专题01 集合与常用逻辑用语、函数与导数（5大考点）（浙江专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题01 集合与常用逻辑用语、函数与导数 5大考点概览 考点01集合的基本运算 考点02命题的否定、充分必要条件 考点03函数及其性质 考点04利用导数研究函数单调性、极值与最值 考点05导数综合运用 ( 集合的 的 运算 考点1 )1．(24-25高三下·浙江强基联盟·)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．(25-26高三上·浙江金华十校·一模)已知集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 4．(25-26高三上·浙江宁波·模拟)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．(25-26高三上·浙江嘉兴·一模)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 9．已知集合，且的元素个数是一个，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．(25-26高三上·浙江杭州·)设集合，则（    ） A． B． C． D． ( 命题的否定、充分必要条件 考点2 ) 11．在中，角所对的三条边分别为，则是等腰三角形的充分条件是（   ） A． B． C． D． 12．对实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．已知正数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．(25-26高三上·浙江宁波·模拟)下面四个条件中，使成立的必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 15．已知，则下列条件中使成立的充要条件是（　　） A． B． C． D． ( 函数 及其性质 考点3 ) 16．(25-26高三上·浙江杭州·)设函数，若，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 17．已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 18．已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．4 19．定义在上的两个函数，恒有，则（　　） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 20．已知点，，在曲线上，记，则存在函数，对曲线上任意一点P都有（   ） A． B． C． D． 21．(25-26高三上·浙江宁波·模拟)大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa），它随海拔高度h（m）的变化规律可以近似的表示为（其中e为自然对数的底数，是海平面大气压强，为常数）.已知宁波市海拔最高的是四明山的主峰，主峰上一处的海拔约为1018m，大气压强为90900Pa，宁波城区一处的海拔约为4m，大气压强为101000Pa.现测得某山峰上一处的大气压强为80800Pa，请估计该处的海拔高度（单位：m）位于以下哪个范围内？（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 22．(25-26高三上·浙江嘉兴·一模)若实数满足，则下列结论不可能成立的是（    ） A． B． C． D． ( 利用 导数研究函数单调性、极值最值 考点4 ) 23．已知三次函数，若不等式的解集为，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 24．在中，斜边，为边上的高，的平分线交于点，当最大时，的值为（    ） A． B． C． D． 25．(24-25高三下·浙江强基联盟·)已知函数，，有恒成立，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 26．(25-26高三上·浙江杭州·)函数在上的最小值为__________. 27．已知函数，记在点（其中）处的切线与y轴交点的纵坐标为，若对任意的恒成立，则实数的最小值为__________. 28．已知函数在定义域上连续且可导，对于正实数，记和分别为函数在区间上的最大值和最小值，函数. (1)设； ①求的单调区间； ②当时，求函数的解析式. (2)请判断“函数单调递增”是“函数单调递增”的什么条件？并给出证明. ( 导数综合运用 考点 5 ) 29．(25-26高三上·浙江金华十校·一模)已知函数在处取得极小值，为其导函数，则（    ） A． B． C．的解集为 D． 30．若关于的方程恰有四个不同的实根，则（　　） A． B． C． D． 31．(25-26高三上·浙江嘉兴·一模)已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的单调递减区间是 B．若，则方程有两个不等的实根 C．若点是曲线上的动点，则点到直线距离的最小值为 D．若过点可以作曲线的三条切线，则 32．(25-26高三上·浙江宁波·模拟)已知函数有两个零点，则实数的取值范围是__________． 33．(25-26高三上·浙江宁波·模拟)已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求实数的值； (2)若对恒成立，求整数的最小值； (3)当时，证明：在上存在唯一零点和唯一极小值点，且. 34．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有三个不同的零点. （i）求实数的取值范围； （ii）若，证明：. 35．在正弦曲线上有一点，按照如下方式依次构造点：作曲线在处的切线与轴交于点，过点作轴的垂线与正弦曲线交于点，记的坐标为，已知，设. (1)证明：； (2)若对任意正整数，都有成立，求的取值范围； (3)若，证明：对任意正整数，有成立. 36．已知函数，，（为自然对数的底数）． (1)当时， （i）求的单调递增区间； （ii）记为函数在上从小到大排列的第个极值点，求数列的前20项和． (2)当时，求证：对任意的，恒成立． 37．已知函数. (1)若函数在点处的切线过点，求a的值； (2)试给出a的一个整数值，使存在唯一的极值点，并说明理由； (3)若存在，使不等式对任意的成立，求b的最小值. 38．(25-26高三上·浙江杭州·)已知函数，为的导数，其中为自然对数的底数. (1)求； (2)证明：当时，； (3)设，对任意的，若，求证：. 39．(25-26高三上·浙江金华十校·一模)已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，讨论在区间上零点的个数． 40．(24-25高三下·浙江强基联盟·)已知函数，其中. (1)若函数是偶函数，求； (2)当时，讨论函数在上的零点个数； (3)若，，求的取值范围. 41．(25-26高三上·浙江嘉兴·一模)已知函数.当时，恒成立. (1)求实数的取值范围； (2)求证：（i）在上存在极值点和零点； （ii）对于（i）中的和，满足. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01集合与常用逻辑用语、函数与导数 考点1 集合的的运算 2 3 4 5 6 7 9 10 C D B D B D B 考点2 命题的否定、充分必要条件 11.ACD 12.C 13.A 14.B 15.D 考点3 函数及其性质 16.D 17.C 18.D 19.B 20.D 21.C 22.D 考点4 利用导数研究函数单调性、极值最值 23.D 24.C 25.A 26.2 27.8/3 1/3 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1,+∞) 0,1) 28.(1)①单调递增区间为 ； 单调递减区间为 9(t)= n(t+1)-t+0<t≤1 ② +h2,1<t≤ (2)充要条件，证明见解析 考点5 导数综合运用 29.ACD 30.D 31.ACD (0,+∞) 32. 3.3 23 (3)证明见解析 34.(1)答案见解析： 2)(0（∞，-1)U(-12- 9；()证明见解析. 35.(1)证明见解析 27e(1,2) (3)证明见解析 [2km-平，2km+胃到k∈Z 77e22m-81e21n+3e2m+e 36.(1)(1) ；(ii) 41-e (2)证明见解析 37.(12=2 203 2/3 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 32=2 38.(1)1 (2)证明见解析 (3)证明见解析 39.a=0, 2)∞1] (3)3个. =t线 40.(1) (2)两个零点 g”e9um 41.1,+网) (2)(i)证明见解析：(ii)证明见解析. 3/3 专题01 集合与常用逻辑用语、函数与导数 5大考点概览 考点01集合的基本运算 考点02命题的否定、充分必要条件 考点03函数及其性质 考点04利用导数研究函数单调性、极值与最值 考点05导数综合运用 ( 集合的 的 运算 考点1 )1．(24-25高三下·浙江强基联盟·)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：C 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简集合B，再根据交集的定义可得结果. 【详解】由，得，所以. 故选：A. 3．(25-26高三上·浙江金华十校·一模)已知集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用集合的补运算求集合即可. 【详解】由，，则 . 故选：D 4．(25-26高三上·浙江宁波·模拟)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 5．(25-26高三上·浙江嘉兴·一模)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集的概念运算即可. 【详解】由题意可知 . 故选：D 6．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义即可求出. 【详解】， 故选:B. 7．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，化简集合，再利用交集的定义直接求解. 【详解】依题意，，， 所以. 故选：A 8．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的并集定义进行运算即可. 【详解】由题意得，集合. 所以. 故选：D. 9．已知集合，且的元素个数是一个，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系求解即可. 【详解】由的元素个数是一个，且，得，则， 所以实数的取值范围是. 故选：C 10．(25-26高三上·浙江杭州·)设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出集合，再根据交集运算求解. 【详解】， 因为，所以 . 故选:B. ( 命题的否定、充分必要条件 考点2 ) 11．在中，角所对的三条边分别为，则是等腰三角形的充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对每个选项，分别应用正弦定理、余弦定理将已知等式进行边角转化，再通过三角恒等变换或代数整理，推导是否存在或的关系，若能推出，则该选项是充分条件. 【详解】选项A，根据正弦定理（为三角形外接圆半径）， 因为，所以， 所以是等腰三角形， 因此能充分推出是等腰三角形，所以A正确； 选项B，根据正弦定理得，， 又，则，整理为， 则有，即，可得是等腰三角形， 或者，即，可得是直角三角形，但不一定是等腰三角形， 因此不能充分推出是等腰三角形，所以B错误； 选项C，根据正弦定理得，，又， 则，整理为， 则有，即，可得是等腰三角形， 因此能充分推出是等腰三角形，所以C正确； 选项D，根据正弦定理得，， 又，即，则，整理为， 又由余弦定理得，， 所以，即， 整理得， 则， 即， 所以，而，所以，即， 所以是等腰三角形，因此能充分推出是等腰三角形，所以D正确. 故选：ACD. 12．对实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】应用不等式性质结合充分必要条件的定义求解即可. 【详解】对实数，当时，，则， 当时，，则， 则“”是“”的充要条件. 故选：C. 13．已知正数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义及对数函数的性质判断即可. 【详解】若，则， 从而， 因此“”是“”的充分条件； 若， 化简得， 即或， 即或者， 因此“”是“”的不必要条件. 故选：A. 14．(25-26高三上·浙江宁波·模拟)下面四个条件中，使成立的必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由充分必要条件的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，，而不能推出，例如而. 所以是的充分不必要条件，故A不正确 对于B，不能推出，例如，但；而 所以是的必要不充分条件，故B正确. 对于C，不能推出，例如但；不能推出，例如，但.所以是的既不充分也不必要条件，故C错误. 对于D,因为 是增函数，所以，故是的充要条件.所以D不正确. 故选：B 15．已知，则下列条件中使成立的充要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐一分析各选项条件和能否互推即可求解. 【详解】对于A，当时，满足，但不满足， 所以不是的充要条件，故A错误； 对于B，当时，满足，但不满足， 所以不是的充要条件，故B错误； 对于C，当时，指数函数为增函数，若，则， 当时，指数函数为减函数，若，则， 所以（且）不是的充要条件，故C错误； 对于D，若，则，即， 反之，若，则，则，所以， 所以是的充要条件，故D正确. 故选：D ( 函数 及其性质 考点3 ) 16．(25-26高三上·浙江杭州·)设函数，若，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】D 【分析】由题可得，令，得在上为单调递增的奇函数，由于，，利用对称性求解即可. 【详解】因为，所以， 即， 令，，所以在上为单调递增的奇函数， 由于，， 所以，则， 故选：D． 17．已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据奇函数定义域关于原点对称得出，再应用奇函数定义结合对数运算得出参数，最后计算求解. 【详解】的定义域，由， 若，由不等式可解得函数定义域为，不关于原点对称，不可能为奇函数， 若，解得函数定义域为， 若为奇函数，必有，解得； 又， 解得， 故选：C. 18．已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：D 19．定义在上的两个函数，恒有，则（　　） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】B 【分析】借助函数奇偶性定义计算即可得. 【详解】由，则， 则，又定义域为，故为偶函数，故B正确； 由已知得不到与关系，也得不到是否为，故A、C、D错误. 故选：B. 20．已知点，，在曲线上，记，则存在函数，对曲线上任意一点P都有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定点的轨迹后，结合函数定义逐项判断即可得. 【详解】由，可得，， 故在以原点为圆心，半径为的圆的右半圆上. 对A、C：如图：当位于点或时，有与全等， 则，即当时，可为或，可为或， 故、都不是关于的函数，故A、C错误； 对B：当时，如图，可能位于点或点处， 显然，故一个可能得到两个不同的， 故不是关于的函数，故B错误； 对D：由，则确定时，唯一确定， 则当确定时，点也唯一确定， 则每一个都有相对应的一个， 故是关于的函数，故D正确. 故选：D 21．(25-26高三上·浙江宁波·模拟)大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa），它随海拔高度h（m）的变化规律可以近似的表示为（其中e为自然对数的底数，是海平面大气压强，为常数）.已知宁波市海拔最高的是四明山的主峰，主峰上一处的海拔约为1018m，大气压强为90900Pa，宁波城区一处的海拔约为4m，大气压强为101000Pa.现测得某山峰上一处的大气压强为80800Pa，请估计该处的海拔高度（单位：m）位于以下哪个范围内？（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合题意与对数的运算性质求解海拔高度，再判断范围即可. 【详解】设城区的压强为，四明山的压强为， 由题意得，， 两式作除法可得，解得， 对于目标点，可得，由已知得， 两式作除法可得，解得， 则 ，在内，故C正确. 故选：C 22．(25-26高三上·浙江嘉兴·一模)若实数满足，则下列结论不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分及两种情况讨论，结合对数函数的单调性，逐一判断，即可得到结果. 【详解】由，得， 由选项知只需要讨论及两种情况. 当时，， 所以， 因为函数在上单调递增，所以，即， 得成立，故A正确； 又因为，所以， 即，得，所以，故B正确； 当时，， 所以， 因为函数在上单调递增， 所以，即，得成立，故C正确； 因为，所以， 所以， 得，即，故D错误， 故选：D. ( 利用 导数研究函数单调性、极值最值 考点4 ) 23．已知三次函数，若不等式的解集为，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】求导，确定函数的单调区间，和极值，进而可求解. 【详解】由，求导可得：， 由，得或，由，得， 所以在单调递增，在单调递减， 所以当时，极大值为4， 即当时，， 又当时，极小值为0，当时，， 且函数在单调递减，在单调递增， 即当时，，当时，， 综上可知不等式的解集为， 故选：D 24．在中，斜边，为边上的高，的平分线交于点，当最大时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用直角三角形求得，令，记，利用导数法求得最大时的值. 【详解】设，因为，所以，， 所以， 所以， 令，记， 则，， 令得，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以时，即取到最大值，此时 . 故选：C 25．(24-25高三下·浙江强基联盟·)已知函数，，有恒成立，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由转换成，或，在上恒成立，进而转化成求最值即可求解； 【详解】等价于，即 ，故有，或，在上恒成立， 即或在上恒成立， 令，得， 可得：在单调递增，在单调递减， 由，当，，， 令，由基本不等式可得，当且仅当时取等号， 当，， 对于在上恒成立， 可得解得： 对于在上恒成立， 可得：，解得 故a的取值范围为. 故选：A. 26．(25-26高三上·浙江杭州·)函数在上的最小值为__________. 【答案】2 【分析】由，求出，结合导数研究函数在上的单调性即可求出其最小值. 【详解】由题可得：，解得：， 所以，则，令,解得：， 令，解得：，令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以 故答案为： 27．已知函数，记在点（其中）处的切线与y轴交点的纵坐标为，若对任意的恒成立，则实数的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】利用导数的几何意义，求出切线方程为，进而可得，结合条件，利用裂项相消法得对任意的恒成立，即可求解. 【详解】因为，则，所以， 所以在点处的切线方程为， 令，得到，所以， 则， 所以， 由对任意的恒成立，即对任意的恒成立， 即对任意的恒成立，又，易知， 所以， 故答案为：. 28．已知函数在定义域上连续且可导，对于正实数，记和分别为函数在区间上的最大值和最小值，函数. (1)设； ①求的单调区间； ②当时，求函数的解析式. (2)请判断“函数单调递增”是“函数单调递增”的什么条件？并给出证明. 【答案】(1)①单调递增区间为；单调递减区间为；② (2)充要条件，证明见解析 【分析】（1）①求导，利用导数求的单调区间；②根据的单调性分和两种情况，结合的定义分析求解； （2）根据题意结合单调递增的定义以及反证法，从充分性和必要性两个方面分析证明. 【详解】（1）①由题意可知：的定义域为，且， 由，解得；由，解得； 所以的单调递增区间为；单调递减区间为； ②由①知，当时，在上单调递减， 则，， 所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则；， 令，则， 当时，；当时，； 可知在上单调递增，在上单调递减， 则，即， 可得，即，则， 所以； 综上所述：. （2）“函数单调递增”是“函数单调递增”的充要条件， ①充分性：因为单调递增，则， 可得，所以函数单调递增； ②必要性：当函数单调递增时， 假设函数不是单调递增，则存在，使得， 下面讨论在上的单调性情况： （i）若在上为常数函数，则，， 可得，这与单调递增矛盾； （ii）若在上为单调递减函数，则，， 可得，这与单调递增矛盾； （iii）若在上有极值点，则在该极值点左､右单调区间之中必有一个单调递减区间， 由（ii）同理可得，这与单调递增矛盾； 综上所述：假设不成立，即函数是单调递增函数； 故“函数单调递增”是“函数单调递增”的充要条件. ( 导数综合运用 考点 5 ) 29．(25-26高三上·浙江金华十校·一模)已知函数在处取得极小值，为其导函数，则（    ） A． B． C．的解集为 D． 【答案】ACD 【分析】对于A，根据在处取得极小值即可求解；对于B，根据和到对称轴的距离即可判断；对于C，对进行因式分解即可求解；对于D，因为时，、，再结合的单调性以及、的函数值即可求解． 【详解】对于A，，由题意可知，解得，此时，故A正确； 对于B，由，其为二次函数，开口向上，对称轴为， 则到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， 结合开口向上的二次函数图像特点可知，离对称轴较远的点函数值更大，也即，即，故B错误； 对于C，解不等式，即，整理为， 因式分解得，解得，故解集为，故C正确； 对于D，对于，有，当且仅当时取等号，同时， 由于，当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，，所以，故D正确． 故选：ACD． 30．若关于的方程恰有四个不同的实根，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，可得或，构造函数，则，结合导数可得函数性质，从而得到与的根的关系，即可得间关系，从而可得与间关系；再借助作差法，结合导数计算可得与关系，即可得解. 【详解】由，则或， 则或，令，则， 当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 又当时，，， 故当或时，仅有一根，当时，有两根， 又，则最多有两根， 由题意可得与共有四个不同根， 故，设两根分别为、，且， 则两根分别为、，则， 则有或， 若，则、、、， 若，则、、、， 故，， 由，则，即有，故D正确，C错误； ，， 则， 令，则， 则当时，，则在上单调递增， 由，则，即， 即，即有，故A、B错误. 故选：D. 31．(25-26高三上·浙江嘉兴·一模)已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的单调递减区间是 B．若，则方程有两个不等的实根 C．若点是曲线上的动点，则点到直线距离的最小值为 D．若过点可以作曲线的三条切线，则 【答案】ACD 【分析】对A，由及函数连续性可判断；对B、D，将问题转化为两个函数图象交点的个数问题，画出函数的大致图象，结合图象可判断；对C，当在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，求出点坐标，用点到直线距离公式求最值. 【详解】对于A：，由得，又函数在连续， 所以的单调递减区间是，A正确； 对于B：当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，取得最大值，又时，； 时，，所以的图象大致如图： 当时，函数与函数图象有两个交点， 即方程有两个不等的实根，B错误； 对于C：当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小， 设点，则，解得，此时， 点到直线的距离，C正确； 对于D：设过点的切线切点为，则，整理得， 若过点可以作曲线的三条切线，则函数与函数有三个交点， 对函数， 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减. 又当时，；当时，；时，；时，， 所以函数的图象大致如下： 则当时，函数与函数有三个交点， 此时过点可以作曲线的三条切线，D正确. 故选：ACD. 32．(25-26高三上·浙江宁波·模拟)已知函数有两个零点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据已知函数的性质，把函数有两个零点转化为方程有两个不同的根，构造函数并求导，利用导数分析函数单调性，从而求解实数的取值范围． 【详解】函数有两个零点， 有两个不同的根， 当时，左边为，右边为，左边不等于右边，故不是方程的解； 当时，， 令，求导得， ， ， 在上单调递增，在上单调递增， 当时，，且, 当时，， 当时，，当时，，， 函数图像如下图所示， 要使与的图像有两个交点，则需满足，此时与在和上各有一个交点． 实数的取值范围为， 故答案为：． 33．(25-26高三上·浙江宁波·模拟)已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求实数的值； (2)若对恒成立，求整数的最小值； (3)当时，证明：在上存在唯一零点和唯一极小值点，且. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求得，根据题意，得到，即可求解； （2）由，可得，当时，由，不符合题意，得到， 法一：当时成立，分和，利用函数，以及函数的单调性，证得；法二：当时成立，此时，分和，两种情况讨论，结合导数求得函数的单调性，进而证得； （3）由（2）知在上递增，利用零点存在性定理，得到存在，使得，求得函数的单调性，得到存在，使得，得到单调性，结合，，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得， 因为曲线在点处的切线方程为， 所以，解得. （2）解：由，且， 由，可得， 当时，，，不符合，故， 法一：当时成立，此时， 当时，， 令，可得， 所以在递增，在递减， 又，，所以，即. 当时，可得，所以. 所以当时，均有对恒成立， 综上所述，整数的最小值为. 法二：当时成立，此时， 当时，，令， 可得在上递增， 因为，， 所以存在，使得，即， 又因为，所以， 则， 所以在递增，有， 当时，， 所以，也成立. 综上所述，整数的最小值为. （3）证明：由，可得， 令，可得， 当时，在上递增， 而，，所以存在，使得， 所以在单调递减，在单调递增， 又，，， 所以存在，使得，所以在递减，在递增， 又当时，，所以在递增， 所以在单调递减，在单调递增， 所以是在上的唯一极小值点； 此时，， 所以在，即上存在唯一零点，使得， 下证：. 因为，所以，又因为在递增，只需证， 因为是的唯一极小值点，可得，即，可得 又因为，即， 因为，只需证明：， 令，其中， 则， 所以在上单调递增，， 所以成立，证毕， 所以在上存在唯一零点和唯一极小值点，且. 34．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有三个不同的零点. （i）求实数的取值范围； （ii）若，证明：. 【答案】(1)答案见解析； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）求，按照，，讨论求解； （2）（i）当时，函数有三个零点需要满足极大值且极小值，联立不等式组求解实数的取值范围. （ii）由，不妨设. 要证即，构造函数，求构造函数，求，求出在区间上单调性，由，得到在区间上单调性，得到，故得到在区间上单调性，得到，即，得证. 【详解】（1）， ，， ，或， 当时，，的解为或， 的解为， 的单调递增区间为，单调递减区间； 当时，，的解为或， 的解为， 的单调递增区间为，单调递减区间； 当时，，的增区间为. 综上可知， 当时， 的单调递增区间为，单调递减区间； 当时， 的单调递增区间为，单调递减区间； 当时， 的单调递增区间为. （2）（i）当时，，的解为或， 的解为， 的增区间为，减区间； 函数有三个不同的零点， ，， 解不等式，整理得， ，，，， 在上是单调递增函数， ，在上恒成立， 在上恒成立，无解， 即不等式组 无解； 当时，，的解为或， 的解为， 的增区间为，减区间； ，， 解不等式，整理得， ，，， 当时，，当时，， 在上是单调递增函数，在上是单调递减函数， ，在上恒成立， 的解为且； 解不等式，整理得，解得； 综上可知，不等式的解为且， 所以实数的取值范围为； 当时，，的增区间为， 不满足函数有三个不同的零点. 综上可知，实数的取值范围为. （ii）因为，不妨设. 已知， 要证， 只需证，只要证， 即 令， 则， 令， 则， 且，，， ， 故在区间上单调递减，所以， 故在区间上单调递减， 所以，故在区间上单调递减， 因此，即，得证. 所以. 35．在正弦曲线上有一点，按照如下方式依次构造点：作曲线在处的切线与轴交于点，过点作轴的垂线与正弦曲线交于点，记的坐标为，已知，设. (1)证明：； (2)若对任意正整数，都有成立，求的取值范围； (3)若，证明：对任意正整数，有成立. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）记函数，求导，根据导数可得，进而得证； （2）根据导数的几何意义可得直线的方程为，将点代入得，由题意可得，记，求导，根据单调性结合零点存在性定理归纳即可求解； （3）由（2）可得当时且，由得，计算即可求解. 【详解】（1）记函数，则 因此在上单调递增，故，所以即. （2）由题意可得直线的方程为， 将点代入，得，即. 由题意得即，由（1）得，即 另一方面，记函数，则， 令，则， 故在上单调递增，故， 即，故在上单调递增，而， 由零点存在定理可得存在唯一使得即. 因此当时，，而为偶函数， 故当时，. 当时，.假设时，则 ，故. 由此归纳可得 所以即. 综上所述，的取值范围为. （3）由（2）得当时且，故. 另一方面，，故 故 所以. 36．已知函数，，（为自然对数的底数）． (1)当时， （i）求的单调递增区间； （ii）记为函数在上从小到大排列的第个极值点，求数列的前20项和． (2)当时，求证：对任意的，恒成立． 【答案】(1)（i）；（ii） (2)证明见解析 【分析】（1）（i）求导，利用导数结合余弦函数性质求单调区间即可；（ii）根据函数单调性和极值点分析可知数列是以首项为，公差为的等差数列，整理可得，利用错位相减法运算求解； （2）整理可得，结合题中范围可得，再结合分析证明即可. 【详解】（1）由题可得：， （i）令，则， 可得，解得， 所以的单调递增区间为； （ii）令，则， 可得，解得， 则函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 可知函数的极值点为， 且，则函数的极值点依次为，，，， 可知数列是以首项为，公差为的等差数列， 则，， 令， 记数列的前20项和为， 则， 可得， 两式相减得 整理可得. （2）由题可得： ， 因为，，则，，， 可得， 构造，则， 可知在内单调递增，则， 即， 且，，， 可得，，即， 则 ， 即， 所以对任意的，恒成立. 37．已知函数. (1)若函数在点处的切线过点，求a的值； (2)试给出a的一个整数值，使存在唯一的极值点，并说明理由； (3)若存在，使不等式对任意的成立，求b的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出切点，再求导求出斜率，写出点斜式方程，即可求出a的值； （2）赋予一个a的值，使得导函数仅有一个零点即可； （3）由题目条件可知 恒成立 ，通过分析的取值范围得到 的最大值，进而求出使不等式对任意的成立时b的最小值. 【详解】（1）由题可知， 切点，斜率， 切线方程：， 代入，解得：. （2）取，存在唯一的极值点在存在唯一的变号零点， 当时，记 ， 又， 所以在存在唯一的变号零点， 当时，，无零点， 故在存在唯一的变号零点. （3） 恒成立 ，下面研究 的最大值． 当 时， 由（2）知存在唯一的 使得 ， 且 在 上单调递增， 上单调递减，即 ， 当 时， 若 ，则 ，当 时， ， 当 时， ，而 ， 若 ，则 ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ，而 ， 结合知 ， 所以 ， 因为与是对应关系，故存在实数满足不等式恒成立， 即满足存在实数，使，即， 记， 有，当时，单调递减， 当时，单调递增，即， 故的最小值为，此时. 38．(25-26高三上·浙江杭州·)已知函数，为的导数，其中为自然对数的底数. (1)求； (2)证明：当时，； (3)设，对任意的，若，求证：. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导数，代入即可求得结果； （2）令，求导数由基本不等式得到最值，然后得到函数在上单调，从而得到最值，即可得证； （3）由（2）得到，然后得到的不等式，从而可求得不等式左边的范围，从而得证. 【详解】（1）， 所以； （2）设， ， 所以在上单调递增，当时，， 所以，当时，成立. （3）因为，则， 由（2）知，即， ∴ 所以. 原式 39．(25-26高三上·浙江金华十校·一模)已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，讨论在区间上零点的个数． 【答案】(1)； (2)； (3)3个. 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）法一：应用分离参数法有，再应用导数研究右侧的单调性求最小值，即可得参数范围；法二：应用必要性探路，问题化为，令，再证明，时，恒成立，确保充分性成立，即可得； （3）由题设得是函数的一个零点，讨论、、，并利用导数研究函数的零点个数，即可得. 【详解】（1）由，则，显然，所以切线方程为； （2），此时， 法一：分离参数法，从而， 令，则， 所以，， 所以在单调递减，在单调递增， 因此，故的取值范围为； 法二：必要性探路，， 令，， 下证：，时，恒成立， 由一次函数在上递减， 则， 在和上恒成立，且时， 所以恒成立，故的取值范围为； （3）在区间上有3个零点，理由如下： 由于，所以是函数的一个零点，， 当时，此时恒成立，又由（1）知恒成立， 从而恒成立，所以在区间上没有零点； 当时，此时，， 若是的导数，则， 由于恒成立，所以，即在上单调递增， 从而存在使得，且，， 即在区间上递减，区间上递增，从而， 又，所以在有唯一零点，即在上有唯一零点； 当时，此时，从而， 由于时，，所以， 又，从而恒成立， 即在上恒成立，所以在区间上单调递增， 因为，， 因此在区间上有唯一零点， 综上所述，函数在区间上有3个零点. 40．(24-25高三下·浙江强基联盟·)已知函数，其中. (1)若函数是偶函数，求； (2)当时，讨论函数在上的零点个数； (3)若，，求的取值范围. 【答案】(1) (2)两个零点 (3) 【分析】（1）由偶函数的定理建立等式，求出； （2）代入，得到，写出，令后在求导.由解析式可知当时，恒成立.当时，，得到单调递增，由二分法知道在存在唯一零点.由此知道函数的单调区间，再由二分法得到函数零点. （3）当时，恒成立，所以当时，由，求出的范围.再将的范围分为，，三个范围，由三角函数的性质以及导函数判断函数单调性建立不等式，最后求出的范围. 【详解】（1）因为函数是偶函数，所以. 即， 解得：. （2）当时，. ，， 令，则. 当时，， 当时，，单调递增， 又，， 所以存在，使得. ，，单调递减，，，单调递增， 而，，，所以在上存在一个零点. 综上，函数在有两个零点. （3）当时，；当时，， 则或. （ⅰ）当时，，，成立； （ⅱ）当时， 若，则，单调递增， 所以； 若，则，，成立； （ⅲ）当时，若，则成立； 只要考虑，此时令， 则，递增，，， 所以存在，使得， 若，则，递减；若，则，递增. 所以，解得. 此时，所以，从而. 若，则函数，当时，显然成立，当时，因为,所以恒成立，即符合题意 综上，. 【点睛】方法点睛，本题是函数综合问题，考查了利用导函数得到函数单调性，由函数单调性解决不等式恒成立问题.本题需要先通过三角函数的值域先得到不等式在某个区间恒成立，再通过某个特殊值得到的范围，然后通过函数解析式的特殊性，分别讨论的范围内不等式恒成立.本题用到了隐零点的方法求得函数的最小值，要想不等式大于等于零恒成立，转变为最小值大于等于零，然后解得的范围. 41．(25-26高三上·浙江嘉兴·一模)已知函数.当时，恒成立. (1)求实数的取值范围； (2)求证：（i）在上存在极值点和零点； （ii）对于（i）中的和，满足. 【答案】(1); (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）由已知可得，然后分类讨论时，是否恒成立，即可求解； （2）（i）对函数求导，确定函数的单调性，然后结合零点存在定理即可解决；      （ii）由（i）知成立，只要证出即可，构造新函数，通过函数的单调性证明成立，从而证得不等式. 【详解】（1），求导可得， 观察可知在上单调递增，所以. ①当时，恒成立，所以在上单调递减，，不满足题意； ②当时，在上单调递增， 所以，使得，当时，，在上单调递减， 所以时，，不满足题意； ③当时，恒成立，所以在上单调递增，，满足题意. 综上，. （2）（i），其中， 则，， 当时，， 由知，成立， 所以在上无零点，即在上无极值点. 当时，令， 则在上单调递增，， 由知，， 所以使得，当时，，即单调递减， 所以； 当时，，即单调递增， 因为，所以，使得， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以在上存在唯一极小值点. 故，又因为， 所以存在使得， 所以在上存在唯一零点，得证. （ii）由（i）知成立，下面证明. 由（i）知，所以， 因为在上单调递增，要证，只需要证明. 因为，所以， 由（i）知，得， 所以， 由（1）知，当时，，所以， 令，其中， 则恒成立， 所以在上单调递增，所以，即成立， 所以成立，即， 综上所述，得证. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $