安徽省安庆市怀宁县2025-2026学年八年级下学期开学数学练习卷

2025-2026学年安徽省安庆市怀宁县八年级（下）开学数学练习卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.为培养青少年阅读经典和传承中华文化，某校创建了“典籍传习”社团，小红将“典”“籍”“传”“习”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使得“籍”“习”的坐标分别为，，则“典”所在的象限为(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.如图为一次函数的图象，关于的不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 3.已知等腰三角形的周长为，且一边长为，则腰长为(    ) A. B. C. D. 或 4.下列命题正确的是(    ) A. 将精确到千位，记为 B. 在实数，，，，，中，无理数的个数为个 C. 在；；；四个分式中，与相等的是 D. 等腰三角形两边长分别是，，则第三边长为 5.如图，≌，且点恰好落在线段上，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.已知，如图，、、三点在同一条直线上，，，，则不正确的结论是(    ) A. 与互为余角 B. C. D. 7.如图，在菱形中，，是上一点不与端点重合，点关于直线的对称点为，连接，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，分别是，的中点，交的延长线于点若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 9.如图，，点为上一点以点为圆心、任意长为半径画弧，交于点，交于点再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点作射线，在上取点，连接，过点作，垂足为点若，则的长可能为(    ) A. B. C. D. 10.如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则的长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11.已知直线可以看作由直线向左平移个单位长度而得到，那么直线与轴交点坐标为        ． 12.如图，在中，按步骤作图：分别以，为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于两点，；连接，交于点，连接若，，则的度数为        ． 13.有一个大正方形，是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，那么直角三角形的两条直角边长分别是      ． 14.如图，在中，线段的垂直平分线分别交、于点、，连接，若，，则的长度是            ． 三、计算题：本大题共1小题，共8分。 15.如图，，垂足为点，，求： 的度数； 的度数． 四、解答题：本题共8小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 一次函数恒过定点． 若一次函数还经过点，求的表达式； 若有另一个一次函数． 点和点分别在一次函数和的图象上，求证：； 当时，都成立，求的取值范围． 17.本小题分 如图，的三个顶点的坐标分别为，，． 请作出关于轴对称的，则坐标为______； 若点为轴上一点，且的面积为，求出点的坐标． 18.本小题分 年北京冬奥会掀起“一墩难求”热潮，由于供货紧张，某商场第一次采购雪容融个和冰墩墩个，采购总价为元，第二次采购冰墩墩个，采购雪容融数量是冰墩墩的，采购总价元． 雪容融和冰墩墩的进货单价各是多少元？ 每个雪容融售价元，每个冰墩墩售价元，商家决定采购冰墩墩的数量比雪容融数量的倍多个，在采购总价不超过元的情况下，如何安排雪容融和冰墩墩的采购数量，可使全部售完获得的总利润最大？ 19.本小题分 如图，已知是的角平分线，是的外角的平分线，延长，分别交于点，． 求证：； 小轩同学探究后提出等式：，请通过推理论证判断“小轩发现”是否正确； 若，求的度数． 20.本小题分 如图，在菱形中，，，点从点出发，以的速度沿射线运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，连接，和，设运动时间为． 当时，连接与相交于点，如图所示，则          ； 当点，分别在线段和上时，如图所示． 求证：是等边三角形； 连接交于点，若，求的长和此时的值． 当点，分别运动到和的延长线上时，如图所示，若，直接写出此时的值． 21.本小题分 如图，在中，，，直线经过点，且于点，于点． 如图，求证：≌；； 如图，求证：； 如图，直接写出线段，，之间的数量关系． 22.本小题分 某药品研究所开发一种抗菌新药经多年动物实验，首次用于临床人体试验测得成人服药后血液中药物浓度微克毫升与服药后时间时之间满足一次函数关系如图服药后小时，测得血液中药物浓度达到最高值微克毫升；服药后小时，测得血液中药物浓度为微克毫升． 请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； 根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于微克毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． 23.本小题分 某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端，的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图，先在平地取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离． 乙：如图，先过点作的垂线，再在上取，两点，使_____，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离． 丙：如图，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使_____，这时只要测出的长即为，的距离． 请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分． 乙：______；丙：______． 请你选择其中一种方案进行说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：如图建立直角坐标系，则“典”在第三象限， 故选：． 先根据题意确定平面直角坐标系，然后确定点的位置． 本题考查了坐标与图形，正确建立直角坐标系是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：由图象可得：当时，，  所以关于的不等式的解集是，  所以关于的不等式的解集是，  所以解集为，  故选：． 观察函数图象得到结论即可． 本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 3.【答案】  【解析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，正确分类是解题的关键分为等腰三角形的腰长和底边长两种情况，结合三角形的三边关系即可解答． 【详解】解：若一腰长为，则另一腰长也为，于是由三角形的周长是可得：底边长为，由于，所以此种情况能构成三角形，符合题意； 若底边长为，则腰长为，由于，所以此种情况能构成三角形，满足题意； 故选：． 4.【答案】  【解析】解：将精确到千位，记为，原命题错误； B.在所给实数中，无理数的个数为、、共个，原命题错误； C.在；；；四个分式中，与相等的是，原命题错误； D.等腰三角形两边为和，第三边可能为或若第三边为，则，不满足三角形两边之和大于第三边；若第三边为，则，，满足， 第三边为正确，原命题正确； 故选：． 根据近似数的定义，无理数的定义，分式的约分，等腰三角形的定义逐一判断即可． 本题考查了求一个数的近似数，无理数的定义，二次根式的化简，分式的约分，等腰三角形的定义，三角形三边关系，熟练掌握各知识点是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：≌， ，， ， ， ． 故选：． 由全等三角形的性质推出，，由等腰三角形的性质得到，由三角形内角和定理求出，于是得到． 本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边和对应角相等． 6.【答案】  【解析】解：， 在和中， ， ≌，故C正确， ，， ， ，， 与互为余角，故A、B正确；D 错误， 故选D． 7.【答案】  8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了线段垂直平分线性质，三角形中位线定理，掌握线段垂直平分线性质和三角形中位线定理是解题的关键．根据是的中点，，可以得到，进而求出，再由三角形中位线定理，即可求出． 【解答】 解：是的中点，，， 是的垂直平分线， ， ，， ，  ，分别是，的中点， 是的中位线， ． 故选：． 9.【答案】  【解析】解：过点作于点  由作图可知平分，所以，在中，，  ，，  ，  点在上，  的长大于等于，  长可能为  故选：． 过点作于点求出的值即可判断． 本题考查作图基本作图，角平分线的性质，含度的直角三角形，垂线段最短，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 10.【答案】  【解析】解：如图所示： 是等边三角形， ，， 是的外角， ， 又， ， ， 是等腰三角形，即， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 是等腰三角形，即， ， ， 同理可证明：是等腰三角形，即， 是等边三角形， ， ． 故选：． 11.【答案】  【解析】解：由题意，直线可以看作由直线向左平移个单位长度而得到， 直线的解析式为，即． 令，则， ， 与轴的交点坐标为． 故答案为：． 根据平行直线的解析式的值相等，再根据“左加右减”的平移规律求出平移后的解析式，然后令求解即可得解． 本题考查了两直线平行的问题，明确平行直线的解析式的值相等是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：，， ，， 由作图过程可知，为的垂直平分线， ， ， 则， 即有， ， 故答案为：． 根据等腰三角形性质得到，，再结合垂直平分线作图及其性质，以及三角形外角性质得到，最后根据求解，即可解题． 本题考查了等腰三角形性质，垂直平分线作图及其性质，三角形外角性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质． 13.【答案】，  【解析】解：设直角三角形较长直角边为，较短直角边为， 小正方形的边长为， 小正方形面积是， ， ， 大正方形面积是，即， ， ， ， ， ，， ，， 故答案为：，． 设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，根据大正方形与小正方形的面积得出关于、的等式求解即可． 本题考查了勾股定理的证明，正确表示出大正方形与小正方形的面积是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：垂直平分，  ，，  ，  ，  ，  ，  ，，又平角定义， ， ，， ，  ，  ，    故答案为：． 由线段垂直平分线的性质推出，，得到，进而求出，得到，由含度角的直角三角形的性质推出． 本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，含度角的直角三角形，三角形的外角性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出由三角形的外角性质求出的度数． 15.【答案】解：， ． ， ； ， ．  【解析】利用三角形的内角和定理解答即可； 利用三角形的内角和定理推论解答可得出结论． 本题主要考查了垂线的性质，三角形的内角和定理及其推论，利用垂直的定义得出是解题的关键． 16.【答案】  把点代入得： ，即， 由题意可得：， ， ， 整理得：， ， ；或  【解析】由题意可得： ， 解得， 的表达式为； 把点代入得： ，即， 由题意可得：， ， ， 整理得：， ， ； 由得，， ， ， 当时，则， 随着的增大而增大， 当时，有最小值， 当时，都成立， ， 解得， ； 当时，则， 随着的增大而减小， 当时，有最小值， 当时，都成立， ， 解得， ； 综上所述，的取值范围为或． 利用待定系数法解答，即可求解； 把点代入可得，从而得到，即可求解；由得，则，再分和两种情况讨论，求出的最小值，再结合“当时，都成立”，列出关于的不等式，即可求解． 本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，求不等式的解集，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 17.【答案】关于轴对称的，如图即为所求；   或  【解析】解：关于轴对称的，如图即为所求； 由图可知，坐标为， 故答案为：； 点为轴上一点， 设点的坐标为， 在中，， ，点到轴的距离为， 的面积为， ， ， 或， 解得：或， 满足条件的点的坐标为或． 根据关于轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，得到、、三点的关于轴的对称点、、的坐标，依次连接这三个点即可得到所求作的三角形； 设点的坐标为，则，根据点到轴的距离为，可得，解方程即可得到答案． 本题主要考查了作图轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 18.【答案】雪容融的进货单价为元，冰墩墩的进货单价为元；   采购雪容融个，采购冰墩墩个时，可使全部售完获得的总利润最大．  【解析】设雪容融的进货单价为元，冰墩墩的进货单价为元， 由题意可得： 解得， 答：雪容融的进货单价为元，冰墩墩的进货单价为元； 设采购雪容融个，则采购冰墩墩个，总的利润为元， 由题意可得：， 随的增大而增大， 采购总价不超过元， ， 解得， ，均为整数， 当时，取得最大值，此时，， 答：采购雪容融个，采购冰墩墩个时，可使全部售完获得的总利润最大． 根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程组，然后求解即可； 根据题意，可以写出利润关于采购雪容融数量的函数关系式，然后根据一次函数的性质可以求得最值． 本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． 19.【答案】证明：是的外角的平分线， ． 是的平分线， ，   “小轩的发现”是正确的，理由： 由知， ， ， “小轩发现”是正确的    【解析】证明：已知是的角平分线，是的外角的平分线，延长，分别交于点，． 是的外角的平分线， ． 是的平分线， ， ； 解：“小轩发现”是正确的，理由： 由知， ， 即： “小轩发现”是正确的； 解：，， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 根据角平分线的定义得到，，根据三角形的外角的性质即可证明结论； 根据中的结论变形后可得结论； 根据三角形的外角和角平分线的定义，综合已知，等量代换可得结论． 本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和，三角形的外角性质，能正确运用性质进行推理和计算是解此题的关键． 20.【答案】【小题】 【小题】 证明：如图，连接交于点， 易得，都是等边三角形， ，． ，≌． ，． ． 是等边三角形． 解：如图，过点作，垂足为． 在菱形中，， ，，． ． ． ，，． ，． ，． ． 在中，，，． ． ． ， ． ． 是等边三角形， ． 【小题】 解：如图，过点作于点， 由同理可得是等边三角形， ． 在中， ，， ， ． 在中， ， ． ． 运动速度为，．   21.【答案】证明：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ≌， ，， ， ；   证明：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ；     【解析】证明：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ≌， ，， ， ； 证明：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ； ； ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ． 依据判定≌即可； 由：≌得出，，结合即可得证； 证明≌得出，即可得证； 证明≌得出，，由即可解答． 本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，线段的和差，证明三角形全等是解题关键． 22.【答案】血液中药物浓度上升阶段对应的函数解析式为，下降阶段与之间的函数关系式是；   小时  【解析】当时，设与的函数关系式为， ， ． 当时，与的函数关系式为； 当时，设与的函数关系式为， ． ． 当时，与的函数关系式为． 综上，血液中药物浓度上升阶段对应的函数解析式为，下降阶段与之间的函数关系式是． 由题意，结合，令， 当时，；当，则， ． 血液中药物浓度不低于微克毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为小时． 根据函数图象中的数据，可以得到血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； 依据由题，令，结合的解析式，分别求出的值，进而可以判断得解． 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 23.【答案】解：乙：；丙：． 选甲：在和中， ≌， ； 答案不唯一  【解析】解：乙：如图，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离； 丙：如图，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． 故答案为：；； 选甲：在和中， ≌， ； 选乙：，， ， 在和中， ， ≌， ； 选丙： 在和中， ， ≌， ． 本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $