热点03 统计与概率（培优热点专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习高效培优系列

热点03 统计与概率 内容导航 热点解读 题型突破 限时训练 热点内容解读 分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。 热点题型突破 对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。 题型01 调查方式与样本概念 题型02 统计图的解读与补全 题型03 频数分布与直方图 题型04 统计量的计算 题型05 统计量的意义选择 题型06 方差与稳定性 题型07 事件类型的判断 题型08 古典概率 题型09 几何概率 题型10 统计图表与概率的综合 题型11 统计量与决策的综合 题型12 跨学科综合应用 热点限时训练 限时完成题目训练，提升解题能力。 近三年：近三年中考“统计与概率”部分分值占比稳定在10%-15%，命题坚持“立足基础、注重应用、凸显素养”的导向。考查内容覆盖四大核心模块：数据的收集与整理（调查方式辨析、统计图表解读、频数分布）、数据分析（平均数、中位数、众数、方差的计算与意义理解）、概率（随机事件判断、古典概型与几何概型计算、用频率估计概率）、统计与概率综合（图表与概率融合、统计量应用）。试题紧密联系生活实际和社会热点（如体质健康、环保、校园活动），侧重考查学生的数据分析观念、应用意识和核心素养，减少机械计算，强化对统计量意义的理解和实际问题的解决能力。 预测2026年：数据的收集与整理：延续基础考查，但将更多融入社会热点（如人口、环保、健康）设计情境化题目，要求从图表中提取信息并进行分析推断。 数据分析：减少单纯计算，侧重考查统计量的实际意义理解和选择应用，可能会结合决策问题（如选谁参赛、哪款产品更优）进行考查。 概率：情境设计更加新颖，可能出现与几何图形、游戏公平性、模拟试验等结合的概率问题，强调对概率本质的理解。 统计与概率综合：综合题比例上升，可能跨学科融合（如生物、体育），考查学生综合运用统计概率知识解决实际问题的能力。 题型01 调查方式与样本概念 解｜题｜策｜略 全面调查适用于范围小、要求精确的情况（如班内视力）；抽样调查适用于范围大、破坏性检测（如灯泡寿命）。样本容量不带单位，是数字。 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）某同学要统计本班同学最喜欢的体育运动项目，以下是需要经历的一些统计步骤： ①从扇形图中分析出最喜欢的体育运动项目 ②设计问卷调查表收集学生的调查记录 ③绘制扇形图来表示各个体育运动项目所占的百分比 ④整理调查记录并绘制频数分布表 正确统计步骤的顺序是（    ） A．②③①④ B．③④①② C．①②④③ D．②④③① 【答案】D 【分析】此题主要考查了扇形统计图和频数分布表，解题关键是明确制作频数分布表以及扇形统计图的步骤． 根据题意和频数分布表、扇形统计图制作的步骤，即可解答． 【详解】解：由题意可知，要统计本班最受学生欢迎的社团活动其正确步骤为：②设计问卷调查表收集学生的调查记录；④整理调查记录并绘制频数分布表；③绘制扇形图来表示各个体育运动项目所占的百分比；①从扇形图中分析出最喜欢的体育运动项目； 故选：D． 2．（2025·上海·模拟预测）下列有关统计的说法中，正确的是（   ） A．平均数越大，不一定代表样本内各个个体的水平越高 B．方差越大，则代表整个样本内个体的差异越小 C．在一个群体内进行抽样调查，得到的所有数据都可以类推至整个群体 D．当样本内的个体差异极大时，平均数也可以真实反映整个群体的情况 【答案】A 【分析】本题考查了平均数，方差，抽样调查等知识点，熟练掌握基本知识点是解题关键； 根据平均数，方差，抽样调查的概念逐一进行判断即可． 【详解】解：A、平均数反映了一组数据的平均水平，并非平均数大就是各个个体的水平高；故说法正确，符合题意； B、方差越大，则代表整个样本内个体的差异越小；故说法不正确，不符合题意； C、抽样调查需保证样本代表性，若抽样方法不当（如非随机抽样），结论无法推广至群体；故说法不正确，不符合题意； D、个体差异极大时，平均数易受极端值影响，可能无法真实反映群体情况；故说法不正确，不符合题意； 故选：A． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）在下列调查中，适宜采用普查的是（   ） A．调查某神舟号火箭的零件安全情况 B．调查长沙县中小学生心理健康情况 C．调查橘子洲头游园日均客流量 D．调查《新闻联播》栏目的收视率 【答案】A 【分析】本题考查了普查．熟练掌握普查的适用条件是解题的关键．普查适用于总体数量较少或调查结果要求精确的情况，而抽样调查适用于总体数量大或破坏性调查．需逐一分析各选项的适用性即得． 【详解】解：A. 神舟号火箭的零件安全至关重要，必须逐一检查，否则可能引发重大事故，因此必须采用普查． B. 长沙县中小学生数量庞大，普查耗时耗力，通常采用抽样调查． C. 橘子洲头客流量大且每日变化，普查成本高，通常通过抽样估算． D. 收视率调查需覆盖全国观众，无法逐一普查，只能抽样统计． 综上，只有A符合普查条件． 故选：A． 题型02 统计图的解读与补全 解｜题｜策｜略 遵循“审题干→找数据→算总量→补图表→得结论”的步骤。先明确图表类型，找已知数据和对应百分比，求出样本总量，再用总量×百分比求各部分数量。扇形圆心角=360°×百分比。 4．（2025·湖南长沙·一模）某数学课外活动小组调查学校附近一家超市的销售情况，发现本学期前五周的销售总额一共是186万元，图1，图2分别是其销售总额统计图和零食类销售额占当周销售总额的百分比统计图．根据图中信息，下列判断中正确的是（   ） ①超市第四周销售总额为20万元；②对比上一周，第四周零食类销售额下降幅度最大；③第二周和第五周零食类销售总额相同；④第四周零食类销售额比第三周的零食类销售额增加了；⑤第五周的零食类销售额比第四周的零食类销售额增加了． A．①④⑤ B．①②③ C．①④ D．①⑤ 【答案】D 【分析】本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用．①用销售总额减去其它四个周销售额判断即可；②③④⑤根据折线统计图和条形统计图数据判断即可． 【详解】解：超市第四周销售总额为（万元），故①结论正确； 由题意可知，第四周零食类销售额为（万元），第三周零食类销售额为（万元），第四周零食类销售额比第三周增加了，故②结论错误； 由题意可知，第二周零食类销售额为（万元），第五周零食类销售额为（万元），第二周和第五周零食类销售总额不同，故③结论错误； 由题意可知，第四周零食类销售额为（万元），第三周零食类销售额为：（万元），所以第四周零食类销售额比第三周的零食类销售额增加了，故④结论错误； 由题意可知，第四周零食类销售额为（万元），第五周零食类销售额为：（万元），所以第五周的零食类销售额比第四周的零食类销售额增加了，故⑤结论正确； 所以判断中正确的是①⑤． 故选：D． 5．（2025·江苏无锡·模拟预测）某校根据课程设置要求，开设了数学拓展性课程．为了解学生最喜欢的课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（必须选且只能选其中一项），将统计结果绘制成如下的统计图（不完整），请根据图中信息回答问题：（A：趣味数学，B：数学史话，C：试验探究，D：生活应用，E：思想方法．） (1)求m、n的值； (2)补全条形统计图； (3)求D：生活应用所对应的扇形圆心角的度数． 【答案】(1)m的值是，n的值是； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据选择A的学生人数和所占的百分比，可以求出本次抽取的学生人数，然后即可计算出m、n的值； （2）用总人数乘以D所占的百分比可以计算出选择D的学生人数，从而可以将条形统计图补充完整； （3）用乘以D所占的百分百即可求解． 【详解】（1）解：本次抽取的学生有：（人）， ∴，； （2）解：选择D的学生有：（人）， 补全的条形统计图如图所示； （3）解：， ∴D：生活应用所对应的扇形圆心角的度数是． 6．（2025·山东青岛·模拟预测）第19届亚运会在我国杭州举行，共有45个参赛国家和地区的运动员参加了比赛．在比赛期间，我国代表团表现出非常强大的竞技实力和精神面貌，经过全队的努力拼搏，最终获得201枚金牌、111枚银牌、71枚铜牌．某班同学以“我最喜欢的亚运会运动健儿”为主题对全校同学进行随机调查，每位同学仅选一项），根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表： 最喜欢的运动健儿 喜欢人数 根据以上信息回答下列问题： (1)表格中___________． (2)扇形统计图中C对应的扇形的圆心角的度数为___________． (3)该校有3000名学生，根据抽样调查的结果估计该校最喜欢的亚运会运动健儿是D的学生人数． 【答案】(1)72 (2)． (3)估计该校最喜欢的亚运会运动健儿是的学生有330名 【分析】本题考查了扇形统计图，扇形统计图的圆心角，样本估计总体； （1）根据最喜欢的运动健儿的人数除以占比，得到总人数，进而根据统计表，求得的值； （2）根据的占比乘以，即可求解； （3）先求得的占比，进而用乘的占比，即可求解． 【详解】（1）解：样本容量是． 故答案为72． （2）对应的扇形的圆心角度数为． 故答案为． （3）样本中，（名）， （名）． 答：估计该校最喜欢的亚运会运动健儿是的学生有名 题型03 频数分布与直方图 解｜题｜策｜略 极差=最大值-最小值，组距=极差÷组数。频数分布直方图注意纵轴是频数，横轴是分组区间。 7．（2025·四川南充·一模）某校为了解九年级学生对化学实验操作的掌握情况，对九年级600名学生进行了化学实验操作测试，从中随机抽取了部分学生的成绩进行整理、描述和分析（测试满分为100分，学生成绩x均为不小于60分的整数，分为四个等级：D：，C：，B：，A：，部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下： 80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)所抽取的学生成绩为C等级的有______人，并补全频数分布直方图； (2)所抽取的学生成绩的中位数为______； (3)试估计该校九年级学生中化学实验操作测试成绩为A等级的人数． 【答案】(1)7人，见详解 (2)85 (3)200人 【分析】本题主要考查中位数，频数分布直方图，以及用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）根据B组的人数和占比求出抽取学生总数，即可求出C等级的人数，补全频数分布直方图即可； （2）根据中位数定义求解即可； （3）先求出样本中A等级人数的占比，再乘以600即可得出结论． 【详解】（1）解：（人） C等级的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： （2）解：30个数据按大小顺序排列，最中间的两个是第15、16个，即84，86， ∴中位数是； （3）解：依题意，（人）， 即估计成绩为A等级的人数为200人． 8．（2025·安徽淮南·二模）人工智能（）是当今科技领域最热门的话题之一，某学校组织学生参加以人工智能（）为主题的知识竞赛，为了解该校学生在本次竞赛中的情况，现随机抽取了九年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，且x为整数，单位：分），将测试成绩按以下5组进行整理：A（优秀）：；B（良好）：；C（中等）：；D（合格）：；E（待合格）：．并绘制了这些学生的竞赛成绩的频数直方图和扇形统计图，部分信息如下： 已知C等级学生的成绩分别为72，72，74，74，74，75，75，75，76，76，76，76，76，78，78． 请根据以上信息，完成下列问题： (1)本次抽查样本容量为______，扇形统计图中的值为______°，m的值为______． (2)请补全频数直方图． (3)学生小涛和小涵对本次成绩进行了讨论： 小涛：这次抽取成绩的中位数是75分． 小涵：我们学校九年级800名学生中，不低于75分的估计有450人． 你认为以上两位同学谁的观点正确？并说明理由． 【答案】(1)80；22.5；31.25 (2)见解析 (3)小涵的观点正确，小涛的观点错误．见解析 【分析】本题考查了频数分布直方图与扇形统计图，中位数的概念，解决本题的关键是能读懂频数分布直方图与扇形统计图中的相关信息． （1）根据良好与中等所对应的圆心角可得总人数，再由圆心角计算公式以及人数计算即可． （2）根据中等学生人数与良好学生人数补全频数直方图即可． （3）根据中位数的概念计算中位数即可判断小涛的说法，计算不低于75分的人数即可判断小涵的说法． 【详解】（1）解：由扇形统计图可知，良好与中等所对应的圆心角为， ∴待合格，合格与优秀所对应的圆心角为， 即占总人数的， 由频数直方图可知，待合格，合格与优秀的人数为（人）， 即总人数为（人）； 待合格对应的圆心角为； 合格所占百分比为． 故答案为：80；22.5；31.25． （2）解：C等级即中等学生人数为15人， ∴良好学生人数为（人）， 补全频数直方图如图所示． （3）解：小涵的观点正确，小涛的观点错误，理由如下． 理由：本次抽样调查的样本容量是80，待合格和合格共30人，72分至75分的有8人， ∴第40人和第41人都是76分，所以这次抽取成绩的中位数是76分，所以小涛的观点错误． ∵（人）， ∴九年级800名学生中，不低于75分的估计有450人，所以小涵的观点正确． 9．（2025·湖南郴州·模拟预测）年是中国共产主义青年团建团周年，为迎接党的二十大胜利召开，进一步传承五四精神．某中学组织了一面向全校的党团知识竞赛，有名学生参加的书面测试，阅卷后，校团委随机抽取了份答卷进行分析统计，发现测试结果（分）的最低分为分，最高分为满分分，且分数都为整数，并绘制了尚不完整的统计图表，请根据图表提供的信息，解答下列问题： 分数段（分） 频数 频率 (1)填空：______，______，______，并将频数分布直方图补充完整； (2)校团委打算让全校位于分数段的同学，统一时间进行的补测，若每个考室需安排个座位，则估计需要安排多少个补测的考室？（列式说明） (3)校团委计划对成绩为的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二、三等奖，并且一、二、三等奖的人数比例为，请你估算全校获得二等奖的学生人数． 【答案】(1)，，，补充完整的频数分布直方图见解析； (2)需要安排个补测的考室； (3)全校获得二等奖的学生人数为人． 【分析】本题主要考查了频数分布表以及利用样本估计总体，解决本题的关键是要熟练掌握样本容量、频数、频率之间的关系． （）根据频数、频率、样本容量之间的关系，求出样本容量，进而求出的值；根据各组的频数进行计算然后补全即可； （）先求出全校位于分数段的同学人数，进一步即可求出答案； （）求出样本中“二等奖”的人数，再乘以其所占百分比求解即可． 【详解】（1）解：；，， 补充完整的频数分布直方图如图， 故答案为：，，； （2）解：全校位于分数段的同学有：（个）， ∴校团委需安排补考的考室为：（个）， 答：需要安排个补测的考室； （3）解：（人）， 答：全校获得二等奖的学生人数为人． 题型04 统计量的计算 解｜题｜策｜略 中位数计算：先将数据排序（从小到大），奇数个取中间一个，偶数个取中间两个的平均数。 平均数计算：注意加权平均数的应用，若给出各组频数，用各组中值×频数求和再除以总频数。 10．（2025·上海杨浦·模拟预测）有7个按从小到大排列的数，平均数是38，前4个平均数是33，后4个是42，那么这组数的中位数是（    ） A．33 B．34 C．35 D．36 【答案】B 【分析】本题考查平均数与中位数的计算与应用，关键在利用平均数之和的关系建立等式，通过已知条件消去未知数求解中位数． 利用总和与前4个和后4个的和的关系，通过方程求解中位数． 【详解】解：设7个数之和为，则， 前4个数之和为， 后4个数之和为， ∵， ∴， 即， ∴ ， 故中位数为34． 故答案为：B． 11．（2025·上海闵行·二模）某校足球社团共有30名成员，他们的年龄在12岁至16岁之间，在统计全体社团成员的年龄时，14岁和15岁的人数尚未统计完全，并制作了如下面的表格，根据表格，关于全体社团成员年龄的统计量能确定的是（    ）． 年龄（单位：岁） 12 13 14 15 16 人数（单位：名） 7 11 2 A．平均数和中位数 B．平均数和方差 C．众数和中位数 D．众数和方差 【答案】C 【分析】通过总人数计算14岁和15岁人数之和为10，众数和中位数固定，平均数和方差随未统计人数变化，无法确定. 本题考查了中位数，众数，平均数，方差，熟练掌握定义是解题的关键. 【详解】解：∵总人数30人，已知12岁7人、13岁11人、16岁2人， ∴14岁和15岁人数之和为人. ∵13岁人数11人，为最多， ∴众数为13岁. ∵数据排序后，累计到13岁为18人，第15和16个数据均在13岁组， ∴中位数为13岁. 平均年龄为，化简为，随a变化； 方差依赖平均数，故均不确定. ∴能确定的统计量是众数和中位数， 故选：C. 12．（2025·广东深圳·模拟预测）某团队研发了三款机器人，分别命名为A、B、C．为测试三款机器人在图像识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图像识别能力测试中，A、B、C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析． 【数据收集与整理】 A、B、C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A m 9和10 85 B 8 87 C 8 n 83 任务1： ， ； 【数据分析与运用】 任务2：按图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断A、B、C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 任务3：如果要选择A、B、C三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请给出你的理由． 【答案】任务1：9；8 任务2：综合成绩最高的是B款机器人 任务3：见解析 【分析】本题考查了折线统计图和扇形统计图综合，中位数、众数、方差的定义，解题的关键是数形结合，并掌握相关知识． （1）把款机器人测试员打分从低到高排列可得，由扇形统计图可得； （2）根据图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占，列式计算三种机器人的综合得分，再比较即可得到答案 （3）根据众数、方差、运动能力测试能力比较即可． 【详解】解：（1）由折线统计图可知，款机器人测试员打分从低到高排列为：，，，，，，，，，， 款机器人测试员打分的中位数， 由扇形统计图可知，款机器人运动能力得分出现次数最多的是分， 款机器人运动能力得分的众数， 故答案为：，； （2）的综合成绩为：（分）， 的综合成绩为：（分）   的综合成绩为：（分） ， 机器人的综合成绩最高； （3）选择B款机器人，理由如下： 由折线统计图可判断B款机器人的得分波动比A款机器人的得分波动小， ∴， 由表知， ∴， ∴测试员对B款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； ∴选择B款机器人． ①选择机器人，因为机器人得运动能力测试能力比较高； ②选择机器人，因为B机器人运动能力成绩得方差比较小，说明机器人得运动能力比较稳定； ③选择机器人，因为机器人运动能力测试得众数是和，说明较多专业测试员认为机器人得运动能力很好. (答案不唯一，言之有理即可) 13．（2025·陕西西安·一模）2025年11月25日搭载神舟二十二号飞船的长征二号遥二十二运载火箭成功发射，我国航天再添辉煌，让我们看到了科技进步的力量．实验中学为了了解本校学生对航天科技的关注程度，组织八、九年级学生进行航天科普知识竞赛（满分100分），并分别从两个年级中随机抽取了20名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为四组：），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的成绩是：． 九年级20名学生的成绩在组中的数据是：． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 89 90 九年级 89 92 九年级抽取学生的竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：__________；__________，__________； (2)根据以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好？请说明理由；（写一条） (3)若该校八年级有500人，九年级有600人，且得分在90分及以上为优秀，请估计这两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生人数． 【答案】(1)，， (2)八年级的成绩更好，理由见解析 (3)两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生人数为人 【分析】本题考查统计图的应用、众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键． （1）先求出九年级C组占比，进而即可得出m的值，根据众数和中位数的定义即可得出a、b的值； （2）可从平均数、众数、中位数角度分析解答； （3）利用样本估计总体解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； 在八年级的成绩中出现次，次数最多， 故； 九年级成绩中D组人数为人， 中位数应是排列后居于第位和位数据的平均数，即； 故答案为：，，； （2）解：八年级的成绩更好，理由为： 因为八年级成绩的中位数为，九年级成绩的中位数为，由于，所以八年级的成绩更好； （3）解：人， 答：两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生人数为人． 题型05 统计量的意义选择 解｜题｜策｜略 根据实际问题背景，选择合适的统计量进行评价或决策（如选谁参加比赛）。 14．（2025·上海·二模）下列是一组数据：2，2，2，3，4，7，9，9，114514，可以较好反映这组数据平均水平的关于此数据的值是（    ） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 【答案】D 【分析】本题考查利用中位数作决策，掌握中位数的意义是解决本题的关键． 根据平均数，众数，中位数和方差表示的意义和影响因素进行判断即可． 【详解】解：2，2，2，3，4，7，9，9，114514， 众数为2，数值过小，不能很好地反映这组数据平均水平， 方差表示波动情况，它和平均数一样受极端值的影响大，不能很好地表示平均水平， ∴中位数不受极端值影响，能较好地代表中间位置， 故选D． 15．（2025·广东清远·三模）某校对直播软件功能进行筛选，学校选定了A和B两款软件进行试用，并抽取部分师生对这两款软件打分（分数为整数，满分为5分）． 信息一：分别随机抽取20名学生打分情况的折线统计图如图所示： 信息二：学生打分的平均数、众数、中位数如下表所示： 软件 平均数 众数 中位数 A 4 B 4 信息三：抽取的10位教师对A和B这两款软件打分的平均分分别为分和4分． 请根据以上信息解答下列问题： (1)填空：_____，_____． (2)学生对这两款软件评价较高的是哪一款？请说明理由． (3)学校决定选择综合平均分高的软件进行教学，其中综合平均分中教师打分占，学生打分占，请你通过计算分析学校会采用哪款软件进行教学． 【答案】(1)3，4 (2)学生对这两款软件评价较高的是B，理由见解析 (3)学校会采用A软件进行教学 【分析】本题主要考查了折线统计图，中位数，众数和加权平均数，熟练掌握这些知识点的应用是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义进行求解即可； （2）根据学生对钉钉打分的中位数和平均数都比对直播打分的中位数和平均数高即可得到答案； （3）分别计算出两款软件的得分即可得到答案； 【详解】（1）解：由折线图可得，第10位与第11位的得分都是3分， ∴中位数， 由折线图可知，B软件得分出现次数最多的是4分． ∴众数， 故答案：3，4； （2）学生对这两款软件评价较高的是B，理由如下： ∵学生对B打分的平均数和中位数都比A高， ∴学生对这两款软件评价较高的是B； （3）A软件的得分为（分）， B软件的得分为（分）， ∵， ∴学校会采用A软件进行教学． 16．（2025·山东淄博·模拟预测）某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从革命摇篮井冈山、军队摇篮南昌、共和国摇篮瑞金、长征出发地于都这四个旅游景点随机选取一个（依次用字母，，，表示）中选择一处作为研学地点为了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图；扇形统计图中所对应的圆心角的度数为______； (2)该校共有名学生，请你估计该校有多少名学生想去“长征出发地一于都”？ (3)研学后，学校从八年级两个班分别随机抽取名学生开展研学知识竞赛．甲班名学生的成绩（单位：分）分别是：，，，，，，，，，；乙班名学生的成绩（单位：分）的平均数、中位数、众数分别是：，，．根据以上数据判断______班的竞赛成绩更好．（填“甲”或“乙”），并说明理由． 【答案】(1)见解析， (2)名 (3)甲，理由见解析 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图，中位数，众数，平均数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件、利用数形结合的思想解答问题． （1）用B的人数除以求得本次调查的学生总数，进而得出D组的人数，画出统计图，用乘“A”所占比例可以求得“A”部分所占圆心角的度数； （2）用1600乘样本中D所占比例即可； （3）求出甲班的平均数，众数，中位数，再对比，即可解答． 【详解】（1）解：总人数：人， 所对应的圆心角的度数为：， 组人数：；如图： 故答案为：； （2）解：名， 答：估计该校有名学生想去“长征出发地一于都”； （3）解：甲班名学生的成绩：，，，，，，，，，， 平均数， 众数：； 中位数：， 则甲班的平均数，中位数，众数都高于乙班，则甲班的竞赛成绩更好． 17．（2025·广东潮州·模拟预测）为了弘扬和传承中华优秀传统文化，东北育才学校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）： 甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6． 乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5． 根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 6 2.6 乙组 7 2 (1)在以上成绩统计表中，=_______，=______，=______． (2)小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因． (3)从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 【答案】(1)6，7，7 (2)小明可能是甲组的学生，解释原因见解析 (3)选乙组参加决赛，理由见解析 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数及方差的意义，关键是熟练应用特征数做决策． （1）根据方差、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案； （2）根据中位数的意义即可得出答案； （3）根据平均数与方差的意义即可得出答案． 【详解】（1）解：∵甲组数据重新排列为：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10． ∴中间两个数的平均数是，则中位数； ∵乙组数据重新排列为：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10． ∴， ∵乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多， ∴众数． 故答案为：6，7，7 （2）小明可能是甲组的学生，理由如下： ∵甲组的中位数是6分，而小明得了7分， ∴小明在小组中属中游略偏上． （3）选乙组参加决赛．理由如下： ∵甲、乙两组学生平均数相同， 而， ∴乙组的成绩比较稳定， 故选乙组参加决赛． 题型06 方差与稳定性 解｜题｜策｜略 方差越小，数据越稳定。比较两组数据时，先看平均水平（平均数），再看稳定性（方差）。 18．（2025·河北唐山·模拟预测）义安区某中学九年级人数相等的甲、乙两班学生参加同一次数学测试，两班平均分和方差分别为分，分，，．那么成绩较为整齐的是（   ） A．甲班 B．乙班 C．两班一样 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了方差．根据方差的意义，方差越小，数据波动越小，成绩越整齐，通过比较两班方差大小即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴乙班成绩较为整齐． 故选：B． 19．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知排球队6名上场队员的身高（单位：）分别是：． 现用两名身高是的队员分别换下场上身高为的队员，与换人前相比，现在计算结果不受影响的是（ ） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 【答案】D 【分析】本题考查众数，中位数，平均数，方差，掌握相关知识是解决问题的关键．换人前后，数据总和增加导致平均数变化；众数从原数据无众数变为出现两次；方差因数据值改变而变化；中位数因中间两数仍为和而保持不变． 【详解】解：∵ 原始数据排序后为， 中位数 ； 换人后数据排序为， 中位数 ； ∴ 中位数不变， 换人前后，数据总和增加导致平均数变化；众数从原数据无众数变为出现两次；方差因数据值改变而变化 ∴不受影响的是中位数． 故选：D． 20．（2025·安徽淮南·一模）在科技飞速发展的当下，智能机器人成为了热门研究领域．某科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为A，B，C．为测试这三款机器人在图像识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图像识别能力测试中，A，B，C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位专业测试员根据一系列动作任务进行打分，每位测试员最高打10分，运动能力测试成绩为各位测试员打分之和．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，以评估哪款机器人的综合性能更优． 【数据收集与整理】 A，B，C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A m 9和10 85 B 8 87 C 8 n p 任务1：______，______； 【数据分析与运用】 任务2：求C款机器人的运动能力测试成绩p； 任务3：通过比较方差，判断测试员对______（填“A”“B”或“C”）款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； 任务4：按图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断A，B，C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 【答案】任务1：9；8；任务2：C款机器人的运动能力测试成绩p为83分；任务3：B；任务4：综合成绩最高的是B款机器人 【分析】本题主要考查了扇形统计图，折线统计图，加权平均数和统计表，解题的关键是读懂题意，掌握中位数，众数，方差等概念． 任务：把款机器人测试员打分从低到高排列可得，由扇形统计图可得；任务2：列式计算加权平均数可得款机器人的运动能力测试成绩为分； 任务3：由折线统计图可判断B款机器人的得分波动比A款机器人的得分波动小，即，由表知，即可得测试员对B款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； 任务4：先分别计算出A、B、C三款机器人的综合成绩，然后进行比较即可． 【详解】解：任务：由折线统计图可知， 款机器人测试员打分从低到高排列为：，，，，，，，，，， 款机器人测试员打分的中位数， 由扇形统计图可知，款机器人运动能力得分出现次数最多的是分， ； 任务2：（分）． 答：C款机器人的运动能力测试成绩p为83分． 任务3：由折线统计图可判断款机器人的得分波动比款机器人的得分波动小， ． 由表知， 测试员对款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； 任务4：A款机器人的综合成绩为：（分）， B款机器人的综合成绩为：（分）， C款机器人的综合成绩为：（分）． ， 综合成绩最高的是B款机器人． 题型07 事件类型的判断 解｜题｜策｜略 必然事件（一定发生，概率1）、不可能事件（一定不发生，概率0）、随机事件（可能发生也可能不发生）。 21．（2025·湖北·模拟预测）下列事件中，属于随机事件的是（   ） A．将油滴入水中，油会浮在水面 B．随意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是 C．抛出的篮球会下落 D．任意买一张电影票，座位号是的倍数 【答案】D 【分析】本题考查了随机事件，解题关键是需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念． 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念分别分析四个选项中事件，再作判断． 【详解】解：将油滴入水中，油会浮在水面是必然事件，故A错误； 随意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是，是不可能事件，故B错误； 抛出的篮球会下落是必然事件，故C错误； 任意买一张电影票，座位号是的倍数是随机事件，故D正确； 故选：D． 22．（2025·湖北武汉·模拟预测）年，“杂交水稻之父”袁隆平培育出世界上第一株籼型杂交水稻，不仅解决了我国人多粮食少的问题，也给世界粮食产业带来了一次绿色变革．事件“没有水分，水稻正常生长”是（  ） A．随机事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．必然事件 【答案】C 【分析】本题考查了事件的分类，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：事件“没有水分，水稻正常生长”是不可能事件， 故选：． 23．（2025·湖南怀化·一模）“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列事件属于必然事件的是（      ） A．水中捞月 B．守株待兔 C．水滴石穿 D．缘木求鱼 【答案】C 【分析】本题考查的是随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． 【详解】解：A. “水中捞月”是不可能事件，故该选项不符合题意； B. “守株待兔”是随机事件，故该选项不符合题意； C. “水滴石穿”是必然事件，故该选项符合题意； D. “缘木求鱼”是不可能事件，故该选项不符合题意． 故选：C． 题型08 古典概率 解｜题｜策｜略 两步试验用列表法，三步及以上用树状图法。注意“放回”与“不放回”的区别：放回则总数不变，不放回则总数减少。 24．（24-25九年级上·北京东城·期末）中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签，，，，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好． (1)从中随机抽取1张，抽到“中庸”书签的概率是______； (2)从中随机抽取2张；用列举法求出随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了简单的概率计算、利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． （1）从这4张书签中随机抽取1张共有4种等可能的结果，再利用概率公式计算即可得； （2）先画出树状图，则可得从这4张书签中随机抽取2张的所有等可能的结果，再找出随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】（1）解：∵从这4张书签中随机抽取1张共有4种等可能的结果， ∴从中随机抽取1张，抽到“中庸”书签的概率是， 故答案为：． （2）解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，从这4张书签中随机抽取2张共有12种等可能的结果，其中，随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的结果有2种， 则随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率为， 答：随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率为． 25．（2025·陕西西安·一模）数学活动课上，小晨所在的兴趣小组设置了一个跨学科的游戏活动：如图，他们把生活中的这几种现象的图片制成四张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，其中卡片属于物理变化，属于化学变化．小晨将这些卡片背面朝上洗牌，然后放置在桌面上． (1)若组员小宇从中随机抽取一张卡片，则他抽到“．冰雪融化”的概率是__________； (2)若小晨从中随机抽取一张卡片，不放回，小轩再从剩余的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法，求他们两人抽到的卡片内容都是化学变化的概率． 【答案】(1) (2)他们两人抽到的卡片内容都是化学变化的概率为 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）利用画树状图的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【详解】（1）解：由题意知，组员小宇从中随机抽取一张卡片，则他抽到“．冰雪融化”的概率是． 故答案为：． （2）解：画树状图如下：    共有12种等可能的结果，其中他们两人抽到的卡片内容都是化学变化的结果有：，，共2种， 他们两人抽到的卡片内容都是化学变化的概率为． 26．（2025·吉林四平·二模）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好． (1)小明从中随机抽取一张邮票是“清明”的概率是________________． (2)小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，概率公式的应用，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）直接由概率公式求解； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：一共有三种可能，小明从中随机抽取一张邮票是“清明”的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图：    共有9种等可能结果，小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的结果有5种， ∴小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率是． 答：小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率是． 题型09 几何概率 解｜题｜策｜略 概率=所求区域面积（长度、角度）÷总面积（长度、角度）。 27．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，将一枚飞镖任意投掷到等边镖盘内，已知分别是边的三等分点，连接．若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为___________． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，相似三角形的判定和性质，先证明，得到，同理得到，，进而得到阴影部分的面积为，再根据几何概率公式，进行计算即可． 【详解】解：∵分别是边的三等分点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理：，， ∴阴影部分的面积为， ∴飞镖落在阴影区域的概率为； 故答案为：． 28．（2025·安徽滁州·三模）如图，在内部有两条射线，定点P在的内部，从图中任选一个角，则定点P在所选角内部的概率是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角的认识及表示，简单事件概率的计算，根据题意可得共有共6个角，其中定点P在角内部的有共4个，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：图中以点O为端点的射线共有4条，分别是和， 可以构成6个不同的角：，其中定点P在角内部的有4个：， 则从图中任选一个角，则定点P在所选角内部的概率是． 故选：D． 29．（2025·山东济南·模拟预测）小明和小亮在如图所示的地毯上做投球游戏，已知正六边形是的内接正六边形，则球落在阴影部分的概率为_______． 【答案】/0.5 【分析】本题主要考查几何概率，正六边形的性质，熟练掌握概率公式是解题的关键．将阴影部分进行转化为，进行计算即可． 【详解】解：正六边形中，， ∴， ， ∴， ∴， ∴球落在阴影部分的概率为， 故答案为：． 题型10 统计图表与概率的综合 解｜题｜策｜略 先根据统计图表求数据，再从中抽取样本求概率。注意概率抽取的样本范围是否来自统计图表中的数据，避免用错样本空间。 30．（2025·四川广元·一模）为了提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对旺苍“酸辣粉、松花蛋、红军饼、卤土鸡”4种美食的喜好程度，每人限选一种，并将调查结果绘制成不完整的统计图，如图所示．根据图中信息解答下列问题． (1)本次共调查游客 人，扇形统计图中m的值为 ； (2)将条形统计图补充完整； (3)该旅行社推出活动，游客可从上述 4种美食中随机选择两种免费品尝．请用画树状图或列表的方法，求出某游客选到“酸辣粉”和“红军饼”的概率． 【答案】(1)240，35 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再利用概率公式计算概率．也考查了统计图． （1）根据该项所占的百分比等于该项人数÷总人数．两图给出了“卤土鸡”的数据，代入即可算出抽取的游客总人数，然后再算出“酸辣粉”的人数； （2）根据条形图中数据和调查总人数，先计算出选“红军饼”的人数，再补全条形图； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好同时选到“酸辣粉”和“红军饼”的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：本次抽取的游客总人数为 ， ∴， ∴， 故答案为：240，35； （2）解：选红军饼的人数为人． 补全条形统计图如图： （3）把四种美食分别记为 A：酸辣粉、B：松花蛋、C：红军饼、D：卤土鸡，画树状图如图． 共有12种等可能的结果，其中选到“酸辣粉”和“红军饼”的结果有2种， ∴选到“酸辣粉”和“红军饼”的概率 31．（2025·广东深圳·一模）百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_______， _______， _______． (2)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． (3)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 【答案】(1)，， (2)估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人 (3)图见解析， 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体，列表法或树状图法求概率等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． （1）根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值，用分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，即可得出的值； （2）由甲、乙两款的非常满意的人数之和即可得出答案； （3）用树状图法求解即可． 【详解】（1）解：甲款评分数据中“满意”的数据中出现的次数最多， 众数． 乙款评分数据中、两组共有个数据， 乙款评分数据的中位数为第个和第个数据的平均数，而这两个数据分别为、，中位数． 乙款评分数据在组人数所占百分比为， 即． 故答案为：，，． （2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比， 对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为： （人）． 答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． （3）解：画树状图为： 由树状图可知，共有种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为种，所以两人都选择同款聊天机器人的概率为． 32．（2025·广东广州·模拟预测）我县实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，胡老师为了了解班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对某班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： (1)本次调查中，胡老师一共调查了______名同学，其中女生共有______名； (2)将上面的条形统计图补充完整； (3)为了共同进步，胡老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率． 【答案】(1)20，11； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）用特别好（A）的人数特别好的百分数，得出调查的学生数，根据扇形图得出“D”类男生数及女生数，再求女生总人数； （2）求出“C”类别女生数，结合（1）中所求D类男生数，补充条形统计图； （3）由计算可知，A类别1男2女，D类别1男1女，利用列表法求解即可． 【详解】（1）解：调查学生数为（人）， “D”类别学生数为（人）， 其中男生为（人）， 调查女生数为（人）， 故答案为：20，11． （2）解：C类学生总数为（人），C类女生人数为（人）； 由（1）D类男生人数为1人； 补充条形统计图如图所示； （3）解：由题意，列表如下： 男A 女 女 男D 男A，男D 男D，女 男D，女 女D 女D，男A 女D，女 女D，女 共有6种等可能的结果，其中一男一女的结果有3种， ∴． 33．（2025·江苏连云港·模拟预测）某校以传扬蜀绣文化为契机，组织全体学生参加蜀绣文化学习活动，并随机调查了部分学生，对他们每个人的学习时长进行统计，最终，根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．根据图表信息，解答下列问题： 组别 时长t（单位：小时） 人数 所占百分比 A 16 x B 20 C 40% D 12 15% (1)本次调查的学生总人数为______，表中的值为______． (2)该校共有学生1200人，请你估计等级为的学生人数． (3)已知学习时长属于组别的4人中，有两名男生和两名女生．若从中随机抽取两人进行交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)80，20% (2)（人） (3) 【分析】本题主要考查统计与概率的综合应用，掌握“由部分求总体的方法”“用样本估计总体”及“画树状图法求概率”是解题的关键． （1）由组别D的人数和所占百分比求总人数，再计算组别A的百分比； （2）先求组别B的百分比，再用全校人数乘以该百分比； （3）用画树状图法列出所有可能结果，再计算符合条件的结果数占比． 【详解】（1）解：总人数：（人）； 的值：． （2）解：组别B的百分比：； 全校等级为B的人数：（人）． （3）解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果数为8， 所以． 题型11 统计量与决策的综合 解｜题｜策｜略 结合平均数、方差等统计量，对实际问题做出评价或决策。统计部分要写清楚计算过程，结论要结合问题情境回答。 34．（2025·广东东莞·二模）在某校科技节活动期间，学校组织了科普知识竞赛现从七、八年级各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行统计、分析，过程如下： 【收集数据】 七年级名同学的竞赛成绩统计（单位：分）：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八年级名同学的竞赛成绩统计（单位：分）：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 【整理、描述数据】 将抽取的两个年级的成绩分别进行整理，分成，，，四组，用表示成绩，组：，组：，组：，组：绘制出了如下统计图． 【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______； (2)补全频数分布统计图； (3)七年级有人参加测试，八年级有人参加测试，若测试成绩不低于分的为优秀，估计七、八年级测试成绩优秀的共有______人； (4)从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，对七、八年级测试成绩进行评价． 【答案】(1)；； (2)见解答． (3)． (4)见解答． 【分析】本题考查频数率分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体、平均数、中位数、众数、方差，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体、平均数、中位数、众数、方差的意义是解答本题的关键． （1）根据众数和中位数的概念即可求解． （2）先求出八年级的人数，进而补全统计图即可． （3）用七、八年级的人数乘以样本中七、八年级测试成绩为优秀的人数占比即可得到答案． （4）根据平均数、中位数、众数、方差的意义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，七年级名同学的竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，排在第名和第名的学生成绩分别为和， ， 八年级名同学的竞赛成绩的最多，有个， ， 故答案为：；； （2）解：八年级组人数为人， 补全频数分布统计图如图所示． （3）解：（人）， 估计七、八年级测试成绩优秀的共有人． 故答案为：； （4）解：平均数表示两个年级抽取的名学生的平均成绩，从平均数看，，八年级测试成绩较好； 众数表示两个年级抽取的名学生中得分在某个分数的人数最多，从众数看，，八年级测试成绩较好； 中位数表示两个年级抽取的名学生中，将成绩从小到大排列后，位于中间位置的成绩，从中位数看，，八年级测试成绩较好； 方差表示两个年级抽取的名学生的成绩的稳定性，从方差看，，八年级测试成绩较稳定． 35．（2025·广东湛江·模拟预测）兰花，自古以来被誉为“花中君子”，品种繁多，花形相似度高，兰花爱好者可以通过花瓣的长宽比来区分兰花的类别，数学小组就此开展了实践活动．同学们随机收集了荷瓣兰花和水仙瓣兰花的外三瓣花瓣各50片，通过测量得到这些花瓣的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，绘制成条形图和统计表如下： 荷瓣兰花外三瓣长宽比的条形图 水仙瓣兰花外三瓣长宽比的条形图 两种兰花外三瓣长宽比的统计表 统计量 平均数 中位数 众数 方差 荷瓣兰花外三瓣的长宽比 a b 1.8 0.02076 水仙瓣兰花外三瓣的长宽比 2.354 2.4 c 0.020484 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)根据以上数据分析，写出一条你能得到的结论，并说明理由； (3)现有一片长，宽的花瓣，请判断这片花瓣更可能来自荷瓣兰花、水仙瓣兰花中的哪一种？请说明理由． 【答案】(1)，、 (2)见解析 (3)这片花瓣更可能来自荷瓣兰花 【分析】本题考查了方差、平均数、中位数、众数，掌握相关定义和意义是解题关键． （1）根据中位数、众数和平均数的定义求解即可； （2）根据方差、平均数、中位数、众数的意义分析即可； （3）先求出花瓣的长宽比，再进行比较即可． 【详解】（1）解：， 荷瓣兰花外三瓣的长宽比值排列后，居于与中间的两个数为和，， 水仙瓣兰花外三瓣的长宽比出现次数最多的为，， 故答案为： ，、； （2）解：∵荷瓣兰花外三瓣的长宽比的方差大于水仙瓣兰花外三瓣的长宽比， ∴荷瓣兰花外三瓣的长宽比更加稳定； （3）解：该花瓣的长宽比为， 所以这片花瓣更可能来自荷瓣兰花． 36．（2025·重庆·模拟预测）自从兼具“低成本”与“高性能”核心属性的DeepSeek－R1开源AI大模型横空出世之后，全球掀起部署或本地接入DeepSeek这一重磅生成式AI应用的巨浪．某公司接入一款AI软件，先组织甲、乙两个部门进行了学习，过后为了解员工掌握情况进行了一场测试，现从该公司甲、乙两个部门中各随机抽取20名员工的成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：，，，分以下，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息： 甲部门组员工的分数分别为：，，，； 乙部门员工的分数分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 甲、乙两个部门选取的员工成绩统计表： 部门 平均数 中位数 众数 优秀率 甲 87 95 乙 88 89 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)若甲部门有280名员工，乙部门有240名员工，估计这两个部门成绩为优秀的员工总人数； (3)根据以上数据，你认为哪个部门员工对培训知识的掌握情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】(1)，， (2)估计这两个部门成绩为优秀的员工总人数为196人 (3)甲部门员工对培训知识的掌握情况更好，详见解析 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图相结合，中位数，众数，利用样本频数预估总体频数等内容，解题的关键是熟练掌握相关概念和公式． （1）利用中位数和众数定义进行求解即可； （2）利用样本频数预估总体频数即可； （3）根据优秀率进行描述即可． 【详解】（1）解：由条形统计图可得成绩在组和组的人共有8个， 把数据从小到大排列后，排在第10，11位的数为86，88， 中位数； 由乙部门员工的分数可知89出现的次数最多． 众数； 甲部门的优秀率为， ； 故答案为：，，； （2）解：（人）， 答：估计这两个部门成绩为优秀的员工总人数为196人； （3）解：甲部门员工对培训知识的掌握情况更好， 理由：由表格可知，甲部门员工的优秀率高于乙部门员工的优秀率， 甲部门员工对培训知识的掌握情况更好． 37．（2025·内蒙古·模拟预测）包装机提高了工作效率，助力乡村产业蓬勃发展，不同的包装机在包装合格率、智能化程度、工作效率等方面各具优势，某公司计划购买一批包装机，为了解两款包装机的质量性能，从两种型号包装机已包装好的水稻种子中各随机抽取20包测得实际质量m（单位：），规定质量在为合格产品．将所得数据进行收集整理并分组如下：，，，，，，部分信息如下： 信息一：记录甲型包装机中每包水稻种子实际质量如数据所示： 信息二：整理得甲型包装机中水稻种子质量的频数分布表如表所示： 组别 A B C D E F 频数 1 a 1 7 5 3 信息三：乙型包装机中水稻种子实际质量的频数分布直方图如图： 请根据所给信息，解答下列问题： (1)频数分布表中______，并补全频数分布直方图； (2)乙型包装机中水稻种子质量的中位数落在______组（选填“A”“B”“C”“D”“E”“F”），结合合格率，请你判断哪种型号的包装机包装水稻种子的情况较好； (3)为了从甲、乙两款包装机中选择更合适的，你认为还应收集什么信息来决定采购哪一款包装机呢（写出一条即可）？ 【答案】(1)3，补全图形见解析 (2)C，甲型包装机包装水稻种子的情况较好 (3)见解析 【分析】本题考查统计知识在实际问题中的综合运用，解题关键是准确计算统计量（频数、中位数、合格率等）并依据其进行分析决策． （1）利用“甲型号抽取的总袋数为20”，根据频数分布表中各组频数和为20列方程，求出a；再算出乙型中C组频数补全直方图． （2）先确定乙型抽取20袋时中位数是第10、11个数据的平均数，通过累计频数确定其所在组；再分别计算甲、乙的合格率，比较后判断包装情况． （3）从影响采购的实际因素（如成本、维护等）出发，思考并列举能辅助决策的信息． 【详解】（1）甲型号包装机抽取了20包， 根据频数分布表，， 解得． 故答案为：3； 乙型包装机中C组频数为：； 补全频数分布直方图 （2）乙型号包装机抽取20包，中位数是第10、11个数据的平均数．组个，组个，，组频数：，， 所以第10、11个数据在组，中位数落在组． 故答案为：C； 甲型包装机包装水稻种子的情况较好． ∵甲型包装机合格率为 乙型包装机包装水稻种子合格产品的频数为， ∴乙的合格率为． ∵， ∴甲型号包装机包装水稻种子情况较好； （3）可收集两款包装机的价格，价格会直接影响采购成本，是企业选择设备的重要经济因素；或收集能耗，能耗高低关乎长期使用成本；或收集维修保养成本，影响设备全生命周期投入．（任写一条，这里以价格为例） 38．（2025·山西太原·一模）2025年2月22日，“太原地铁”1号线一期工程正式开通运营，与2号线横向穿行构成“力”字型地铁线网骨架，极大地提升了市民的出行便利性．家住地铁站附近的张老师早上到学校上班除了开私家车以外，又有了新的选择．为了解不同出行方式上班路上所用时间，张老师记录了16个工作日上班路上的用时，其中8个工作日选择乘坐地铁，另外8个工作日选择开私家车． 数据整理：张老师将记录的数据绘制成如下统计图： 数据分析：张老师对不同出行方式所用时间的数据进行了如下分析： 平均数（分钟） 中位数（分钟） 众数（分钟） 方差 乘坐地铁 32 32 开私家车 34 40 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：___________，___________，_________； (2)通过上述分析，张老师选择乘坐地铁上班，请你结合两种统计量说明理由． 【答案】(1)；32；2 (2)见解析 【分析】本题主要考查了中位数，众数，方差的求法和应用，正确利用折线图获取正确信息是解题关键． （1）直接利用折线图数据结合中位数，众数，方差求法得出答案； （2）比较平均数，众数，中位数，方差分别分析即可． 【详解】（1）（1）由题意得，把开私家车的时间的数据从小到大排列，排在中间的两个数分别是33，38，故中位数 ， 乘坐地铁的时间中，32出现的次数最多， 故众数； 乘坐地铁的方差 ； 故答案为：，32，2； （2）答案不唯一，选择两个统计量说明理由即可，如： ①从平均数看，乘坐地铁的平均用时32分低于开私家车平均用时34分，即乘坐地铁用时更短，所以选择乘坐地铁； ②从中位数看，乘坐地铁用时的中位数32分低于开私家车用时的中位数35.5分，即乘坐地铁用时更短，所以选择乘坐地铁； ③从众数看，乘坐地铁用时的众数32分低于开私家车用时的众数40分，即乘坐地铁用时更短，所以选择乘坐地铁； ④从方差看，乘坐地铁用时的方差2低于开私家车用时的方差50.75，乘坐地铁所用时间更稳定，所以选择乘坐地铁． 39．（2025·河南濮阳·一模）在全球半导体竞争中，内存芯片领域是关键战场，国产内存的高良品率领先业界．质检部门抽查了甲、乙两家芯片制造企业的良品率（说明：良品率为合格，良品率为不合格），整理了最近批次的数据．分为组（良品率用表示）： 组、组、组、 组、组、组． 部分统计信息如下： 甲、乙制造厂批次芯片良品率统计表 制造厂 甲 乙 平均数 众数 中位数 方差 甲制造厂被抽取的批芯片良品率频数分布直方图 乙制造厂被抽取的批芯片良品率扇形统计图 已知： 甲厂组的良品率数据为：，，，，； 乙厂组的良品率数据为：，，，，，． 根据以上信息解答下列问题： (1)扇形统计图中，组数据对应的圆心角为_____度，表中的值为_____，的值为_____； (2)对比甲、乙两厂的数据，判断哪家制造厂的芯片质量更高，并说明理由（至少两条）； (3)年，甲厂共生产芯片万片，乙厂生产万片．估算两厂合格芯片总数． 【答案】(1)，， (2)乙制造厂的芯片质量更高，理由见解析 (3)两厂合格芯片总数约为万件 【分析】（1）根据扇形统计图求出D组数据对应的圆心角，结合众数、中位数的概念即可求解； （2）根据平均数和方差进行分析即可求解； （3）用甲厂生产的合格芯片数量加上乙厂生产的合格芯片数量，即可求解． 【详解】（1）解：扇形统计图中，D组数据对应的圆心角为； 乙制造厂被抽取的批次芯片中：A组有个批次，组有个批次，组有个批次，组有个批次，组有个批次，组有个批次， 其中乙制造厂组的良品率中，良品率为的有个批次，故乙制造厂的批次芯片良品率的众数是； 结合频数分布直方图和甲制造厂组的良品率可得，甲制造厂的批次芯片良品率的中位数是； 故答案为：，，． （2）解：乙制造厂的芯片质量更高， 理由：乙制造厂的平均数比甲制造厂高，乙制造厂的方差比甲制造厂小． 故乙制造厂的芯片质量更高． （3）解：（万件） 故两厂合格芯片总数约为99.5万件． 【点睛】本题考查了求扇形统计图中的圆心角，求中位数，求众数，用平均数和方差做决策，样本估计总体等．解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 题型12 跨学科综合应用 解｜题｜策｜略 先解决统计部分（补全图表、计算统计量），再解决概率部分（从中抽取求概率），分步得分。统计部分要写清楚计算过程，概率部分要列出所有等可能结果（列表或树状图），最后写出概率公式和结果。结论要结合问题情境回答，如“建议选择甲班，因为平均分高且成绩稳定”，不能只写数字。 40．（22-23九年级上·河南许昌·期末）酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4种溶液分别是：盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种． (1)小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液里，结果变红的概率是多少？ (2)小明和小亮从中各选1瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求2瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用概率公式计算概率，掌握树状图或列表法求概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式即可解题； （2）运用树状图列出所有可能的结果，找出符合条件的结果数量，利用公式解题即可． 【详解】（1）解：总溶液4瓶，其中碱性溶液2瓶（氢氧化钠和氢氧化钙），酚酞变红需溶液碱性， 故结果变红的概率是； （2）解：溶液标记为A（盐酸，酸性）、B（硝酸钾，中性）、C（氢氧化钠，碱性）、D（氢氧化钙，碱性），小明和小亮各选1瓶不同溶液，所有等可能结果列表如下： 小明     小亮 A B C D A —— B —— C —— D —— 总共有12种等可能结果， 变红溶液为C和D，不变色溶液为A和B， 一瓶变红一瓶不变色的结果有：，共8种。 ∴概率为． 41．（2025·贵州·模拟预测）某运动品牌店对第一季度A，B两款运动鞋的销售情况进行统计，两款运动鞋的销售量和总销售额如图所示： (1)1月份B款运动鞋的销售量是A款运动鞋的，则1月份B款运动鞋销售了多少双？ (2)已知B款运动鞋的售价为元/双，第一季度这两款运动鞋的销售单价保持不变，求2，3月份的总销售额（销售额=销售单价×销售量）； (3)小鹏的爸爸到该运动品牌店随机买了两双运动鞋，请用画树状图或列表法求恰好两双都是B款运动鞋的概率． 【答案】(1)1月份B款运动鞋销售了双； (2)2月的总销售额为元，3月的总销售额为元； (3) 【分析】本题考查统计与概率的综合应用，涉及条形统计图的解读、销售额的计算（销售额单价销售量）以及列表法或树状图法求概率． （1）需从条形图获取1月份A款运动鞋销售量，结合B款与A款销售量的分数关系，用乘法求解B款销售量． （2）先根据1月份总销售额和B款的销售额、销售量求出A款单价，再结合 2、3 月份A、B款的销售量，利用销售额公式计算两个月的总销售额，关键是求出A款的销售单价． （3）用列表法或树状图法列出随机买两双运动鞋的所有可能结果，再根据概率公式计算恰好两双都是B款的概率，关键是准确列举所有等可能结果． 【详解】（1）解：（双）， 故1月份B款运动鞋销售了40双； （2）设A款运动鞋的售价为x元/双，根据题意，得，解得． 2月的总销售额为（元）， 3月的总销售额为（元）； （3）画树状图如下： 由树状图可知，共有4种等可能的结果，其中两双都是B款运动鞋的情况有1种，故概率为． 42．（2025·上海杨浦·模拟预测）数学活动小组的小杨和小浦在研究“两件事关联的数学运算”这一数学课题时，了解到了以下内容： ①卡方检验（也叫检验）是一种统计方法，用来判断两件事是否存在关联． ②如何判断事件A与事件B存在关联呢？小杨和小浦的老师告诉他们： （）假设事件A与事件B无关联 （）列表（如表1） （）根据公式计算卡方值 （）根据得到的，得出无关性假设可靠的概率p（当时，） （）若事件A与事件B无关性假设不可靠的概率大于0.95，即有95%的把握，则否定原假设③卡方值越大，无关性假设可靠的概率p越小 事件A发生 事件A不发生 总计 事件B发生 a b 事件B不发生 c d 总计 n 其中 表1 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 121 b 283 患慢性气管炎者 c d 总计 134 339 表2 (1)小杨的爸爸是一位疾控中心的医护人员，他随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎的关系，测得数据如表所示（表2） ①估算样本中患有慢性支气管炎的频率 ②是否有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？ (2)小浦是一位勤奋学习的人，也是一位游戏迷，他八年级开始玩游戏，也开始努力学习，他利用平时测验，经过计算（计算完全无误），得出有的把握认为事件“玩游戏”与事件“数学考试年级第一”有关联，于是他将这件事告诉小杨，并声称可以提升数学成绩．假如你是小杨，你认为小浦的观点对吗？若不对，说明小浦导致出错的步骤，并写出计算卡方值时需注意的要点． 【答案】(1)①；②有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关 (2)错误，理由见解析 【分析】本题考查了求某事件的频率，由频率估计概率，用频率估计概率的综合应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）①根据表2，列出关于b，c，d的方程组求解，再估算样本中患有慢性支气管炎的频率； ②先求出卡方，再通过比较后得出结论； （2）根据卡方检验是判断关联性的重要工具，但应用时需谨慎区分“相关”与“因果”，并结合实际背景分析可能存在的偏差，由此作答即可． 【详解】（1）①解：由表2可知，， 解得：， 所以患病人数为56，总人数为339， 因此频率为：； ②， 所以， 所以有的把握认为吸烟与慢性气管炎有关； （2）解：小浦的错误在于： 卡方检验仅表明“玩游戏”与“数学考试年级第一”在统计上有关联，但无法证明因果关系． 可能存在的第三变量（如个人学习能力、时间管理、学习动机等）同时影响玩游戏频率与数学成绩，导致虚假相关． 即使有关联，也可能是“数学成绩好的人更爱玩游戏”（反向因果）或纯属巧合． 计算卡方值时需注意的要点：卡方检验需注意样本代表性、变量定义清晰、避免混淆因果． 43．（25-26八年级上·山东济南·期中）为了提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，记分员记录了他们在近六场比赛中关于得分、篮板的情况． 信息1：甲的得分情况：20，14，28，30，32，32； 乙的得分情况：24，28，24，28，28，27． 信息2： 信息3：技术统计表 队员 平均得分 得分众数 得分中位数 平均每场篮板 篮板方差 甲 26 32 m 9 乙      n      8 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的_____，_____，_____（填“＞”“=”或“＜”）； (2)本次队员综合得分按平均得分的，平均每场篮板的计算，综合得分越高表现越好，则甲、乙哪名队员的表现更好？ (3)选择一个方面进行分析，甲、乙两名队员谁表现的更好？ 【答案】(1)29，28， (2)甲队员表现更好 (3)乙在篮板方面表现的更好 【分析】本题考查了方差，统计表，中位数，加权平均数等知识． （1）根据众数、中位数、方差的定义求解即可； （2）分别求出甲、乙的综合得分，然后判断即可； （3）合理即可． 【详解】（1）解：甲的得分从小到大排列：14，20，28，30，32，32， ∴中位数； 乙的得分情况：24，28，24，28，28，27， ∴； 篮板箱线图（即箱线图）中，箱体的长度越大，通常表示数据的方差越大， 可知， 故答案为：29，28，； （2）解：甲：， 乙：， ∵， ∴甲队员表现更好． （3）解：根据篮板的方差，甲的方差大于乙，说明乙在篮板方面表现的更好． （①根据得分或篮板的最大值，甲的最大值均高于乙，所以甲更有爆发力；②根据得分中位数，甲得分的中位数高于乙，说明甲在排除最低分的影响后，甲在大多数比赛中的得分比乙更高；③根据篮板的中位数，乙高于甲，说明乙在大部分场次的篮板表现更好等．分析合理即可．） 44．（2025·福建·模拟预测）我国在《黄帝内经》以及《左传》中记载，不同的音调对人体五脏以及情绪有不同的影响．科学研究也表明舒缓的音乐对降低人的心率，改善心肌供血有较好的辅助作用．某兴趣小组以“测试节奏舒缓的音乐对心率的影响”为课题展开研究，他们随机从本年级选取20名同学，分别测试并记录这些同学在听音乐前和听音乐时的心率，然后对相关数据进行整理和分析．（用x表示心率，单位：次/分，数据分为4组：A．，B．，C．，D．）    【数据的收集与整理】 20名同学听音乐前频数分布表 心率x（次/分） 频数 5 5 4 a 各组平均心率（次分） 64 75 86 95 这20名同学听音乐时的心率在B组的是：71，71，73，74，74，76． 【数据分析】 平均数 中位数 方差 听音乐前 b 78 听音乐时 73 c 99 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______；______；______； (2)请你结合上表中的两种统计量分析节奏舒缓的音乐对心率的影响； (3)下午在学校的阶梯教室有本年级的100名同学参加这项课题研究，如果该小组在活动时播放该音乐，请估计心率在A组的同学人数． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3)心率在A组的同学人数为人 【分析】本题考查了频数分布表和扇形统计图，平均数，中位数，用样本估计总体，熟知上述概念是解题的关键． （1）根据平均数，中位数的定义即可解答； （2）根据方差，平均数，中位数做出判断即可； （3）利用样本估计总体即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：；；； （2）解：从平均数看：听音乐前的平均数，听音乐时的平均数是，所以节奏舒缓的音乐能使心率降低； 从中位数看：听音乐前的中位数是，听音乐时的中位数是，所以节奏舒缓的音乐能使心率降低； 从方差看：听音乐前的方差是，听音乐时的方差是，方差变小，所以节奏舒缓的音乐能使心率更加稳定； （3）解：人， 答：心率在A组的同学人数为人． （20分钟限时练） 45．（2025·江苏苏州·一模）某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数大于100，可以选择（    ） A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、丁 D．丙、戊 【答案】A 【分析】本题考查中位数．根据前5个盲盒的中位数是100，再加两个后中位数大于100，可知后选的两个盲盒质量都大于100，据此即可得到答案． 【详解】解：前5个盲盒的中位数是100，由图可知有两个盲盒质量小于100，两个盲盒质量大于100． A、若选择甲、丁，则有4个盲盒质量大于100，其他不变，故中位数会大于100，因此选项A符合题意； B、若选择乙、戊，则有4个盲盒质量小于100，其他不变，故中位数会小于100，因此选项B不符合题意； C、若选择丙、丁，则有3个盲盒质量小于100，3个大于100，故中位数还是100，因此选项C不符合题意； D、若选择丙、戊，则有4个盲盒质量小于100，其他不变，故中位数会小于100，因此选项D不符合题意； 故选：A． 46．（2025·西藏阿里·一模）某航班每次飞行约有111名乘客，若飞机失事的概率为，一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿41万元人民币．平均来说，保险公司应向每位乘客至少收取_____元保险费才能保证不亏本． 【答案】 【分析】根据保险公司不亏本的条件，总保险费需不小于失事时的期望赔偿金额，通过建立不等式化简求解每位乘客的最低保险费． 【详解】解：设保险公司应向每位乘客收取x元保险费， 由题意得：， 解得：， 所以保险公司应向每位乘客至少收取元保险费才能保证不亏本． 47．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）2025年我县冬季运动会新增了四个项目：冰壶，滑板，匹克球，蹦床，依次记为．体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，了解该项目在县运会中的得分标准，恰好抽到B（滑板）的概率是_____； (2)体育老师想从中选出两个项目，做成手抄报在学校进行普及．他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（冰壶）和（匹克球）的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）概率公式：； （2）画树状图求概率． 【详解】（1）解：恰好抽到B（滑板）的概率是； （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是A（冰壶）和C（匹克球）的结果数为2， ∴体育老师抽到的两张卡片恰好是A（冰壶）和C（匹克球）的概率为：． 48．（2025·广东深圳·一模）某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：．高锰酸钾制取氧气；．电解水；．木炭还原氧化铜；．高温煅烧石灰石；．碳酸钠和稀盐酸反应，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）． 请结合统计图，回答下列问题： (1)________，所对应的扇形圆心角是________； (2)请你根据调查结果，估计该校九年级名学生中有________人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石” (3)某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊，若小明从上面的五个实验中任意选取两个，请求出两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率________． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了统计图表的综合运用（条形图、扇形图）、用样本估计总体以及概率的计算，准确提取图表信息、掌握概率公式是解题关键． （1）先通过“实验人数及对应百分比”求出抽取的总人数，再用总人数减去其他实验的人数得到；利用“实验人数总人数”计算对应的扇形圆心角； （2）先算出样本中“实验”的人数占比，再用该占比乘以九年级总人数，估计喜欢实验的人数； （3）先确定能产生二氧化碳的实验，再通过列表法列出所有取两个实验的可能结果，最后根据“符合条件的结果数总结果数”计算概率． 【详解】（1）解：抽取的学生人数为（人）， 选择的学生人数为（人） ， 所对应的扇形圆心角是； （2）解：（人）， 答：估计该校九年级名学生中有人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石”． （3）解：本次调查的五个实验中，三个实验均能产生二氧化碳， 列表如下， 由列表可知，共有种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的情况有种， （两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）． 49．（2025·江苏连云港·二模）小明和他所在的数学社团利用周末时间开展了“利用树叶特征对树木进行分类”的综合实践活动． 【随机抽样】该社团从社区里收集了一些杨树叶和桃树叶，并从中分别随机选取了两种树叶各10片，通过测量它们长和宽（单位：）的数据后，再计算了它们的长宽比． 【整理数据】该社团将获得的长宽比用折线统计图整理如下： 【数据分析】该社团数据分析如表： 平均数 中位数 众数 极差 杨树叶长宽比 2.3 2.3 a 桃树叶长宽比 b 1.8 1.8 0.4 【问题解决】请解决下列问题： (1)填空：______，______； (2)小丽收集到一片树叶长为，宽为，请你通过计算判断它最可能是杨树叶还是桃树叶； (3)该社团本次活动收集到的杨树叶和桃树叶共100片，其中杨树叶和桃树叶数量相等．请估计其中长宽比在之间的有多少片． 【答案】(1)0.3，1.74 (2)杨树叶 (3)65片 【分析】（1）根据极差和平均数的定义解答即可； （2）根据树叶的长宽比判断即可； （3）利用样本估计总体即可． 本题考查了众数，中位数，平均数，极差和方差，掌握相关定义是关键． 【详解】（1）解：杨树叶长宽比的极差， 桃树叶长宽比重新排列为， 所以桃树叶的平均数， 故答案为：0.3，1.74； （2）解：， 所以这片树叶可能是杨树叶； （3）解：由统计图可知： （片）， 答：估计其中长宽比在之间的有65片． 50．（2025·江西吉安·二模）我们知道，频数分布直方图能够帮助我们理解样本数据，除此之外，统计中还有用来表示数据的图叫做茎叶图．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的记录如下： 甲运动员得分：13，51，33，8，26，38，m，36，24，43，49 乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25 用茎叶图表示如图： 茎是指中间的一列数，表示得分的十位数，叶就是从茎的旁边生长出来的数，表示得分的个位数在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留原始的所有数据，方便随时记录，而且能够展示数据的分布情况． (1)______________，______________； (2)甲运动员得分的中位数为______________；乙运动员得分的众数为______________； (3)分别计算甲、乙运动员的平均分，并说明哪个运动员的成绩更好？ 【答案】(1)48，9 (2)36，31 (3)甲的平均分：，乙的平均分：，甲的成绩更好 【分析】本题考查了茎叶图的理解及统计量（中位数、众数、平均数）的计算，解题的关键是掌握茎叶图的定义和各统计量的计算方法． （1）根据茎叶图中茎和叶的定义，结合甲、乙运动员的得分列表确定和的值； （2）将甲的得分排序后找中位数，统计乙的得分出现次数找众数； （3）根据平均数公式分别计算甲、乙的平均分，再比较大小判断成绩好坏． 【详解】（1）解：对于甲运动员的得分，茎为的叶有、、， 缺失的个位数字是， ． 对于乙运动员的得分，茎为的叶有、， ． 故答案为：48，9 （2）甲的得分按从小到大排列：8、13、24、26、33、36、38、43、48、49、51（共11个数据）． 中位数是第个数据，即36． 乙的数据中31出现次数最多， 众数是31． 故答案为：36，31 （3）甲运动员的平均分： 乙运动员的平均分： 因为，所以甲运动员的成绩更好． 甲的平均分为，乙的平均分为，甲运动员成绩更好． 51．（2025·安徽芜湖·二模）技术已渗透至社会各领域，某校综合实践小组开展了对两种软件“模型”和“模型”进行使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（分数用x表示，单位：分，满分100分，分为四个等级：：，：，：，：），下面给出了部分信息： 抽取的对“模型”的评分数据中等级的数据：89，89，88，87，86，86，84； 抽取的对“模型”的评分数据：100，99，98，98，97，97，97，95，89，88，87，87，86，86，85，84，78，72，69，68． 抽取的对“模型”、“模型”的评分统计表 品牌 平均数 中位数 众数 等级所占百分比 模型 88 98 模型 88 抽取的对“模型”评分的扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)根据以上数据，你认为哪个软件更受用户的喜爱？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)此次测验中，有300人对“模型”进行评分，260人对“模型”进行评分，估计此次测验中对“模型”、“模型”两种软件评分为等级的共有多少人？ 【答案】(1)15，89，97 (2)“模型”软件更受用户的喜爱，理由见详解 (3)239人 【分析】本题考查统计综合，涉及求中位数、众数、扇形某项百分比、由样本情况估计总体等知识，熟记统计相关知识及求解方法是解决问题的关键． （1）先计算“模型”的评分数据中等级占比，然后用1减去、、等级所占百分比即可得到等级所占百分比，从而求出；再由中位数及众数的定义与求法即可得到； （2）根据“模型”评分数据中A等级所占百分比比“模型”高即可得到答案； （3）由样本中两种软件评分为等级的占比估计测验中的总人数即可得到答案． 【详解】（1）解：“模型”的评分数据中等级数据有7份， 占比为：，； “模型”的评分数据中等级数据份数为：， 等级数据按从大到小顺序排列为：89，89，88，87，86，86，84， 可知“模型”的评分数据中从大到小排序，第10，11位数据均为89， ； “模型”的评分数据中97出现了3次，出现的次数最多， ； 故答案为：15，89，97； （2）解：“模型”软件更受用户的喜爱， 理由如下： “模型”评分数据中A等级所占百分比比“模型”高；（答案不唯一） （3）解：（人） 答：估计此次测验中对“模型”、“模型”两种AI软件评分为等级的共有239人． 52．（2025·山西临汾·二模）某高校组织校园歌手大赛，由10位专业评审和10位大众评审对参赛的选手进行打分，下面是甲、乙两位参赛歌手的得分（单位：分），10位专业评审的评分条形统计图如图①所示，10位大众评审的评分折线统计图如图②所示． 下面是专业评审和大众评审的评分统计表： 专业评分 大众评分 平均数/分 中位数/分 众数/分 平均数/分 方差/分2 甲 8 8.9 6.8 3.36 乙 7.9 8 7 (1)表格中_____，_____，_____． (2)若将专业评分的平均分和大众评分的平均分按7：3的比例计算参赛选手的最终得分，哪位选手的得分更高? 【答案】(1)8，8，1 (2)选手甲的得分更高 【分析】本题考查折线统计图，条形统计图，统计表，加权平均数、方差，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）由条形统计图中数据，以及中位数，众数,方差的概念求解，即可解题； （2）利用加权平均数得到甲的最终得分和乙的最终得分，再进行比较，即可解题． 【详解】（1）解：由条形统计图可知，甲的中位数为，乙的众数为， 故答案为：8，8，1． （2）解：甲的最终得分为：（分）， 乙的最终得分为：（分）， ， 选手甲的得分更高． 53．（2025·上海·模拟预测）背景概述：现在二次元文化十分流行，许多二次元爱好者会去商店购买自己喜欢的二次元角色的周边，称作“买谷”谷，英文货物的谐音．而“买谷”的一种形式叫做“抽卡”，即购买随机款式的卡片，如果运气好能“抽”到自己想要的款式，岂不美哉． 情景：你是某家二次元周边商店的经营者，店里现在有两台抽卡设备． 使用第一台抽卡，费用元和抽卡次数次成正比例，且满足时； 使用第二台抽卡，先要缴付元的使用金额，之后每次抽卡需支付第一台机器一半的抽卡单价． (1)直接写出第一、二台抽卡，关于的函数解析式不写定义域)． (2)你在某一个时段内统计了人次使用两台抽卡设备抽卡的次数，以此来估计全店当天两台抽卡设备被使用的频率．你让助手将数据整理成表格，但是他只统计了部分数据，请帮助他填完空缺部分． 总人次∶20人次 抽卡次数 1 2 3 4 5 6及以上 人次 8 4 ________ 2 1 ________ 频率 0.4 略 略 略 略 0.05 所有顾客都会选择在同等抽卡次数下最省钱的抽卡设备使用．请你先补充表格，之后估计出全店当天第一台抽卡设备的使用频率． 【答案】(1)第一台抽卡费用的函数解析式为，第二台抽卡费用关于抽卡次数的函数解析式为 (2)4，1，全店当天第一台抽卡设备的使用频率为 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的性质以及频率的计算方法是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义设出第一台抽卡费用的函数解析式，再代入已知条件求出比例系数，进而得到解析式；然后根据第一台的抽卡单价求出第二台抽卡费用的函数解析式． （2）先根据总人次求出抽卡次数为3和6及以上的人次，再分别计算不同抽卡次数下使用第一台和第二台抽卡设备的费用，确定使用第一台的人次，最后计算第一台抽卡设备的使用频率． 【详解】（1）解：设第一台抽卡费用关于抽卡次数的函数解析式为（为常数，）． 把，代入，得， 解得， ∴第一台抽卡费用的函数解析式为． ∴第一台机器抽卡单价为元/次，那么第二台机器每次抽卡需支付元． 又∵使用第二台抽卡先要缴付元的使用金额， ∴第二台抽卡费用关于抽卡次数的函数解析式为． （2）解：∵总人次为人次，抽卡次数为、、、的人次分别为、、、， ∴抽卡次数为及以上的人次为（人次），抽卡次数为的人次为（人次）， 补充表格如下 总人次∶20人次 抽卡次数 1 2 3 4 5 6及以上 人次 8 4 4 2 1 1 频率 0.4 略 略 略 略 0.05 当时，第一台费用元，第二台费用元． ∵， ∴抽卡次数为时，人次都使用第一台． 当时，第一台费用元，第二台费用元． ∵， ∴抽卡次数为时，人次都使用第一台． 当时，第一台费用元，第二台费用元． ∵， ∴抽卡次数为时，人次都使用第一台． 当时，第一台费用元，第二台费用元． ∵， ∴抽卡次数为时，人次都使用第二台． 当时，第一台费用元，第二台费用元． ∵， ∴抽卡次数为时，人次使用第二台． 当时，取，第一台费用元，第二台费用元． ∵， ∴抽卡次数为及以上时，人次使用第二台． 使用第一台抽卡设备的人次为人次． 第一台抽卡设备的使用频率为． 54．（2025·江苏苏州·模拟预测）为了解某校七年级学生的视力情况，随机选取了部分学生进行了视力检查，包括戴镜类型调查和裸眼视力检查，其中戴镜的同学还需要进行戴镜视力检查，形成如下视力检查报告： Ⅰ将学生的戴镜类型情况进行整理，绘制出以下不完整的统计表和统计图： 学生戴镜类型调查统计表 戴镜类型 频数 A．框架眼镜 人 B．隐形眼镜 人 C．角膜塑形镜 人 D．不戴镜 人 Ⅱ将学生的裸眼视力从弱到好依次排序，部分数据如下： “，，，，，，，，，，，，，”请根据以上信息，解决以下问题： (1)本次调查的学生总人数为______人， ______人； (2)求出学生戴镜类型调查扇形统计图中“隐形眼镜”对应的扇形的圆心角的度数； (3)根据题意，请补全学生裸眼视力频数分布直方图； (4)若该校七年级学生有人，请你估计该校七年级学生裸眼视力正常的有多少人？ 【答案】(1)、 (2) (3)见解析 (4)人 【分析】本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体等知识点，解答本题的关键是明确题意、利用数形结合思想是解题的关键． （1）根据C角膜塑形镜的人数除以其所占总数的百分比即可得到调查学生总人数，总数乘以D不戴镜所占的百分数即可解答； （2）用乘以“B隐形眼镜”所占的百分比即可解答； （3）根据题意先得出的人数有6人，再求出到的人数，然后补全学生裸眼视力频数分布直方图即可； （4）利用样本估计总体即可解答． 【详解】（1）解：本次调查的学生总人数为人， （人）． 故答案为：、． （2）解：学生戴镜类型调查扇形统计图中“隐形眼镜”对应的扇形的圆心角的度数为． （3）解：的人数为人， 则的人数为人， 补全图形如下： （4）解：人． 答：估计该校七年级学生裸眼视力正常的有人． 试卷第4页，共68页 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点03 统计与概率 内容导航 热点解读 题型突破 限时训练 热点内容解读 分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。 热点题型突破 对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。 题型01 调查方式与样本概念 题型02 统计图的解读与补全 题型03 频数分布与直方图 题型04 统计量的计算 题型05 统计量的意义选择 题型06 方差与稳定性 题型07 事件类型的判断 题型08 古典概率 题型09 几何概率 题型10 统计图表与概率的综合 题型11 统计量与决策的综合 题型12 跨学科综合应用 热点限时训练 限时完成题目训练，提升解题能力。 近三年：近三年中考“统计与概率”部分分值占比稳定在10%-15%，命题坚持“立足基础、注重应用、凸显素养”的导向。考查内容覆盖四大核心模块：数据的收集与整理（调查方式辨析、统计图表解读、频数分布）、数据分析（平均数、中位数、众数、方差的计算与意义理解）、概率（随机事件判断、古典概型与几何概型计算、用频率估计概率）、统计与概率综合（图表与概率融合、统计量应用）。试题紧密联系生活实际和社会热点（如体质健康、环保、校园活动），侧重考查学生的数据分析观念、应用意识和核心素养，减少机械计算，强化对统计量意义的理解和实际问题的解决能力。 预测2026年：数据的收集与整理：延续基础考查，但将更多融入社会热点（如人口、环保、健康）设计情境化题目，要求从图表中提取信息并进行分析推断。 数据分析：减少单纯计算，侧重考查统计量的实际意义理解和选择应用，可能会结合决策问题（如选谁参赛、哪款产品更优）进行考查。 概率：情境设计更加新颖，可能出现与几何图形、游戏公平性、模拟试验等结合的概率问题，强调对概率本质的理解。 统计与概率综合：综合题比例上升，可能跨学科融合（如生物、体育），考查学生综合运用统计概率知识解决实际问题的能力。 题型01 调查方式与样本概念 解｜题｜策｜略 全面调查适用于范围小、要求精确的情况（如班内视力）；抽样调查适用于范围大、破坏性检测（如灯泡寿命）。样本容量不带单位，是数字。 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）某同学要统计本班同学最喜欢的体育运动项目，以下是需要经历的一些统计步骤： ①从扇形图中分析出最喜欢的体育运动项目 ②设计问卷调查表收集学生的调查记录 ③绘制扇形图来表示各个体育运动项目所占的百分比 ④整理调查记录并绘制频数分布表 正确统计步骤的顺序是（    ） A．②③①④ B．③④①② C．①②④③ D．②④③① 2．（2025·上海·模拟预测）下列有关统计的说法中，正确的是（   ） A．平均数越大，不一定代表样本内各个个体的水平越高 B．方差越大，则代表整个样本内个体的差异越小 C．在一个群体内进行抽样调查，得到的所有数据都可以类推至整个群体 D．当样本内的个体差异极大时，平均数也可以真实反映整个群体的情况 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）在下列调查中，适宜采用普查的是（   ） A．调查某神舟号火箭的零件安全情况 B．调查长沙县中小学生心理健康情况 C．调查橘子洲头游园日均客流量 D．调查《新闻联播》栏目的收视率 题型02 统计图的解读与补全 解｜题｜策｜略 遵循“审题干→找数据→算总量→补图表→得结论”的步骤。先明确图表类型，找已知数据和对应百分比，求出样本总量，再用总量×百分比求各部分数量。扇形圆心角=360°×百分比。 4．（2025·湖南长沙·一模）某数学课外活动小组调查学校附近一家超市的销售情况，发现本学期前五周的销售总额一共是186万元，图1，图2分别是其销售总额统计图和零食类销售额占当周销售总额的百分比统计图．根据图中信息，下列判断中正确的是（   ） ①超市第四周销售总额为20万元；②对比上一周，第四周零食类销售额下降幅度最大；③第二周和第五周零食类销售总额相同；④第四周零食类销售额比第三周的零食类销售额增加了；⑤第五周的零食类销售额比第四周的零食类销售额增加了． A．①④⑤ B．①②③ C．①④ D．①⑤ 5．（2025·江苏无锡·模拟预测）某校根据课程设置要求，开设了数学拓展性课程．为了解学生最喜欢的课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（必须选且只能选其中一项），将统计结果绘制成如下的统计图（不完整），请根据图中信息回答问题：（A：趣味数学，B：数学史话，C：试验探究，D：生活应用，E：思想方法．） (1)求m、n的值； (2)补全条形统计图； (3)求D：生活应用所对应的扇形圆心角的度数． 6．（2025·山东青岛·模拟预测）第19届亚运会在我国杭州举行，共有45个参赛国家和地区的运动员参加了比赛．在比赛期间，我国代表团表现出非常强大的竞技实力和精神面貌，经过全队的努力拼搏，最终获得201枚金牌、111枚银牌、71枚铜牌．某班同学以“我最喜欢的亚运会运动健儿”为主题对全校同学进行随机调查，每位同学仅选一项），根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表： 最喜欢的运动健儿 喜欢人数 根据以上信息回答下列问题： (1)表格中___________． (2)扇形统计图中C对应的扇形的圆心角的度数为___________． (3)该校有3000名学生，根据抽样调查的结果估计该校最喜欢的亚运会运动健儿是D的学生人数． 题型03 频数分布与直方图 解｜题｜策｜略 极差=最大值-最小值，组距=极差÷组数。频数分布直方图注意纵轴是频数，横轴是分组区间。 7．（2025·四川南充·一模）某校为了解九年级学生对化学实验操作的掌握情况，对九年级600名学生进行了化学实验操作测试，从中随机抽取了部分学生的成绩进行整理、描述和分析（测试满分为100分，学生成绩x均为不小于60分的整数，分为四个等级：D：，C：，B：，A：，部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下： 80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)所抽取的学生成绩为C等级的有______人，并补全频数分布直方图； (2)所抽取的学生成绩的中位数为______； (3)试估计该校九年级学生中化学实验操作测试成绩为A等级的人数． 8．（2025·安徽淮南·二模）人工智能（）是当今科技领域最热门的话题之一，某学校组织学生参加以人工智能（）为主题的知识竞赛，为了解该校学生在本次竞赛中的情况，现随机抽取了九年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，且x为整数，单位：分），将测试成绩按以下5组进行整理：A（优秀）：；B（良好）：；C（中等）：；D（合格）：；E（待合格）：．并绘制了这些学生的竞赛成绩的频数直方图和扇形统计图，部分信息如下： 已知C等级学生的成绩分别为72，72，74，74，74，75，75，75，76，76，76，76，76，78，78． 请根据以上信息，完成下列问题： (1)本次抽查样本容量为______，扇形统计图中的值为______°，m的值为______． (2)请补全频数直方图． (3)学生小涛和小涵对本次成绩进行了讨论： 小涛：这次抽取成绩的中位数是75分． 小涵：我们学校九年级800名学生中，不低于75分的估计有450人． 你认为以上两位同学谁的观点正确？并说明理由． 9．（2025·湖南郴州·模拟预测）年是中国共产主义青年团建团周年，为迎接党的二十大胜利召开，进一步传承五四精神．某中学组织了一面向全校的党团知识竞赛，有名学生参加的书面测试，阅卷后，校团委随机抽取了份答卷进行分析统计，发现测试结果（分）的最低分为分，最高分为满分分，且分数都为整数，并绘制了尚不完整的统计图表，请根据图表提供的信息，解答下列问题： 分数段（分） 频数 频率 (1)填空：______，______，______，并将频数分布直方图补充完整； (2)校团委打算让全校位于分数段的同学，统一时间进行的补测，若每个考室需安排个座位，则估计需要安排多少个补测的考室？（列式说明） (3)校团委计划对成绩为的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二、三等奖，并且一、二、三等奖的人数比例为，请你估算全校获得二等奖的学生人数． 题型04 统计量的计算 解｜题｜策｜略 中位数计算：先将数据排序（从小到大），奇数个取中间一个，偶数个取中间两个的平均数。 平均数计算：注意加权平均数的应用，若给出各组频数，用各组中值×频数求和再除以总频数。 10．（2025·上海杨浦·模拟预测）有7个按从小到大排列的数，平均数是38，前4个平均数是33，后4个是42，那么这组数的中位数是（    ） A．33 B．34 C．35 D．36 11．（2025·上海闵行·二模）某校足球社团共有30名成员，他们的年龄在12岁至16岁之间，在统计全体社团成员的年龄时，14岁和15岁的人数尚未统计完全，并制作了如下面的表格，根据表格，关于全体社团成员年龄的统计量能确定的是（    ）． 年龄（单位：岁） 12 13 14 15 16 人数（单位：名） 7 11 2 A．平均数和中位数 B．平均数和方差 C．众数和中位数 D．众数和方差 12．（2025·广东深圳·模拟预测）某团队研发了三款机器人，分别命名为A、B、C．为测试三款机器人在图像识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图像识别能力测试中，A、B、C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析． 【数据收集与整理】 A、B、C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A m 9和10 85 B 8 87 C 8 n 83 任务1： ， ； 【数据分析与运用】 任务2：按图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断A、B、C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 任务3：如果要选择A、B、C三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请给出你的理由． 13．（2025·陕西西安·一模）2025年11月25日搭载神舟二十二号飞船的长征二号遥二十二运载火箭成功发射，我国航天再添辉煌，让我们看到了科技进步的力量．实验中学为了了解本校学生对航天科技的关注程度，组织八、九年级学生进行航天科普知识竞赛（满分100分），并分别从两个年级中随机抽取了20名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为四组：），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的成绩是：． 九年级20名学生的成绩在组中的数据是：． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 89 90 九年级 89 92 九年级抽取学生的竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：__________；__________，__________； (2)根据以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好？请说明理由；（写一条） (3)若该校八年级有500人，九年级有600人，且得分在90分及以上为优秀，请估计这两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生人数． 题型05 统计量的意义选择 解｜题｜策｜略 根据实际问题背景，选择合适的统计量进行评价或决策（如选谁参加比赛）。 14．（2025·上海·二模）下列是一组数据：2，2，2，3，4，7，9，9，114514，可以较好反映这组数据平均水平的关于此数据的值是（    ） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 15．（2025·广东清远·三模）某校对直播软件功能进行筛选，学校选定了A和B两款软件进行试用，并抽取部分师生对这两款软件打分（分数为整数，满分为5分）． 信息一：分别随机抽取20名学生打分情况的折线统计图如图所示： 信息二：学生打分的平均数、众数、中位数如下表所示： 软件 平均数 众数 中位数 A 4 B 4 信息三：抽取的10位教师对A和B这两款软件打分的平均分分别为分和4分． 请根据以上信息解答下列问题： (1)填空：_____，_____． (2)学生对这两款软件评价较高的是哪一款？请说明理由． (3)学校决定选择综合平均分高的软件进行教学，其中综合平均分中教师打分占，学生打分占，请你通过计算分析学校会采用哪款软件进行教学． 16．（2025·山东淄博·模拟预测）某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从革命摇篮井冈山、军队摇篮南昌、共和国摇篮瑞金、长征出发地于都这四个旅游景点随机选取一个（依次用字母，，，表示）中选择一处作为研学地点为了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图；扇形统计图中所对应的圆心角的度数为______； (2)该校共有名学生，请你估计该校有多少名学生想去“长征出发地一于都”？ (3)研学后，学校从八年级两个班分别随机抽取名学生开展研学知识竞赛．甲班名学生的成绩（单位：分）分别是：，，，，，，，，，；乙班名学生的成绩（单位：分）的平均数、中位数、众数分别是：，，．根据以上数据判断______班的竞赛成绩更好．（填“甲”或“乙”），并说明理由． 17．（2025·广东潮州·模拟预测）为了弘扬和传承中华优秀传统文化，东北育才学校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）： 甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6． 乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5． 根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 6 2.6 乙组 7 2 (1)在以上成绩统计表中，=_______，=______，=______． (2)小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因． (3)从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 题型06 方差与稳定性 解｜题｜策｜略 方差越小，数据越稳定。比较两组数据时，先看平均水平（平均数），再看稳定性（方差）。 18．（2025·河北唐山·模拟预测）义安区某中学九年级人数相等的甲、乙两班学生参加同一次数学测试，两班平均分和方差分别为分，分，，．那么成绩较为整齐的是（   ） A．甲班 B．乙班 C．两班一样 D．无法确定 19．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知排球队6名上场队员的身高（单位：）分别是：． 现用两名身高是的队员分别换下场上身高为的队员，与换人前相比，现在计算结果不受影响的是（ ） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 20．（2025·安徽淮南·一模）在科技飞速发展的当下，智能机器人成为了热门研究领域．某科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为A，B，C．为测试这三款机器人在图像识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图像识别能力测试中，A，B，C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位专业测试员根据一系列动作任务进行打分，每位测试员最高打10分，运动能力测试成绩为各位测试员打分之和．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，以评估哪款机器人的综合性能更优． 【数据收集与整理】 A，B，C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A m 9和10 85 B 8 87 C 8 n p 任务1：______，______； 【数据分析与运用】 任务2：求C款机器人的运动能力测试成绩p； 任务3：通过比较方差，判断测试员对______（填“A”“B”或“C”）款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； 任务4：按图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断A，B，C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 题型07 事件类型的判断 解｜题｜策｜略 必然事件（一定发生，概率1）、不可能事件（一定不发生，概率0）、随机事件（可能发生也可能不发生）。 21．（2025·湖北·模拟预测）下列事件中，属于随机事件的是（   ） A．将油滴入水中，油会浮在水面 B．随意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是 C．抛出的篮球会下落 D．任意买一张电影票，座位号是的倍数 22．（2025·湖北武汉·模拟预测）年，“杂交水稻之父”袁隆平培育出世界上第一株籼型杂交水稻，不仅解决了我国人多粮食少的问题，也给世界粮食产业带来了一次绿色变革．事件“没有水分，水稻正常生长”是（  ） A．随机事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．必然事件 23．（2025·湖南怀化·一模）“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列事件属于必然事件的是（      ） A．水中捞月 B．守株待兔 C．水滴石穿 D．缘木求鱼 题型08 古典概率 解｜题｜策｜略 两步试验用列表法，三步及以上用树状图法。注意“放回”与“不放回”的区别：放回则总数不变，不放回则总数减少。 24．（24-25九年级上·北京东城·期末）中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签，，，，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好． (1)从中随机抽取1张，抽到“中庸”书签的概率是______； (2)从中随机抽取2张；用列举法求出随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率． 25．（2025·陕西西安·一模）数学活动课上，小晨所在的兴趣小组设置了一个跨学科的游戏活动：如图，他们把生活中的这几种现象的图片制成四张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，其中卡片属于物理变化，属于化学变化．小晨将这些卡片背面朝上洗牌，然后放置在桌面上． (1)若组员小宇从中随机抽取一张卡片，则他抽到“．冰雪融化”的概率是__________； (2)若小晨从中随机抽取一张卡片，不放回，小轩再从剩余的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法，求他们两人抽到的卡片内容都是化学变化的概率． 26．（2025·吉林四平·二模）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好． (1)小明从中随机抽取一张邮票是“清明”的概率是________________． (2)小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）． 题型09 几何概率 解｜题｜策｜略 概率=所求区域面积（长度、角度）÷总面积（长度、角度）。 27．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，将一枚飞镖任意投掷到等边镖盘内，已知分别是边的三等分点，连接．若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为___________． 28．（2025·安徽滁州·三模）如图，在内部有两条射线，定点P在的内部，从图中任选一个角，则定点P在所选角内部的概率是（   ）    A． B． C． D． 29．（2025·山东济南·模拟预测）小明和小亮在如图所示的地毯上做投球游戏，已知正六边形是的内接正六边形，则球落在阴影部分的概率为_______． 题型10 统计图表与概率的综合 解｜题｜策｜略 先根据统计图表求数据，再从中抽取样本求概率。注意概率抽取的样本范围是否来自统计图表中的数据，避免用错样本空间。 30．（2025·四川广元·一模）为了提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对旺苍“酸辣粉、松花蛋、红军饼、卤土鸡”4种美食的喜好程度，每人限选一种，并将调查结果绘制成不完整的统计图，如图所示．根据图中信息解答下列问题． (1)本次共调查游客 人，扇形统计图中m的值为 ； (2)将条形统计图补充完整； (3)该旅行社推出活动，游客可从上述 4种美食中随机选择两种免费品尝．请用画树状图或列表的方法，求出某游客选到“酸辣粉”和“红军饼”的概率． 31．（2025·广东深圳·一模）百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_______， _______， _______． (2)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． (3)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 32．（2025·广东广州·模拟预测）我县实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，胡老师为了了解班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对某班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： (1)本次调查中，胡老师一共调查了______名同学，其中女生共有______名； (2)将上面的条形统计图补充完整； (3)为了共同进步，胡老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率． 男A 女 女 男D 男A，男D 男D，女 男D，女 女D 女D，男A 女D，女 女D，女 33．（2025·江苏连云港·模拟预测）某校以传扬蜀绣文化为契机，组织全体学生参加蜀绣文化学习活动，并随机调查了部分学生，对他们每个人的学习时长进行统计，最终，根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．根据图表信息，解答下列问题： 组别 时长t（单位：小时） 人数 所占百分比 A 16 x B 20 C 40% D 12 15% (1)本次调查的学生总人数为______，表中的值为______． (2)该校共有学生1200人，请你估计等级为的学生人数． (3)已知学习时长属于组别的4人中，有两名男生和两名女生．若从中随机抽取两人进行交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 题型11 统计量与决策的综合 解｜题｜策｜略 结合平均数、方差等统计量，对实际问题做出评价或决策。统计部分要写清楚计算过程，结论要结合问题情境回答。 34．（2025·广东东莞·二模）在某校科技节活动期间，学校组织了科普知识竞赛现从七、八年级各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行统计、分析，过程如下： 【收集数据】 七年级名同学的竞赛成绩统计（单位：分）：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八年级名同学的竞赛成绩统计（单位：分）：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 【整理、描述数据】 将抽取的两个年级的成绩分别进行整理，分成，，，四组，用表示成绩，组：，组：，组：，组：绘制出了如下统计图． 【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______； (2)补全频数分布统计图； (3)七年级有人参加测试，八年级有人参加测试，若测试成绩不低于分的为优秀，估计七、八年级测试成绩优秀的共有______人； (4)从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，对七、八年级测试成绩进行评价． 35．（2025·广东湛江·模拟预测）兰花，自古以来被誉为“花中君子”，品种繁多，花形相似度高，兰花爱好者可以通过花瓣的长宽比来区分兰花的类别，数学小组就此开展了实践活动．同学们随机收集了荷瓣兰花和水仙瓣兰花的外三瓣花瓣各50片，通过测量得到这些花瓣的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，绘制成条形图和统计表如下： 荷瓣兰花外三瓣长宽比的条形图 水仙瓣兰花外三瓣长宽比的条形图 两种兰花外三瓣长宽比的统计表 统计量 平均数 中位数 众数 方差 荷瓣兰花外三瓣的长宽比 a b 1.8 0.02076 水仙瓣兰花外三瓣的长宽比 2.354 2.4 c 0.020484 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)根据以上数据分析，写出一条你能得到的结论，并说明理由； (3)现有一片长，宽的花瓣，请判断这片花瓣更可能来自荷瓣兰花、水仙瓣兰花中的哪一种？请说明理由． 36．（2025·重庆·模拟预测）自从兼具“低成本”与“高性能”核心属性的DeepSeek－R1开源AI大模型横空出世之后，全球掀起部署或本地接入DeepSeek这一重磅生成式AI应用的巨浪．某公司接入一款AI软件，先组织甲、乙两个部门进行了学习，过后为了解员工掌握情况进行了一场测试，现从该公司甲、乙两个部门中各随机抽取20名员工的成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：，，，分以下，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息： 甲部门组员工的分数分别为：，，，； 乙部门员工的分数分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 甲、乙两个部门选取的员工成绩统计表： 部门 平均数 中位数 众数 优秀率 甲 87 95 乙 88 89 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)若甲部门有280名员工，乙部门有240名员工，估计这两个部门成绩为优秀的员工总人数； (3)根据以上数据，你认为哪个部门员工对培训知识的掌握情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 37．（2025·内蒙古·模拟预测）包装机提高了工作效率，助力乡村产业蓬勃发展，不同的包装机在包装合格率、智能化程度、工作效率等方面各具优势，某公司计划购买一批包装机，为了解两款包装机的质量性能，从两种型号包装机已包装好的水稻种子中各随机抽取20包测得实际质量m（单位：），规定质量在为合格产品．将所得数据进行收集整理并分组如下：，，，，，，部分信息如下： 信息一：记录甲型包装机中每包水稻种子实际质量如数据所示： 信息二：整理得甲型包装机中水稻种子质量的频数分布表如表所示： 组别 A B C D E F 频数 1 a 1 7 5 3 信息三：乙型包装机中水稻种子实际质量的频数分布直方图如图： 请根据所给信息，解答下列问题： (1)频数分布表中______，并补全频数分布直方图； (2)乙型包装机中水稻种子质量的中位数落在______组（选填“A”“B”“C”“D”“E”“F”），结合合格率，请你判断哪种型号的包装机包装水稻种子的情况较好； (3)为了从甲、乙两款包装机中选择更合适的，你认为还应收集什么信息来决定采购哪一款包装机呢（写出一条即可）？ 38．（2025·山西太原·一模）2025年2月22日，“太原地铁”1号线一期工程正式开通运营，与2号线横向穿行构成“力”字型地铁线网骨架，极大地提升了市民的出行便利性．家住地铁站附近的张老师早上到学校上班除了开私家车以外，又有了新的选择．为了解不同出行方式上班路上所用时间，张老师记录了16个工作日上班路上的用时，其中8个工作日选择乘坐地铁，另外8个工作日选择开私家车． 数据整理：张老师将记录的数据绘制成如下统计图： 数据分析：张老师对不同出行方式所用时间的数据进行了如下分析： 平均数（分钟） 中位数（分钟） 众数（分钟） 方差 乘坐地铁 32 32 开私家车 34 40 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：___________，___________，_________； (2)通过上述分析，张老师选择乘坐地铁上班，请你结合两种统计量说明理由． 39．（2025·河南濮阳·一模）在全球半导体竞争中，内存芯片领域是关键战场，国产内存的高良品率领先业界．质检部门抽查了甲、乙两家芯片制造企业的良品率（说明：良品率为合格，良品率为不合格），整理了最近批次的数据．分为组（良品率用表示）： 组、组、组、 组、组、组． 部分统计信息如下： 甲、乙制造厂批次芯片良品率统计表 制造厂 甲 乙 平均数 众数 中位数 方差 甲制造厂被抽取的批芯片良品率频数分布直方图 乙制造厂被抽取的批芯片良品率扇形统计图 已知： 甲厂组的良品率数据为：，，，，； 乙厂组的良品率数据为：，，，，，． 根据以上信息解答下列问题： (1)扇形统计图中，组数据对应的圆心角为_____度，表中的值为_____，的值为_____； (2)对比甲、乙两厂的数据，判断哪家制造厂的芯片质量更高，并说明理由（至少两条）； (3)年，甲厂共生产芯片万片，乙厂生产万片．估算两厂合格芯片总数． 题型12 跨学科综合应用 解｜题｜策｜略 先解决统计部分（补全图表、计算统计量），再解决概率部分（从中抽取求概率），分步得分。统计部分要写清楚计算过程，概率部分要列出所有等可能结果（列表或树状图），最后写出概率公式和结果。结论要结合问题情境回答，如“建议选择甲班，因为平均分高且成绩稳定”，不能只写数字。 40．（22-23九年级上·河南许昌·期末）酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4种溶液分别是：盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种． (1)小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液里，结果变红的概率是多少？ (2)小明和小亮从中各选1瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求2瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率． 小明     小亮 A B C D A —— B —— C —— D —— 41．（2025·贵州·模拟预测）某运动品牌店对第一季度A，B两款运动鞋的销售情况进行统计，两款运动鞋的销售量和总销售额如图所示： (1)1月份B款运动鞋的销售量是A款运动鞋的，则1月份B款运动鞋销售了多少双？ (2)已知B款运动鞋的售价为元/双，第一季度这两款运动鞋的销售单价保持不变，求2，3月份的总销售额（销售额=销售单价×销售量）； (3)小鹏的爸爸到该运动品牌店随机买了两双运动鞋，请用画树状图或列表法求恰好两双都是B款运动鞋的概率． 42．（2025·上海杨浦·模拟预测）数学活动小组的小杨和小浦在研究“两件事关联的数学运算”这一数学课题时，了解到了以下内容： ①卡方检验（也叫检验）是一种统计方法，用来判断两件事是否存在关联． ②如何判断事件A与事件B存在关联呢？小杨和小浦的老师告诉他们： （）假设事件A与事件B无关联 （）列表（如表1） （）根据公式计算卡方值 （）根据得到的，得出无关性假设可靠的概率p（当时，） （）若事件A与事件B无关性假设不可靠的概率大于0.95，即有95%的把握，则否定原假设③卡方值越大，无关性假设可靠的概率p越小 事件A发生 事件A不发生 总计 事件B发生 a b 事件B不发生 c d 总计 n 其中 表1 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 121 b 283 患慢性气管炎者 c d 总计 134 339 表2 (1)小杨的爸爸是一位疾控中心的医护人员，他随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎的关系，测得数据如表所示（表2） ①估算样本中患有慢性支气管炎的频率 ②是否有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？ (2)小浦是一位勤奋学习的人，也是一位游戏迷，他八年级开始玩游戏，也开始努力学习，他利用平时测验，经过计算（计算完全无误），得出有的把握认为事件“玩游戏”与事件“数学考试年级第一”有关联，于是他将这件事告诉小杨，并声称可以提升数学成绩．假如你是小杨，你认为小浦的观点对吗？若不对，说明小浦导致出错的步骤，并写出计算卡方值时需注意的要点． 43．（25-26八年级上·山东济南·期中）为了提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，记分员记录了他们在近六场比赛中关于得分、篮板的情况． 信息1：甲的得分情况：20，14，28，30，32，32； 乙的得分情况：24，28，24，28，28，27． 信息2： 信息3：技术统计表 队员 平均得分 得分众数 得分中位数 平均每场篮板 篮板方差 甲 26 32 m 9 乙      n      8 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的_____，_____，_____（填“＞”“=”或“＜”）； (2)本次队员综合得分按平均得分的，平均每场篮板的计算，综合得分越高表现越好，则甲、乙哪名队员的表现更好？ (3)选择一个方面进行分析，甲、乙两名队员谁表现的更好？ 44．（2025·福建·模拟预测）我国在《黄帝内经》以及《左传》中记载，不同的音调对人体五脏以及情绪有不同的影响．科学研究也表明舒缓的音乐对降低人的心率，改善心肌供血有较好的辅助作用．某兴趣小组以“测试节奏舒缓的音乐对心率的影响”为课题展开研究，他们随机从本年级选取20名同学，分别测试并记录这些同学在听音乐前和听音乐时的心率，然后对相关数据进行整理和分析．（用x表示心率，单位：次/分，数据分为4组：A．，B．，C．，D．）    【数据的收集与整理】 20名同学听音乐前频数分布表 心率x（次/分） 频数 5 5 4 a 各组平均心率（次分） 64 75 86 95 这20名同学听音乐时的心率在B组的是：71，71，73，74，74，76． 【数据分析】 平均数 中位数 方差 听音乐前 b 78 听音乐时 73 c 99 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______；______；______； (2)请你结合上表中的两种统计量分析节奏舒缓的音乐对心率的影响； (3)下午在学校的阶梯教室有本年级的100名同学参加这项课题研究，如果该小组在活动时播放该音乐，请估计心率在A组的同学人数． （20分钟限时练） 45．（2025·江苏苏州·一模）某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数大于100，可以选择（    ） A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、丁 D．丙、戊 46．（2025·西藏阿里·一模）某航班每次飞行约有111名乘客，若飞机失事的概率为，一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿41万元人民币．平均来说，保险公司应向每位乘客至少收取_____元保险费才能保证不亏本． 47．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）2025年我县冬季运动会新增了四个项目：冰壶，滑板，匹克球，蹦床，依次记为．体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，了解该项目在县运会中的得分标准，恰好抽到B（滑板）的概率是_____； (2)体育老师想从中选出两个项目，做成手抄报在学校进行普及．他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（冰壶）和（匹克球）的概率． 48．（2025·广东深圳·一模）某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：．高锰酸钾制取氧气；．电解水；．木炭还原氧化铜；．高温煅烧石灰石；．碳酸钠和稀盐酸反应，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）． 请结合统计图，回答下列问题： (1)________，所对应的扇形圆心角是________； (2)请你根据调查结果，估计该校九年级名学生中有________人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石” (3)某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊，若小明从上面的五个实验中任意选取两个，请求出两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率________． 49．（2025·江苏连云港·二模）小明和他所在的数学社团利用周末时间开展了“利用树叶特征对树木进行分类”的综合实践活动． 【随机抽样】该社团从社区里收集了一些杨树叶和桃树叶，并从中分别随机选取了两种树叶各10片，通过测量它们长和宽（单位：）的数据后，再计算了它们的长宽比． 【整理数据】该社团将获得的长宽比用折线统计图整理如下： 【数据分析】该社团数据分析如表： 平均数 中位数 众数 极差 杨树叶长宽比 2.3 2.3 a 桃树叶长宽比 b 1.8 1.8 0.4 【问题解决】请解决下列问题： (1)填空：______，______； (2)小丽收集到一片树叶长为，宽为，请你通过计算判断它最可能是杨树叶还是桃树叶； (3)该社团本次活动收集到的杨树叶和桃树叶共100片，其中杨树叶和桃树叶数量相等．请估计其中长宽比在之间的有多少片． 50．（2025·江西吉安·二模）我们知道，频数分布直方图能够帮助我们理解样本数据，除此之外，统计中还有用来表示数据的图叫做茎叶图．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的记录如下： 甲运动员得分：13，51，33，8，26，38，m，36，24，43，49 乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25 用茎叶图表示如图： 茎是指中间的一列数，表示得分的十位数，叶就是从茎的旁边生长出来的数，表示得分的个位数在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留原始的所有数据，方便随时记录，而且能够展示数据的分布情况． (1)______________，______________； (2)甲运动员得分的中位数为______________；乙运动员得分的众数为______________； (3)分别计算甲、乙运动员的平均分，并说明哪个运动员的成绩更好？ 51．（2025·安徽芜湖·二模）技术已渗透至社会各领域，某校综合实践小组开展了对两种软件“模型”和“模型”进行使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（分数用x表示，单位：分，满分100分，分为四个等级：：，：，：，：），下面给出了部分信息： 抽取的对“模型”的评分数据中等级的数据：89，89，88，87，86，86，84； 抽取的对“模型”的评分数据：100，99，98，98，97，97，97，95，89，88，87，87，86，86，85，84，78，72，69，68． 抽取的对“模型”、“模型”的评分统计表 品牌 平均数 中位数 众数 等级所占百分比 模型 88 98 模型 88 抽取的对“模型”评分的扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)根据以上数据，你认为哪个软件更受用户的喜爱？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)此次测验中，有300人对“模型”进行评分，260人对“模型”进行评分，估计此次测验中对“模型”、“模型”两种软件评分为等级的共有多少人？ 52．（2025·山西临汾·二模）某高校组织校园歌手大赛，由10位专业评审和10位大众评审对参赛的选手进行打分，下面是甲、乙两位参赛歌手的得分（单位：分），10位专业评审的评分条形统计图如图①所示，10位大众评审的评分折线统计图如图②所示． 下面是专业评审和大众评审的评分统计表： 专业评分 大众评分 平均数/分 中位数/分 众数/分 平均数/分 方差/分2 甲 8 8.9 6.8 3.36 乙 7.9 8 7 (1)表格中_____，_____，_____． (2)若将专业评分的平均分和大众评分的平均分按7：3的比例计算参赛选手的最终得分，哪位选手的得分更高? 53．（2025·上海·模拟预测）背景概述：现在二次元文化十分流行，许多二次元爱好者会去商店购买自己喜欢的二次元角色的周边，称作“买谷”谷，英文货物的谐音．而“买谷”的一种形式叫做“抽卡”，即购买随机款式的卡片，如果运气好能“抽”到自己想要的款式，岂不美哉． 情景：你是某家二次元周边商店的经营者，店里现在有两台抽卡设备． 使用第一台抽卡，费用元和抽卡次数次成正比例，且满足时； 使用第二台抽卡，先要缴付元的使用金额，之后每次抽卡需支付第一台机器一半的抽卡单价． (1)直接写出第一、二台抽卡，关于的函数解析式不写定义域)． (2)你在某一个时段内统计了人次使用两台抽卡设备抽卡的次数，以此来估计全店当天两台抽卡设备被使用的频率．你让助手将数据整理成表格，但是他只统计了部分数据，请帮助他填完空缺部分． 总人次∶20人次 抽卡次数 1 2 3 4 5 6及以上 人次 8 4 ________ 2 1 ________ 频率 0.4 略 略 略 略 0.05 所有顾客都会选择在同等抽卡次数下最省钱的抽卡设备使用．请你先补充表格，之后估计出全店当天第一台抽卡设备的使用频率． 总人次∶20人次 抽卡次数 1 2 3 4 5 6及以上 人次 8 4 4 2 1 1 频率 0.4 略 略 略 略 0.05 54．（2025·江苏苏州·模拟预测）为了解某校七年级学生的视力情况，随机选取了部分学生进行了视力检查，包括戴镜类型调查和裸眼视力检查，其中戴镜的同学还需要进行戴镜视力检查，形成如下视力检查报告： Ⅰ将学生的戴镜类型情况进行整理，绘制出以下不完整的统计表和统计图： 学生戴镜类型调查统计表 戴镜类型 频数 A．框架眼镜 人 B．隐形眼镜 人 C．角膜塑形镜 人 D．不戴镜 人 Ⅱ将学生的裸眼视力从弱到好依次排序，部分数据如下： “，，，，，，，，，，，，，”请根据以上信息，解决以下问题： (1)本次调查的学生总人数为______人， ______人； (2)求出学生戴镜类型调查扇形统计图中“隐形眼镜”对应的扇形的圆心角的度数； (3)根据题意，请补全学生裸眼视力频数分布直方图； (4)若该校七年级学生有人，请你估计该校七年级学生裸眼视力正常的有多少人？ 试卷第4页，共68页 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $