专题03 数列、计数原理与概率统计（5大考点）（浙江专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题03 数列、计数原理与概率统计 5大考点概览 考点01数列性质及其通项 考点02数列求和 考点03随机变量及其分布 考点04计数原理与二项式定理 考点05概率与统计 ( 数列 性质及其通项 考点1 ) 1．(25-26高三上·浙江杭州·)已知函数.若对于任意的等差数列，总有是等差数列，则称函数具有“保等差性”.函数可能是（    ） A． B． C． D． 2．已知三棱锥，满足，且，，两两垂直．在底面内有一动点到三个侧面的距离依次成等差数列，则点的轨迹是（　　） A．一个点 B．一条线段 C．一段圆弧 D．一段抛物线 3．(25-26高三上·浙江金华十校·一模)已知等差数列满足，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．已知公差为的等差数列的前项和为是中的唯一最大项，则的取值范围为__________. 5．已知等比数列满足：.设，记数列的前项和为，则（    ） A．149 B．153 C．155 D．157 6．等比数列满足，则当__________时，取到最小值. 7．设离心率为的椭圆的左焦点为，右顶点为.以为直径的圆与该椭圆相交于点（异于点），过点作轴的垂线，设垂足为，记的面积分别为，若为以为公比的等比数列，则__________. 8．(25-26高三上·浙江杭州·)已知函数的函数值等于的正因数的个数.例如.则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．设，则 ( 数列求和 考点2 ) 9．(25-26高三上·浙江嘉兴·一模)已知数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 10．已知渐近线为的双曲线过点，过点且斜率为的直线交双曲线于异于的点，记的面积为. (1)求双曲线的方程； (2)求； (3)证明：. 11．已知函数，，（为自然对数的底数）． (1)当时， （i）求的单调递增区间； （ii）记为函数在上从小到大排列的第个极值点，求数列的前20项和． (2)当时，求证：对任意的，恒成立． 12．(25-26高三上·浙江杭州·)已知等差数列满足. (1)求的通项公式； (2)设等比数列的前项和为，且.令，求数列的前项和. 13．(25-26高三上·浙江金华十校·一模)已知数列，满足()，且． (1)证明：数列与均为等比数列； (2)求数列的前25项和．(其中表示不超过的最大整数，如) 14．已知数列满足． (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和． 15．(25-26高三上·浙江宁波·模拟)记为正项数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求证：. 16．已知函数，记在点（其中）处的切线与y轴交点的纵坐标为，若对任意的恒成立，则实数的最小值为__________. ( 随机变量 及其分布 考点3 ) 17．(25-26高三上·浙江金华十校·一模)已知随机变量，且，则的值为（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.7 D．0.35 18．已知事件相互独立，，则（    ） A．0.1 B．0.3 C．0.4 D．0.7 19．(25-26高三上·浙江杭州·)已知随机变量服从正态分布.若，则=__________. 20．(20-21高二下·辽宁沈阳东北育才学校·期末)已知随机变量服从正态分布，若，则__________. 21．已知随机变量，则下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 22．(24-25高三下·浙江强基联盟·)下列说法正确的是（    ） A．数据的上四分位数为9 B．若，，且，则相互独立 C．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则 D．将两个具有相关关系的变量的一组数据，，…，调整为，，…，，决定系数不变 （附：，，） 23．(25-26高三上·浙江嘉兴·一模)下列说法正确的是（    ） A．样本数据，去掉其中的一个最小数和一个最大数后，剩余数据的中位数小于原样本的中位数 B．数据的方差为0，则所有的都相等 C．若随机变量，则 D．在线性回归模型中，变量与的一组样本数据对应的点均在直线上，则决定系数 ( 计数 原理与二项式定理 考点4 ) 24．(25-26高三上·浙江宁波·模拟)在的展开式中，的系数为（   ） A．0 B．20 C．10 D． 25．(25-26高三上·浙江杭州·)在的展开式中，（    ） A．常数项为20 B．含的项的系数为80 C．各项系数的和为32 D．各项系数中的最大值为80 26．展开式中的常数项是___________． 27．(24-25高三下·浙江强基联盟·)对7个相邻的格进行染色，每个格均可从红、绿、黄三种颜色中选一种，则没有相邻红格的概率为__________. 28．甲､乙､丙､丁､戊､己共6人站成一排，若甲､乙两人相邻，而乙､丙两人不相邻，则不同的排法种数共有__________.（用数字作答） 29．在的展开式中，含项的系数是（   ） A．42 B． C．84 D． 30．某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．216 B．360 C．432 D．672 31．我们把半径相等的圆称为等圆.在平面上过同一点有个等圆，其中任何两个圆都有两个不同的交点，但任何三个圆除点外无其它公共点，记这个等圆共有个交点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．存在，使得 D．任意且，都有 32．(23-24高二上·上海华东师范大学附属东昌中学·期末)的展开式中项的系数为_______． 33．(25-26高三上·浙江金华十校·一模)平面直角坐标系中，原点处有一只蚂蚁，每过1秒，该蚂蚁都会随机地选择上、下、左、右四个方向之一移动一个单位长度，那么在6秒后，蚂蚁到原点的距离等于的概率为_____． ( 概率与统计 考点 5 ) 34．2014年至2025年是我国新能源汽车飞速发展的时期，下表为2014年至2023年我国新能源汽车的年产量，按照表中数据，可用回归模型拟合自变量与新能源汽车产量. 年份 自变量 新能源汽车产量（单位：万辆） 2014 1 7.8 2015 2 34 2016 3 52 2017 4 79 2018 5 127 2019 6 124 2020 7 137 2021 8 354 2022 9 706 2023 10 959 (1)求自变量与新能源汽车产量的回归模型，并预测2025年我国新能源汽车年产量（其中，以及预测年产量（单位：万辆）都保留1位小数且用的1位小数近似值计算）； (2)从10个年产量的值中随机选取3个数据，求存在数据大于300的条件下，恰有1个数据小于100的概率. 参考公式：一元线性回归模型中. 参考数据：. 35．(25-26高三上·浙江杭州·)现有一款益智棋类游戏，棋盘由全等的正三角形组成（如图所示），假设棋盘足够大.一颗质地均匀的正方体骰子，六个面分别以标号.在棋盘上，以为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标为.棋子初始位置为坐标原点，投掷骰子次，用表示第次投掷后棋子的位置（为坐标原点），规定：其中向量为前次投掷过程中，掷得偶数的总次数. (1)求点所有可能的坐标； (2)求投掷骰子8次后棋子在原点的概率； (3)投掷骰子80次，记棋子在原点且投掷过程中掷得奇数的次数恰为的概率为，求的表达式，并指出当为何值时，取得最大值. 36．(25-26高三上·浙江金华十校·一模)近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，下表统计了2021年到2024年某地新能源汽车销量（单位：千辆） 年份 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 销量 33 69 93 129 附：相关系数； 回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为， (1)试根据样本相关系数的值判断该地汽车销量与年份代号的线性相关性强弱（，则认为与的线性相关性较强，，则认为与的线性相关性较弱）；（精确到0.001） (2)建立关于的线性回归方程，并预测该地2025年的新能源汽车销量． 37．某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖. 成绩/分 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 人数 █ █ 1 2 3 3 6 8 12 12 则下列关于成绩统计的说法，正确的有（    ） A．众数与被遮盖的数据无关 B．方差与被遮盖的数据有关 C．平均数有可能大于中位数 D．三个四分位数成等差数列 38．(25-26高三上·浙江杭州·)设样本数据的平均数，中位数，众数和标准差分别为.当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 39．有一组数据，则（    ） A．该组数据的极差为6 B．该组数据的中位数为5 C．该组数据的平均数为4 D．将数据1均改为3后，方差会变大 40．(25-26高三上·浙江宁波·模拟)在某次校园十佳歌手比赛中，八名评委根据参赛选手的表现在5，6，7，8，9，10这六个分值中选择一个作为选手分数，按照规则，八个得分中去掉一个最高分和一个最低分（如有同分，则只去掉同分中的一个），剩下的六个分数作为有效得分.现对某名选手的六个有效得分进行统计，发现其平均值为.在对这六个有效得分统计的下述结论中，一定能判断六个有效得分的中位数不超过8的是（   ） A．仅出现一个分数是5 B．极差为4 C．众数为7 D．方差不超过3 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03 数列、计数原理与概率统计 ☆5大考点概览 考点01数列性质及其通项 考点02数列求和 考点03随机变量及其分布 考点04计数原理与二项式定理 考点05概率与统计 考点1 数列性质及其通项 1.D 2.B 3.B 4.（5-9 5.B. 6.2. 7.1 8.ACD. 考点2 数列求和 9.A x2-2y2=1 10.(1 =月 (2） (3)证明见解析. 2km-要2km+用，keZ 77e22-81e21m+3e2m+e 11.(1)(i1) 4(1-e ;(ii) (2)证明见解析 12.20=2n-1 2}a=241+n2-2 1/3 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13.(1)证明见解析； 225-14 14.(1)证明见解析 (2) 15. 12n=2n+1 (2)证明见解析 16. 考点3 随机变量及其分布 17.B 18.C 19.0.28 2 20.. 21.ACD. 22.BD. 23.BCD. 考点4 计数原理与二项式定理 24.A 25.BD. 26. -9 鹗 27. 28.192. 29.C 2/3 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 30.C 31.ABD 10 32. 33. 票 考点5 概率与统计 17 =8.8x2-80.8 34.(1) 1186.4万辆. 0,0.(9.(1,0.(2,0 35.(1 5 0, r不是3的倍数 p(r)= 2 (3) ( r是3的倍数，T=39时，p取得最大值 36. (1'与具有较强的线性相关关系 22=31.2z+3159 千辆) 37.ABD 38.A. 39.AC 40.ACD. 3/3 专题03 数列、计数原理与概率统计 5大考点概览 考点01数列性质及其通项 考点02数列求和 考点03随机变量及其分布 考点04计数原理与二项式定理 考点05概率与统计 ( 数列 性质及其通项 考点1 ) 1．(25-26高三上·浙江杭州·)已知函数.若对于任意的等差数列，总有是等差数列，则称函数具有“保等差性”.函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列的定义依次验证选项即可. 【详解】是等差数列，则需要满足， 对于A，取等差数列，则,，,则，故A不正确； 对于B，取等差数列，则,,，则，故B不正确； 对于C，取等差数列，则,,,则，故C不正确； 对于D, ,, 所以，， 由于为等差数列，则，所以，故D正确； 故选：D 2．已知三棱锥，满足，且，，两两垂直．在底面内有一动点到三个侧面的距离依次成等差数列，则点的轨迹是（　　） A．一个点 B．一条线段 C．一段圆弧 D．一段抛物线 【答案】B 【分析】推导出，进而可得出，设点到边、、的距离分别为、、，设等边的边长为，可得出以及，求出的值，即可得出结论. 【详解】在三棱锥中，，且，，两两垂直， ， ，即为等边三角形， 设点到平面、平面、平面的距离依次为、、，如下图所示：    由题意可知，，则， 即，即， 所以，， 不妨设点到边、、的距离分别为、、， 设等边的边长为，则， 又因为，即， 所以，，① 由，可得，可得，② 联立①②可得， 所以，点的轨迹是一条与平行且与之间的距离为的线段． 故选：B． 3．(25-26高三上·浙江金华十校·一模)已知等差数列满足，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】应用等差中项的性质得，再由即可得出. 【详解】由题设，而， 所以. 故选：B 4．已知公差为的等差数列的前项和为是中的唯一最大项，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由题意确定且，再结合等差数列通项公式列出不等式即可求解. 【详解】因为是中的唯一最大项， 所以且， 即且，又， 解得， 即的取值范围为， 故答案为： 5．已知等比数列满足：.设，记数列的前项和为，则（    ） A．149 B．153 C．155 D．157 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式求解，从而可得的通项公式，根据分组求和可得的值. 【详解】设等比数列的公比为，则， 则，可得，所以， 则， 所以. 故选：B. 6．等比数列满足，则当__________时，取到最小值. 【答案】2 【分析】由已知条件，求出公比和，从而得到，由，当时， 得到取到最小值. 【详解】等比数列满足， 公比，则， 于是，当时， 故当时，取到最小值. 故答案为：2. 7．设离心率为的椭圆的左焦点为，右顶点为.以为直径的圆与该椭圆相交于点（异于点），过点作轴的垂线，设垂足为，记的面积分别为，若为以为公比的等比数列，则__________. 【答案】1 【分析】利用所给条件，求出B点坐标，代入椭圆方程，化为关于的一元二次方程，求出，计算即可. 【详解】如图， 因为，且为以为公比的等比数列， 则，解得或（舍去）， 由，可得，得， 又， 则 将点的坐标代入椭圆方程，得到， 即， 可得， 即， 由于，可得， 化简可得，即， 由可得，代入可得， 所以，， 解得或（舍去）， 所以，则. 故答案为：1 8．(25-26高三上·浙江杭州·)已知函数的函数值等于的正因数的个数.例如.则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．设，则 【答案】ACD 【分析】运用的概念，结合质因数概念和裂项相消法计算判断即可. 【详解】对于A，6的正因数为共4个，所以，故A正确； 对于B，，它的因数形如，其中， 所以不同的因数有个，即，故B不正确. 对于C，因为，所以， 所以 ，故C正确； 对于D，，则 ，故D正确. 故选：ACD. ( 数列求和 考点2 ) 9．(25-26高三上·浙江嘉兴·一模)已知数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得、，再借助等比数列求和公式计算即可得. 【详解】由，则， 由，则，故， 则、、、， 则. 故选：A. 10．已知渐近线为的双曲线过点，过点且斜率为的直线交双曲线于异于的点，记的面积为. (1)求双曲线的方程； (2)求； (3)证明：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）双曲线的方程为代入计算得解； （2）联立方程与，解得的横坐标.求出，计算，代入得解； （3）将利用放缩法得到，利用裂项相消求解. 【详解】（1）设双曲线的方程为， 代入得，故双曲线的方程为. （2）联立方程与，解得的横坐标. 因为， 故 ， 所以. （3）因为 ， 故 ， 当时成立. 故.    11．已知函数，，（为自然对数的底数）． (1)当时， （i）求的单调递增区间； （ii）记为函数在上从小到大排列的第个极值点，求数列的前20项和． (2)当时，求证：对任意的，恒成立． 【答案】(1)（i）；（ii） (2)证明见解析 【分析】（1）（i）求导，利用导数结合余弦函数性质求单调区间即可；（ii）根据函数单调性和极值点分析可知数列是以首项为，公差为的等差数列，整理可得，利用错位相减法运算求解； （2）整理可得，结合题中范围可得，再结合分析证明即可. 【详解】（1）由题可得：， （i）令，则， 可得，解得， 所以的单调递增区间为； （ii）令，则， 可得，解得， 则函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 可知函数的极值点为， 且，则函数的极值点依次为，，，， 可知数列是以首项为，公差为的等差数列， 则，， 令， 记数列的前20项和为， 则， 可得， 两式相减得 整理可得. （2）由题可得： ， 因为，，则，，， 可得， 构造，则， 可知在内单调递增，则， 即， 且，，， 可得，，即， 则 ， 即， 所以对任意的，恒成立. 12．(25-26高三上·浙江杭州·)已知等差数列满足. (1)求的通项公式； (2)设等比数列的前项和为，且.令，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由等差数列通项公式建立方程组，解得首项和公差，即可写出数列通项公式； （2）结合题中条件和等比数列通项公式建立方程组，解得首项和公比，即可求得通项公式，从而求得数列通项公式，利用等比数列和等差数列前项和公式即可求得数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则解得， 所以的通项公式为. （2）设等比数列的公比是， 由，得，解得， 所以的通项公式为，此时，， 满足，故. 结合（1）知， 所以数列的前项和. 13．(25-26高三上·浙江金华十校·一模)已知数列，满足()，且． (1)证明：数列与均为等比数列； (2)求数列的前25项和．(其中表示不超过的最大整数，如) 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据已知得，结合等比数列的定义判断证明即可； （2）由（1）得，，进而有，根据新定义及分组求和、等比数列前n项和公式求. 【详解】（1）由，可得， 又， 所以与均为等比数列； （2）由（1）知，，所以， 则，， . 14．已知数列满足． (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将变形化简后结合等差数列定义即可得； （2）利用裂项相消法计算即可得. 【详解】（1）由，得， 即，得， 所以数列为等差数列． （2）设数列的公差为，则， 得，故， 故， 则 ， 故. 15．(25-26高三上·浙江宁波·模拟)记为正项数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由与关系结合题意可得答案； （2）由（1）结合累乘法可得，从而可得通项公式，然后由裂项求和法可得答案. 【详解】（1）当时，可得， 当时，，. 作差可得， 因为是正项数列，所以，即数列为等差数列， 所以. （2）由题可得， 所以，又， 所以， 又也满足上式， 所以， 16．已知函数，记在点（其中）处的切线与y轴交点的纵坐标为，若对任意的恒成立，则实数的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】利用导数的几何意义，求出切线方程为，进而可得，结合条件，利用裂项相消法得对任意的恒成立，即可求解. 【详解】因为，则，所以， 所以在点处的切线方程为， 令，得到，所以， 则， 所以， 由对任意的恒成立，即对任意的恒成立， 即对任意的恒成立，又，易知， 所以， 故答案为：. ( 随机变量 及其分布 考点3 ) 17．(25-26高三上·浙江金华十校·一模)已知随机变量，且，则的值为（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.7 D．0.35 【答案】B 【分析】利用正态分布曲线的对称性求概率即可. 【详解】由题设，且，则， 由正态分布曲线关于对称，则. 故选：B 18．已知事件相互独立，，则（    ） A．0.1 B．0.3 C．0.4 D．0.7 【答案】C 【分析】由独立事件的乘法公式直接求解即可. 【详解】因为事件相互独立，且， 所以. 故选：C 19．(25-26高三上·浙江杭州·)已知随机变量服从正态分布.若，则=__________. 【答案】0.28 【分析】根据正态分布的对称性求解即可 【详解】由题可得：; 故答案为： 20．(20-21高二下·辽宁沈阳东北育才学校·期末)已知随机变量服从正态分布，若，则__________. 【答案】 【分析】根据条件，得到，再利用正态分布的对称性，即可求解. 【详解】由，得到， 所以， 故答案为：. 21．已知随机变量，则下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义逐一判断即可得解． 【详解】因为随机变量， 则正态分布曲线关于对称， 因为， 则由正态分布曲线的对称性可得：，即，故A正确； 又， 由于，所以，故B不正确，C正确； ，故D正确. 故选：ACD. 22．(24-25高三下·浙江强基联盟·)下列说法正确的是（    ） A．数据的上四分位数为9 B．若，，且，则相互独立 C．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则 D．将两个具有相关关系的变量的一组数据，，…，调整为，，…，，决定系数不变 （附：，，） 【答案】BD 【分析】利用上四分位数的性质判断A，利用条件概率公式和独立事件概率公式判断B，利用散点图的性质判断C，利用决定系数的性质判断D即可. 【详解】对于A，我们把数据重新排列， 得到，而， 则数据的上四分位数为9.5，故A错误； 对于B，因为，所以， 由条件概率公式得， 得到，即相互独立，故B正确， 对于C，散点不一定在回归直线上，不能直接代入直线方程，故C错误， 对于D，由于，变成了， 则，， 从而，都不变，则，故D正确. 故选：BD. 23．(25-26高三上·浙江嘉兴·一模)下列说法正确的是（    ） A．样本数据，去掉其中的一个最小数和一个最大数后，剩余数据的中位数小于原样本的中位数 B．数据的方差为0，则所有的都相等 C．若随机变量，则 D．在线性回归模型中，变量与的一组样本数据对应的点均在直线上，则决定系数 【答案】BCD 【分析】通过举具体的样本数据例子，根据中位数定义，即可判断选项A；依据方差的计算公式，分析方差为0时数据的特征，即可判断选项B；利用正态分布中越小，曲线越“瘦高”，相同区间内概率越大的性质，即可判断选项C；根据线性回归模型中决定系数的公式，结合“样本数据对应的点均在回归直线上”这一条件，分析残差平方和与总偏差平方和的关系，即可判断选项D. 【详解】选项A，假设一组数据样本，其中位数为，去掉其中的一个最小数和一个最大数后， 数据样本为，其中位数仍为，所以A错误； 选项B，根据方差的计算公式（其中为平均数），若方差，即， 则，即，因此所有的都相等，所以B正确； 选项C，对于正态分布，越小，曲线越“瘦高”，在相同区间内的概率越大.因为， 则，所以，所以C正确； 选项D，已知在线性回归模型中，变量与的一组样本数据对应的点均在直线上， 则残差，所以决定系数，所以D正确. 故选：BCD. ( 计数 原理与二项式定理 考点4 ) 24．(25-26高三上·浙江宁波·模拟)在的展开式中，的系数为（   ） A．0 B．20 C．10 D． 【答案】A 【分析】先求得展开式的通项公式，分别求和的项，结合题意即可求得答案. 【详解】由题意得展开式的通项公式为， 令，， 令，， 所以的系数为0. 故选：A 25．(25-26高三上·浙江杭州·)在的展开式中，（    ） A．常数项为20 B．含的项的系数为80 C．各项系数的和为32 D．各项系数中的最大值为80 【答案】BD 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解AB，根据二项式系数的定义可求解C，求出展开式的通项公式为：，利用求解即可判断D。 【详解】2x和只有分得的次数相同才能得到常数项，5次方无法均分，因此没有常数项，故A不正确； 含x的项为，故x的系数是80，所以B正确； 各项系数的和是令时得到，即，故C错误． 的展开式的通项公式为：， 设第项的系数最大，系数为，则， 解得：或，此时系数为，故D正确； 故选：BD． 26．展开式中的常数项是___________． 【答案】 【分析】根据题意，先求得二项式的展开式的通项公式为，进而求得展开式的常数项，得到答案. 【详解】由二项式的展开式的通项公式为， 所以， 所以当时有常数项，当时有常数项， 所以所求展开式的常数项为. 故答案为：. 27．(24-25高三下·浙江强基联盟·)对7个相邻的格进行染色，每个格均可从红、绿、黄三种颜色中选一种，则没有相邻红格的概率为__________. 【答案】 【分析】通过讨论红格个数，由古典概型概率公式求解即可， 【详解】0个红格，共种； 1个红格，共种； 2个红格，共种； 3个红格，共种； 4个红格，共种， 所以； 故答案为： 28．甲､乙､丙､丁､戊､己共6人站成一排，若甲､乙两人相邻，而乙､丙两人不相邻，则不同的排法种数共有__________.（用数字作答） 【答案】192 【分析】先计算甲乙相邻的总排列数，然后计算甲乙相邻且乙丙也相邻的排列数，两者相减即是结果. 【详解】先将甲、乙两人看成一个整体，则这个整体内部有种排列方式， 此时相当于有5个元素进行排列，所以甲乙相邻的总排列数为种. 若甲乙相邻且乙丙也相邻，则三人必须以（甲，乙，丙）或（丙，乙，甲）的顺序站在一起. 将这三个人视为一个整体，其内部有2种排法，再将此整体与其余3人进行全排列， 故甲乙相邻且乙丙也相邻的排法有种, 所以甲乙相邻，而乙丙不相邻的排法种数有. 故答案为：192. 29．在的展开式中，含项的系数是（   ） A．42 B． C．84 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求解. 【详解】在的展开式中，含的项为， 所以含项的系数是84. 故选：C 30．某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．216 B．360 C．432 D．672 【答案】C 【分析】借助插空法解决不相邻要求，用排除法解决前3个节目至少有一个机器人节目要求 【详解】步骤1：先排 4 个歌舞节目：，排好后会产生 5 个空位（包括两端）； 步骤2：将 2 个机器人节目插入空位：； 步骤3：排除“前3个节目全是歌舞”的情况：先从4个歌舞节目中选3个排在前3个位置，有种方法， 剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后3个位置，且机器人节目不相邻，只能是“机器人-歌舞-机器人”的排列， 有种方法.故不满足条件的情况有. 故总数为： 故选：C 31．我们把半径相等的圆称为等圆.在平面上过同一点有个等圆，其中任何两个圆都有两个不同的交点，但任何三个圆除点外无其它公共点，记这个等圆共有个交点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．存在，使得 D．任意且，都有 【答案】ABD 【分析】先分析个等圆交点个数的规律，再逐一判断选项. 【详解】过同一点有个等圆，当增加第个圆时，第个圆与前个圆 各有一个除外的交点，因此递推关系为：. 当时，三个等圆过同一点，每两个圆有2个交点，但是公共点， 所以除外，每两个圆有1个交点. 三个圆中两两组合的数量为，因此. 由递推关系式可得：. 将这些式子累加得. 所以. 对于A： ，所以A正确； 对于B： ，所以B正确； 对于C： 令，则，化简得. 判别式为，因为不是整数，所以不是整数，所以C错误； 对于D： 由上述推导，很显然D正确. 故选：ABD. 32．(23-24高二上·上海华东师范大学附属东昌中学·期末)的展开式中项的系数为_______． 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】的展开式中项的系数为. 故答案为： 33．(25-26高三上·浙江金华十校·一模)平面直角坐标系中，原点处有一只蚂蚁，每过1秒，该蚂蚁都会随机地选择上、下、左、右四个方向之一移动一个单位长度，那么在6秒后，蚂蚁到原点的距离等于的概率为_____． 【答案】 【分析】设蚂蚁右移a次、左移b次，上移c次、下移d次，则蚂蚁终点的坐标满足，，，根据题意有，由于都是非负整数，可推，，再设左右移动总次数，上下移动总次数，则根据，需为整数可推m、n为奇数，据此根据m、n可分为三种情况：、、，此时在每种情况中，依据分步乘法计数原理，算出每种情况下的总路径数，最后相加即可得到最终的概率． 【详解】蚂蚁每一秒有4种移动方向，共移动6秒，根据分步乘法计数原理，总路径数为， 若蚂蚁到原点O的距离为，原点到该点的距离满足， 设蚂蚁右移a次、左移b次，则，上移c次、下移d次，则，总步数， 要满足，即，由于都是非负整数，可能的组合必须满足，，此时，，，且， 设左右移动总次数为，上下移动总次数为，则， 由于，需为整数，则m与同奇偶，所以m为奇数，同理，n也为奇数， 又，可能的组合有、、， 当，时，左右移动1次，满足的方式有2种，即左或右， 上下移动5次，满足的方式有，或，，共种，即选3次上移，剩下2次下移，或选2次上移，剩下3次下移， 其次，在6步中选1步用于左右移动，其余5步用于上下移动，种，因此，此情况的路径数为； 当，时，左右移动3次，满足的方式有，或，，共种，上下移动3次，满足的方式同理，共种， 此外，6步中选择3步左右移动，剩余上下移动，共种， 因此，此情况的路径数为； 当，时，与，对称，路径数为240； 满足条件的总路径数有，概率为． 故答案为：． ( 概率与统计 考点 5 ) 34．2014年至2025年是我国新能源汽车飞速发展的时期，下表为2014年至2023年我国新能源汽车的年产量，按照表中数据，可用回归模型拟合自变量与新能源汽车产量. 年份 自变量 新能源汽车产量（单位：万辆） 2014 1 7.8 2015 2 34 2016 3 52 2017 4 79 2018 5 127 2019 6 124 2020 7 137 2021 8 354 2022 9 706 2023 10 959 (1)求自变量与新能源汽车产量的回归模型，并预测2025年我国新能源汽车年产量（其中，以及预测年产量（单位：万辆）都保留1位小数且用的1位小数近似值计算）； (2)从10个年产量的值中随机选取3个数据，求存在数据大于300的条件下，恰有1个数据小于100的概率. 参考公式：一元线性回归模型中. 参考数据：. 【答案】(1)，1186.4万辆. (2) 【分析】（1）令，得到，利用公式求得和的值，求得回归方程，令，求得，即可得到答案； （2）设事件A：3个数据中存在数据大于300，事件B：3个数据中恰有1个数据小于100，分别求得事件A和B的样本点的个数，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，令，故为一元线性回归模型， 而，即， 所以， 则，所以， 令，可得，所以预测2025年我国新能源汽车年产量为1186.4万辆. （2）设事件A：3个数据中存在数据大于300，事件B：3个数据中恰有1个数据小于100， 事件A的样本点个数：，事件AB的样本点个数：， 所以概率为. 35．(25-26高三上·浙江杭州·)现有一款益智棋类游戏，棋盘由全等的正三角形组成（如图所示），假设棋盘足够大.一颗质地均匀的正方体骰子，六个面分别以标号.在棋盘上，以为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标为.棋子初始位置为坐标原点，投掷骰子次，用表示第次投掷后棋子的位置（为坐标原点），规定：其中向量为前次投掷过程中，掷得偶数的总次数. (1)求点所有可能的坐标； (2)求投掷骰子8次后棋子在原点的概率； (3)投掷骰子80次，记棋子在原点且投掷过程中掷得奇数的次数恰为的概率为，求的表达式，并指出当为何值时，取得最大值. 【答案】(1)； (2)； (3)，时，取得最大值. 【分析】（1）根据即可求所有可能的坐标； （2）令向量，则当时，；当时，；当时，其中，且.要保证为原点，则在8次投掷过程中，掷得奇数的次数应为，用列举法即可求解 （3）当不是3的倍数时，显然有.当是3的倍数时，不妨设，则掷得偶数的次数为次.记进行加向量为操作，加向量为操作，加向量为操作，不做任何操作记为操作.定义操作小结：，其中可以为0，则其中，根据隔板法即可求解. 【详解】（1）由题意，点可能的坐标为. （2）令向量， 则当时，；当时，； 当时，其中，且. 要保证为原点，则在8次投掷过程中，掷得奇数的次数应为. ①若，即8次投掷全部为偶数，共1种情况：偶偶偶偶偶偶偶偶； ②若，即8次投掷过程中有5次偶数，3次奇数，则共8种情况： 奇偶奇偶奇偶偶偶，奇偶奇偶偶偶偶奇，奇偶偶奇偶偶奇偶，奇偶偶偶偶奇偶奇， 偶奇偶奇偶奇偶偶，偶奇偶偶奇偶偶奇，偶偶奇偶奇偶奇偶，偶偶偶奇偶奇偶奇； ③若，即6次奇数，仅有1种情况：奇奇偶奇奇偶奇奇. 故为坐标原点的概率. （3）当不是3的倍数时，显然有. 以下讨论当是3的倍数的情况.不妨设，则掷得偶数的次数为次. 记进行加向量为操作，加向量为操作，加向量为操作，不做任何操作记为操作. 定义操作小结：，其中可以为0. 在80次投掷产生的操作过程，可分为若干操作小结.注意到1个操作小节中有2次操作，每两个操作小节也由操作连接，所以共有个操作小节，如下图所示： 所以有其中. 由隔板法可知，上述不定方程共有组解，而每一组解对应着一种满足题意的投掷，于是有 .综上，有 因此，当，即时，取得最大值. 36．(25-26高三上·浙江金华十校·一模)近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，下表统计了2021年到2024年某地新能源汽车销量（单位：千辆） 年份 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 销量 33 69 93 129 附：相关系数； 回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为， (1)试根据样本相关系数的值判断该地汽车销量与年份代号的线性相关性强弱（，则认为与的线性相关性较强，，则认为与的线性相关性较弱）；（精确到0.001） (2)建立关于的线性回归方程，并预测该地2025年的新能源汽车销量． 【答案】(1)与具有较强的线性相关关系 (2)，（千辆） 【分析】（1）根据题干所给数据算出，，，代入相关系数计算公式计算即可； （2）根据（1）算出的结果进一步算出，再根据线性回归方程经过计算，最后把代入回归直线方程即可求解． 【详解】（1）已知，，则， ，则， ，，所以， 已知，故， 又，代入相关系数公式， 可得， 因为，所以与具有较强的线性相关关系． （2）根据， 由（1）可知，，所以， 由，已知，，，则， 所以关于的线性回归方程为，将代入线性回归方程（千辆）． 37．某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖. 成绩/分 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 人数 █ █ 1 2 3 3 6 8 12 12 则下列关于成绩统计的说法，正确的有（    ） A．众数与被遮盖的数据无关 B．方差与被遮盖的数据有关 C．平均数有可能大于中位数 D．三个四分位数成等差数列 【答案】ABD 【分析】根据数据的众数、方差、中位数、平均数、四分位数的概念与性质逐项判断即可得结论. 【详解】因为总共50名学生，所以被遮数据不可能大于12， 所以众数为99和100，与被遮盖的数据无关，A正确； 方差涉及到每个数据，所以与被遮盖的数据有关，B正确； 由于中位数为98，设成绩为91，92的分别有个，当时平均数最大且为错误； 因为三个四分位数成等差数列，则D正确. 故选：ABD. 38．(25-26高三上·浙江杭州·)设样本数据的平均数，中位数，众数和标准差分别为.当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，将整理成二次函数的形式，然后根据二次函数的性质来求得正确答案. 【详解】令， 是一个开口向上的关于的二次函数，故函数在对称轴处取得最小值， 即. 故选：A. 39．有一组数据，则（    ） A．该组数据的极差为6 B．该组数据的中位数为5 C．该组数据的平均数为4 D．将数据1均改为3后，方差会变大 【答案】AC 【分析】直接计算数据的极差，中位数，平均数及方差，并判断可得. 【详解】数据的极差为，所以A正确；数据的中位数为，故B错误； 数据的平均数为，故C正确； 原数据的方差 . 数据1均改为3后的数据为，平均数为 . 因为，所以数据1均改为3后，方差会变小，故D错误. 故选：AC 40．(25-26高三上·浙江宁波·模拟)在某次校园十佳歌手比赛中，八名评委根据参赛选手的表现在5，6，7，8，9，10这六个分值中选择一个作为选手分数，按照规则，八个得分中去掉一个最高分和一个最低分（如有同分，则只去掉同分中的一个），剩下的六个分数作为有效得分.现对某名选手的六个有效得分进行统计，发现其平均值为.在对这六个有效得分统计的下述结论中，一定能判断六个有效得分的中位数不超过8的是（   ） A．仅出现一个分数是5 B．极差为4 C．众数为7 D．方差不超过3 【答案】ACD 【分析】根据平均值得到六个数据的总和为，要使得中位数超过，第三、第四个数据只能为或或或，分四种情况讨论得到这组数据只能是，要使得中位数不超过，则只需要排除这组数据，依据这组数据的数字特征选出正确答案. 【详解】因为平均数为，所以六个数据的总和为， 六个有效得分的中位数如果超过，则六个数据从小到大排列后的第三、第四个数据只能为或或或，以下分四种情况讨论： （1）若为，因为只能从5，6，7，8，9，10中取，则前两个数据的和最小为， 此时四个数据的和为，则剩下的两个数据和为， 所以这组数据只能为； （2）若为，因为只能从5，6，7，8，9，10中取，则前两个数据的和最小为， 此时四个数据的和为，则剩下的两个数据和为， 因为后两个数据不小于，因此不存在第三、第四个分数为的有效得分； （3）若为，因为只能从5，6，7，8，9，10中取，则前两个数据的和最小为， 此时这六个数据为，和为， 因此不存在第三、第四个数据为的有效得分； （4）若为，因为只能从5，6，7，8，9，10中取，则前两个数据的和最小为， 此时这六个数据为，和为， 因此不存在第三、第四个数据为的有效得分； 综上所述，要使得中位数超过，则这六个有效得分只能是，中位数为 因此，只要不是这组数据，即可保证中位数不超过， 这组数据中有个，极差为，众数为， 方差为， 所以仅出现一个分数是5的数据中位数不会超过8，A正确； 极差为4的数据可以是，中位数，B错误； 众数是7的数据中位数不会超过8，C正确； 方差不超过的数据中位数不会超过8，D正确； 故选：ACD. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $