的数量关系，不需要证明． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：，将绕点逆时针旋转， ，，， ，，， 又，，， 中，，，； （2）解：当点在线段的延长线上，时， 同（1）可得，，， 中，，，,即； （3）解：，理由如下： 当点在线段的延长线上，时，，， ，，， ，，同（1）可得，， 中，，，，即． 2．（25-26八年级上·山东泰安·期末）【感知】如图1，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，于点E，F．易证：（不需要证明）． (1)【探究】如图2，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．求证：． (2)【应用】如图3，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．连接，，若，的面积为1，则的面积为______，四边形的面积为______． 【答案】(1)见解析(2)3，12 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形、 在和中； （2）解：、 由（1）知同理可得 故答案为：3；12． 3．（22-23八年级下·河北沧州·月考）如图：的对角线交于点O．    (1)基础训练：经过点O且与、分别相交于E、F．求证： (2)拓展变式若将条件改为经过点O且与、的延长线分别相交于E、F，第（1）问的结论是否成立，请按题意画出图形，标注字母，并给予证明． (3)观察归纳：的对角线交于点O，直线是经过点O的任意一条直线，将的面积分为两部分，设四边形的面积为，四边形的面积为，则______． (4)实践操作：你能否只画一条直线，将下图中两个平行四边形的面积同时平分，若能，请画出这条直线（用虚线画出辅助线）；若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)成立，图和证明见解析(3)(4)见解析 【详解】（1）解：在中，，，∴， 在和中，，∴，∴； （2）成立，理由是：在中，，，∴， 在和中，，∴，∴； （3）同（1）可证：，，∴，， ∴， ，∴；故答案为：；    （4）能，如图，直线即为所求． 4．（25-26九年级上·河南驻马店·月考）如图，在中，连接，． (1)尺规作图：在边上找一点E，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：解法一，如图①，点E即为所求作 方法一：分别以点和点为圆心，用大于的长度为半径，在线段的两侧画弧，两弧分别相交于两点；连接这两个交点，得到的直线这条垂直平分线与线段的交点，就是的中点；连接，则点即为所求； ∵四边形是平行四边形，∴，． ∵，∴，即，为直角三角形． ∵是的中点（由垂直平分线作图得到），在中，斜边中线．∴． 解法二，如图②，点E即为所求作． 方法二：以为圆心，任意长为半径画弧，交、于两点；再以为圆心，相同长度为半径画弧，交于一点；然后以该交点为圆心，截取两弧之间的距离，画弧交前弧于一点，连接与该交点并延长，交于，即为所求； ，，是平行四边形，，， 又，，即，即， 在中，，，，即E是中点， 在中，E是中点 解法三，如图③，点E即为所求作． 方法三：延长线段，以为圆心，长为半径画弧，交延长线于点，此时，连接，交于点，这个点即为所求． ∵是平行四边形，∴且，． ∴，∴四边形是平行四边形． ∵平行四边形的性质，对角线互相平分，∴是的中点，即． ∵为直角三角形中，∴是斜边的中线，所以．∴， （2）证明：解法一，如图④， ∵在中，E是的中点，∴， ∵，∴为等边三角形，∴，，， ∴，∴，即． 解法二，如图④，∵四边形是平行四边形， ∴，，，∴，， ∵，∴，∴， 在和中，∴，∴，即． 5．（25-26八年级上·福建·期末）如图，在中，点是的中点，连接．将沿翻折至，点的对应点，落在内．射线交于，与射线相交于．延长交于． (1)求证：；(2)连接，若，平分． ①求证：；②若，求证：． 【答案】(1)见解析(2)①见解析；②见解析 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴， 由折叠的性质得，∴，∴， ∴，即， ∵点E是中点，∴，由翻折知，∴； ∵，∴； （2）①证明：如图，∵，∴是等腰三角形，∴， 由翻折可得，，即， ∵平分，∴；∵在中，， ∴，，∴， 设，则， ∵，∴， ∴，由（1）知，∴，， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴； ②由①知，∴， ∴，∴， ∵点E是中点，∴，， ∵在中，，∴， ∵，∴， ∴，∴是等腰三角形，即， ∵，即，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴， ∴，，∴， 由折叠的性质得，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴是等腰三角形；过点作于点， 则，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴． 题型05 平行四边形的判定（选填型） 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：A、当，时，可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形，故不符合题意； B、当，时，可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 判定四边形是平行四边形，故不符合题意； C、当，时，则有，所以，所以，同理可得，所以根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 判定四边形是平行四边形，故不符合题意； D、当，时，无法判定四边形是平行四边形，故符合题意；故选D． 2．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在四边形中，与相交于点，，以下条件能判断四边形是平行四边形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：、，，根据一组对边平行，另一组对边相等不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 、由可得，又，根据一组对边平行且相等能判断四边形是平行四边形，该选项符合题意； 、，，只能得到一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 、，，根据一组对边及一组对角相等不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意；故选：． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）小强不小心将一块平行四边形的玻璃打碎成如图所示的四块，他带了其中的两块碎玻璃到商店配了一块与原先相同的平行四边形玻璃，他带的两块碎玻璃编号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】D 【详解】解：如图，将②号玻璃和④号玻璃拼在一起，延长交于点A，延长交于点C， ∵，∴， ∴四边形是平行四边形，∴他带的两块碎玻璃编号是②④，故选：D． 4．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图1，战国时期《考工记》详细记载了用几何方法校验轮轴支架（“轸”）为平行四边形的技术：“凡察车之道，必自载于地者始也．合矩以为方，中规乃行”．如图2，实际操作为：构成轮轴支架四边形的顶点分别为A，B，C，D，若，且，则轮轴支架形成的四边形是平行四边形的最简明理由是（    ） A．对角线互相平分 B．两组对边分别相等 C．一组对边平行且相等 D．两组对边分别平行 【答案】A 【详解】解：由题意可知，，且， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），故选：A． 5．（25-26八年级上·山东东营·期中）如图，在四边形中，已知，在不添加辅助线的情况下，请你再添加一个条件_____（写出一个即可），则四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【详解】，当时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断；或当时，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判断；故答案是：（答案不唯一）． 题型06 平行四边形的判定（证明型） 1．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，在中，点、分别在边和上，且． (1)求证：．(2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，，， 在和中，，∴. （2）证明：∵四边形是平行四边形，∴，， ∵，，又∵，四边形是平行四边形． 2．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在四边形中，点E、F在上，且，，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，，，求的长． 【答案】(1)详见解析(2) 【详解】（1）证明：，，， ，， 在和中，， ，四边形是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形，，， ，，，， ．的长为． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：，； 又，四边形是平行四边形； （2）四边形是平行四边形，，； ，； ，，； ，． 4．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在四边形中，的平分线交于点E，已知，(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，四边形周长为32，求的长度． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：，， ，，，    四边形是平行四边形； （2）解：平行四边形的周长为32，， ，，，， 平分，，，． 5．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，对角线、相交于点，且，(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，求的长．    【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，∴，， ∴，∴， ∴，∴，∴的长是． 题型07 平行四边形的性质和判定的综合运用 1．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，连接，过点作，交射线于点，过点作延长线于点．若，则的长为_____． 【答案】 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，四边形是平行四边形，，， ，，，，∴，， 由勾股定理可得，，故答案为：． 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，点E为平行四边形的对角线上一点，，，连接并延长至点F，使得，连接，则为_______． 【答案】4 【详解】解：过点F作交于点G， ∴，又，∴，∴，， ∵四边形是平行四边形，∴且，∴且， ∴四边形为平行四边形，∴，∵，∴．故答案为：4． 3．（24-25八年级下·福建莆田·期末）如图，在中，相交于点O，，过点B作于点E，若，则_______ 【答案】5 【详解】解：过点A 作垂直交延长线于点F，设为x，为y，则为， ∵，∴，，∵，，∴， ∴，∴四边形为平行四边形，∴，，∴， ∴ ， ∵∴，解得，即，故答案为：5． 4．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，在四边形中，，点E为上一点，连接．若，则______． 【答案】25 【详解】解：∵，，∴四边形、四边形是平行四边形， ∴，，如图，设与相交于O， ∵，∴，， ，， ∴，∴，故答案为：25． 5．（24-25八年级下·四川成都·期末）在四边形中，，． (1)如图1，证明：四边形是平行四边形； (2)如图2，的角平分线交于点，点在上，，连接． ①若，点是线段的中点，，求四边形的周长；②如图3，对角线、交于点，连接，若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析(2)①20；② 【详解】（1）∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴四边形是平行四边形； （2）①∵四边形是平行四边形，∴， ∵，∴，∵，∴是等边三角形， ∴，， ∵，∴， ∵的角平分线交于点，∴， ∵，∴，∴，， 如图所示，过点A作于点G， ∵，∴设，则， ∴，∴，∵，，∴， ∵，∴，∴解得（负值舍去）， ∴，， ∴四边形的周长； ②如图所示，连接，∵四边形是平行四边形，∴， ∵，∴，∴， ∵的角平分线交于点，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∴，∴四边形的面积． 6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在四边形中，对角线，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为上一点，点为延长线上一点，连接，，，若，求证：； (3)在（2）的条件下，如图3，点在上，交于点，，连接，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：   ， ∴是直角三角形．，， 又，， ， ． （2），，∴ 又∵；，∴，． ∵，∴，，∴四边形是平行四边形， ∴，∴，∴ 又，∴， （3）在上截取， ， ，． 由（2）得，，∴，四边形是平行四边形； ∴；，． 作，，，∵，∴， ∴设由勾股定理得，    ； 题型08 坐标系中的平行四边形存在问题 1．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·月考）在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设点的坐标为， 分三种情况： ①和为对角线时，得，解得：，点的坐标为； ②和为对角线时，得，解得：，点的坐标为； ③和为对角线时，得，解得：，点的坐标为； 综上所述，点C的坐标可能是或或，不可能是．故选：D． 2．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，再找一点，使它与点，，构成的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设，分三种情况讨论： ①当为平行四边形的对角线时，∵对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴、的中点和、的中点重合． 、的中点为，、的中点为， 则，解得，即； ②当为平行四边形的对角线时， 同理，、的中点和、的中点重合． 则，解得，即； ③当为平行四边形的对角线时， 同理，、的中点和、的中点重合． 则，解得，即； 综上，点的坐标可能是、、，不可能是． 3．（24-25八年级上·重庆·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，在坐标系中找一点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标是_________． 【答案】或或 【详解】解：如图， ∵，，∴， ①时，∵，∴，即； ②，∵∴，即； ③，∵，，∴，即 故D点坐标为或或；故答案为：或或． 4．（24-25八年级下·江苏南京·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，解答下列问题： (1)将先向右平移5个单位，再向下平移5个单位得到，作出并写出三个顶点的坐标；(2)将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； (3)若将绕某一点旋转可得到，在图中作出该点并写出旋转中心的坐标 ； (4)若以A、B、C、D四个点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为 ． 【答案】(1)见解析，，，(2)见解析(3)见解析，(4)或或， 【详解】（1）解：如图1即为所求； 由图可知，，，； （2）解：绕点O按顺时针方向旋转得到，如图即为所求； （3）解：如图，连接，，再分别作出线段，的垂直平分线，点P即为所求的旋转中心， ∴旋转中心的坐标为，故答案为：． （4）解：依题意，如图所示：∵以A、B、C、D四个点为顶点的四边形为平行四边形， ∴点D的坐标为或或，故答案为：或或，． 题型09 平行四边形与图形变换（平移、对称、旋转）综合问题 1．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点，若恰为等边三角形，则的长度是______． 【答案】 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，． ∵为等边三角形，∴，．∵，∴． 由折叠性质可知，，∴，∴． ∵为等边三角形，∴，∴， ∴．故答案为：． 2．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，将平行四边形绕点旋转得到平行四边形，点落在边上，若，则当，，三点共线时，等于_________． 【答案】 【详解】解：∵平行四边形绕点旋转得到平行四边形， ∴，，，∴， ∵，∴， ∴，∵等于，故答案为：． 3．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，连接，将绕点顺时针旋转一定角度，得到，点分别旋转到了点．已知点在边上，，，则的长为_______． 【答案】 【详解】解：作于点，则， ∵四边形是平行四边形，， ，，由旋转可得， ，， ，，故答案为：． 4．（24-25八年级下·山西晋中·期末）综合与探究 问题情境：如图1，在中，，，．将绕点按逆时针方向旋转得到，旋转角为，点，的对应点分别为点，，交于点． 猜想证明：（1）如图2，在旋转过程中当点落在边上时，判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究：（2）在（1）的条件下，判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）在旋转的过程中，连接，当且是等腰三角形时，直接写出的面积． 【答案】（1）四边形是平行四边形，理由见解析； （2），理由见解析；（3）或 【详解】解：（1）四边形是平行四边形，理由如下， ∵四边形是平行四边形，，∴， ∵绕点按逆时针方向旋转得到，∴， ∴是等边三角形，∴， ∴，∴， ∵，即，∴，∴， ∴，∴四边形是平行四边形； （2）根据上述证明得到，是等边三角形，，∴，， ∵四边形是平行四边形，∴， ∴，∴，∴； （3）如图所示，，是等腰三角形， 在平行四边形中，，∴，∵旋转，∴， 过点作于点，过点作于点，交于点， ∴，∴， ∵，∴， 过点作于点，在中，， ∴，∴，， ∴，∴； 如图所示，，是等腰三角形，过点作于点，延长交于点，过点作于点， ∴，，∴， 同理，， ∴，∴； 综上所述，的面积为或． 题型10 平行四边形中的最值问题 1．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，中，，，点D在边上，以，为邻边作，则长度的最小值是______． 【答案】 【详解】解：点D在边上，四边形为平行四边形，为的中点，， ，要使的长度最小，即的长度最小， 过点作于点，当与重合时，据垂线段最短可知，此时的长度最小， ，，，，，， ，，长度的最小值是；故答案为：． 2．（24-25八年级下·贵州六盘水·期末）如图，在面积为24的中，，点为边上的一点，连接，则的最小值为___________． 【答案】10 【详解】解：作C点关于的对称点，连接，，，如图所示， 由轴对称的性质可得，，，∴ 当P点与F点重合时时有最小值即为的长度， ∵的面积为24∴∴∴ ∵四边行是平行四边形∴∴ 在中，∴的最小值为10，故答案为：10 3．（24-25八年级下·广东惠州·月考）如图，在平行四边形中，，，将线段沿着直线上下平移得到线段，连接，则的最小值是______． 【答案】 【详解】解：连接，∵平行四边形，∴，， 由平移性质得：，，四边形为平行四边形，，， 作关于直线的对称点，连接，，交延长线于， 由对称性得：，，，， ，，，，， ∵，，，的最小值为，故答案为：． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）问题探究 （1）如图1，已知等边的边长为4，则点到的距离为______； （2）如图2，在和中，连接、、，求证：； 问题解决 （3）如图3，某农业观光园中有一块等边三角形的蔬菜种植基地．经测量，，、分别是边、上的点，且满足，是边上的动点（不与端点重合），下方有一块空地（空地足够大），为了增加蔬菜种植基地的面积，管理员计划以、为邻边构造区域，用来种植新品有机蔬菜，扩建后沿修一条灌溉水渠．为节约成本，要求水渠的长度尽可能的短，请求出水渠的最小长度． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）水渠的最小长度为 【详解】解：（1）作，垂足为H，等边的边长为4，， 在中，，故答案为：． （2）四边形、四边形都是平行四边形， ，，，，，， ，即，，． （3）如图，作交于点，连接、、， 为等边三角形，，， ，，为等边三角形， ，，即， ，，又，为等边三角形， ，，四边形是平行四边形， ，，， 四边形是平行四边形，，， ，，即， ，，， 点在射线上运动，当时，即取最小值， 根据平行线间的距离相等知的最小值就是等边的高， 过点作于点，则，， 水渠的最小长度为． 1．（25-26八年级上·上海·月考）根据下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．一组对边平行且相等的四边形 B．一组对边相等一组对角是直角的四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相平分的四边形 【答案】C 【详解】解：A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； B. 一组对边相等且一组对角是直角的四边形：连接对角线，利用勾股定理可证另一组对边相等，从而判定平行四边形；C. 对角线相等的四边形不能判定平行四边形，如等腰梯形对角线相等但不是平行四边形； D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形；故选：C. 2．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 A错误； B、∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∴四边形为平行四边形．故B正确． C、由无法判定为平行四边形，故C错误； D、且，四边形可能是等腰梯形，故D错误； 故选：B． 3．（25-26九年级上·天津河西·期中）如图，过平行四边形对角线的交点O的一条直线，分别交边于点E，F，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．与全等 D．四边形与四边形的面积相等 【答案】D 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴， ∵，∴，∴，∴， 即：四边形与四边形的面积相等，故D正确； A、B、C根据现有条件，均不能推导出；故选：D 4．（25-26八年级下·江苏·课后作业）如图，在中，，，于点．下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D．的面积是12 【答案】B 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴故选项A正确，不符合题意； ∵，，，， ∴，故选项C正确，不符合题意， ∵四边形是平行四边形，，， ，，故选项B错误，符合题意； 的面积是：，∴的面积是，故选项D正确，不符合题意，故选：B． 5．（2025·河北·校考一模）如图，平行四边形，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由作图得平分，∴，所以A选项不符合题意， ∵四边形为平行四边形，∴，，∴， ∴，即，所以B选项不符合题意，∴， ∴，∴，所以C选项不符合题意， 与不能确定相等，所以D选项符合题意．故选：D． 6．（25-26八年级上·山东淄博·月考）已知四边形是平行四边形，，的平分线，分别交边于点E，F．若，，则的长为（　　） A．5 B．5或6 C．6或7 D．5或7 【答案】D 【详解】四边形是平行四边形，∴，，， ，，，的平分线，分别交边于点E，F， ，，，，，， 如图所示，当点E靠近点D，点F靠近点C时，顺序为D、E、F、C， ∴； 当点F靠近点D，点E靠近点C时，顺序为D、F、E、C， ∴．综上所述，的长为5或7．故选：D． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，于点，连接、，若，则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作交于，交于， 四边形是平行四边形，，， ，， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，，， ∵ ，， ．故选：B． 8．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，过点O作平行于的直线交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【详解】解：如图，过点P作交射线于点F， 四边形是平行四边形，，，，， 平分，，，， ∵，∴，∴四边形为平行四边形， ∴，，∴， ∵，∴，∴， ∴，即，∴，∴．故选：C． 9．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【详解】解：在中，，，平分，点是的中点， ∴，∴， ∴，∴是等边三角形， ∴，，∴点是的中点，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴，故①正确，符合题意； ∵，，∴， ∴平分，故②正确，符合题意； 已知：，，假设③正确，那么， 即，那么不能构成，∴③错误，不符合题意； ∵点是的中点，点是的中点，∴是的中位线， ∴，∴，∴， ∵点是的中点，∴垂直平分，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的为①②④，故选：D． 10．（25-26八年级上·山东淄博·期末）在中，若，则_______． 【答案】45 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，，且，（平行四边形邻角互补）， ，又，， ，即，将代入， 得：，，． 11．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以点、为圆心，大于的一半长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交的延长线于点．连接，若，，，则的长为_____ ． 【答案】 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，由作图可知，平分， ，，， ，，故答案为：． 12．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）如图，在四边形中，对角线、相交于点，，，，，则四边形的面积为___________． 【答案】 【详解】在中，∵，，， 由勾股定理得，解得， 又∵，∴，故对角线互相平分， ∴四边形为平行四边形，， ∴四边形的面积为，故答案为：． 13．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在中，点，点分别是，的中点，连接，．若平分，，，则四边形的周长为_______． 【答案】 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，， ∵点，点分别是，的中点，∴，，∴， 又∵，∴四边形是平行四边形，∴， ∵平分，∴，∵，∴， ∴，∴，∴ ∴，∴四边形的周长为．故答案为：． 14．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，的垂直平分线经过点C，与交于点R，的角平分线分别与，交于点Q，P，连接，则_________． 【答案】 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，， ∵的角平分线与交于点，， ，，， ∵的垂直平分线经过点，， ，，故答案为：． 15.（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形；(2)若是等边三角形，且，求的长． 【答案】(1)见解析(2)3 【详解】（1）解：∵点为的中点，∴， ∵，∴，又∵，∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得，四边形是平行四边形，∴， ∵点为的中点，∴， ∵是等边三角形，∴，∴． 16．（24-25八年级下·吉林延边·月考）如图，点、是对角线上的两点，且，连接、，， (1)求证：四边形是平行四边形；(2)若． ①求线段的长；②求四边形的面积． 【答案】(1)见解析(2)①2；② 【详解】（1）证明：如图，连接，交于点O， ∵四边形是平行四边形，∴， ∵，∴，即， 又∵，∴四边形是平行四边形； （2）解：①∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴； ②∵，∴，∴， 由①可知，，∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形，∴． 17．（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，在四边形中，，对角线，相交于点，且． (1)求证：．四边形为平行四边形．(2)过点作，交于点，交于点，连结若，，求的度数． 【答案】(1)①见解析；②见解析(2) 【详解】（1）证明：，． 在和中， 同理可证，．又，四边形为平行四边形； （2）解：，， ，，，． ，，． 18．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图1，在平行四边形中，，平分交的延长线于点E，交于点F．    (1)试判断的形状，并说明理由；(2)如图2，连接，若，，求的面积； (3)如图3，在（2）的条件下，O为的中点，G为的中点，求的长． 【答案】(1)等边三角形，理由见解析(2)(3) 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵四边形是平行四边形，∴，， ∴，，，． ∵，∴，． ∵平分，∴， ∴，∴，∴是等边三角形． （2）解：如图，过点C作交的延长线于点H，则． ∵四边形是平行四边形，∴，，∴， ∵，，，∴，． 又∵，∴，∴，∴， ∴在中，， ∴的面积为：． （3）解：如图，连接，过点D作于点P． ∵四边形是平行四边形，∴与互相平分， ∵点O为的中点，∴点O在上，且点O为的中点，由（1）知，是等边三角形， 又∵点G为的中点，∴，∴．∴． 在中，，，，∴， ∴，，， 在中，，∴． 19．（24-25八年级下·重庆江津·期末）如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接，，，点F是线段上一动点，连接． (1)如图1，若，，求平行四边形的面积； (2)如图2，若，连接，求证：； (3)如图3，线段上另有一点G，满足，连接．若，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)(2)见解析(3)的最小值为 【详解】（1）解：设，∵，则， ∵，∴，∵， ∴中，，∴，∴， ∴平行四边形的面积； （2）证明：如图，延长交于点H， ∵四边形是平行四边形，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴； （3）解：如图，过点D作，延长交于点M，过点F作交于点N，连接， ∵四边形是平行四边形，∴，∴四边形是平行四边形， ∴，∴， 又∵，∴四边形是平行四边形，∴， 又∵， ∴当时，且F在上时，取得最小值，最小值为， 又∵中，，∴， 即∴∴ 则过点N作，∵，∴， ∵∴是等腰直角三角形，∴， ∴；即；∴ ∴；∴ 在中，，∴的最小值为． 20．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，在平行四边形中，，点在射线上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点落在的延长线上． (1)如图，若，，求证：； (2)如图，当点在边上时，（）中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)如图，当点在延长线上时，连接，若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2)成立，证明见解析(3) 【详解】（1）证明：∵∴，∵，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，∴， ∴，由旋转得，，， ∴，∴，∴，∴； （2）解：（）中的结论是否成立，证明如下：如图，作，交于，则， ∵四边形为平行四边形，∴，， ∴，，∴， ∴在四边形中，，∵，∴， ∵，∴，∴，∴； （3）解：如图，在上取点，使，连接，过点作于， ∵为平行四边形∴，， ∴，∴为等边三角形，∴， ∵，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴， 在中，，，∴， ∴，∴，， ∴在中，． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $