周周练07 21.3 特殊的平行四边形（数学新教材人教版八年级下册）

2025-2026学年八年级下学期数学周周练07 21.3 特殊的平行四边形综合训练 （时间：60分钟 满分：100分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列说法： ①对角线互相垂直的平行四边形是正方形； ②一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形； ④矩形、菱形都具有“对角线相等”的性质； ⑤对角线平分一组对角的平行四边形是菱形． 其中正确的说法有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，但不一定是正方形，可判断①错误；一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，可判断②错误；在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠C，连接BD，则∠ABD＝∠CDB，而BD＝DB，可根据“AAS”证明△ABD≌△CDB，得AB＝CD，则四边形ABCD是平行四边形，可知一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，可判断③正确；矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，可判断④错误；在▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC、∠ADC，由∠ABD＝∠CDB，∠ABD＝∠CBD，推导出∠CDB＝∠CBD，则CB＝CD，所以▱ABCD是菱形，可知对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，可判断⑤正确，于是得到问题的答案． 【解答】解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，但不一定是正方形， 故①错误； ∵一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形， ∴一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形， 故②错误； 如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠C， 连接BD，则∠ABD＝∠CDB， 在△ABD和△CDB中， ， ∴△ABD≌△CDB（AAS）， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形， 故③正确； ∵矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等， ∴矩形、菱形并不是都具有“对角线相等”的性质， 故④错误； 如图2，在▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC、∠ADC， ∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDB， ∵∠ABD＝∠CBD， ∴∠CDB＝∠CBD， ∴CB＝CD， ∴▱ABCD是菱形， ∴对角线平分一组对角的平行四边形是菱形， 故⑤正确， 故选：A． 2．（3分）已知正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B（4，0），则点A的坐标为（　　） A．（﹣2，2） B．（2，﹣2） C． D． 【分析】连接AC交OB于点D，根据正方形，AC⊥OB，OD＝BDOB＝2，AD＝CDAC＝2，由此即可得出点A的坐标． 【解答】解：连接AC交OB于点D，如图所示： ∵四边形OABC是正方形， ∴AC＝OB，AC⊥OB，OD＝BD＝1/2OB，AD＝CD＝1/2AC， ∵点B（4，0）， ∴OB＝4， ∴AC＝OB＝4， ∴OD＝BDOB＝2，AD＝CDAC＝2， ∴点A的坐标为（2，﹣2）． 故选：B． 3．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，CE⊥BD，且∠BCE：∠DCE＝2：1，则∠ACE为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【分析】则∠BCD＝90°，OD＝OC，根据∠BCE：∠DCE＝2：1，求出∠DCE＝30°，根据题意，则∠DEC＝90°，求出∠EDC，得到△ODC是等边三角形，即可求出∠ACE． 【解答】解：∵在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BCE：∠DCE＝2：1， ∴∠BCD＝90°，AC＝BD，OD＝OC，∠BCE＝2∠DCE， ∴∠BCE+∠DCE＝2∠DCE+∠DCE＝90°， ∴∠DCE＝30°， ∵CE⊥BD， ∴∠DEC＝90°， ∴∠EDC＝60°， ∴△ODC是等边三角形， ∴∠DCO＝60°，∠DCE＝∠OCE， ∵∠ACE+∠DCE＝60°， ∴∠ACE＝30°． 故选：C． 4．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（　　） A．4 B．4 C．8 D．8 【分析】在Rt△BDH中先求得BD的长，根据菱形面积公式求得AC长，再根据勾股定理求得CD长． 【解答】解：∵DH⊥AB， ∴∠BHD＝90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，OC＝OA，AC⊥BD， ∴OH＝OB＝OD（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半）， ∴OD＝4，BD＝8， 由得， 32， ∴AC＝8， ∴OC4， ∴CD8， 故选C． 5．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F．求PE+PF的值为（　　） A． B．2.5 C． D． 【分析】连接OP，勾股定理求出BD的长，等积法求出PE+PF的值即可． 【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4， ∴，， ∴， 连接OP， ∵过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F， ∴， ∴； 故选：C． 6．（3分）如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点．下列说法中不正确的是（　　） A．四边形EMFN一定是平行四边形 B．若AC⊥BD，则四边形EMFN是矩形 C．若AB＝CD，则四边形EMFN是菱形 D．若∠ABC+∠DCB＝90°，则四边形EMFN是矩形 【分析】根据中位线的性质得出，，即可判断A，C，根据平行线的性质以及三角形的外角的性质得出∠ENF＝90°，即可判断D选项，B选项条件不能得出四边形EMFN是矩形，即可求解． 【解答】解：∵点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点， ∴，， ∴四边形EMFN一定是平行四边形，故A正确，不符合题意； 若AC⊥BD，不能得出四边形EMFN是矩形，故B不正确，符合题意； 若AB＝CD，则EN＝NF＝FM＝ME，则四边形EMFN是菱形，故C正确，不符合题意； ∵NF∥CD， ∴∠NFB＝∠BCD， ∵EN∥AB， ∴∠END＝∠ABD， ∵∠DNF＝∠DBC+∠NFB， 若∠ABC+∠DCB＝90°， ∴∠END+∠DNF＝∠ABD+∠DBC+∠BCD＝∠ABC+∠DCB＝90°， 即∠ENF＝90°，则四边形EMFN是矩形，故D正确，不符合题意； 故选：B． 7．（3分）如图，有三个全等的菱形构成的木制活动衣帽架，若B，M之间的距离为30cm，上下两排挂钩A，C之间的距离为24cm，则制作这样一个活动的衣帽架需要用的材料长度（衔接重叠处材料不计）是（　　） A．13cm B．39cm C．52cm D．156cm 【分析】根据菱形的性质可求，，根据勾股定理求出AB长解题即可． 【解答】解：连接BM，AC交于点O， ∴BD＝10cm， ∵ABCD是菱形，B，M之间的距离为30cm，上下两排挂钩A，C之间的距离为24cm， ∴，，∠AOB＝90°， ∴， ∴制作这样一个活动的衣帽架需要用的材料长度是13×12＝156（cm）， 故选：D． 8．（3分）如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC＝4，CE＝2，H是AF的中点，那么CH的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AC、CF，如图，根据正方形的性质得∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，，，则∠ACF＝45°+45°＝90°，再利用勾股定理计算出，然后根据直角三角形斜边上的中线求CH的长． 【解答】解：连接AC、CF，如图， ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，BC＝4，CE＝2， ∴∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，，， ∴∠ACF＝45°+45°＝90°， 在Rt△ACF中，， ∵H是AF的中点， ∴． 故选：A． 9．（3分）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于点E、F，连接PB、PD．若图中阴影部分的面积为8，则AE•PF的值为（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 【分析】由矩形的性质可证明S△PEB＝S△PFD＝4，根据三角形的面积公式即可求解． 【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N． 则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN，四边形AEFD都是矩形， ∴AE＝DF，S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN， ∴S四边形DFPM＝S四边形PEBN， ∴S△DFP＝S△PBE， ∵S阴影＝S△DFP+S△BEP＝8， ∴S△DFP＝4，即， ∴AE•PF＝8． 故选：B． 10．（3分）如图，已知在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，E、F分别是射线AB和BC上的两个点，∠EDF＝60°，以下结论：①BE＝CF；②△DEF是等边三角形；③BE+DF＝AD；④AB＝4，AE＝m，若0≤m≤4，则△BEF面积的最大值为．其中正确的个数有（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】①连接BD构造全等三角形△ADE≌△BDF，得到AE＝BF，DE＝DF，进而可得BE＝FC，△DEF是等边三角形，①、②正确；用反证法可知③错误；根据题意可知，四边形BEDF的面积等于S△ADB，则当DE⊥AB时，S△DEF可取得最小值，S△BEF取得最大值，根据等边三角形性质分别求出此时的S△ADB，S△DEF，进而求出S△BEF． 【解答】解：如图，四边形ABCD为菱形，∠ADC＝120°，连接BD． ∴AB＝AD，∠BDA＝∠DBC＝60°， ∴△ADB是等边三角形， ∴∠ADE+∠EDB＝60°， ∵∠EDF＝60°， ∴∠EDB+∠FDB＝60°， ∴∠ADE＝∠FDB， 在△ADE和△BDF中， ， ∴△ADE≌△BDF（ASA）， ∴AE＝BF， ∵AB﹣AE＝BC﹣BF， ∴BE＝FC， ∴结论①正确，符合题意； ∴DE＝DF，△DEF为等边三角形， ∴结论②正确，符合题意； ∴BE+DF＝FC+DF＞CD，则BE+DF＞AD， ∴结论③不正确，不符合题意； ∵S△ADB＝S△ADE+S△EDB， ∴S△ADB＝S△BDF+S△EDB＝S△DEF+S△BEF， 可知当S△DEF取得最小值，S△BEF取得最大值， 设等边三角形边长为a，可知其高为，面积为， ∵△DEF为等边三角形，其面积会随边长变化而变化， ∴当DE⊥AB，DE取得最小值，则S△DEF取得最小值， ∵AB＝4， ∴此时，，， ∴， ∴结论④正确，符合题意， 综上，正确的结论是①②④，共3个． 故选：B． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示的菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝8cm，接着活动学具成为图2所示的正方形，则图2中正方形对角线AC的长为　　 cm． 【分析】如图1，图2中，连接AC．在图1中，证△ABC是等边三角形，得出AB＝BC＝AC＝8cm．在图2中，由勾股定理求出AC即可． 【解答】解：如图1，图2中，连接AC． 图1中，∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝8cm， 在图2中，∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠B＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：ACAB＝8（cm）， 故答案为：． 12．（3分）如图，AC是正方形ABCD的对角线，延长CD至点M，连接AM，若∠CAM＝67.5°，CM＝2，则AD的长为　　 ． 【分析】根据正方形的性质得到∠ACD＝45°，∠ADC＝90°，AD＝CD，根据三角形内角和定理求出∠M＝67.5°，根据等角对等边得到AC＝CM＝2，根据勾股定理求解即可． 【解答】解：∵AC是正方形ABCD的对角线， ∴∠ACD＝45°，∠ADC＝90°，AD＝CD， ∴∠M＝180°﹣∠CAM﹣∠ACD＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°， 即AC＝CM＝2， ∵AD2+CD2＝AD2+AD2＝2AD2＝AC2＝4， ∴（负值舍去）． 故答案为：． 13．（3分）如图，两张宽度均为2cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为30°，则重叠部分构成的四边形ABCD的周长为 　16　 cm． 【分析】过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，易知四边形ABCD为平行四边形，AE＝AF＝2cm，∠ADF＝∠ABE＝30°，可证△ADF≌△ABE（AAS），得到AD＝AB，可证四边形ABCD为菱形．在Rt△ADF中，AD＝4，因此四边形ABCD的周长为：4×4＝16cm． 【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， ∵两张纸条宽度均为2cm， ∴四边形ABCD为平行四边形，且AE＝AF＝2cm， ∴∠ADF＝∠ABE＝60°， ∴△ADF≌△ABE（AAS）， ∴AD＝AB， ∴四边形ABCD为菱形， 在Rt△ADF中，∠ADF＝30°，AF＝2cm， ∴AD＝4， 四边形ABCD的周长为：4×4＝16（cm）． 故答案为：16． 14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，CD是△ABC的中线，E是CD的中点，连接AE，BE，若AE⊥BE，垂足为E，则AC的长为 　　 ． 【分析】根据垂直定义可得∠AEB＝90°，利用直角三角形斜边上的中线性质可得，AE＝DE＝CE＝2，从而得到CD＝4，最后利用勾股定理进行计算即可解答． 【解答】解：∵AE⊥BE， ∴∠AEB＝90°， ∵CD是△ABC的中线，AB＝4， ∴DE是△ABE斜边上的中线， ∴， ∵∠DAC＝90°，E是CD的中点， ∴AE＝DE＝CE＝2， ∴CD＝4， 由勾股定理得． 故答案为：． 15．（3分）如图，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上一点，且BP＝CD，点Q为边BC上一点，联结AP、PQ，已知AP＝PQ，那么的值是　　 ． 【分析】由正方形的性质可得AB＝AD＝CD＝BC，∠ADB＝∠CBD＝∠BDC＝45°，∠BAD＝90°，证明△ADP≌△CDP（SAS），得到AP＝CP，证明PQ＝PC，得到∠PQC＝∠PCQ；证明BP＝DA＝AB＝BC，得到∠BPA＝67.5°，∠BCP＝67.5°，则可证明∠APD＝∠PQB，再证明△ADP≌△PBQ（AAS），得到BQ＝DP，由勾股定理得BD，则BQ＝DP＝BD﹣BP，据此可得答案． 【解答】解：如图，四边形ABCD是正方形，连接CP， ∴AB＝AD＝CD＝BC，∠ADB＝∠CBD＝∠BDC＝45°，∠BAD＝90°， 在△ADP和△CDP中， ， ∴△ADP≌△CDP（SAS）， ∴AP＝CP， ∵AP＝PQ， ∴PQ＝PC， ∴∠PQC＝∠PCQ； ∵BP＝CD， ∴BP＝DA＝AB＝BC， ∴，， ∴∠PQC＝∠PCQ＝67.5°， ∴∠APD＝180°﹣∠BPA＝180°﹣67.5°＝112.5°，∠PQB＝180°﹣∠PQC＝180°﹣67.5°＝112.5°， ∴∠APD＝∠BQP， 在△ADP和△PBQ中， ， ∴△ADP≌△PBQ（AAS）， ∴BQ＝DP， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E为BC边的中点，点P在AD边上运动，F为BP的中点，当△BEF为等腰三角形时，AP的长为 　8﹣4或4或4　 ． 【分析】连接CP，由点E为BC的中点，点F为BP的中点，得EF∥CP，且EFCP，由矩形的性质得CD＝AB＝4，AD＝BC＝8，∠A＝∠D＝90°，则BE＝CE＝4，再分三种情况讨论，一是FE＝BE＝4，则CP＝2EF＝8，求得PD4，则AP＝8﹣4；二是EF＝BF，连接PE，可证明∠PBC＝∠PCB，则PB＝PC，所以PE⊥BC，则四边形ABEP是矩形，所以AP＝BE＝4；三是BF＝BE，可证明∠BPC＝∠BCP，则BP＝BC＝8，求得AP4，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接CP， ∵点E为BC的中点，点F为BP的中点， ∴EF∥CP，且EFCP， ∵四边形ABCDE是矩形，AB＝4，BC＝8， ∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝8，BE＝CEBC＝4，∠A＝∠D＝90°， 如图1，△BEF为等腰三角形，且FE＝BE＝4， ∴CP＝2EF＝8， ∴PD4， ∴AP＝AD﹣PD＝8﹣4； 如图2，△BEF为等腰三角形，且EF＝BF，连接PE， ∵∠FEB＝∠PBC，∠FEB＝∠PCB， ∴∠PBC＝∠PCB， ∴PB＝PC， ∴PE⊥BC， ∴∠PEB＝∠ABE＝∠A＝90°， ∴四边形ABEP是矩形， ∴AP＝BE＝4； 如图3，△BEF为等腰三角形，且BF＝BE， ∵∠BFE＝∠BPC，∠BEF＝∠BCP，且∠BFE＝∠BEF， ∴∠BPC＝∠BCP， ∴BP＝BC＝8， ∴AP4， 综上所述，AP的长为8﹣4或4或4， 故答案为：8﹣4或4或4． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF．BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由． 【分析】延长BE交DF于点G，由正方形的性质得BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°，而CE＝CF，即可根据“SAS”证明△BCE≌△DCF，得BE＝DF，∠CBE＝∠CDF，则∠BGD＝∠F+∠CBE＝∠F+∠CDF＝90°，所以BE⊥DF． 【解答】解：BE＝DF，且BE⊥DF， 理由：延长BE交DF于点G， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（SAS）， ∴BE＝DF，∠CBE＝∠CDF， ∴∠BGD＝∠F+∠CBE＝∠F+∠CDF＝90°， ∴BE⊥DF． 18．（6分）如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，DE．若CE＝CD，过点D作DF⊥CE于点F．求证：CF＝EB． 【分析】根据矩形的性质得出AB∥CD，∠B＝90°，进而利用AAS证明三角形全等解答即可． 【解答】证明：在矩形ABCD中，DF⊥CE于点F， ∴AB∥CD，∠B＝∠DCB＝90°，∠DFC＝90°， ∴∠DFC＝∠B，∠DCF＝∠CEB＝90°﹣∠ECB， 在△CFD与△EBC中， ， ∴△CFD≌△EBC（AAS）， ∴CF＝EB． 19．（6分）已知，如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点．求证： ①BM＝DM； ②MN⊥BD． 【分析】（1）连接BM、DM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM＝DMAC； （2）根据等腰三角形三线合一的性质证明即可． 【解答】（1）证明：如图，连接BM、DM， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点， ∴BM＝DMAC， ∴BM＝DM； （2）∵点N是BD的中点，BM＝DM， ∴MN⊥BD． 20．（8分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝6，BC＝12，请解答下列问题． （1）用无刻度的直尺和圆规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的基础上，连接AE，判定四边形AECD的形状，并说明理由； （3）连接AC，求AC的长． 【分析】（1）根据尺规作图的基本操作进行画图即可； （2）首先证明四边形AECD是平行四边形，再根据有一组临边相等的平行四边形是菱形得出结论； （3）由题意可得△DEC是等边三角形，△ADC是等腰三角形，进而可得∠BCD＝∠B＝60°，∠ADC＝120°，则∠ACB＝30°，∠BAC＝90°；在Rt△ABC中，利用勾股定理即可得出结论． 【解答】解：（1）如图，DE即为所求； （2）菱形，理由如下： 如图，连接AE， 由（1）知，DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DEC， ∴∠CDE＝∠DEC， ∴CD＝CE＝6， ∴AD＝CE＝6， ∴四边形AECD是平行四边形， ∵AD＝CD＝6， ∴平行四边形AECD是菱形； （3）由（2）知，BE＝CE＝6， ∴BE＝AD＝6， ∵AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴AB＝DE＝6＝CD＝CE，AB∥DE， ∴△CDE是等边三角形， ∴∠C＝∠DEC＝60°， ∴∠B＝∠DEC＝60°， ∵AD∥BC， ∴∠ADC＝120°， ∵AD＝CD， ∴∠DAC＝∠ACD＝30°， ∴∠ACB＝30°， ∴∠BAD＝90°， 在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AC＝6． 21．（8分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF． （1）求证BD＝CD； （2）①当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由． ②△ABC满足　∠BAC＝90°　 条件时，四边形AFBD是菱形（无需证明）． 【分析】（1）证明△AEF≌△DEC可得AF＝DC，再根据条件AF＝BD可利用等量代换可得BD＝CD； （2）①首先判定四边形AFBD为平行四边形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，进而可得四边形AFBD为矩形；②根据AFBD是平行四边形，再证邻边相等的平行四边形是菱形即可． 【解答】（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠ECD． ∵E是AD的中点， ∴DE＝AE， 在△AEF与△DEC中， ， ∴△AEF≌△DEC（AAS）， ∴AF＝DC， ∵AF＝BD， ∴BD＝CD； （2）解：①当AB＝AC时，四边形AFBD为矩形， 证明如下： ∵AF＝BD，AF∥BD， ∴四边形AFBD为平行四边形， ∵AB＝AC，BD＝DC， ∴AD⊥BC， ∴∠BDA＝90°， ∴四边形AFBD为矩形； ②当∠BAC＝90°时，四边形AFBD是菱形． 证明：由①知四边形AFBD是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，BD＝DC， ∴AD＝BD＝DC， ∴四边形AFBD是菱形． 22．（8分）阅读理解题．定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫做“和谐线”，该四边形叫做“和谐四边形”．如图，在四边形ABDC中，对角线BC平分∠ACD和∠ABD，那么对角线BC叫“和谐线”，四边形ABDC就称为“和谐四边形”． 问题： （1）下列四边形：①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形，其中是“和谐四边形”的有 　③④　 ；（填序号） （2）四边形ABCD是“和谐四边形”，，∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，求四边形ABCD“和谐线”的长．（画出图形并写出解答过程） 【分析】（1）由平行四边形及特殊的平行四边形的性质可知，平行四边形和矩形不是“和谐四边形”，根据全等三角形的性质可以证明菱形是“和谐四边形”，而正方形是特殊的菱形，所以正方形是“和谐四边形”； （2）分两种情况，一是AC为“和谐线”，则∠BAC＝∠DAC∠BAD＝30°，所以BCAC，由勾股定理得（3）2+（AC）2＝AC2，求出AC的长即可；二是BD为“和谐线”，作DE⊥AB于点E，可证明∠EDB＝∠EBD＝45°，∠ADE＝30°，则BE＝DEAE，所以AEAE＝3，求出AE的长，再求BE、DE的长，最后根据勾股定理求得BD的长． 【解答】解：（1）∵平行四边形和矩形的对角线不一定平分其对角， ∴平行四边形和矩形不是“和谐四边形”； 如图，菱形ABCD， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA， ∴菱形是“和谐四边形”， ∵正方形是特殊的菱形， ∴正方形是“和谐四边形”， 故答案为：③④． （2）如图2，AC是“和谐线”， ∵∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，AB＝3， ∴∠BAC＝∠DAC∠BAD＝30°， ∴BCAC， ∵AB2+BC2＝AC2， ∴（3）2+（AC）2＝AC2， ∴AC＝22； 如图3，BD是“和谐线”，作DE⊥AB于点E，则∠AED＝∠BED＝90°， ∵∠ABD＝∠CBD∠ABC＝45°， ∴∠EDB＝∠EBD＝45°， ∴BE＝DE， ∵∠ADE＝30°， ∴AD＝2AE， ∴BE＝DEAE， ∴AEAE＝3， ∴AE， ∴BE＝DE3， ∴BD3， 综上所述，四边形ABCD“和谐线”的长是22或3． 23．（10分）综合与实践 问题情境： 如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交直线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． 猜想证明： （1）求证：四边形DEFG是正方形． 解决问题： （2）求∠DCG的度数． （3）已知BC＝4，CF＝2，请直接写出CG的长． 【分析】（1）连接辅助线，由△DEN≌△FEM（ASA），得到ED＝EF，即可求解， （2）由△ADE≌△CDG（SAS），得到∠DAE＝∠DCG，即可求解， （3）由正方形EMCN，正方形ABCD，得到BM＝DN，由△DEN≌△FEM，得到FM＝DN，依次求出BM，FM，MC，EC，AC的长，由△ADE≌△CDG，得到AE＝CG，即可求解， 本题考查正方形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，解题关键是：连接辅助线构造全等三角形． 【解答】（1）证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点， ∵正方形ABCD， ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC， ∴四边形EMCN为正方形， ∵四边形DEFG是矩形， ∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90° ∴∠DEN＝∠MEF， 又∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF， ∴矩形DEFG为正方形， （2）解：∵矩形DEFG为正方形， ∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90° ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴∠DAE＝∠DCG＝45°， （3）解：①当F在BC上时， ∵正方形EMCN，正方形ABCD， ∴BC＝DC，MC＝NC， ∴BC﹣MC＝DC﹣NC，即：BM＝DN， ∵△DEN≌△FEM， ∴FM＝DN， ∴， ∴MC＝MF+FC＝1+2＝3， ∴，， ∵△ADE≌△CDG， ∴； ②当F在BC延长线上时，如图： 同理可得，△EFM≌△EDN，CM＝CN＝EM＝EN，AE＝CG， ∴BM＝FM（BC+CF）＝3， ∴CM＝1， ∴CE， ∴AE＝43， ∴CG＝3； 综上所述，AE或3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期数学周周练07 21.3 特殊的平行四边形综合训练 （时间：60分钟 满分：100分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列说法： ①对角线互相垂直的平行四边形是正方形； ②一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形； ④矩形、菱形都具有“对角线相等”的性质； ⑤对角线平分一组对角的平行四边形是菱形． 其中正确的说法有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（3分）已知正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B（4，0），则点A的坐标为（　　） A．（﹣2，2） B．（2，﹣2） C． D． 3．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，CE⊥BD，且∠BCE：∠DCE＝2：1，则∠ACE为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 4．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（　　） A．4 B．4 C．8 D．8 5．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F．求PE+PF的值为（　　） A． B．2.5 C． D． 6．（3分）如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点．下列说法中不正确的是（　　） A．四边形EMFN一定是平行四边形 B．若AC⊥BD，则四边形EMFN是矩形 C．若AB＝CD，则四边形EMFN是菱形 D．若∠ABC+∠DCB＝90°，则四边形EMFN是矩形 7．（3分）如图，有三个全等的菱形构成的木制活动衣帽架，若B，M之间的距离为30cm，上下两排挂钩A，C之间的距离为24cm，则制作这样一个活动的衣帽架需要用的材料长度（衔接重叠处材料不计）是（　　） A．13cm B．39cm C．52cm D．156cm 8．（3分）如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC＝4，CE＝2，H是AF的中点，那么CH的长为（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于点E、F，连接PB、PD．若图中阴影部分的面积为8，则AE•PF的值为（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 10．（3分）如图，已知在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，E、F分别是射线AB和BC上的两个点，∠EDF＝60°，以下结论：①BE＝CF；②△DEF是等边三角形；③BE+DF＝AD；④AB＝4，AE＝m，若0≤m≤4，则△BEF面积的最大值为．其中正确的个数有（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示的菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝8cm，接着活动学具成为图2所示的正方形，则图2中正方形对角线AC的长为　 　 cm． 12．（3分）如图，AC是正方形ABCD的对角线，延长CD至点M，连接AM，若∠CAM＝67.5°，CM＝2，则AD的长为　 　 ． 13．（3分）如图，两张宽度均为2cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为30°，则重叠部分构成的四边形ABCD的周长为 　 　 cm． 14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，CD是△ABC的中线，E是CD的中点，连接AE，BE，若AE⊥BE，垂足为E，则AC的长为 　 　 ． 15．（3分）如图，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上一点，且BP＝CD，点Q为边BC上一点，联结AP、PQ，已知AP＝PQ，那么的值是　 　 ． 16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E为BC边的中点，点P在AD边上运动，F为BP的中点，当△BEF为等腰三角形时，AP的长为 　 　 ． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF．BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由． 18．（6分）如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，DE．若CE＝CD，过点D作DF⊥CE于点F．求证：CF＝EB． 19．（6分）已知，如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点．求证： ①BM＝DM； ②MN⊥BD． 20．（8分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝6，BC＝12，请解答下列问题． （1）用无刻度的直尺和圆规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的基础上，连接AE，判定四边形AECD的形状，并说明理由； （3）连接AC，求AC的长． 21．（8分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF． （1）求证BD＝CD； （2）①当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由． ②△ABC满足　 　 条件时，四边形AFBD是菱形（无需证明）． 22．（8分）阅读理解题．定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫做“和谐线”，该四边形叫做“和谐四边形”．如图，在四边形ABDC中，对角线BC平分∠ACD和∠ABD，那么对角线BC叫“和谐线”，四边形ABDC就称为“和谐四边形”． 问题： （1）下列四边形：①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形，其中是“和谐四边形”的有 　 　 ；（填序号） （2）四边形ABCD是“和谐四边形”，，∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，求四边形ABCD“和谐线”的长．（画出图形并写出解答过程） 23．（10分）综合与实践 问题情境： 如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交直线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． 猜想证明： （1）求证：四边形DEFG是正方形． 解决问题： （2）求∠DCG的度数． （3）已知BC＝4，CF＝2，请直接写出CG的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期数学周周练07 21.3 特殊的平行四边形综合训练 （时间：60分钟 满分：100分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C C B D A B B 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．． 12．． 13．16． 14．． 15．． 16．8﹣4或4或4． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．【解答】解：BE＝DF，且BE⊥DF， 理由：延长BE交DF于点G， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（SAS）， ∴BE＝DF，∠CBE＝∠CDF， ∴∠BGD＝∠F+∠CBE＝∠F+∠CDF＝90°， ∴BE⊥DF． 18．【解答】证明：在矩形ABCD中，DF⊥CE于点F， ∴AB∥CD，∠B＝∠DCB＝90°，∠DFC＝90°， ∴∠DFC＝∠B，∠DCF＝∠CEB＝90°﹣∠ECB， 在△CFD与△EBC中， ， ∴△CFD≌△EBC（AAS）， ∴CF＝EB． 19．【解答】（1）证明：如图，连接BM、DM， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点， ∴BM＝DMAC， ∴BM＝DM； （2）∵点N是BD的中点，BM＝DM， ∴MN⊥BD． 20．【解答】解：（1）如图，DE即为所求； （2）菱形，理由如下： 如图，连接AE， 由（1）知，DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DEC， ∴∠CDE＝∠DEC， ∴CD＝CE＝6， ∴AD＝CE＝6， ∴四边形AECD是平行四边形， ∵AD＝CD＝6， ∴平行四边形AECD是菱形； （3）由（2）知，BE＝CE＝6， ∴BE＝AD＝6， ∵AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴AB＝DE＝6＝CD＝CE，AB∥DE， ∴△CDE是等边三角形， ∴∠C＝∠DEC＝60°， ∴∠B＝∠DEC＝60°， ∵AD∥BC， ∴∠ADC＝120°， ∵AD＝CD， ∴∠DAC＝∠ACD＝30°， ∴∠ACB＝30°， ∴∠BAD＝90°， 在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AC＝6． 21．【解答】（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠ECD． ∵E是AD的中点， ∴DE＝AE， 在△AEF与△DEC中， ， ∴△AEF≌△DEC（AAS）， ∴AF＝DC， ∵AF＝BD， ∴BD＝CD； （2）解：①当AB＝AC时，四边形AFBD为矩形， 证明如下： ∵AF＝BD，AF∥BD， ∴四边形AFBD为平行四边形， ∵AB＝AC，BD＝DC， ∴AD⊥BC， ∴∠BDA＝90°， ∴四边形AFBD为矩形； ②当∠BAC＝90°时，四边形AFBD是菱形． 证明：由①知四边形AFBD是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，BD＝DC， ∴AD＝BD＝DC， ∴四边形AFBD是菱形． 22．【解答】解：（1）∵平行四边形和矩形的对角线不一定平分其对角， ∴平行四边形和矩形不是“和谐四边形”； 如图，菱形ABCD， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA， ∴菱形是“和谐四边形”， ∵正方形是特殊的菱形， ∴正方形是“和谐四边形”， 故答案为：③④． （2）如图2，AC是“和谐线”， ∵∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，AB＝3， ∴∠BAC＝∠DAC∠BAD＝30°， ∴BCAC， ∵AB2+BC2＝AC2， ∴（3）2+（AC）2＝AC2， ∴AC＝22； 如图3，BD是“和谐线”，作DE⊥AB于点E，则∠AED＝∠BED＝90°， ∵∠ABD＝∠CBD∠ABC＝45°， ∴∠EDB＝∠EBD＝45°， ∴BE＝DE， ∵∠ADE＝30°， ∴AD＝2AE， ∴BE＝DEAE， ∴AEAE＝3， ∴AE， ∴BE＝DE3， ∴BD3， 综上所述，四边形ABCD“和谐线”的长是22或3． 23．【解答】（1）证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点， ∵正方形ABCD， ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC， ∴四边形EMCN为正方形， ∵四边形DEFG是矩形， ∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90° ∴∠DEN＝∠MEF， 又∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF， ∴矩形DEFG为正方形， （2）解：∵矩形DEFG为正方形， ∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90° ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴∠DAE＝∠DCG＝45°， （3）解：①当F在BC上时， ∵正方形EMCN，正方形ABCD， ∴BC＝DC，MC＝NC， ∴BC﹣MC＝DC﹣NC，即：BM＝DN， ∵△DEN≌△FEM， ∴FM＝DN， ∴， ∴MC＝MF+FC＝1+2＝3， ∴，， ∵△ADE≌△CDG， ∴； ②当F在BC延长线上时，如图： 同理可得，△EFM≌△EDN，CM＝CN＝EM＝EN，AE＝CG， ∴BM＝FM（BC+CF）＝3， ∴CM＝1， ∴CE， ∴AE＝43， ∴CG＝3； 综上所述，AE或3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $