专题04 探究、实践与拓展延伸（4题型3重难）（培优讲义）（全国通用）2026年中考数学二轮复习高效培优系列

专题04 探究、实践与拓展延伸 目 录 第一部分 考情精析 锁定靶心 高效备考 第二部分 重难考点深解 深度溯源 扫清盲区 【考点01】 代数类重难点考点 【考点02】 几何类重难点考点 【考点03】 综合类重难点考点 第三部分 解题思维优化 典例精析+方法提炼+变式巩固 【题型01】二次函数与几何综合题 【题型02】几何动态探究题 【题型03】圆综合探究题 【题型04】新定义探究题 第四部分 重难攻坚 攻克重难点 【重难01】解决实际问题探究 【重难02】动手操作类探究 【重难03】几何图形与函数性质综合 第五部分 练测提能 效果及时检测 【测能力】→【提能力】 核心考向聚焦 新课标中将部分数与量的内容从数与代数领域中分离出来，纳入综合与实践领域，此领域更加注重学生在实际情境和真实问题中的学习，注重提升学生综合运用各学科知识和方法解决问题的能力，从而使学生感悟数学与日常学习、生活、科技等方面的密切联系，积累活动经验，在知识和方法的运用中形成和发展核心素养。 关键能力与思维瓶颈 必备关键能力 信息提取能力：长文字、多图表中抓关键条件与限制。 数学建模能力：实际问题→方程 / 函数 / 不等式 / 几何模型。 逻辑推理能力：步步有据，不跳步、不漏解。 分类讨论能力：动态、含参、位置不确定时全面分析。 转化化归能力：陌生问题→熟悉模型、复杂图形→基本图形。 典型思维瓶颈 审题断层：忽略定义域、整数解、点在图形上 / 外等限制。 数形脱节：只会算不会看图，或只会看不会列式。 分类不全：动态问题只考虑一种情况，漏解严重。 模型固化：只会套模板，情境一变就不会拆解。 书写失分：步骤不规范，推理不严谨，过程分丢失。 命题前瞻与备考策略 2026 命题前瞻 1. 素养导向：重思维、轻套路，反机械刷题。 2. 情境真实：生活、科技、传统文化、社会热点入题。 3. 开放探究：结论开放、策略开放，鼓励多角度思考。 4. 跨模块融合：代数 + 几何 + 统计综合，不考单一知识点。 5. 重过程表达：评分向 “思路、推理、规范” 倾斜。 高效备考策略 1. 回归教材：所有压轴题都源于教材例题、习题变式。 2. 专题突破：按函数、几何、新定义、规律四大专题集中训练。 3. 思维可视化：画图、标条件、写思路，不空想。 4. 限时训练：把控 10–15 分钟一道压轴题的节奏。 5. 错题归因：按 “概念 / 计算 / 策略 / 阅读 / 书写” 分类复盘。 ◇考点 01 代数类重难点考点 二次函数核心考点：解析式求解（一般式、顶点式、交点式）、顶点坐标与对称轴、最值计算、含参二次函数的取值范围、二次函数与坐标轴的交点问题。 方程与函数综合考点：一次函数与二次函数的交点、反比例函数与几何图形的面积关联、方程（组）与函数的联动求解（含参讨论）。 代数规律考点：数式规律、数列规律、代数式递推规律，侧重“特殊→一般”的归纳推理 ◇考点 02 几何类重难点考点 几何动态考点：动点（单点、双动点）、动线、图形折叠/旋转/平移，核心考查动态过程中的不变量（边长、角度、全等/相似关系）。 几何图形综合考点：三角形（全等、相似）、四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）与圆的综合，切线证明、圆周角定理应用、隐圆模型（定点定长、定角对定边）。 几何最值考点：线段最值（将军饮马、胡不归）、角度最值、图形面积最值，核心关联几何性质与函数最值 ◇考点 03 综合类重难点考点 新定义/阅读理解考点：现场学习新规则、新图形、新运算，即时迁移应用，考查信息提取和逻辑转化能力。 实际应用建模考点：结合生活、科技、传统文化情境，将实际问题转化为数学模型（函数、方程、几何图形），考查建模能力和决策判断能力。 ◇题型 01 二次函数与几何综合题 方｜法｜提｜练 核心步骤：先求二次函数解析式（优先用顶点式、交点式，简化计算）→ 标关键点（顶点、交点、对称轴）→ 结合几何图形，用坐标表示线段长度 → 列方程（或函数）求解。 易错点突破：① 含参二次函数分类讨论（按开口方向、对称轴位置分类）；② 存在性问题漏解（如等腰三角形分三种情况：AB=AC、AB=BC、AC=BC）；③ 面积计算漏用割补法（复杂图形转化为几个简单图形的面积和/差）。 典｜例｜精｜析 典例1（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点是抛物线顶点． (1)求抛物线的解析式并直接写出点的坐标； (2)若是第一象限内抛物线上的任意一点． ①过点作轴，过点作轴，则___________ ②连接，交于点，连接，记的面积为的面积为，求的最大值； (3)如图②，为轴上一条定线段且，则的最小值为___________． 典例2（2025·江西抚州·模拟预测）综合与实践 特例感知 （1）如图1，在等腰直角中，D为斜边的中点，P是斜边上一动点，过点P分别作与的垂线，垂足分别为E，F，连接，，则，的关系是______． 类比迁移 （2）如图2，在等腰直角中，D为斜边的中点，P是斜边延长线上一动点，过点P分别与的垂线，垂足分别为E，F，连接，，．求证：是等腰直角三角形． 拓展应用 （3）如图3，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，C是的中点，P是射线上一动点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为F，D，连接，，，点E与点C关于对称，连接，． ①当点P在线段上运动时，请判断点E是否在一条直线上运动．若在，请直接写出这条直线的解析式；若不在，请说明理由． ②设点F的横坐标为x，四边形的面积为y，求y与x的函数解析式，并在如图4所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象． 变｜式｜巩｜固 变式1（2026·广东中山·模拟预测）学校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个有趣现象：如图，直线与抛物线交于两点．点为抛物线上的动点，过点且平行于轴的直线交直线于点．当点在直线下方时，连接得到．当面积最大时，点在什么位置？ (1)数学兴趣小组成员很快就求出点的坐标，请你也求出点的坐标． (2)机智的小涛同学通过计算发现，当面积最大时，点与线段有特殊的位置关系，请你写出小涛的结论． (3)爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当面积取最大值时，动点的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论． 变式2（2025·山东潍坊·二模）小亮喜欢思考，善于运用信息化工具研究数学问题．在中考复习中，他运用和几何画板研究了动点最值问题．以下为研究笔记的部分内容：梳理了初中常见的动点最值问题，从“距离”这一核心概念出发整理出下列表格，请阅读材料并完成下列问题． 分类项目 点到点的距离 点到直线的距离 点到圆的距离 基本原理 两点之间，线段最短 直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短 点到的距离为，则有 基本图形 【直接应用】 （1）已知在中，，，，点为边上一动点． ①线段的最小值为________； ②若点为的中点，则线段绕点顺时针旋转，的最小值为________； 【迁移运用】 （2）如图，一次函数和二次函数．一次函数的图象与坐标轴分别交于点，点．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．求最小值； 【问题解决】 （3）在矩形中，，，，．小亮使用几何画板探究发现：四边形为平行四边形；四边形与矩形重合时周长最大，最大值为28．请证明四边形为平行四边形，并用模型观念探究其周长的最小值． ◇题型 02 几何动态探究题 方｜法｜提｜练 核心思路：化动为静，抓不变量（动态过程中，边长、角度、全等/相似关系往往不变）→ 画出临界状态（如动点运动到端点、折叠后重合的位置）→ 分情况讨论。 分类突破： 折叠问题：抓“全等”（折叠前后图形全等，对应边、对应角相等），结合勾股定理列方程； 旋转问题：抓“手拉手模型”（等腰三角形旋转后，形成全等三角形），找对应边、对应角； 动点问题：先确定动点的运动范围，再用变量表示动点坐标，结合函数、几何性质求解。 典｜例｜精｜析 典例1（2025·吉林松原·模拟预测）【问题背景】如图①，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处．如图②，连接，点恰好落在上； 【初步探究】 （1）如图②所示，求证：； 【探究迁移】 （2）如图②所示，请你求出的值，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图③所示，在【问题背景】的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，请直接写出的值（用含的式子表示）． 典例2（2025·贵州遵义·二模）数学课上，同学们对矩形进行探究，已知，，将绕点旋转得到． 【探究发现】 (1)如图①，当点落在上，连接，则___________． 【深入探究】 (2)如图，旋转到如图②的位置，连接与相交于点，若时，求的值． 【拓展应用】 (3)如图③，在旋转过程中，当点，分别为，中点时，连接，当以为直角边的直角三角形时，直接写出的长． 典例3（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与实践 问题发现： （1）如图，在等边中，点M为边上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．可通过证明 得到线段和的数量关系是 ； 变式探究： （2）如图，在中，，，点M为边上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．请写出线段和的数量关系，并说明理由； 拓展应用： （3）如图，在菱形中，，，点M为对角线上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接和． ①当时，的长为 ； ②线段的最小值为 ． 典例4（2025·江西·中考真题）综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）． 变｜式｜巩｜固 变式1（2026·广西钦州·模拟预测）【问题背景】如图1，线段，是线段的中点，线段，且线段在线段上移动． 【问题探究】 （1）当时，_____，_____； （2）当线段在线段上移动时，探究与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图2，在直线上方从点出发引出射线，，，射线在的右边，且，，平分． ①若，求的度数； ②已知点在直线上，在直线的上方绕点转动，当射线在射线的左边时，如图3，求出与的数量关系． 变式2（2025·河南驻马店·三模）已知在矩形纸片中，,，P为射线上一动点，连接，将沿折叠得到，过点E作的平行线，交于点M，交于点N． (1)【思考】如图1，当E为线段的中点时，的度数为______； (2)【探究】如图2，当点E恰好落在矩形的对角线上时，求线段的长； (3)【拓展】在点P的移动过程中，当时，连接，直接写出线段的长． 变式3（2025·江西萍乡·二模）综合与实践 如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，且点与的中点重合，， 观察发现 （1）①的长为___________； ②如图1，设与的交点为，则的长为___________． 类比迁移 （2）如图2，将绕点逆时针旋转，连接． ①当旋转角为时，求的长； ②当时，请直接写出以为边的正方形的面积． 拓展应用 （3）如图3，取的中点，连接，在绕点逆时针旋转的过程中，当最大时，求以为边的正方形的面积． 变式4（2025·广东河源·模拟预测）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在中，为边上的高，，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得． (1)问题解决：如图1，当，将沿翻折后，使点与点重合，则______； (2)问题探究：如图2，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值； (3)拓展延伸：当，将沿翻折后，若，且，请直接写出m的值． 变式5（2025·贵州铜仁·三模）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点、分别为、上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小李发现：将绕点顺时针旋转得到，连接，则，请思考并证明； 【类比探究】（2）小强尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点顺时针旋转得到，连接．求证：； 【拓展延伸】（3）潘老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接、，求的最小值． ◇题型 03 圆综合探究题 方｜法｜提｜练 核心技巧：“连半径、作垂直、构直角”（切线证明必用）→ 利用圆周角定理、垂径定理转化角度、线段关系 → 结合相似三角形、勾股定理计算。 易错点突破：① 切线证明漏写“半径垂直于直线”（需明确“连半径”或“作垂直”，再证明垂直）；② 隐圆模型不会识别（定点定长→圆，定角对定边→外接圆）；③ 弧长、扇形面积计算记错公式（注意圆心角单位换算）。 典｜例｜精｜析 典例1（2025·广东·二模）【问题背景】如图1，已知是等腰三角形，，为边BC上一动点，由点向运动，以点为圆心，为半径作半圆弧分别交于点． 【数学思考】（1）求证：在点运动过程中，始终有； （2）如图2，在点运动过程中，设为线段的中点，连接交半圆弧于点，当点H恰为的中点时，求此时线段OB的长度； 【拓展探索】（3）如图3，点在点与点重合时停止运动，若此时半圆弧与等腰三角形的腰交于另一点P，且四边形为等腰梯形，求等腰三角形顶角度数的取值范围． 典例2（2025·广东韶关·二模）【问题背景】菱形的边长为，其中，是边上的一个动点，作射线，点关于直线的对称点为，连接，直线与射线交于点，连接． 【知识技能】 （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，连接，求证：； 【拓展探索】 （3）当在直线上运动时，求时，的长度是多少？ 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·陕西咸阳·三模）【问题提出】 （1）如图1，、为的两条弦，连接、，若，则的度数为___________°． 【问题探究】 （2）如图2，在中，，以为边向上作，以为边向下作，使得，试判断与是否相似？并说明理由； 【问题解决】 （3）为了全面落实新课标理念，促进学习方式深度转变，某校拟修建一座项目式学习基地，如图3为基地的平面规划示意图，在四边形中，，，以为圆心，为半径的弧分别交于点，规划四边形区域为项目实施区，区域为协作交流区，其他区域为评价反馈区，根据规划要求，，请你判断项目实施区（四边形的面积与协作交流区的面积是否相等？并说明理由． 变式2（2025·浙江杭州·二模）如图1，已知内接于，点是上的一点，连结，． 【证明体验】 （1）求证：． 【思考探究】 （2）如图2，连结，交于点，作交于点． ①试猜想，，之间存在怎样的数量关系？写出你的结论并说明理由． ②如图3，若经过圆心，且，求的值． 变式3（2025·江苏南通·三模） 是的内接三角形，点是上一点，且点与点在的两侧，连接，，． (1)在图1中，是等边三角形的外接圆，点P是上任一点，连接，如果把绕点A逆时针旋转，得到，易证点P，C，D三点共线，且是等边三角形．所以，，这三条线段的数量关系是________；（只填结果） (2)类比探究如图，把中的改为等腰直角三角形，，其他条件不变，三条线段，，还有以上的数量关系吗？说明理由． (3)知识应用如图3，在四边形中，，，，，求的长． (4)迁移拓展如图，把（1）中改为任意三角形，，，时，其他条件不变，求证 变式4（2025·青海·中考真题）活动与探究 解码蜜蜂的“家”——为什么蜂房是正六边形的？ 蜜蜂的“集体宿舍”是由多个正六边形密铺在一起的，这些密铺的正六边形使得蜂房之间没有空隙，一点儿也不浪费空间．这是数学中的密铺（或镶嵌）问题．平面图形的密铺（或镶嵌）是指用形状、大小完全相同的一种或多种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片． 探究一：若只用一种正多边形，哪些正多边形可以密铺？ 平面图形 每个内角度数 能否整除 能否密铺 正三角形 能 正方形 ①________ ②________ 能 正五边形 不能 正六边形 能 正七边形 不能 正八边形 ③________ ④________ ．．． ．．． ．．． ．．． （1）请补全上述表格①________；②________；③________；④________． 探究二：在能密铺的正多边形中，哪种形状最省材料？ 数学视角：蜜蜂的身体可近似看成圆柱，若圆柱底面半径为1，当蜂房恰好容纳一只蜜蜂即正多边形的内切圆半径均为1时，比较正三角形，正方形和正六边形周长的大小．          观察图1，发现是正三角形的内切圆，与切于点，，，，在中，，则的周长为． （2）如图2，正方形的周长为__________； （3）如图3，求出正六边形的周长（写出求解过程）． 探究三：在能密铺的正多边形中，哪种形状可以使蜜蜂的活动空间最大？ 数学视角：假设蜜蜂建造蜂房的材料总量即周长一定，比较正三角形、正方形和正六边形面积的大小． （4）若正多边形的周长都为12，则正三角形的面积为__________；正方形的面积为__________；正六边形的面积为__________． 【得出结论】 综上所述：在相同条件下，正六边形结构最省材料，能使蜜蜂的活动空间最大，是建造蜂房的最优方案． ◇题型 04 新定义探究题 方｜法｜提｜练 先读懂定义（逐句分析，明确核心规则）→ 代入特殊值/特殊图形，验证规则 → 迁移应用到设问中，避免死记硬背。 典｜例｜精｜析 典例1（2025·辽宁大连·二模）综合与实践 【了解定义】 如图1，在和中，，点在底的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做同位等腰三角形．在同位等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，顶角顶点的连线叫做轴线．图1中和是腰角，线段是轴线． 【探究性质】 小明通过测量、折纸的方法猜想同位等腰三角形有以下性质：同位等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边． 小明利用图1给出已知、求证，请帮助小明完成证明． （1）已知：如图1，和是同位等腰三角形，连接．求证：，直线是线段的垂直平分线． 【辨析理解】 （2）如图2，在中，，点在上，，，垂足为，的延长线与相交于点，点在线段上，且，连接．求证：和是同位等腰三角形． 【拓展应用】 （3）如图3，和是同位等腰三角形，，点在的延长线上，且的延长线与分别交于点，点在上，．若，，求的长． 典例2（2025·广东深圳·三模）（1）特殊情况，探索结论： 在平面直角坐标系中，已知点，点关于坐标原点的中心对称点的坐标是_____ 在平面直角坐标系中已知点，点关于坐标点的中心对称点的坐标是_____ 在平面直角坐标系中，已知点，点关于坐标点的中心对称点的坐标是_____ （2）特例启发，引发思考： 点对称有一定规律，那么由点组成的图形是否有相似规律呢? 定义：对于抛物线，以点为中心，作该抛物线关于点中心对称的抛物线，则称抛物线为抛物线关于点的“中心镜像抛物线”，点为“镜像中心”．例如：如图1，抛物线关于点的“中心镜像抛物线”为，点为“镜像中心”． ①如图2，当时，直接写出抛物线关于点的“中心镜像抛物线”的函数表达式_____； ②已知抛物线，将其顶点先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，恰好落在抛物线关于点的“中心镜像抛物线”的图象上，求“镜像中心”点的坐标； （3）拓展结论，思维提升： 已知抛物线关于点的“中心镜像抛物线”为，当时，最大值与最小值的差为3，直接写出的值． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·广西南宁·模拟预测）综合与实践． 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形．请结合已有经验，对下列特殊四边形的进行研究． 定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形． (1)【初步探究】 如图1，在四边形中，，连接，点是的中点，连接．试判断四边形是否是双等腰四边形，并说理由； (2)【问题解决】 在（1）的条件下，若，求的度数； (3)【拓展应用】 如图2，点是矩形内一点，点是边上一点，四边形是双等腰四边形，且延长交于点，连接．若，求的长． 变式2（2025·辽宁锦州·三模）综合与实践 【了解定义】 如果两条线段同时满足下面两个条件①端点都在正方形的边（所在直线）上；②垂直且相等，则称这两条线段叫做正方形的等垂线段．如图1，正方形中，点，分别在，边上，连接，，若且，则称与为正方形的等垂线段． 【基础探究】 （1）如图2，正方形中，点，，分别在，，上，连接，，若于点，请判断与是否为正方形的等垂线段，说明理由； 【深入探究】 （2）如图3，正方形中，点在边上，点在延长线上，连接，，交于点，若，求证：与是正方形的等垂线段； 【拓展应用】 （3）如图4，正方形中，，是中点，点，分别在，上，，交于点，连接，，若，为正方形的等垂线段，，求的长． 变式3（2026·江西·模拟预测）定义：已知二次函数，则称二次函数是二次函数的伴随二次函数，t是伴随值． 定义理解 （1）下列二次函数中，是二次函数的伴随二次函数的是（    ） A．      B． C．             D． 深入探究 （2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是． ①伴随值为 ； ②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象； ③当时，记二次函数与的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标． 变式4（2025·江西南昌·三模）定义：一组邻边相等且有一个内角为直角的凸四边形称为等直四边形．例如，如图 1，在四边形 中， ， ， 则四边形为等直四边形． 【特例感知】 （1）下列四边形一定是等直四边形的是 ；  （填序号） ①平行四边形         ②矩形           ③菱形           ④正方形 （2） 如图2， 在等边中，点D为内部一点，且平分， 连接， 将线段绕点D 顺时针旋转得到线段，连接，．求证：四边形是等直四边形． 【深入探究】 （3）如图3， 在等直四边形中， ， ， 线段的垂直平分线分别交与的角平分线于E， F， 连接，． 求证： ． 【拓展应用】 （4）如图4，已知线段 射线 ， 射线平分， 点C， D分别在射线，上，若 且四边形是等直四边形，则的长为 ． （直接写出结果） ◇重难 01 解决实际问题探究 典｜例｜精｜析 典例1（2025·陕西西安·模拟预测）问题题出 （1）如图1，已知，点在内部，且，若点、分别在射线、上运动，则周长的最小值为___________． 问题探究 （2）如图2，已知中，为的边上的高，，若，求的周长的最小值． 问题解决 （3）如图3，西安大雁塔的唐代园林中，有一座扇形观景台，其设计灵感源于古代浑天仪的几何构造．已知扇形圆心角，半径米，弧上的、两点装饰有青铜纹样，且米．为方便游客观赏，需在边设置休息区，要求四边形的周长最短，同时其内部区域面积尽可能大，是否存在这样的四边形？若存在，求出的位置及四边形的最大面积；若不存在，请说明理由． 典例2（2025·陕西咸阳·模拟预测）问题提出 （1）如图①，点，分别在正方形的边，上，，珠琳把绕点逆时针旋转到的位置，从而发现，，之间的数量关系是_____； 问题探究 （2）如图②，在四边形中，，，点E，F分别在边，上，当时，（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 问题解决 （3）如图③，某公园的四条通道围成了四边形，已知，，，，道路，上分别有景点E，F，满足，，为了游客们能更方便的游玩这两个景点，现要在E、F之间修一条笔直的道路，求这条道路的长 典例3（（2025·陕西西安·模拟预测）【问题提出】 （1）如图，在中，，交于点H，点E、F分别为、上的动点，连接、、，若的面积为6，的长为3，求周长的最小值． 【问题解决】 （2）2025年3月12日，一年一度的植树节到来．植树造林是生态文明建设的重要环节，也是实践绿色发展理念、弘扬生态文化的重要契机之一．西安市高新管委会计划在一片空地上修建一个直径为800米的半圆形森林生态公园．如图所示，小区C恰好位于半圆弧的三等分点上．现在计划在弧上找一个点D，在D处修建一个停车场，为了方便市民进入公园管委会还修建了和两条游览小路．经过与附近居民的调研了解到，居民希望在游览小路上确定一个点E，使得点E到小区C和停车场D的距离相等（即），同时还能再在上确定点M，在上确定点N，沿着点修建健身步道，已知修建健身步道每米的费用是1000元．请你帮助管委会计算出修建健身步道的最低费用． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·陕西西安·模拟预测）问题提出 （1）如图①，O是外接圆的圆心，，，连接，求的长； 问题解决 （2）2025秦岭生态文化旅游节开幕式在商洛市山阳县天竺山景区举行，以“相约和美山阳·畅游商洛”为主题，宣传秦岭生态文化．为响应此次活动，李伯伯计划将位于公路l边的荒地开发出一块四边形区域（C，D在直线l上），打造生态旅游度假区，如图②，由实地考察及规划，要求，，，且，为提升生态旅游度假区的功能性，李伯伯计划在生态旅游度假区内修建一个等边为主体休息区，在主体休息区与公路l之间预留出区域修建娱乐设施，其他区域种植绿植，为了最大化利用空间，使得的面积尽可能大，请求出面积的最大值．（结果保留根号） 变式2（2025·陕西西安·模拟预测）【问题提出】 （1）如图1，在中，点D在边上，连接，若，，则的值为_______； 【问题探究】 （2）如图2，在中，点D、E分别是、边的中点，连接，平分交于点F．若，，求的长； 【问题解决】 （3）如图3，是某公园的一块儿童休闲娱乐区，现要将其向右方进行扩建，扩建区域为，再从点B向边的中点E修建一条儿童健身跑道，为了达到跑步锻炼的效果，要求跑道尽可能的长．已知，，扩建区域需要的费用为200元/，求跑道最长时，扩建区域需要的总费用． 变式3（2025·陕西西安·模拟预测）伽利略曾说：“圆是最完美的图形”．某数学兴趣小组的同学们在学完《圆》这章后，数学综合实践课上，老师鼓励学生不仅要学会解题，更要学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界．兴趣小组提出了下面问题．尝试解决下面问题，请你协助完成．问题提出：    （1）如图①，在中，，其外接圆半径等于3，则________． 问题探究： （2）如图①，，其外接圆半径等于3，求面积的最大值． 问题解决： （3）如图②，学校决定在校园内建造一个花坛，为了确保观赏性，在点和边的中点之间铺设一条笔直的小径，长是20米．根据设计要求，从点看去，视角为角，即．现希望花坛面积尽可能大，以种植更多的花卉，同时保持小径长度和视角大小不变．在这些条件下，花坛面积的最大值为多少平方米？ 变式4（2025·陕西西安·一模）【问题呈现1】 在中，，，点D是斜边上的一点，连接，试说明、、间的数量关系，小敏同学思考后是这样做的：如图1将绕点C逆时针旋转，得到，连接，请写出、、之间的数量关系 ． 【问题呈现2】 如图2，在中，，为边上的高，若，试判断是否存在最小值，若存在，请求出最小的面积值；若不存在，请说明理由； 【问题解决】 为迎接新春佳节，西安市城市管理部门在古城墙段安装了全息投影射灯．工作人员选择在城墙的E点安装射灯，该城墙段的几何结构如图3：城墙顶部凸起部分为墙垛，如四边形，凹陷部分为垛口，如四边形，本题中墙垛与垛口均为正方形．现从B点发射全息投影光束，其投影画面可绕E点转动，但始终保持，其中F、G分别是与边上的动点．已知墙垛边长为，墙面区域，，，城墙楼梯长度为．墙垛面积在本问题中可忽略不计．现需分析在全息投影表演过程中，投影到城墙区域（四边形）的面积是否存在最大值．若存在，请求出面积最大值；若不存在，请说明理由． ◇重难 02 动手操作类探究 典｜例｜精｜析 典例1（2025·江苏苏州·二模）实践探究：两位同学利用菱形纸片进行翻折问题的自主探究，已知纸片为菱形，其边长为4，一个内角； (1)如图，他们将沿直线翻折得到，使得点正好落在边上，且，两位同学发现了不同的解法来求出图中线段的长度，一位同学找到了图中的一个特殊的等腰三角形，另一位同学则利用轴对称图形对应边相等这一性质；请聪明的你利用提示来求出线段的长度； (2)如图，两位同学又将沿直线翻折得到，使得点正好是边的中点，那么此时线段的长度是多少呢？ (3)如图，点为边上一点，将沿直线翻折得到，，的延长线分别交于S，T两点，若，求线段的长度． 典例2（2025·广东潮州·模拟预测）【问题背景】 （1）数学活动课上，老师拿出一个由五个边长均为1的小正方形连成的L形教具，如图1，将它放入一个直角三角形中，已知，，顶点D、E、F、G刚好落在三边上，求的长； 【问题提出与解决】 （2）小颖同学受到启发，将该教具放入如图2所示的直角坐标系中，顶点A、B、C分别落在坐标轴上，提出问题：如果反比例函数图象经过顶点D，求k的值； （3）小明同学也受到启发，画了一个圆，如图3，将该教具放入圆内，使圆经过其顶点A、B、C，请直接写出这个圆的半径． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·辽宁盘锦·三模）【问题提出】在旋转专题复习课中，王老师引导同学们积极探究以下问题： 将一大一小两个等腰直角三角板如图1放置，，点F在内，连接并延长到点E，使，连接，，．探究线段与的关系． 【思路探究】“勤学小组”的解题思路：将线段借助平行线进行平移，如图2，过点B作平行交的延长线于点G，这样可以将证明和的关系转化为和的关系； “善思小组”的解题思路：结合F为的中点构造三角形的中位线，如图3，过点B作平行交延长线于点H，从而借助三角形中位线性质，将和的关系转化为和的关系． （1）请你写出线段与的关系并证明（写出一种方法即可）； 【思维训练】王老师为了进一步让学生体会平行线在图形证明中的作用，又出示了下列问题： （2）如图4，在中，，，D为上一点，将绕点C逆时针旋转得到，连接，，O为中点，连接并延长交的延长线于点F，若，探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【能力提升】 （3）“创新小组”的同学在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接，若F为平面内一点，，，，其他条件不变，请直接写出的值． 变式2（2025·宁夏银川·二模）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与有怎样的数量关系？ (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点，求的值； 变式3（2025·新疆·模拟预测）在“综合与实践”课上，老师组织同学们以“正方形”为主题开展数学活动，如图①，在边长为6的正方形中，是边上的动点，过点作交于点，连接，与交于点，取的中点，连接． (1)【问题发现】 试判断线段与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； (2)【拓展探究】 如图②，延长交于点，连接，试判断线段，与的数量关系，并证明你的结论； (3)【问题解决】 在（2）的条件下，当是的三等分点时，直接写出线段的长． 变式4（2025·河南安阳·三模）某校数学探究小组的同学在学习了图形的相似这一单元后，对直角三角形的相似做出了深入探究． 【特例探究】 如图1，在中，，是斜边上的高． （1）求证：； 【类比研究】 （2）如图2，为线段的延长线上一点，连接并延长至点，连接，，使得．请判断的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，是直角三角形，，，，平面内有一点满足，连接并延长至点，使得，请直接写出线段的最小值． ◇重难 03 几何图形与函数性质综合 典｜例｜精｜析 典例（2025·广东茂名·二模）【问题背景】 如1图，在平面直角坐标系中，点，，中，，，把它的斜边放在轴上，点与点重合．如2图，轴，从1图的位置出发，以每秒1个单位的速度沿轴向点匀速移动，同时，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿直线向右匀速移动，点为直线与线段的交点，连结，作轴于，交于，当点与点相遇时，和点同时停止运动，设运动时间为秒． 【构建联系】 （1）在整个运动过程中，当点落在线段上时，求的值； （2）在整个运动过程中，是否存在点，使是等腰三角形，若存在，求出的值；若不存在，说明理由； 【深入探究】 （3）在整个运动过程中，设与重叠部分的面积为S，请直接写出S与的函数关系式（不用写自变量的取值范围）． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·江西·模拟预测）综合与实践 【初步感知】 如图1，在边长为4的菱形中， ，E，F分别是的中点，连接，将绕点A顺时针旋转 （1）的长为 ； 【知识应用】 （2）如图2，当 时，设与的交点为H，的长为x， 的面积为y．求y与x的函数表达式； 【知识应用】 （3）如图3，连接． ①求的最大值； ②当点B，D，E构成的三角形是直角三角形时，直接写出的长． 变式2（2024·黑龙江绥化·中考真题）综合与实践 问题情境 在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象． 纸片和满足，． 下面是创新小组的探究过程． 操作发现 （1）如图1，取的中点，将两张纸片放置在同一平面内，使点与点重合．当旋转纸片交边于点、交边于点时，设，，请你探究出与的函数关系式，并写出解答过程． 问题解决 （2）如图2，在（1）的条件下连接，发现的周长是一个定值．请你写出这个定值，并说明理由． 拓展延伸 （3）如图3，当点在边上运动（不包括端点、），且始终保持．请你直接写出纸片的斜边与纸片的直角边所夹锐角的正切值______（结果保留根号）．    ◇测能力 1．（2025·福建宁德·二模）（1）性质发现 如图1，已知点是线段上一点，分别以，为边作等腰直角三角形和等腰直角三角形，．连接，的中点为，连接，．不难发现：线段与之间的数量关系为______；位置关系为______． （2）拓展探究 将图1中的绕点旋转任意角度，则线段，之间的关系是否仍然成立？若成立，请利用图2（或自己画一个一般化的图形）进行证明；若不成立，请画一个反例说明． （注：如果你无法利用图2（或自己画图）证明结论的一般性，也可以画一个特殊位置的图形或直接利用图1进行证明，这种证明方式适当给分） （3）问题解决 若，，则在绕点的旋转过程中，当是等腰三角形时，求的值． 2．（2025·内蒙古通辽·三模）（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点分别在边上，于点，点分别在边上，．求证：； （2）类比探究：如图（2），在矩形中，（k为常数）．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，当时，若， ，求的长． 3．（2025·山西太原·二模）综合与探究 【问题情境】 如图1，在正方形中，，点E，F分别为，边的中点，连接，交于点M，交对角线于点N． 【猜想验证】 （1）猜想与有怎样的数量关系，并加以证明． 【深入探索】 （2）将线段绕点C顺时针旋转得到线段，点E的对应点为点Q，连接，如图2．请判断四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）连接，如图3，请直接写出的长． 4．（2025·河南驻马店·三模）小明同学在进行四边形大单元整合知识时，试图用“特殊到一般”的思想方法研究四边形的边长与对角线的关系，下面是他的探究过程． 【观察发现】 （1）如图，正方形的对角线长为m，则______（用含m的代数式表示）； 【操作探究1】 （2）如图，菱形的对角线长为m，长为n，则______（用含m，n 的代数式表示）； 【操作探究2】 （3）如图，在中，对角线长为m，长为n，猜想的值并说明理由（用含m，n的代数式表示）； 【拓展应用】 （4）在（3）的条件下，设与交于点O，若，，M为边上一点（不含点B），连接，将沿折叠，点B的对应点为点，当点落在边上时，请直接写出的长． 5．（2025·河南商丘·一模）《矩形的折叠》探究课上，刘老师让同学们裁出一个矩形纸片，且，，点P为上一个动点，研究以直线为对称轴折叠矩形．并作以下操作，供同学们探究发现： 【问题提出】如图1，点E，F分别为，的中点，若Q点与点A重合，点D的对应点为点M，当点M落在上时，展开纸片，连接交折线于点O，则与的位置关系为______，与的数量关系为______； 【再次探究】如图2，若点Q在上，点D的对应点为点M，点A的对应点为点N，若点M始终落在上，展开纸片，连接交折线于点O，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】如图3，若点Q在上，点D的对应点为点，若点始终落在上，直接写出的取值范围． 6．（2025·河南郑州·三模）【操作发现】 （1）如图（1），在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形的四个顶点均在格点上．    请按要求作图：①作关于线段的垂直平分线的轴对称图形； ②在所画的图形中， ． 【问题解决】 （2）如图（2），在四边形中，，求四边形的面积． 【拓展延伸】 （3）如图（3），在中，．直线为的垂直平分线，点为直线上一动点，连接．当为直角三角形时，直接写出的长． 7．（2025·山西晋中·一模）综合与探究 问题情境： 如图1，四边形是矩形，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点，连接． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： （2）创新小组在解决了上述问题后，继续将矩形沿所在直线折叠，使点，分别落在，边上的点，处，交于点，展开铺平．将绕点逆时针方向旋转，得到，点，的对应点分别为，，如图，连接，．试探究线段，之间的数量关系，并说明理由．问题解决： （3）在的条件下，若，，在旋转的过程中，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的面积． 8．（2026·江西·模拟预测）【猜想探究】 如图1．在中，D、E分别为的中点，连接： 操作1．将绕点E按顺时针方向旋转到的位置． 操作2．延长到点F，使，连接． 试探究与有怎样的位置关系和数量关系？ （1）请结合操作1或操作2的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理， ． 【结论应用】 （2）如图2，四边形中，对角线相交于点O，四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次连接，得到四边形．若，，，求四边形的面积．    【问题解决】 （3）如图3所示，在一个四边形的草坪上修一条小路，其中点P和点Q分别为边和边的中点，且，，，求小路的长度．    9．（2026·陕西西安·一模）问题探究： (1)如图①，在中，，过点作直线，再分别过点、作于，于．则图中的相似三角形是_________； (2)如图②，在矩形中，，，点是边上的动点，连接，过点作交于点，在点的运动过程中，求的最大值？ (3)问题解决：如图③，某科创园区正在搭建一个沉浸式户外投影秀场，场地为一块五边形的数字艺术画布，经测绘，米，米，米，，．为了实现动态光影效果，技术人员在画布的、边设置了可移动激光点、，沿虚拟折叠后，点的虚拟投影点恰好落在预设光路上，延长交于．为了让核心投影区域（四边形）的视觉效果最佳，需要其面积最大．求此时折痕的长度． 10．（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． 【特例感知】 （1）如图1，当时，点在延长线上，求证：； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图2，当时，点在边上，若，求的值．（用含的代数式表示） 11．（2025·贵州·中考真题）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 12．（2025·青海西宁·中考真题）综合与实践 【问题提出】 原题呈现（人教版九年级下册85页第14题） 如图1，在锐角中，探究，，之间的关系． 【问题探究】 将下列探究过程补充完整： （1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． 在中，，   ∴， 在中，，   ∴， ∴，即， 同理，在中，_____， 在中，_____， ∴___________， 即， ∴； 【结论应用】 （2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．） 【深度探究】 （3）如图3，是锐角的外接圆，半径为． 求证：． 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________． ◇提能力 1．（2025·辽宁锦州·二模）图形的平移、旋转、轴对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解轴对称的本质，某校《几何原本》社团在一次活动中，以正方形折叠为素材从轴对称的角度进行了如下探究： 在正方形中，为边的中点，为上的两个动点（点在点的左侧），将沿折叠得到，使点的对应点落在线段上． 【初步探究】 （1）如图1，若点在边上， ①探究线段和线段之间的关系，并说明理由； ②连接，当时，求的长； 【拓展应用】 （2）如图2，若点，在射线上，连接，过点作交于点，连接，若，求的面积． 2．（2025·陕西渭南·模拟预测）【问题提出】 （1）如图①，在中，，，，以为直径作，点是内部的一个动点，且满足，则线段的最小值为___________； （2）如图②，是等边与的公共边，且，．点是等边内部一点，且满足，求线段的最小值； 【问题解决】 （3）如图③是某生态公园的部分示意图，正方形是一块绿地，经测量，．政府计划对该绿地及周边区域进行重新规划利用，在射线上取一点，沿，修两条小路，并在小路上取点，将段修建为供游客休息的走廊（走廊宽度忽略不计）．根据设计要求，，为了节省铺设成本，要求供游客休息的走廊的长度尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由． 3．（2025·广东茂名·模拟预测）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知等腰直角三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，纸片绕点逆时针旋转，连接，，证明：平分； 【深入探究】 （2）在（1）条件下，如图2，延长交于，求的长； 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 4．（2025·广西柳州·三模）实践与探究 杨老师在教学过程中特别重视教材的运用，下面是他以教材课后习题为载体，引导学生进行数学实践操作与拓展探究． 【教材再现】人教版九年级上册数学课本第70页“综合运用”第6题： 已知，能否通过平移、轴对称或旋转，得到另一个三角形，使得这两个三角形能够拼成一个以，为邻边的平行四边形？ 【实践操作】 （1）如图1，航天小组同学将绕中点______（填“平移”或“轴对称”或“旋转”）得，就可拼成一个以，为邻边的平行四边形． 【特例探究】 （2）航天小组同学继续探索，若是直角三角形，，，，在（1）的基础上，将绕点C顺时针旋转得到，探索中发现： ①当D，B，点共线时，连接（如图2），四边形是个特殊的四边形，请你判断四边形的形状，并证明你的结论． ②当旋转角度是时，设与交于点E（如图3），求的面积． ③当B，，三点构成直角三角形时，请直接写出线段的长度． 5．（2025·海南·模拟预测）如图，在矩形中，（为大于0的常数），点是对角线上一动点（不与重合），将射线绕点逆时针旋转与射线交于点，连接． (1)特例发现：如图1，当时，探究：点在移动过程中，的大小是否发生改变，请说明理由； (2)类比探究：如图2，若，当的值确定时，请探究的大小是否会随着点的移动而发生变化，并说明理由； (3)拓展应用：当时，如图2，连接，若，若，，，求的长． 6．（2026·山东滨州·一模）【教材再现】 （1）如图①，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且．求证：，． 【纵向探变】 （2）如图②，在矩形中，，，是边上一点，将沿折叠得到，延长和相交于点．若，求的长． 【横向拓展】 （3）保持（2）中，的大小不变，扭动矩形，使得，如图③所示．是边上一点且满足，点是延长线上一点，连接交射线于点，当线段与射线所夹的锐角为时，直接写出·的值． 7．（2026·陕西宝鸡·一模）【问题探究】 （）如图，四边形为矩形，点为边上的一点，连接，过作交边于点，若，，则的值为___________； （）如图，在正方形中，、分别是边、上的点，连接，过点作交边于点，求证：； 【问题解决】 （）如图，矩形是某植物园规划的一个花圃，点处有一个凉亭，现要在、边上分别设立游客服务中心、，沿、修建两条互相垂直的普通小路，再沿和铺设两条石板小路，为节约铺设石板小路的费用，要求与的长度之和尽可能的小，已知，米，请你帮助植物园规划人员求出两条石板小路长度之和（）的最小值．（凉亭、游客服务中心的大小、所有小路的宽度均忽略不计） 8．（2025·江苏无锡·中考真题）【数学发现】 某校数学兴趣小组进行了如下探究：以内部任意一点为中心，画出与成中心对称的．当点处于不同位置时，从“形”的角度发现两个三角形的重叠部分只可能有两种情况：如图1所示的平行四边形，如图2所示的有三组对边分别平行的六边形（称为“平行六边形”）；从“数”的角度发现两个三角形重叠部分的面积在不断变化． 【问题解决】 组员小明选择面积为1的，以其内部任意一点为中心，画出与之成中心对称的，探究了下列问题，请你帮他解答． (1)如图3，，当点关于点的对称点落在边上时，两个三角形重叠部分为． ①若，求的长；（请直接写出答案） ②若的面积为，求的长． (2)如图4，点为的中点，点在上，若两个三角形的重叠部分为“平行六边形”，求“平行六边形”面积的最大值，并指出此时点的位置． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04 探究、实践与拓展延伸 目 录 第一部分 考情精析锁定靶心高效备考 第二部分重难考点深解深度溯源扫清盲区 【考点01】代数类重难点考点 【考点02】几何类重难点考点 【考点03】综合类重难点考点 第三部分解题思维优化典例精析+方法提炼+变式巩固 【题型01】二次函数与几何综合题 【题型02】几何动态探究题 【题型03】圆综合探究题 【题型04】新定义探究题 第四部分重难攻坚 攻克重难点 【重难01】解决实际问题探究 【重难02】动手操作类探究 【重难03】几何图形与函数性质综合 第五部分练测提能 效果及时检测 【测能力】→【提能力】 01 考情精析 新课标中将部分数与量的内容从数与代数领域中分离出来，纳入综合与实践领 域，此领域更加注重学生在实际情境和真实问题中的学习，注重提升学生综合运 核心考向聚焦 用各学科知识和方法解决问题的能力，从而使学生感悟数学与日常学习、生活、 科技等方面的密切联系，积累活动经验，在知识和方法的运用中形成和发展核心 素养。 必备关键能力 信息提取能力：长文字、多图表中抓关键条件与限制。 关键能力与思维瓶颈 数学建模能力：实际问题一方程/函数/不等式/几何模型。 逻辑推理能力：步步有据，不跳步、不漏解。 1/185 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分类讨论能力：动态、含参、位置不确定时全面分析。 转化化归能力：陌生问题→熟悉模型、复杂图形→基本图形。 典型思维瓶颈 审题断层：忽略定义域、整数解、点在图形上/外等限制。 数形脱节：只会算不会看图，或只会看不会列式。 分类不全：动态问题只考虑一种情况，漏解严重。 模型固化：只会套模板，情境一变就不会拆解。 书写失分：步骤不规范，推理不严谨，过程分丢失。 2026命题前瞻 素养导向：重思维、轻套路，反机械刷题。 情境真实：生活、科技、传统文化、社会热点入题。 开放探究：结论开放、策略开放，鼓励多角度思考。 跨模块融合：代数+几何+统计综合，不考单一知识点。 重过程表达：评分向“思路、推理、规范”倾斜。 命题前瞻与备考策略 高效备考策略 回归教材：所有压轴题都源于教材例题、习题变式。 专题突破：按函数、几何、新定义、规律四大专题集中训练。 思维可视化：画图、标条件、写思路，不空想。 限时训练：把控10-15分钟一道压轴题的节奏。 错题归因：按“概念/计算/策略/阅读/书写”分类复盘。 02 重难考点深解 ◇考点01代数类重难点考点 二次函数核心考点：解析式求解（一般式、顶点式、交点式）、顶点坐标与对称轴、最值计算、含参二次 函数的取值范围、二次函数与坐标轴的交点问题。 方程与函数综合考点：一次函数与二次函数的交点、反比例函数与几何图形的面积关联、方程（组）与函 数的联动求解（含参讨论）。 代数规律考点：数式规律、数列规律、代数式递推规律，侧重“特殊→一般”的归纳推理 ◇考点02几何类重难点考点 2/185 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 几何动态考点：动点（单点、双动点）、动线、图形折叠/旋转/平移，核心考查动态过程中的不变量（边 长、角度、全等/相似关系)。 几何图形综合考点：三角形（全等、相似）、四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）与圆的综合， 切线证明、圆周角定理应用、隐圆模型（定点定长、定角对定边）。 几何最值考点：线段最值（将军饮马、胡不归）、角度最值、图形面积最值，核心关联几何性质与函数最 值 ◇考点03综合类重难点考点 新定义/阅读理解考点：现场学习新规则、新图形、新运算，即时迁移应用，考查信息提取和逻辑转化能 力。 实际应用建模考点：结合生活、科技、传统文化情境，将实际问题转化为数学模型（函数、方程、几何图 形)，考查建模能力和决策判断能力。 03 解题思维优化 ◇题型01二次函数与几何综合题 方1法提练 核心步骤：先求二次函数解析式（优先用顶点式、交点式，简化计算）→标关键点（顶点、交点、对 称轴)→结合几何图形，用坐标表示线段长度→列方程（或函数）求解。 易错点突破：①含参二次函数分类讨论（按开口方向、对称轴位置分类）；②存在性问题漏解（如等 I腰三角形分三种情况：AB=AC、AB=BC、AC=BC);③面积计算漏用割补法（复杂图形转化为几个简单图 形的面积和/差)。 典|例|精|析 典例1(2025黑龙江齐齐哈尔三模)综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-】x+br+c(a≠0)与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),D是 2 抛物线顶点 D GH 图① 图② 3/185 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的解析式并直接写出点D的坐标； (②)若M是第一象限内抛物线上的任意一点. ①过点M作ME∥y轴，过点D作DE∥x轴，则 DE ②连接4M,交BC于点N,连接M,记△BMN的面积为SABN的面积为S,求8的最大值； S ③)如图②，GH为x轴上一条定线段且G别=？，则CG+G班+HD的最小值为 【答案10=+x+2D1,2) 3 2 ®0，@受有最大值为名 1+52 22 【详解】（1)解：抛物线y=-x+bx+c(a≠0)与x轴交于点A-10,B(3,0), 2 ×(-1)-b+c=0 1 ×32+3b+c=0 2 b=1 解得： 3 C= 抛物线的解析式为： y=- 顶点D的坐标为(1,2)； 1 3 (2)解：①设点M的坐标为m,-亏m+m+ ME∥y轴，DE∥x轴， E点的坐标为(m,2), =2(nm+引 m2-m+ 11 m-1), 22 DE2=(m-1), .ME(m-l) 1； DE (m-1)P2 ②如图，作MP∥y轴，AQ∥y轴，分别交直线BC于点P和点Q, 4/185 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 R 0 则MP∥AQ, MN MP ANAO' 根据同高不同底，得 SMIN S,AN' SMP 把x=0代入y= 2得：y= 3, 。3 c02 设直线BC的解析式为：y=a+ 2 把B3,0)代入得：3欢+3=0， 2 1 解得：k= 2' 1 ∴直线BC的解析式为：y=- ,3 2x+2 把x=-1代入y=-x+3 2+2得：y=2, 0(-1,2), AQ=2, 设Mm,-2m+m了 则Pm 2) 23 P=- 3131 3 二m+m+ -m+ m+-m, 222厂2 2 1 3 -m-+二m 2 2 S 2 1 3 =--m°+-m 4 4 1.329 m 4 216 5/185 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4<0,0<m<3, 当m时，有最大值 S 16 (3)解：作点D关于x轴的对称点DL,-2引，连接DH,过点c作CC∥x轴，且CC=Gm-,连接 CH,CD,如图所示： C B D 根据作图可知：DH=DH, CC'∥GH,CC=GH, 四边形CCHG为平行四边形， ∴CH=CG, ..CG+HD=C'H+D'H, 两点之间线段最短， 当C'、H、D在同一直线上时，C'H+DH最小，即CG+HD最小， GH=为定值， 当CG+HD最小时，CG+GH+HD最小， c D'(1,-2), CC+GH+HD的最小值为}+5V2 22 典例2(2025江西抚州模拟预测)综合与实践 6/185 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 11 10 ￥9 87 L, -44 13 -1 432-11234x 图1 图2 图3 图4 特例感知 (1)如图1，在等腰直角△ABC中，D为斜边AB的中点，P是斜边AB上一动点，过点P分别作AC与 BC的垂线，垂足分别为E,F,连接DE,DF,则DE,DF的关系是 类比迁移 (2)如图2，在等腰直角△ABC中，D为斜边AB的中点，P是斜边AB延长线上一动点，过点P分别AC 与BC的垂线，垂足分别为E,F,连接DE,DF,EF,求证：△DEF是等腰直角三角形 拓展应用 (3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A,B的坐标分别为(-2,0)，(0,2)，C是AB的中点，P是射 线AB上一动点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为F,D,连接DC,FC,DF,点E与点C 关于DF对称，连接DE,EF, ①当点P在线段AB上运动时，请判断点E是否在一条直线上运动.若在，请直接写出这条直线的解析 式；若不在，请说明理由 ②设点F的横坐标为x,四边形CDEF的面积为y,求y与x的函数解析式，并在如图4所示的平面直角 坐标系中画出该函数的图象， 【详解】解：(I)DE=DF,DE⊥DF;理由如下： 如图，连接CD, B D E 在等腰直角△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°，D为斜边AB的中点， CD=AD=BD,CD⊥AB,∠A=B=45°=∠ACD=∠BCD, 过点P分别作AC与BC的垂线，垂足分别为E,F, 7/185 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠PFC=∠PEC=90°=∠ACB,∠BPF=∠B=45°， 四边形PECF是矩形，BF=PF, ..PF=CE,PE=CF, ..CE=BF, △DEC≌△DFB, DE=DF,∠BDF=∠CDE, ·∠EDF=∠EDC+∠CDF=∠CDF+∠BDF=∠CDB=90°， DE⊥DF; (2)如图，连接CD, F B D C E 在等腰直角△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°，D为斜边AB的中点， CD=AD=BD,CD⊥AB,∠A=∠ABC=45°=∠ACD=∠BCD, ∠FBP=45°， 过点P分别作AC与BC的垂线， ·∠PFC=∠PEC=90°=∠ACB=∠FCE,∠BPF=∠PBF=45°， :四边形PECF是矩形，BF=PF, .PF=CE,PE=CF, ..CE=BF △DEC≌ADFB, DE=DF,∠BDF=∠CDE, ∴∠EDF=∠EDB+∠BDF=∠EDB+∠CDE=∠CDB=9O°， DE⊥DF; ADEF是等腰直角三角形： (3)①如图，连接OC,过C,E分别作x轴的垂线，垂足分别为G,H, 8/185 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A oH衣 ~点A,B的坐标分别为(-2,0)，(0,2)，C是AB的中点， :C(-1,1),△ABO为等腰直角三角形 同理可得：CF=CD,CF⊥CD,∠CDF=∠CFD=45°， 点E与点C关于DF对称， ∴.CD=ED,CF=EF,∠DEF=90°，∠EDF=∠EFD=45°， .∠CFE=90°， ∠CGF=∠EHF=90°， ∠CFG=90°-∠EFH=∠FEH, △CGF≌△FHE, .CG=FH=1,GF=EH, 点A,B的坐标分别为(-2,0)，(0,2)， 设直线AB为：y=+2, -2k+2=0,解得：k=1, 直线AB为：y=x+2, 设F(x,0),则P(x,x+2), .PD=-x,PF=x+2, 同理可得：BD=PD=OF=-x, OH=FH-OF=1-(-x)=1+x,GF=OG-OF=1-(-x)=1+x, …E(1+x,1+x), E在直线y=x上； ②由①得：当P在线段AB上，P(x,x+2),F(x,0),E(1+x,1+x), 四边形CDEF的面积为y=EF2=(1+x-x)+(1+x)=(1+x)+1, 如图，当P在线段AB延长线或线段BA的延长线上，同理可得：E(1+x,1+x),而F(x,O), 四边形CDEF的面积为y=EF2=(1+x-x)+(1+x)=(1+x)+1, 9/185 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上：四边形CDEF的面积为y=EF2=(1+x-x)+(1+x)=(1+x)+1, 如图，描点画图如下： 0 6 3 432-1T1234x 变|式「巩|固 变式](2026广东中山模拟预测)学校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个 有趣现象：如图，直线1：y=-x+2与抛物线交于A、B两点.点P为抛物线y=x2-4x+2上的动点，过点 P且平行于y轴的直线交直线1于点E,当点P在直线y=-x+2下方时，连接AP、BP得到△4PB,当 △4PB面积最大时，点P在什么位置？ y=x2-4x+2 -2 y=-x+2 (1)数学兴趣小组成员很快就求出点P的坐标，请你也求出点P的坐标. (②)机智的小涛同学通过计算发现，当△4PB面积最大时，点E与线段AB有特殊的位置关系，请你写出小 涛的结论. (3)爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当△4PB面积取最大值时，动点 P的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论， 10/185