专题10 不等式与平面向量（高频考点专练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

高频考点10 不等式与平面向量 内容概览 01命题探源·考向解密 02根基夯实·知识整合 03高频考点·妙法指津（8大命题点+7道高考预测题，高考必考·（5-10）分） 考点一 不等式的应用 命题点1 由已知条件判断所给不等式是否正确 命题点2 基本不等式的应用 命题点3 二次不等式 高考预测题3道 考点二 平面向量的线性运算及数量积 命题点1 平面向量的线性运算 命题点2 平面向量的数量积问题 命题点3 平面向量的模、夹角问题 命题点4 平面向量的投影向量问题 命题点5 利用向量解决平面几何最值问题 高考预测题4道 04好题速递·分层闯关（精选12道最新名校模拟试题+10道高考闯关题） 考点 考向 命题特征 不等式应用 （3年1考） 判断不等式；利用基本不等式求最值；求解二次不等式 多为选择、填空基础题，侧重二次不等式解法、基本不等式求最值，常结合不等式性质应用，还会与集合、函数关联，偶涉简单参数讨论，注重基础运算。 平面向量 （3年3考） 线性运算；数量积的相关运算；解决平面几何最值问题 以选择、填空为主，核心考坐标运算、数量积及模与夹角求解，常结合平面图形，或与三角、几何综合，凸显向量工具性和数形结合思想 考点一 不等式的应用 《解题指南》 解题思维：先判断不等式类型，用性质或图象化简求解；基本不等式求最值紧扣“一正二定三相等”；二次不等式结合图象定解集，含参时分类讨论参数范围；结合实际问题要先构建不等式模型，验证解的合理性。 命题点1 由已知条件判断所给不等式是否正确 【典例1】已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，则充分性成立； 若，则满足，但不满足，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 【典例2】（多选）已知实数，满足，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，，则 【答案】BC 【详解】若，则满足，但不满足，故A错误； 因为， 所以，故B正确； 因为，，所以，则，故C正确； 因为，，所以，则，故D错误. 【典例3】已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，因为，所以，即，故A错误； 对于B，当时，，，此时，故B错误； 对于C，， 因为，所以，，， 所以，即，故C正确； 对于D，函数在上单调递减，所以， 又因为函数为偶函数，所以，故D错误. 命题点2 基本不等式的应用 【典例1】设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，当且仅当时，即当时，等号成立， 故， 又因为，故. 【典例2】（多选）已知为直线：在第一象限内的一点，则下列结论正确的是（） A．的最大值为2 B．的最小值为8 C．的最小值为3 D．的最小值为 【答案】BD 【详解】由题意得且， 对A，由基本不等式，得，即，当且仅当时取等号，最大值为，A错误 对B，，， 所以，当且仅当即等号成立，最小值为，B正确 对C，代入得开口向上，对称轴，代入得最小值为，C错误 对D，代入得， 令，则 其中，当且仅当即时取等号， 所以 即的最小值为，D正确 【典例3】已知，且，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】由 ，得 ，即 （）， 则， 当且仅当 ，即，再结合 ， 可解得 ，满足条件，因此的最小值为 . 命题点3 二次不等式 【典例1】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，解得， 所以， 所以. 【典例2】已知：，：，若是的既不充分又不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解，得， 因为是的既不充分又不必要条件，所以和互不包含， 所以，所以的取值范围是. 【典例3】若关于的不等式的解集为，则实数_________． 【答案】 【详解】由题意知和6是方程的两个实数根， 所以，所以． 高考预测题 1．已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，为正数，且，则，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为. 故选：A 2．已知，，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则，故C错误； 对于D，由，可得，根据不等式的性质，可得，所以D正确； 故选：D. 3．已知，对任意实数x恒成立．若，则t的取值范围是_______________． 【答案】 【详解】因为，所以， 因为，所以， 则，即， 所以关于b的一元二次不等式有解，且， 所以， 因为，所以，解得或， 当时，不等式为，得，符合题意； 当时，不等式为，得，符合题意， 则t的取值范围是. 故答案为： 考点二 平面向量的线性运算及数量积 《解题指南》 解题思维：线性运算优先选基底法或坐标法，结合图形利用运算法则转化；数量积计算先定方法，坐标法直接代公式，基底法拆解向量；求模、夹角紧扣公式，注意向量垂直、共线的充要条件，结合图形简化运算。 命题点1 平面向量的线性运算 【典例1】已知点是的重心，若，则（    ） A．-1 B． C．0 D．1 【答案】C 【详解】 设是的中点，则. 所以. 因为，所以， 因此. 【典例2】若M为所在平面内一点，且满足，则为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】由，得 所以，即， 两边平方并化简得，则，即，故， 所以是直角三角形. 故选：A 【典例3】（多选）我国传统文化中有许多具有对称美的形状，如图1为《周易》中的“八卦”，图2为园林建筑中的八角窗．它们均可抽象为正八边形，如图3，O为其中心．记，，且，则（   ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】ACD 【详解】对于A，由已知，即向量的夹角为， 又，则，A正确， 对于B，，，B错误， 对于C，因为，， 所以， 所以，又为的角平分线， 由平行四边形法则可得， 所以，C正确， 对于D，因为，， 则，又， 所以在上的投影向量为，D正确. 命题点2 平面向量的数量积问题 【典例1】如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若向量，则有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在该坐标系中，，，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【详解】由平面向量数量积的定义可得， 由题意可知，， 所以. 【典例2】已知中，若，且点在上，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】中，由，得， ，又，且点在上，则， 所以. 【典例3】葫芦是中华民俗文化的组成部分，是一种文化载体、文化事象，更是中华吉祥文化的象征．图①为一个清代乾隆釉里红团龙纹葫芦瓶古玩，它近似为两个球融合组成的．现模仿该古玩制作了一模型，其轴截面如图②所示，已知两球的半径分别为3和4，且两球心的距离为，记两球心分别为，为两个球面交线上一点，则（   ） A．6 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【详解】因为两球的半径分别为3和4，所以，又， 在中，由余弦定理可得， 所以. 故选：A. 命题点3 平面向量的模、夹角问题 【典例1】已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由向量，因为，可得，解得， 所以，则，所以． 【典例2】若向量，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以. 【典例3】已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，则______. 【答案】/ 【详解】以的起点为坐标原点，小正方形的边长为1个单位长度建立直角坐标系，如图： 则，，， 所以，， ，. 所以. 故答案为：. 命题点4 平面向量的投影向量问题 【典例1】已知向量在向量方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【详解】因为向量在向量上的投影向量为， 所以，所以，又， 所以，所以. 故选：D. 【典例2】在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ∴. 故选：A. 【典例3】已知空间向量， 且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得在上的投影向量为. 故选：D 命题点5 利用向量解决平面几何最值问题 【典例1】如图所示，正方形的边长为1，点分别在轴，轴的正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】取的中点，的中点，连接，如下图所示： 易知， 所以． 因为，当且仅当三点共线时等号成立． 所以的最大值为【典例2】 故选：B． 【典例2】已知为等腰直角三角形，为直角，直角边长为2，点P在三角形所在平面上，向量为单位向量，点D满足，则的最大值为（    ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】C 【详解】如图建立直角坐标系， 则， 设，则，即， 所以点P的轨迹是以A为圆心，以1为半径的圆， 又，所以，所以， 所以, 所以， 又点P在上，所以， 所以， 所以的最大值为5， 故选：C 【典例3】（多选）已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，，则的取值可以是（   ） A． B． C．0 D．4 【答案】ABC 【详解】如图，则， 设弦的中点为，则， 由圆的性质知，则， 的取值范围是． 故选：ABC    高考预测题 1．已知点为所在平面内一点，若，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】过点作， 则， 以为邻边作平行四边形， 所以，， 可得， 所以. 故选：B. 2．在平面直角坐标系中，已知点，若，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可知，， ， 即． 3．（多选）已知单位向量，，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】ABD 【详解】对于A，由，得，即，解得， 则，而，因此，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，在上的投影向量为，D正确. 4．（多选）已知为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则的最小值为 【答案】BD 【详解】由题意得，所以， 所以，故A错误； 由，所以，故B正确； 又， 所以，所以， ，故C错误； ， 当时，，所以的最小值为，故D正确. 好题速递 1．（2026·北京密云·一模）已知，则下列结论中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】对于A，因为，由不等式的性质，不等式两边同时加上一个数，不等式方向不变，，故A错. 对于B，因为函数在上单调递增，，所以，故B正确 对于C， 已知且，说明，那么，不等式两边同除以，不等式方向不变，所以，故C正确. 对于D，已知，所以，因为函数在上单调递增，所以，故D正确. 2．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知且，则的最小值是（   ） A．3 B．9 C．5 D．25 【答案】D 【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 解得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为25． 3．（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【详解】由可得，显然，则有， 由，可得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 此时的最小值为9. 故选：B. 4．（2025·26高三上·江西抚州·月考）已知不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为不等式的解集是， 所以且和为方程的两个根， 所以，解得， 所以即为，解得, 故不等式的解集是. 故选:A. 5．（2026·北京密云·一模）已知向量，则的最小值为（    ） A． B．2 C．-2 D． 【答案】D 【详解】向量， 则， 当时，取最小值. 6．（2024·25高三上·云南昆明·月考）已知向量，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】设， 点在直线上运动，点在函数的图象上运动. 作出直线与函数的图象， 函数，令，显然当，即时， ，此时. 故选：B. 7．（2025·26高三上·湖南长沙·月考）如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且.则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得. 由是的中点知，，且，得， 所以. 则 . 故选：B. 8．（2024·四川成都·三模）在矩形中，，，点满足，在平面中，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以O为坐标原点（是中点），建立如图所示的直角坐标系， 因为在矩形中，，，，， 所以动点在以O为圆心，1为半径的圆上运动，故设， 则, ， 其中锐角满足，故的最大值为, 故选：A. 9．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）（多选）已知，，且，则下列说法正确的有（   ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为4 【答案】AC 【详解】选项A，，，，， ，当且仅当，即时，等号成立； 故ab的最大值为，故选项A正确； 选项B，，， 当且仅当时，即时，等号成立， 故的最小值为，故选项B错误； 选项C，设，则， ，， ，，， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为，故选项C正确； 选项D，，， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，故选项D错误. 故选：AC. 10．（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数，满足，则的最大值为______. 【答案】8 【详解】因为，为正数，所以， 根据基本不等式可得，(当且仅当16，即时等号成立)； 则，即16， 因为16，所以，可得. 即的最大值为8. 故答案为：8 11．（2025·四川巴中·三模）非零向量，满足：，，则与夹角的余弦值为______. 【答案】/ 【详解】根据题意，设，，则， 若，，即，且， 则为等腰直角三角形， 则与的夹角为，余弦值为. 故答案为：. 12．（2025·上海闵行·一模）若点是边长为1的正三角形ABC外接圆上的一点，则的最大值为________ 【答案】/ 【详解】如图所示：为的外心，以O为原点，平行于的直线为轴建立平面直角坐标系， 因等边的高为，则， 因圆，则设， 则， 所以，所以当时，的最大值为. 故答案为： 高考闯关 1．（2026·广东汕头·模拟预测）已知集合，若，则为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】解不等式，得或，则或， 解不等式，即，得或，则或， 因此或，所以. 故选：A 2．（2026·四川·模拟预测）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由题意知，，则可知， 当时，，即充分性成立； 取，满足，，， 但是，即必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 3．（2025·广东佛山·二模）若是夹角为的两个单位向量，则和的夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是夹角为的两个单位向量， 所以，， 设为的夹角， ， 故选：A. 4．（2025·陕西咸阳·二模）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为命题“，使”是假命题， 则命题“，”为真命题，则，解得， 故实数的取值范围是. 故选：D. 5．（2026·广东广州·模拟预测）在菱形中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分析可得， 于是． 6．（2026·甘肃兰州·一模）在中，为边上靠近点的三分点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 因为，，所以，，， 因为为中点，所以，，则. 所以，. 所以 . 7．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，可得， ．而向量在向量上的投影向量为， 因， 故在上的投影向量为． 8．（2026·安徽马鞍山·一模）两个粒子从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，设此时粒子相对粒子的位移为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由向量，可得粒子相对粒子的位移为， 可得且， 所以在上的投影向量为. 故选：B. 9．（2026·河北唐山·一模）已知点，，若将绕点A逆时针旋转得到，则点C的坐标为______. 【答案】 【详解】， 设与轴正向夹角为，则， 即∴ 由题意得： 设，则，∴，， ∴. 10．（2025·江苏盐城·三模）如图，将边长为1的正五边形的各边延长，得到一个正五角星.若点在正五角星的内部（含边界），则的最小值为__________. 【答案】 【详解】要使最小，它们夹角必定为钝角或平角，若在五角星内， 只要延长与边界相交于点，在保持夹角不变情形下，，则， 所以必定在五角星边界上先考察点位置，根据对称性，分两种情形： 1．点在边上： ①先考虑极端情形：若点与右顶点重合， 则在上投影向量的模最长且与反向的就是（即与重合），所以此时最小， ②再考虑一般情形：利用微调法分析，当点在边上由向移动时，变小， 且在上投影向量的模也变小为，故变大，不合题意； 2．点在的边上： ①先考虑极端情形：若点与顶点重合，则此时，但注意到在上投影向量的模最长且反向的是， 且根据相交弦定理知：，所以此时 ②再考虑一般情形：利用微调法分析，当点在边上由向移动时，变小，而在上投影向量的模会变大， 过作的垂线，垂足为，则四点共圆， 由相交弦定理知， 所以此时， 如图：在顶角为的等腰三角形，设， 取,则,所以，解得， 所以, 综上，当，分别与顶点重合时，取最小值 由于黄金分割比，而，则， 同理，则， 所以 , 故答案为： 【点睛】关键点点睛：按照PQ所处的位置分类，结合向量数量积的几何意义及图形特征分类求解. 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高频考点10 不等式与平面向量 内容概览 01命题探源·考向解密 02根基夯实·知识整合 03高频考点·妙法指津（8大命题点+7道高考预测题，高考必考·（5-10）分） 考点一 不等式的应用 命题点1 由已知条件判断所给不等式是否正确 命题点2 基本不等式的应用 命题点3 二次不等式 高考预测题3道 考点二 平面向量的线性运算及数量积 命题点1 平面向量的线性运算 命题点2 平面向量的数量积问题 命题点3 平面向量的模、夹角问题 命题点4 平面向量的投影向量问题 命题点5 利用向量解决平面几何最值问题 高考预测题4道 04好题速递·分层闯关（精选12道最新名校模拟试题+10道高考闯关题） 考点 考向 命题特征 不等式应用 （3年1考） 判断不等式；利用基本不等式求最值；求解二次不等式 多为选择、填空基础题，侧重二次不等式解法、基本不等式求最值，常结合不等式性质应用，还会与集合、函数关联，偶涉简单参数讨论，注重基础运算。 平面向量 （3年3考） 线性运算；数量积的相关运算；解决平面几何最值问题 以选择、填空为主，核心考坐标运算、数量积及模与夹角求解，常结合平面图形，或与三角、几何综合，凸显向量工具性和数形结合思想 考点一 不等式的应用 《解题指南》 解题思维：先判断不等式类型，用性质或图象化简求解；基本不等式求最值紧扣“一正二定三相等”；二次不等式结合图象定解集，含参时分类讨论参数范围；结合实际问题要先构建不等式模型，验证解的合理性。 命题点1 由已知条件判断所给不等式是否正确 【典例1】已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】（多选）已知实数，满足，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，，则 【典例3】已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 命题点2 基本不等式的应用 【典例1】设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）已知为直线：在第一象限内的一点，则下列结论正确的是（） A．的最大值为2 B．的最小值为8 C．的最小值为3 D．的最小值为 【典例3】已知，且，则的最小值为__________. 命题点3 二次不等式 【典例1】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】已知：，：，若是的既不充分又不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例3】若关于的不等式的解集为，则实数_________． 高考预测题 1．已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．已知，，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知，对任意实数x恒成立．若，则t的取值范围是_______________． 考点二 平面向量的线性运算及数量积 《解题指南》 解题思维：线性运算优先选基底法或坐标法，结合图形利用运算法则转化；数量积计算先定方法，坐标法直接代公式，基底法拆解向量；求模、夹角紧扣公式，注意向量垂直、共线的充要条件，结合图形简化运算。 命题点1 平面向量的线性运算 【典例1】已知点是的重心，若，则（    ） A．-1 B． C．0 D．1 【典例2】若M为所在平面内一点，且满足，则为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【典例3】（多选）我国传统文化中有许多具有对称美的形状，如图1为《周易》中的“八卦”，图2为园林建筑中的八角窗．它们均可抽象为正八边形，如图3，O为其中心．记，，且，则（   ） A． B． C． D．在上的投影向量为 命题点2 平面向量的数量积问题 【典例1】如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若向量，则有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在该坐标系中，，，则（    ） A． B． C． D．0 【典例2】已知中，若，且点在上，则（    ） A． B． C． D．1 【典例3】葫芦是中华民俗文化的组成部分，是一种文化载体、文化事象，更是中华吉祥文化的象征．图①为一个清代乾隆釉里红团龙纹葫芦瓶古玩，它近似为两个球融合组成的．现模仿该古玩制作了一模型，其轴截面如图②所示，已知两球的半径分别为3和4，且两球心的距离为，记两球心分别为，为两个球面交线上一点，则（   ） A．6 B．5 C．7 D．8 命题点3 平面向量的模、夹角问题 【典例1】已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】若向量，记，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，则______. 命题点4 平面向量的投影向量问题 【典例1】已知向量在向量方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D．4 【典例2】在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【典例3】已知空间向量， 且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 命题点5 利用向量解决平面几何最值问题 【典例1】如图所示，正方形的边长为1，点分别在轴，轴的正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】已知为等腰直角三角形，为直角，直角边长为2，点P在三角形所在平面上，向量为单位向量，点D满足，则的最大值为（    ） A．4 B． C．5 D．6 【典例3】（多选）已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，，则的取值可以是（   ） A． B． C．0 D．4 高考预测题 1．已知点为所在平面内一点，若，则（   ） A．3 B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，已知点，若，则（    ） A． B．0 C． D． 3．（多选）已知单位向量，，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 4．（多选）已知为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则的最小值为 好题速递 1．（2026·北京密云·一模）已知，则下列结论中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知且，则的最小值是（   ） A．3 B．9 C．5 D．25 3．（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 4．（2025·26高三上·江西抚州·月考）已知不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·北京密云·一模）已知向量，则的最小值为（    ） A． B．2 C．-2 D． 6．（2024·25高三上·云南昆明·月考）已知向量，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 7．（2025·26高三上·湖南长沙·月考）如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且.则（   ） A． B． C． D． 8．（2024·四川成都·三模）在矩形中，，，点满足，在平面中，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）（多选）已知，，且，则下列说法正确的有（   ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为4 10．（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数，满足，则的最大值为______. 11．（2025·四川巴中·三模）非零向量，满足：，，则与夹角的余弦值为______. 12．（2025·上海闵行·一模）若点是边长为1的正三角形ABC外接圆上的一点，则的最大值为________ 高考闯关 1．（2026·广东汕头·模拟预测）已知集合，若，则为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（2026·四川·模拟预测）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·广东佛山·二模）若是夹角为的两个单位向量，则和的夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西咸阳·二模）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·广东广州·模拟预测）在菱形中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·甘肃兰州·一模）在中，为边上靠近点的三分点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·安徽马鞍山·一模）两个粒子从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，设此时粒子相对粒子的位移为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·河北唐山·一模）已知点，，若将绕点A逆时针旋转得到，则点C的坐标为______. 10．（2025·江苏盐城·三模）如图，将边长为1的正五边形的各边延长，得到一个正五角星.若点在正五角星的内部（含边界），则的最小值为__________. 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $