21.1.2多边形及其内角和（大单元教学课件）数学新教材人教版八年级下册

第二十一章 四边形 人教版(新教材) 八年级下册 21.1.2 多边形及其内角和 21.1.2 多边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 多边形在生活中也很常见，观察图中的图片，你能从中找出一些几何图形的形象吗？它们都分别是什么图形？ 五边形 六边形 八边形 21.1.2 多边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 类比三角形、四边形的概念，你能说出什么是多边形吗？ 多边形定义的要素： ①在同一平面内； ②若干条线段； ③首尾顺次连接； ④封闭图形. 在平面内，由 n（n ≥ 3）条线段 A1A2，A2A3，…， An－1An，AnA1 首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形. A1 A2 A3 A4 A5 An－1 An 21.1.2 多边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 多边形有几条边就叫作几边形. …… 三角形 四边形 五边形 六边形 A1 A2 A3 A4 A5 An－1 An n边形 多边形 在平面内，由 n（n ≥ 3）条线段 A1A2，A2A3，…， An－1An，AnA1 首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形. A B C D E F 记作：六边形ABCDEF 21.1.2 多边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 边 顶点 内角 外角 对角线 组成多边形的各条线段 每相邻两条线段的公共端点 多边形相邻两边组成的角 多边形角的一边与另一边的延长线组成的角 连接多边形不相邻的两个顶点的线段 A B C D E 1 请类比四边形，说出多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的定义. 21.1.2 多边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 A B C D 凸四边形 凸七边形 凸八边形 与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形. 注意 特别规定：今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形. 21.1.2 多边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 这两个图形有什么特点？ 各个角都相等、各条边都相等 注意 各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形. 21.1.2 多边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (1)什么叫作多边形的对角线？五边形有多少条对角线？ (2)从n边形的一个顶点出发可以画几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？ (3)n边形共有多少条对角线？ (4)如何推导多边形的内角和？ 多边形的内角和与边数有什么关系？ 21.1.2 多边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗？ 从五边形的一个顶点出发， 可以作____条对角线， 它们将五边形分为___个三角形， 五边形的内角和等于___× 180°； 2 3 3 转化为三角形的内角和. 21.1.2 多边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 从六边形的一个顶点出发， 可以作____条对角线， 它们将六边形分为___个三角形， 六边形的内角和等于___× 180°； 3 4 4 由上述推导过程，你能得出多 边形的内角和与边数的关系吗？ 21.1.2 多边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 A1 A2 A3 A4 A5 An－1 An 一般地，从 n 边形的一个顶点出发， 可以作 (n－3) 条对角线， 它们将 n 边形分为 (n－2) 个三角形， n 边形的内角和等于 (n－2)× 180°. 正多边形的每个内角的度数等于 (n－2)× 180° n 21.1.2 多边形及其内角和 名称 图形 对角线条数 从多边形的一顶点引出的对角线条数 分割出的三角形个数 多边形内角和 三角形 四边形 五边形 六边形 n 边形 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 ··· 0 n - 3 1 2 3 1 2 3 4 n - 2 ( n - 2 )·180° 1×180°=180° 2×180°=360° 3×180°=540° 4×180°=720° ··· ··· ··· ··· 0 2 5 9 ··· 21.1.2 多边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 An A2 A3 A4 1 2 3 4 n A1 外角 在 n 边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做 n 边形的外角和． n 边形的外角和又是多少呢？ n 边形外角和 －(n－2)×180° = 360°. = n 个平角和－ n 边形的内角和 = n×180° 21.1.2 多边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 从多边形的一个顶点 A 出发，沿多边形的各边依次走过各顶点，再回到点 A，然后转向出发时的方向. 在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和. 由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于 360°. 你还有其他方法帮助理解为什么多边形的外角和等于 360°吗？ 21.1.2 多边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 知道了多边形的外角和公式，那么回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个外角是多少度吗？为什么？ 因为正多边形的每个外角相等，所以用外角和360°除以内角的个数n即可得到正多边形每个外角的度数. 正多边形的每个外角的度数等于 . 外角和始终为定值，与边数无关 21.1.2 多边形及其内角和 归纳总结 在平面内，由n(n≥3)条线段首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形． 连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫作多边形的对角线． 从n边形的一个顶点出发，可以作 (n－3) 条对角线． 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫作正多边形． 多边形的内角和等于 (n－2)×180°． 多边形的外角和等于360°． 21.1.2 多边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 （1）一个多边形的内角和等于 1080°，这个多边形是几边形？ 解：（1）设这个多边形的边数为 n. 则有 (n－2)×180°= 1080°. ∴ n = 8. 因此这个多边形是八边形. 21.1.2 多边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 （2）由题意，得每一个外角都等于 180°－120°= 60°. （3）∵360°÷ 72°= 5， ∴这个多边形是五边形. ∵360°÷ 60°= 6， ∴这个多边形是六边形. （2）一个多边形的每一个内角都等于 120°，这个多边形是几边形？ （3）一个多边形的每一个外角都等于 72°，这个多边形是几边形？ 21.1.2 多边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 一个多边形的内角和等于外角和的 2 倍，这个多边形是几边形？ 解：设这个多边形的边数为 n. 因为它的内角和等于 (n－2)× 180°，外角和等于 360°，所以 (n－2)× 180° = 2 × 360°. 解得 n = 6. 因此这个多边形是六边形. 21.1.2 多边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 一个正多边形的一个外角比一个内角小90°，求这个多边形的每个内角的度数及边数． 解：设该正多边形的每个内角是 x°，相邻外角是 y°， 则得到一个方程组 解得 而任何多边形的外角和是 360°， 则该正多边形的边数为 360÷45 = 8. 故这个多边形的每个内角的度数是 135°，边数是八条． 21.1.2 多边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°. (1)如图①，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数； 解：∵BE∥AD， ∴∠A＋∠ABE＝180°， ∴∠ABE＝40°. ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝80°. 由∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＝360°， 得∠C＝360°－140°－80°－80°＝60°. 即140°＋∠ABE＝180°， 21.1.2 多边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解：由已知，得∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD. (2)如图②，若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，试求出∠BEC的度数． ∵∠A＋∠ABC＋∠BCD＋∠D＝360°， ∴140°＋2∠EBC＋2∠ECB＋80°＝360°， ∴∠EBC＋∠ECB＝70°， ∴∠BEC＝180°－(∠EBC＋∠ECB)＝110°. 21.1.2 多边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，果果从点A出发，沿直线前进8 m后左转40°，再沿直线前进8 m，又左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发点A时． (1)整个行走路线是什么图形？ (2)一共走了多少米？ 解：(1)因为形成的图形的每条边都相等，每个内角都相等， 所以行走路线是正多边形． 这个正多边形的边数为360÷40＝9， (2)8×9＝72(m). 答：一共走了72 m． 所以行走路线是正九边形． 21.1.2 多边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7 的度数. 解：如图， ∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7 ＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7 ＝五边形的内角和 ＝540°. 8 9 21.1.2 多边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为 1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？ 解：设此多边形的内角和为 x， 则有 1125°＜x＜1125°＋180°， 即 180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°. ∵ x 为多边形的内角和，所以它是 180° 的倍数， ∴ x＝180°×7＝1260°. ∴ 7＋2＝9，1260°－1125°＝135°. 因此，漏加的这个内角是 135°，这个多边形是九边形. 解题技巧 1°多边形的内角的度数在 0°~180° 之间. 2°多边形的内角和公式说明其内角和是180° 的整数倍. 21.1.2 多边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 多边形的定义及相关概念 正多边形 多边形及其内角和 多边形的内角和定理 多边形的外角和定理 (n－2)× 180° 360° 21.1.2 多边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习01 · 详解 如图是金砖国家的图标，其可近似看作一个圆内接正五边形，则的度数为（    ） A． B．3 C． D． 21.1.2 多边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习02 ·· 详解 若一个多边形的内角和等于 ，则这个多边形的边数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 解：设多边形边数为， 根据题意列方程得， 解得=6， ∴这个多边形的边数是6． 21.1.2 多边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习03 ··· 详解 一机器人以0.2m/s的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为_____s． 解：依据题中的图形，可知机器人一共转了36， ∵， ∴机器人一共行走6×8=48m． ∴该机器人从开始到停止所需时间为480.2=240s． 21.1.2 多边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习04 ···· 详解 一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原多边形的边数是（ ） A. 10或11 B. 10或12 C. 11或12 D.10或11或12 (n－2)×180°＝ 1620° n ＝ 11 新多边形： 原多边形： n ＝ 10或11或12 解题技巧 一个多边形截去一个角后，边数可能减少一条、可能不变，也可能增加一条. 21.1.2 多边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习05 ····· 详解 已知某正多边形的每个外角都是 72°，则这个多边形是正____边形. 解：因为正多边形的每一个外角都是72°， 则这个正多边形的每一个内角都是180°-72°=108°， 根据多边形内角和公式可得 ( n - 2 )·180°=n ·108° 解得n =5 因此这个多边形是正五边形. 21.1.2 多边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习06 ······ 详解 求出下列图形中 x 的值： 解：图①中，∵五边形的内角和等于 (5－2)×180°= 540°， ∴150 + 120 + 90 + x + 2x = 540. 图②中，∵六边形的内角和等于 (6－2)×180°= 720°， ∴x + x + x + x + 90 + 90 =720. ∴x = 60. ∴ x = 135. 21.1.2 多边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习07 ······· 详解 一个多边形，它的内角和比外角和的 3 倍多 180°，求这个多边形的边数及内角和度数． 解:设多边形的边数为 n， 由题意，得 (n－2)×180°＝ 3×360°+ 180°， 解得 n ＝ 9. 内角和度数为 (9－2)×180°＝1260°. 答:这个多边形的边数为 9，内角和度数为 1260°． 21.1.2 多边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习08 ········ 详解 已知一个多边形除一个内角外其余内角的和为1710°，求这个多边形的边数及这个内角的度数. 解:设多边形的边数为n，则内角和为(n－2) ×180°. 根据题意，得1710°<（n－2）×180°< 1710°＋ 180°. 解得11.5 < n < 12.5. ∵ n 为正整数. ∴ n ＝ 12. ∴ 这个多边形的边数为12. ∴ 这个内角的度数为(12－2)×180°－1710°＝ 90°. 21.1.2 多边形及其内角和 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习09 ········· 详解 已知一个正多边形的内角和等于2160°，求这个正多边形的边数以及每个内角的度数. 解：设这个多边形的边数为n. 根据题意，得(n－2)×180°= 2160°. 解得 n = 14. 因此，这个多边形的边数为14，每个内角的度数约为154.29°. 正多边形每个内角的度数是2160°÷14 ≈ 154.29°. 21.1.2 多边形及其内角和 $