热点04 一次函数与反比例函数（培优热点专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习高效培优系列

热点04 一次函数与反比例函数 内容导航 热点解读 题型突破 限时训练 热点内容解读 分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。 热点题型突破 对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。 题型01 函数图象共存问题 题型02 待定系数法求解析式 题型03 函数图象性质的判定 题型04 一次函数与反比例函数综合的交点与不等式问题 题型05一次函数与反比例函数综合的面积计算问题 题型06 由面积求K值问题 题型07 实际应用问题 题型08 函数与几何综合问题 热点限时训练 限时完成题目训练，提升解题能力。 近三年：近三年中考“一次函数与反比例函数”部分分值占比约10%-15%，是解答题的必考内容。考查覆盖三大核心模块：图象与性质基础（函数图象共存判断、待定系数法求解析式、增减性应用）、一次函数与反比例函数综合（交点坐标、不等式解集、面积计算）、函数与实际应用/几何综合（方案选择、行程问题、与三角形/四边形结合的代几综合题）。试题突出数形结合思想，重视k的几何意义考查，综合题难度逐年提升，常作为压轴题出现。 预测2026年：图象与性质基础：基础性保持稳定，但含参函数图象共存问题仍为重点，可能增加新定义函数图象的辨析。 一次函数与反比例函数综合：命题更灵活，面积问题与k的几何意义仍是核心，交点与不等式结合考查频率上升，可能融入最值问题。 综合应用与代几综合：图形变换（平移、旋转、对称）成为新热点，与四边形综合的探究性题目增多，注重考查综合运用能力和高阶思维。 题型01 函数图象共存问题 解｜题｜策｜略 采用“分类讨论逐项排除法”。先根据一次函数图象判断k、b符号，再代入反比例函数看是否符合；或从反比例函数图象所在象限确定k符号，再看一次函数。也可将选项代入验证。 1．（2026·陕西西安·一模）在同一平面直角坐标系中，函数（为常数，且）和的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的性质．分和两种情况分类讨论即可确定正确的选项． 【详解】解：时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，无选项符合； 时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，选项D符合． 故选：D． 2．（2024·安徽·模拟预测）若，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，根据及一次函数与反比例函数图象的特点，可以从和两方面分类讨论得出答案． 【详解】解：当时，，此时一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数图象分布在第二、四象限，与选项C中图象一致． 当时，，此时一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数图象分布在第一、三象限，与题目选项中的图象均不一致． 故选：C． 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了函数的图象．由点，关于y轴对称，可排除选项B、C，再根据，，可知在轴的右侧，随的减小而减小，从而排除选项D． 【详解】解：由，在同一个函数图象上，可知图象关于轴对称，故选项B、C不符合题意； 由，，可知在轴的右侧，随的减小而减小，故选项D不符合题意，选项A符合题意； 故选：A． 4．（2025·安徽亳州·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数（是常数，且）的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系、一次函数的图象与系数的关系、反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数图象开口向下得到，再根据对称轴为直线，求得，从而得出，则可确定直线经过第一、二、四象限，再根据当时，，从而确定反比例函数的图象在第二、第四象限，即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下， ∴ ∵二次函数图象的对称轴为直线 ∴， ∴， ∴直线经过第一、二、四象限， ∵当时，， ∴反比例函数的图象在第二、第四象限， ∴只有D选项题意． 故选：D． 题型02 待定系数法求解析式 解｜题｜策｜略 根据已知点坐标或条件求函数表达式。一次函数需两个条件（两点或一点+斜率），反比例函数只需一个点（k=xy）。注意设解析式形式。 5．（2025·福建漳州·模拟预测）如果a与b成反比例，那么“？”是______，比例系数______． a 4 ？ b 200 160 【答案】 5 800 【分析】本题主要考查了判断反比例关系，熟练掌握定义是解题的关键； 根据反比例关系的定义，两个变量的乘积为常数，即比例系数k，利用已知数据点求出k，即可求解未知数． 【详解】解：由题意得，， “？”是： 故答案为：5，800． 6．（2025·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同象限，若反比例函数的图象经过其中两点，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标特征，反比例函数的性质，由点的坐标特征以及题意得出在第三象限，由反比例函数的性质可得图象经过的两个点是，，再求出反比例函数的解析式即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，点在第二象限，在第一象限，在第二或三象限， ∵点，，分别在三个不同象限， ∴在第三象限， 由反比例函数的性质可得：图象经过的两个点是，， 将代入反比例函数的解析式可得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数的解析式可得， 故答案为：． 7．（2025·山东·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移一定距离，得到，点F为中点，函数的图象经过点C和点F，则k的值是________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平移的性质，两点中点坐标公式，熟知反比例函数图象上点的坐标是解题的关键． 由平移的性质可得，设，则，则，，，由两点中点坐标公式得到，则由待定系数法可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可得， 点A的坐标是，点B的坐标是， ，． 设，则， ，，． 点F为中点， ． 函数的图象经过点C和点F， ． 解得． ． 故答案为：6； 8．（2025·江西赣州·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求出一次函数与反比例函数的解析式． (2)过点B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，连接．请你补全图形，并求出的面积． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)图形见详解，的面积为5 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用．熟练掌握一次函数与反比例函数的图像与性质是解题关键． （1）将点分别代入一次函数和反比例函数求出，即可； （2）按题意画出，根据图像之间的交点和图像与坐标轴的交点求出点和点的坐标，确定然后确定出的底和高即可计算出的面积． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， 一次函数的解析式为； 将点代入，得， 解得， 反比例函数的解析式为． （2）解：如图， 将代入，得 解得， ， 过点B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C， 点的横坐标为3， 将代入，得， 解得， ， 的底边长，的高， ． 题型03 函数图象性质的判定 解｜题｜策｜略 根据k、b的符号判断图象象限、增减性。牢记“k>0⇔一三象限，k<0⇔二四象限”；一次函数k>0⇔y随x增大而增大，k<0⇔y随x增大而减小。 9．（25-26九年级上·四川成都·期中）如果点 、、 在反比例函数 （） 的图象上，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的函数值计算与大小比较，熟练掌握反比例函数的表达式代入求值及正数、负数的大小比较规则是解题的关键． 先根据反比例函数表达式计算各点的函数值，再结合比较函数值大小． 【详解】解：∵ 反比例函数为， ∴，，． ∵， ∴，即 ， ∴． 故选：C． 10．（2025·江苏连云港·二模）“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（ ） A．时，y的值随x的增大而减小 B．时，y的值随x的增大而增大 C．图象不经过第二象限 D．图象不经过第四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质． 画出图象，根据题意得到，那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，即可判断A、B，再结合反比例函数性质得到经过的象限即可判断C、D． 【详解】解：如图， ，， 即， 那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，故A选项正确，符合题意；B选项错误，不符合题意； 由图可知图象经过第二、三、四象限， 故C选项错误，不符合题意；D选项错误，不符合题意； 故选：A． 11．（2025·上海徐汇·二模）如果反比例函数（是常数，）的图像经过第一、三象限，那么一次函数的图像一定经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】B 【分析】本题考查一次函数，反比例函数中系数与图像的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数，反比例函数中系数与图像的关系解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过第一、三象限， ∴一次函数的图像一定经过第一、三象限，且交轴于负半轴， ∴一次函数的图像一定经过第一、三、四象限． 故选：B． 12．（2025·浙江杭州·一模）已知某函数的函数值y和自变量x的部分对应值如表： x y b 则这个函数的图象可能是（     ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质，熟练掌握一次函数，反比例函数的图象和性质是解题的关键；利用表格中x的增加值和y的减小值的特点，即可判断选项． 【详解】解：根据表格可知，x的值每增加1，y的值就减少2，则可判断是一次函数，且y随x的增大而减小， 故选：． 题型04 一次函数与反比例函数综合的交点与不等式问题 解｜题｜策｜略 先求两函数交点坐标，在数轴上标出。不等式的解集对应“一次函数图象在反比例函数上方”时x的取值范围。注意交点将x轴分成几段，分段判断。 13．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象相交于点、， (1)求直线与反比例函数的关系式； (2)若点是轴上一点，且的面积为3，求点的坐标． (3)直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查一次函数、反比例函数交点问题，待定系数法求解析式， （1）把代入得出，进而求出点坐标，代入一次函数解析式可求解； （2）设直线与轴的交点为，先求出点坐标，由面积的和差关系可求，即可求解． （3）根据图象确定一次函数在反比例函数上方对应的自变量范围即可． 【详解】（1）解：把代入得， 解得：， ∴ 把代入得， ∴， 将，代入得 解得： ∴ （2）如图，设直线与轴的交点为， 设点， 直线与轴的交点为， 点， ，， ， ， 或． （3）∵，， 根据函数图象可得时x的取值范围为或． 14．（2025·湖北·模拟预测）如图，一次函数（m，n为常数，）与反比例函数（k为常数，）的图象相交于，两点． (1)求m，n，k的值； (2)直接写出关于x的不等式组的解集． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点，利用数形结合思想是解题的关键． （1）将A、B两点分别代入一次函数（m，n为常数，）与反比例函数中，即可求出； （2）先求出与x轴的交点坐标，再结合图象即可求得． 【详解】（1）解：因为点在反比例函数的图象上， 所以，    因为一次函数的图象过，两点，     所以     解得； （2）解：由（1）可知一次函数的表达式为， ∴与x轴的交点为， ∵，， 由图象可知x的不等式的解集为或． 15．（2025·湖北十堰·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，．    (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接、，求的面积． (3)求不等式的解集（直接写出答案） 【答案】(1)， (2)8 (3)或 【分析】本题主要考查一次函数以反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，数形结合的思想是解题的关键． （1）用待定系数法求解析式即可求解； （2）如图所示，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，根据几何图形面积的计算方法，图形结合即可求解． （3）先将不等式化为，再利用函数图象即可求解． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， 代入得：， ∴反比例函数的表达式为，         ∵点在的图象上， ∴， ，         将，代入中， 得：，解得：， ∴一次函数的表达式为. （2）解：把代入得：， ∴，如图所示，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，    ∴． （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴由图象可得的解集为：或． 题型05一次函数与反比例函数综合的面积计算问题 解｜题｜策｜略 常用方法有“分割法”（将图形分割成规则三角形）、“补形法”（补成梯形或矩形）、“k的几何意义法”（反比例函数上点向坐标轴作垂线，围成矩形面积=|k|）。若涉及两交点与原点，可用S=。 16．（2025·福建泉州·模拟预测）如图，已知正比例函数与反比例函数交于A，B两点，C是第三象限反比例函数图象上一点，且点C在点A的左侧，线段交y轴的正半轴于点P，若的面积是12，则点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题、正比例函数与反比例函数的性质、待定系数法求一次函数的表达式及三角形的面积．熟练掌握反比例函数的性质和两个函数的交点是解答本题的关键． 先通过函数解析式求出交点A、B坐标，设点C的坐标，再利用待定系数法求出的解析式，最后再根据的面积得到关于m的方程，即可求得点C的坐标． 【详解】解：由题可得： ， 解得：或， ，， 设，设直线为，则， 解得：，， 直线为， 过A作y轴的平行线交于点Q,则， ， ， 即， 解得：， ． 故答案为： ． 17．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接，若，，则的值是________． 【答案】 【分析】先求出点坐标，再利用和三角形面积求出点坐标，最后代入反比例函数求．本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握三角函数定义、三角形面积公式及反比例函数性质是解题的关键． 【详解】解：直线，令，则， ，即． 过点作轴于点，设（）． ，且，， ，即． ∵， ∴，即， 解得． 把代入，得， ． ∵点在反比例函数上， ∴． 故答案为： ． 18．（2025·四川乐山·二模）如图所示，反比例函数的图象与直线相交于点，且直线与轴相交于点． (1)求该直线与反比例函数的表达式； (2)将直线绕点顺时针旋转得到直线，直线与反比例函数图象交于点和，求的面积． 【答案】(1)， (2)12 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）连接，记直线与轴交于点，直线与轴交于点．求出和  ，根据即可求出答案． 【详解】（1）解：由题可知，点在反比例函数图象上 ， 解得    反比例函数的表达式为． 又直线过点和   ， 解得 直线的表达式为． （2）如图所示，连接，记直线与轴交于点，直线与轴交于点． 当时，， ∴   为等腰直角三角形   由旋转可得， 为等腰直角三角形且       设直线表达式为，则 ， 解得   直线表达式为 联立， 解得或   又      ． 19．（2025·江苏镇江·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，将点B先向左平移4个单位，再向上平移个单位得到点A，点A恰好落在反比例函数的图象上，过A，B两点的直线与x轴交于点C． (1)求k，m的值及点C的坐标； (2)在x轴上有一点，连接、，求的面积． 【答案】(1)， ， (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合． （1）把点代入求出，由题意可知点A横坐标为4，代入反比例函数解析式求出A的坐标，即可求出，设直线的解析式为，将代入求出，将代入计算即可求出点C的坐标； （2）先求出，再根据割补法计算即可． 【详解】（1）解：把点代入中，， ∴反比例函数解析式为， ∵将点B向左平移4个单位，再向上平移m个单位得到点A， ∴， 当时，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ， ， ， 当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， ． 题型06 由面积求K值问题 解｜题｜策｜略 两种路径——坐标法（设点坐标，代入满足的条件列方程）或k几何意义法（通过面积直接得|k|，再根据象限定符号）。 20．（2025·安徽淮南·二模）如图，已知的顶点A在反比例函数的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接交于点E．若，，则k的值为______． 【答案】10 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 根据平行四边形的性质，结合三角形及平行四边形面积公式可得，则设，得到方程，解得，再根据反比例函数k的几何意义得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 设， ∵若，， ∴， 解得， ∵顶点A在反比例函数的图象上， ， ， 故答案为：10． 21．（2023·浙江温州·二模）如图，点是反比例函数上的点，过作轴，连接交于点，若，且的面积为，则的值为 _______ ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，过点作轴于点，先确定的坐标关系，利用面积为求出． 【详解】解：过点作轴于点， 轴，轴， ， ， ，则， 点是反比例函数上的点， 设， ，则， 将代入得：， 解得：， ， 的面积为， ，即， 解得：． 故答案为：． 22．（2025·广东肇庆·一模）如图，矩形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，顶点E，F都在x轴上，交y轴于点D．若点C在y轴上，且，则（　　） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数图像上点的坐标特征，矩形的性质，熟练掌握反比例函数中k的几何意义，是解答本题的关键．根据k值的几何意义得出，，根据，得出，从而得出，最后求出k值即可． 【详解】解：∵矩形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 23．（2025·天津·二模）如图，的顶点A在x轴上，顶点B和C都在反比例函数图象上且关于原点对称，，的面积为24．则k的值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义．过点D作轴于点F，过点B作轴于点E，设点，则，根据，结合相似三角形的性质写出点B和点D的坐标，再结合的面积列出方程求解即可． 【详解】解：过点D作轴于点F，过点B作轴于点E， 则 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点，则， ∴，，， ∵点B和点D在反比例函数图象上，反比例函数图象经过一、三象限， ∴， ∴， ∴，即， 解得． 故选：D． 题型07 实际应用问题 解｜题｜策｜略 审题建模是关键。先明确自变量和因变量，找出等量关系建立函数关系式，注意自变量的实际意义（取值范围）。方案选择题需比较不同函数值的大小。 24．（2025·广东韶关·二模）如图1，现有一台可调节温度的取暖器，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现控温．如图2是该取暖器的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法错误的是（    ） A． I与R的函数关系式是 B． 当时 C．当时，I的取值范围是 D． 已知该取暖器的发热功率为，则P随R的增大而增大 【答案】D 【分析】根据题意，确定反比例函数的解析式，利用性质解答即可． 本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的性质，熟练掌握函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：A.点在反比例函数的图象上， ， 解得 反比例函数的解析式是，正确，不符合题意； B. 当时，，正确，不符合题意； C. 当时，，当时，，根据反比例函数的性质，得I随R的增大而减小，由，故I的取值范围是，正确，不符合题意； D. 已知该取暖器的发热功率为，I是变量，R是变量，无法这样描述它们之间的关系，错误，符合题意； 故选：D． 25．（2025·浙江丽水·二模）制作某种金属工具要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到后立即开始锻造操作，当材料温度低于时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度与时间成一次函数关系，第一次锻造造时温度与时间成反比例函数关系，开始制作后第8分钟材料的温度为． (1)求第一次锻造操作的时长； (2)求第二次开始锻造的时间． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出反比例函数的解析式． （1）先求出反比例函数的解析式，再求出当和时x的值，即可得答案； （2）先求出煅烧温度上升的速度，再求出第二次煅烧时需要的时间，即可得答案． 【详解】（1）解：材料锻造时，设， 由题意得，解得， ， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ， 所以第一次锻造操作的时长是； （2），所以煅烧时温度每分钟上升， ，所以第二次煅烧需要， ，所以第二次开始锻造的时间是第． 26．（2025·广东广州·二模）综合与实践：课题小空间检测视力问题 具体情境：对某班学生视力进行检测的任务； 现有条件：一张测试距离为5米的视力表，一间长为3.8米，宽为3.6米的空书房． (1)如图，若将视力表挂在墙上，在墙上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可知：测试线应画在距离______米处； (2)小明选择按比例制作视力表完成该任务，在制作过程中发现视力表上视力值V和该行字母E的宽度a之间的关系是一种函数模型，字母E的宽度a如上中图所示，视力表上部分视力值V和字母E的宽度a的部分对应数据如左下表所示： 位置 视力值V a的值（） 第1行 0.1 70 第5行 0.25 28 第8行 0.5 14 第14行 2 3.5 ①根据表格数据判断，从一次函数、反比例函数中选择一个合适的函数模型拟合视力值V与字母E的宽度a（说明理由），并求出视力值V与字母E宽度a之间的函数关系式； ②小明在制作过程中发现某行字母E的宽度a的值，请问该行对应的视力值是多少？ 【答案】(1)1.2 (2)①；②该行对应的视力值是 【分析】本题考查反比例函数的应用，轴对称的性质，关键是由题意得到视力值V与字母宽度a成反比例函数关系． （1）由轴对称的性质即可得到答案． （2）①由视力值V与字母宽度a的乘积是定值，得到视力值V与字母宽度a成反比例函数关系，用待定系数法即可求出函数关系式．②把，代入，即可得到答案． 【详解】（1）解：（米）， ∴测试线应画在距离墙的米处； （2）解：①∵视力值V与字母宽度a的乘积是定值7， ∴视力值V与字母宽度a成反比例函数关系． 设， 把，代入得到， ∴视力值V与字母宽度a的函数关系是， ②把，代入，得， ∴该行对应的视力值是． 27．（2025·广东东莞·二模）综合与实践：生物生长规律的模型研究． 如图1，砗磲ēú是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄单位：岁与平均日生长速率单位：天的数据如下表： x 0 5 10 15 20 25 y 【模型构建1】如图2，数学小组A在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据图1点的分布情况，猜想其函数图象是过的抛物线，设解析式为 （1）选取两个点，，求抛物线解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄． 【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为，，，，猜想当时y与x符合反比例关系，设解析式为 （2）为减少偏差，取，求反比例函数解析式． 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． （3）为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择恰当的一个，说明选择的理由并计算． 【答案】（1），29岁；（2）；（3）选模型2，该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为4天 【分析】（1）依据题意，利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）依据题意，求出平均数，然后根据待定系数法求出反比例函数解析式； （3）依据题意，根据函数的性质解答即可． 本题主要考查了二次函数、反比例函数的实际应用，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）由题意，将，代入， 该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为29岁． （2）由题意，当，， （3）由模型1可知，当时，y随x的增大而增大，不符合砗磲的生长规律；又由模型2可知，当时，y随x的增大而减小，符合砗磲的生长规律， 选择模型当时， 答：该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为天． 题型08 函数与几何综合问题 解｜题｜策｜略 遵循“坐标法”思路。将几何条件（如平行、垂直、相等）转化为坐标关系（斜率关系、距离公式），设出关键点坐标，代入函数解析式列方程求解。涉及平行四边形存在性问题，利用中点坐标公式。 28．（2025·陕西渭南·一模）如图，一次函数（b为常数）的图像与y轴交于点，与反比例函数（k为常数，且）的图像交于点B、，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点是轴上一点，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，且为等腰三角形的腰，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)存在，点的坐标为，， 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，勾股定理，等腰三角形定义．准确计算是解题的关键． （1）利用待定系数法求解； （2）分，两种情况，根据等腰三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）将代入中，得， 一次函数的表达式为， 在一次函数图像上， ， 将代入中，得：， 反比例函数的表达式为； （2）存在，理由如下： 由（1）知：点的坐标为， 如图，过点作轴于点， 由勾股定理得：， ①如图，当时，点的坐标为，； ②如图，当时，过点作轴于点， 易证四边形为矩形，则， ，点的坐标为， 综上所述，存在满足要求的点，点的坐标为，，． 29．（2025·山东日照·模拟预测）如图，点B在函数的图象上，过点分别作x轴和y轴的平行线交函数的图象于点A，C． (1)若点B的坐标为，求点A坐标和直线解析式； (2)当点B为函数图象上的动点，问四边形的面积是否变化，若不变，请说明原因；若变化，请用m的代数式表示四边形面积； (3)当平分与x轴正半轴的夹角，求证此时是的角平分线． 【答案】(1)； (2)不变；理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据点B的坐标为，轴，得出点A的纵坐标为3，代入反比例函数解析式，求出点A的横坐标即得出答案；先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （2）延长交轴于点D，延长交x轴于点E，证明四边形为矩形，得出，，根据求出结果即可； （3）过点C作于点H，根据角平分线的性质和判定进行证明即可． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，轴， ∴点A的纵坐标为3， 把代入得：， ∴， ∵轴， ∴点C的横坐标为2， 把代入得：， ∴， 设直线解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线解析式为． （2）解：四边形的面积不变，理由如下： 延长交轴于点D，延长交x轴于点E，如图所示： ∵轴，轴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∵点A、C在反比例函数的图象上， ∴， ∴． ∴四边形的面积不变； （3）证明：过点C作于点H， ∵点， ∴，即， ∴点C的坐标为，则点B的坐标为， 则， ∴， ∵平分与x轴正半轴的夹角，轴， ∴， ∴， ∵， ∴是的平分线． 30．（2025·四川雅安·二模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出和的值； (2)结合图象直接写出中的取值范围； (3)在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点P的坐标为 【分析】本题考查反比例函数解析式中的几何意义，利用图像解不等式，对称求最值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用反比例函数的几何意义可以求出反比例函数解析式，再将和点的坐标代入即可求出的值； （2）利用函数图像即可求出不等式的解集； （3）因为点关于轴的对称点，又，则直线与轴的交点即为所求的点，求出直线的关系式，再求其与x轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵的面积为4， ∴， 解得，或（不符合题意舍去）， ∴反比例函数的关系式为， 把点和点代入得， ，． 答：，； （2）解：根据一次函数与反比例函数的图象可知， 不等式的解集为： 或； （3）解：∵点关于轴的对称点， 又，则直线与轴的交点即为所求的点， 设直线的关系式为，代入和得， ， 解得，， ∴直线的关系式为， 令，， ∴直线与轴的交点坐标为， 即点P的坐标为． 31．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，的面积为1．    (1)求反比例函数的解析式； (2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点P作轴交直线于点D，作轴交y轴于点E，若，求点P的坐标； (3)若M是x轴负半轴上一点，N是反比例函数图象上一点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形的性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键． （1）过点作轴于，由的面积为1，可得的长，从而得出点的坐标，即可得出答案； （2）设，则，，利用坐标与图形的性质表示出和的长，从而列出方程解决问题； （3）首先求出点的坐标，设，，再利用中点坐标公式可得点的横坐标，从而解决问题． 【详解】（1）解：过点作轴于，    对于一次函数， 当时，， ， 的面积为1． ， ， 当时，， ， 将点代入反比例函数得： ， 反比例函数解析式为； （2）解：设，则， ，， ， ， 解得， 点在直线下方的双曲线上， ， 当时，， ； （3）解：所有符合条件的点的坐标为或；理由如下： 当时， 解得或， 经检验，或都是方程的根， ， 设，，其中， 以，，，为顶点的四边形是平行四边形，，， 当、为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得， ； 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得， ； 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得：（舍去）； 综上所述，点的坐标为或． （20分钟限时练） 1．（2025·安徽淮北·三模）如图，点A，B在反比例函数的图象上，点A，B的横坐标分别是3和6，连接，则的面积是（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数系数的几何意义，关键是掌握图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 根据图象上点的坐标特征求得、的坐标，将三角形的面积转化为梯形的面积，根据坐标可求出梯形的面积即可， 【详解】解：点A，B在反比例函数的图象上，点A，B的横坐标分别是3和6，，， 作轴于，轴于， ， ， ， 故选C． 2．（2025·浙江·模拟预测）如图，点A，B在反比例函数（常数）图象上，作轴于点C，轴于点D，过B作于点E，连接，，．则下列三角形中，与的面积一定相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的几何性质和等面积代换，连接，延长交y轴于点F，则四边形为矩形，有和，结合反比例函数的几何性质化简即可． 【详解】解：连接，延长交y轴于点F，如图， 则四边形为矩形， 那么，， ， 故选∶D． 3．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于轴的直线与反比例函数的图象交于点，将直线绕点逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是(　　) A．或 B．或 C．且 D．或 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论．当在原点右侧时，点坐标为，设旋转后的直线的解析式为：，得到，求出；当在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：，，求出，即可得到的取值范围． 【详解】解：当在原点右侧时，点坐标为， 直线绕点逆时针旋转， 所得的直线与直线平行， 设这条直线的解析式为：， 这条直线经过第一、二、四象限， ， 在直线上， ， ， ， ， ； 当在原点左侧时， 设这条直线的解析式为：， 同理：， ， ， ， ， ． 的取值范围是或． 故选：B． 4．（2025·山东济宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，第一象限的角平分线分别与反比例函数，，⋯的图象交于点，过分别作坐标轴的平行线，依次得到矩形，，…，其面积依次记作，则可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及第一象限角平分线的特点．在第一象限角平分线上的点，其横，纵坐标相等．先求出各交点的坐标，再根据坐标求出矩形的边长，进而得出矩形面积的规律． 【详解】解：第一象限的角平分线的解析式为：， 联立，将代入，得到，即， 解得，则， ； 联立，将代入，得到，即， 解得，则， ； 联立，将代入，得到，即， 解得，则， ． 对于矩形，，，则的横坐标为，的横坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为， ； 对于矩形，，，则的横坐标为，的横坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为， ； 通过前面的计算，我们发现规律： 的坐标为：，的坐标为：， 则． 故选：A． 5．（2025·陕西咸阳·二模）已知反比例函数：和：在第一象限的图象如图所示，平行四边形的顶点，分别在和上，点在轴上，则的面积为_____． 【答案】3 【分析】通过作辅助线，利用反比例函数中的几何意义，结合平行四边形的性质，求出平行四边形的面积．本题主要考查反比例函数的几何意义和平行四边形的性质，熟练掌握反比例函数中的几何意义是解题的关键． 【详解】解：延长交轴于点，则轴于，连接． 点在上， ； 点在上， ； 四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 6．（2025·安徽淮南·一模）如图，直线与反比例函数的图象交于点C，点C的纵坐标为4，直线与x轴交于点，与y轴交于点M，B为直线上一点，横坐标为，过点B作轴于点D，交反比例函数的图象于点H，G为反比例函数图象上一动点，过点G作于点E，作交y轴于点F． （1）______； （2）若点G在点C，H之间（不与点C，H重合）运动，当面积取得最大值时，的长为______． 【答案】 【分析】（1）先求出直线的解析式为，然后求出点C的坐标为，再求出即可； （2）设点，且，求出，设直线的函数表达式为，求出，得出点，延长交y轴于点N，易知轴，求出，求出，再根据二次函数的最值，求出结果即可． 【详解】解：（1）将点代入，得， 解得， ， 当时，得， 点， 将点代入，得， 解得． 故答案为：． （2）轴，， 轴， 由题可知点H，E的横坐标为，反比例函数， 设点，且， ， ， 设直线的函数表达式为，将点代入得：， 当时，， 点， 延长交y轴于点N，易知轴， ， ， ， 当时，取得最大值，此时． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，二次函数的综合应用，求二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数性质，求出． 7．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)把直线向上平移个单位长度与的图象交于点，连接、． ①求的面积． ②若直线的解析式为，请直接写出成立时的取值范围． 【答案】(1)； (2)①6；②或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理，求函数解析式，一次函数的平移等知识，熟练掌握函数的平移法则是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）①先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点B坐标，根据三角形的面积公式列式，代入数据计算即可．②根据与反比例函数的交点坐标结合函数图象进行判断即可． 【详解】（1）解：点在正比例函数图象上， ， 解得， ， 在反比例函数的图象上， ， 反比例函数解析式为． （2）解：①把直线向上平移个单位得到解析式为， 当时，， ∴直线与轴交点坐标为， ． 连接， 联立方程组， 解得，舍去， ， ， ． ②，， 由图像可知或时，． 8．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于点，点，与反比例函数的图象交于点． (1)求，的值． (2)点为射线上一动点（不与点重合），过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点，连接．当时，求点的坐标． (3)将反比例函数的图象绕原点逆时针旋转交轴于点．若点为反比例函数的图象上一动点，直线交轴的正半轴于点，求面积的最小值． 【答案】(1)的值为，的值为 (2) (3) 【分析】（1）把代入，求出，即，代入求出即可； （2）过点作于点，延长交轴于点，设轴于点，根据三角形外角的性质得到，即，根据平行线的判定和性质得到，即，根据三角形内角和得到，进而得到，根据等角对等边得到，根据三线合一得到点D为的中点，根据得到，设，则，根据点为的中点，得到，求解即可； （3）连接，根据勾股定理得到，根据等边对等角及三角形内角和得到，即点P为点C绕原点逆时针旋转后的点，则，根据可知最小时，的面积最小，设所在直线为，则，即，当直线与反比例函数有且只有一个交点时，最小，从而的面积最小，此时的判别式，求出，则，可知面积的最小值为． 【详解】（1）解：把代入，得， ， 把代入，得， 的值为，的值为； （2）解：如答图1，过点作于点，延长交轴于点，设轴于点， ，， ∵，轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ， ， 点D为的中点． 又∵． ∴． 设，则． ∵点为的中点， ∴，即． 解得， ∴或（不合题意，舍去）． ∴点的坐标为； （3）解：如答图2，连接． ∵， ∴且． 即点P为点C绕原点逆时针旋转后的点， ∴． ∵， ∴最小时，的面积最小． 设所在直线为， ∴． 从而． 当直线与反比例函数有且只有一个交点时，最小，从而的面积最小． 由，得． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴面积的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形外角的性质，三角形内角和，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式，熟练掌握各知识点是解题的关键． 9．（2025·河北唐山·模拟预测）矩形中，，．分别以，所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E； (1)当点F运动到边的中点时，求点E的坐标； (2)连接，求的正切值； (3)如图2，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，求此时反比例函数的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意易得点、的坐标，再根据中点的性质得到点F的坐标，利用待定系数法求出的值，进而得到点E的坐标； （2）根据反比例函数的图像性质得到点F、E的坐标，进而得到、的值，再利用计算即可； （3）过点E作于点H，则、，根据折叠的性质得到、、，易证得，根据相似三角形的性质得到，进而得到，在中，利用勾股定理求出k的值，进而得到此时反比例函数的解析式． 【详解】（1）解：、， 、， 点F是边的中点， ， 点F在反比例函数的图像上， ， ， 反比例函数的解析式为， 将点的纵坐标代入得：， ， ； （2）解：点的横坐标为， ， ， 点的纵坐标为， ， ， 在中，； （3）解：过点E作于点H，如图： 、， ， 由折叠可知，、、， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 此时反比例函数的解析式为． 10．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点，与直线相交于点，与轴相交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点在反比例函数的图象上，且以为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)若点在反比例函数第一象限的图象上，点在轴上，使得与相似，求线段的长． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)点的坐标为或 (3)线段的长为或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求出的，的值即可； （2）分为对角线、为对角线和为对角线进行求解即可； （3）分，和，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：（1）将点代入一次函数，得， 解得， ∴一次函数的表达式为． 点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：联立， 解得， ∴， 令，由得， ∴， 令，由得， ∴， 设， ①当为对角线时，的中点重合， ∴， 解得，经检验，符合题意， 此时点的坐标为； ②当为对角线时，的中点重合， ∴， 解得，经检验，符合题意． 此时点的坐标为； ③当为对角线时，的中点重合， ∴，解得， ∴这种情况不符合题意； 综上所述，点的坐标为或． （3）解：设， ①如图1，当时，， ∴， ∴， 作轴，作轴，则， ∴， ∴， ∴， ， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ∴， ∴． ②如图2，当时， 同①可得：． ③如图3，当时，，过点作轴于点Q，如图， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∴． ④当时，， 同③可得：． 综上所述，线段的长为或． 试卷第2页，共57页 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点04 一次函数与反比例函数 内容导航 热点解读 题型突破 限时训练 热点内容解读 分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。 热点题型突破 对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。 题型01 函数图象共存问题 题型02 待定系数法求解析式 题型03 函数图象性质的判定 题型04 一次函数与反比例函数综合的交点与不等式问题 题型05一次函数与反比例函数综合的面积计算问题 题型06 由面积求K值问题 题型07 实际应用问题 题型08 函数与几何综合问题 热点限时训练 限时完成题目训练，提升解题能力。 近三年：近三年中考“一次函数与反比例函数”部分分值占比约10%-15%，是解答题的必考内容。考查覆盖三大核心模块：图象与性质基础（函数图象共存判断、待定系数法求解析式、增减性应用）、一次函数与反比例函数综合（交点坐标、不等式解集、面积计算）、函数与实际应用/几何综合（方案选择、行程问题、与三角形/四边形结合的代几综合题）。试题突出数形结合思想，重视k的几何意义考查，综合题难度逐年提升，常作为压轴题出现。 预测2026年：图象与性质基础：基础性保持稳定，但含参函数图象共存问题仍为重点，可能增加新定义函数图象的辨析。 一次函数与反比例函数综合：命题更灵活，面积问题与k的几何意义仍是核心，交点与不等式结合考查频率上升，可能融入最值问题。 综合应用与代几综合：图形变换（平移、旋转、对称）成为新热点，与四边形综合的探究性题目增多，注重考查综合运用能力和高阶思维。 题型01 函数图象共存问题 解｜题｜策｜略 采用“分类讨论逐项排除法”。先根据一次函数图象判断k、b符号，再代入反比例函数看是否符合；或从反比例函数图象所在象限确定k符号，再看一次函数。也可将选项代入验证。 1．（2026·陕西西安·一模）在同一平面直角坐标系中，函数（为常数，且）和的图象大致是（    ） A．B．C．D． 2．（2024·安徽·模拟预测）若，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（  ） A．B．C． D． 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是(   ) A． B． C． D． 4．（2025·安徽亳州·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数（是常数，且）的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（   ） A．B．C． D． 题型02 待定系数法求解析式 解｜题｜策｜略 根据已知点坐标或条件求函数表达式。一次函数需两个条件（两点或一点+斜率），反比例函数只需一个点（k=xy）。注意设解析式形式。 5．（2025·福建漳州·模拟预测）如果a与b成反比例，那么“？”是______，比例系数______． a 4 ？ b 200 160 6．（2025·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同象限，若反比例函数的图象经过其中两点，则_______． 7．（2025·山东·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移一定距离，得到，点F为中点，函数的图象经过点C和点F，则k的值是________． 8．（2025·江西赣州·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求出一次函数与反比例函数的解析式． (2)过点B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，连接．请你补全图形，并求出的面积． 题型03 函数图象性质的判定 解｜题｜策｜略 根据k、b的符号判断图象象限、增减性。牢记“k>0⇔一三象限，k<0⇔二四象限”；一次函数k>0⇔y随x增大而增大，k<0⇔y随x增大而减小。 9．（25-26九年级上·四川成都·期中）如果点 、、 在反比例函数 （） 的图象上，那么（ ） A． B． C． D． 10．（2025·江苏连云港·二模）“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（ ） A．时，y的值随x的增大而减小 B．时，y的值随x的增大而增大 C．图象不经过第二象限 D．图象不经过第四象限 11．（2025·上海徐汇·二模）如果反比例函数（是常数，）的图像经过第一、三象限，那么一次函数的图像一定经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 12．（2025·浙江杭州·一模）已知某函数的函数值y和自变量x的部分对应值如表： x y b 则这个函数的图象可能是（     ） A．B．C． D． 题型04 一次函数与反比例函数综合的交点与不等式问题 解｜题｜策｜略 先求两函数交点坐标，在数轴上标出。不等式的解集对应“一次函数图象在反比例函数上方”时x的取值范围。注意交点将x轴分成几段，分段判断。 13．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象相交于点、， (1)求直线与反比例函数的关系式； (2)若点是轴上一点，且的面积为3，求点的坐标． (3)直接写出时x的取值范围． 14．（2025·湖北·模拟预测）如图，一次函数（m，n为常数，）与反比例函数（k为常数，）的图象相交于，两点． (1)求m，n，k的值； (2)直接写出关于x的不等式组的解集． 15．（2025·湖北十堰·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，．    (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接、，求的面积． (3)求不等式的解集（直接写出答案） 题型05一次函数与反比例函数综合的面积计算问题 解｜题｜策｜略 常用方法有“分割法”（将图形分割成规则三角形）、“补形法”（补成梯形或矩形）、“k的几何意义法”（反比例函数上点向坐标轴作垂线，围成矩形面积=|k|）。若涉及两交点与原点，可用S=。 16．（2025·福建泉州·模拟预测）如图，已知正比例函数与反比例函数交于A，B两点，C是第三象限反比例函数图象上一点，且点C在点A的左侧，线段交y轴的正半轴于点P，若的面积是12，则点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 17．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接，若，，则的值是________． 18．（2025·四川乐山·二模）如图所示，反比例函数的图象与直线相交于点，且直线与轴相交于点． (1)求该直线与反比例函数的表达式； (2)将直线绕点顺时针旋转得到直线，直线与反比例函数图象交于点和，求的面积． 19．（2025·江苏镇江·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，将点B先向左平移4个单位，再向上平移个单位得到点A，点A恰好落在反比例函数的图象上，过A，B两点的直线与x轴交于点C． (1)求k，m的值及点C的坐标； (2)在x轴上有一点，连接、，求的面积． 题型06 由面积求K值问题 解｜题｜策｜略 两种路径——坐标法（设点坐标，代入满足的条件列方程）或k几何意义法（通过面积直接得|k|，再根据象限定符号）。 20．（2025·安徽淮南·二模）如图，已知的顶点A在反比例函数的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接交于点E．若，，则k的值为______． 21．（2023·浙江温州·二模）如图，点是反比例函数上的点，过作轴，连接交于点，若，且的面积为，则的值为 _______ ． 22．（2025·广东肇庆·一模）如图，矩形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，顶点E，F都在x轴上，交y轴于点D．若点C在y轴上，且，则（　　） A． B． C．4 D． 23．（2025·天津·二模）如图，的顶点A在x轴上，顶点B和C都在反比例函数图象上且关于原点对称，，的面积为24．则k的值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 题型07 实际应用问题 解｜题｜策｜略 审题建模是关键。先明确自变量和因变量，找出等量关系建立函数关系式，注意自变量的实际意义（取值范围）。方案选择题需比较不同函数值的大小。 24．（2025·广东韶关·二模）如图1，现有一台可调节温度的取暖器，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现控温．如图2是该取暖器的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法错误的是（    ） A． I与R的函数关系式是 B． 当时 C．当时，I的取值范围是 D． 已知该取暖器的发热功率为，则P随R的增大而增大 25．（2025·浙江丽水·二模）制作某种金属工具要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到后立即开始锻造操作，当材料温度低于时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度与时间成一次函数关系，第一次锻造造时温度与时间成反比例函数关系，开始制作后第8分钟材料的温度为． (1)求第一次锻造操作的时长； (2)求第二次开始锻造的时间． 26．（2025·广东广州·二模）综合与实践：课题小空间检测视力问题 具体情境：对某班学生视力进行检测的任务； 现有条件：一张测试距离为5米的视力表，一间长为3.8米，宽为3.6米的空书房． (1)如图，若将视力表挂在墙上，在墙上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可知：测试线应画在距离______米处； (2)小明选择按比例制作视力表完成该任务，在制作过程中发现视力表上视力值V和该行字母E的宽度a之间的关系是一种函数模型，字母E的宽度a如上中图所示，视力表上部分视力值V和字母E的宽度a的部分对应数据如左下表所示： 位置 视力值V a的值（） 第1行 0.1 70 第5行 0.25 28 第8行 0.5 14 第14行 2 3.5 ①根据表格数据判断，从一次函数、反比例函数中选择一个合适的函数模型拟合视力值V与字母E的宽度a（说明理由），并求出视力值V与字母E宽度a之间的函数关系式； ②小明在制作过程中发现某行字母E的宽度a的值，请问该行对应的视力值是多少？ 27．（2025·广东东莞·二模）综合与实践：生物生长规律的模型研究． 如图1，砗磲ēú是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄单位：岁与平均日生长速率单位：天的数据如下表： x 0 5 10 15 20 25 y 【模型构建1】如图2，数学小组A在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据图1点的分布情况，猜想其函数图象是过的抛物线，设解析式为 （1）选取两个点，，求抛物线解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄． 【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为，，，，猜想当时y与x符合反比例关系，设解析式为 （2）为减少偏差，取，求反比例函数解析式． 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． （3）为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择恰当的一个，说明选择的理由并计算． 题型08 函数与几何综合问题 解｜题｜策｜略 遵循“坐标法”思路。将几何条件（如平行、垂直、相等）转化为坐标关系（斜率关系、距离公式），设出关键点坐标，代入函数解析式列方程求解。涉及平行四边形存在性问题，利用中点坐标公式。 28．（2025·陕西渭南·一模）如图，一次函数（b为常数）的图像与y轴交于点，与反比例函数（k为常数，且）的图像交于点B、，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点是轴上一点，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，且为等腰三角形的腰，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 29．（2025·山东日照·模拟预测）如图，点B在函数的图象上，过点分别作x轴和y轴的平行线交函数的图象于点A，C． (1)若点B的坐标为，求点A坐标和直线解析式； (2)当点B为函数图象上的动点，问四边形的面积是否变化，若不变，请说明原因；若变化，请用m的代数式表示四边形面积； (3)当平分与x轴正半轴的夹角，求证此时是的角平分线． 30．（2025·四川雅安·二模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出和的值； (2)结合图象直接写出中的取值范围； (3)在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 31．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，的面积为1．    (1)求反比例函数的解析式； (2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点P作轴交直线于点D，作轴交y轴于点E，若，求点P的坐标； (3)若M是x轴负半轴上一点，N是反比例函数图象上一点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标．    （20分钟限时练） 1．（2025·安徽淮北·三模）如图，点A，B在反比例函数的图象上，点A，B的横坐标分别是3和6，连接，则的面积是（   ） A． B．4 C． D．5 2．（2025·浙江·模拟预测）如图，点A，B在反比例函数（常数）图象上，作轴于点C，轴于点D，过B作于点E，连接，，．则下列三角形中，与的面积一定相等的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于轴的直线与反比例函数的图象交于点，将直线绕点逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是(　　) A．或 B．或 C．且 D．或 4．（2025·山东济宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，第一象限的角平分线分别与反比例函数，，⋯的图象交于点，过分别作坐标轴的平行线，依次得到矩形，，…，其面积依次记作，则可以表示为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·陕西咸阳·二模）已知反比例函数：和：在第一象限的图象如图所示，平行四边形的顶点，分别在和上，点在轴上，则的面积为_____． 6．（2025·安徽淮南·一模）如图，直线与反比例函数的图象交于点C，点C的纵坐标为4，直线与x轴交于点，与y轴交于点M，B为直线上一点，横坐标为，过点B作轴于点D，交反比例函数的图象于点H，G为反比例函数图象上一动点，过点G作于点E，作交y轴于点F． （1）______； （2）若点G在点C，H之间（不与点C，H重合）运动，当面积取得最大值时，的长为______． 7．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)把直线向上平移个单位长度与的图象交于点，连接、． ①求的面积． ②若直线的解析式为，请直接写出成立时的取值范围． 8．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于点，点，与反比例函数的图象交于点． (1)求，的值． (2)点为射线上一动点（不与点重合），过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点，连接．当时，求点的坐标． (3)将反比例函数的图象绕原点逆时针旋转交轴于点．若点为反比例函数的图象上一动点，直线交轴的正半轴于点，求面积的最小值． 9．（2025·河北唐山·模拟预测）矩形中，，．分别以，所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E； (1)当点F运动到边的中点时，求点E的坐标； (2)连接，求的正切值； (3)如图2，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，求此时反比例函数的解析式． 10．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点，与直线相交于点，与轴相交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点在反比例函数的图象上，且以为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)若点在反比例函数第一象限的图象上，点在轴上，使得与相似，求线段的长． 试卷第2页，共57页 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $