浙江温州市2025-2026学年度高三数学自编模拟试卷

2026届高三数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：全国Ⅰ卷高考所有内容。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.若复数满足，则(    ) A. B. C. D. 3.已知函数的部分图象如图所示为图象与轴的一个交点，为图象的一个最高点，且，则的一个对称中心可以是(    ) A. B. C. D. 4.已知向量与的夹角为，，，则(    ) A. B. C. D. 5.在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则(    ) A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 6.已知等比数列的公比，前项和为，则对于，下列结论一定正确的是(    ) A. B. C. D. 7.晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图是该建筑的剖面画图圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”现使用图简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中四边形为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为，圆心角为已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为(    ) A. B. C. D. 8.已知直线与相交于点，点在圆上，则    ． A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.在二项式的展开式中，前项的系数成等差数列，则下列结论中正确的是(    ) A. B. 展开式中所有奇数项的二项式系数和为 C. 常数项为 D. 展开式中系数最大项为第项和第项 10.已知正数，满足，则(    ) A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11.已知函数，其中实数，，则下列结论正确的是(    ) A. 当时，必有两个极值点 B. 过点可以作曲线的条不同切线，则 C. 若有三个不同的零点，，，且，则 D. 若有三个不同的零点，，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.记为数列的前项和，若，则          ． 13.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字，，，，乙的卡片上分别标有数字，，，，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得分，数字小的人得分，然后各自弃置此轮所选的卡片弃置的卡片在此后的轮次中不能使用则四轮比赛后，甲的总得分不小于的概率为          ． 14.已知双曲线的左焦点为，过且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且若，则双曲线的离心率是          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 记的内角，，的对边分别为，，，已知，． 求 在边上存在一点，使得，连接，若的面积为，的平分线交于点，求的值． 16.本小题分 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，若点满足，点为中点，过的平面满足，且平面与棱，，分别交于点，，． 求证：； 试判断，，，，，六点能否在同一个球面上？ 若能，求该球的表面积；若不能，请说明理由． 17.本小题分 在深化课程改革、推动教育高质量发展的新阶段，命题能力已成为教师专业发展的关键能力某省开展年学科教师命题能力高质量研修提升培训会，参会人员包括名经验丰富教师年龄在岁及以上的教师，名经验不丰富教师年龄在岁以下的教师，会后均参加相关知识考核，考核结果为优秀、合格两种情况，统计并得到如下列联表： 经验丰富教师 经验不丰富教师 总计 优秀 合格 总计 根据小概率值的独立性检验，能否认为这次考核结果与经验丰富与否有关 若从参会人员中，采用分层抽样的方法随机抽取名教师，再从这名教师中随机抽取人进行调研，设抽取的人中经验不丰富教师的人数为，求的分布列和数学期望． 附：，其中． 18.本小题分 已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于，两个动点记动点轨迹为曲线． Ⅰ求点的轨迹方程 Ⅱ设直线与曲线相交于，两点，与圆相切于点，若为，中点，求的纵坐标取值范围 Ⅲ过点作圆圆在曲线内部的两条切线分别交于曲线于，两点异于点，探究直线是否过定点． 19.本小题分 已知函数在区间和各恰有一个零点，分别记为和． 求实数的取值范围 记曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，求的最大值 若函数有三个零点，，，其中，证明：． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：由题意得 ，所以． 又，所以． 2.【答案】  【解析】解：，所以． 3.【答案】  【解析】解：因为为图象的一个最高点，所以点的纵坐标为， 已知，且为图象与轴的一个交点，所以， 设，，由函数的图象可知，到的水平距离是个周期， 即为函数的最小正周期，解得， 根据周期公式，可得，所以，  令，，解方程：  ，， 当时，，所以的一个对称中心为，故选B． 4.【答案】  【解析】解：向量与的夹角为，，， 则，即，解得．故选D． 5.【答案】  【解析】解：在正项数列中，，令，则，即常数， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 故由条件甲可以推出条件乙； 若是等比数列，设其公比为，则， 那么．而， 当时，，所以由条件乙不能推出条件甲． 故甲是乙的充分条件但不是必要条件．故选：． 6.【答案】  【解析】解：当时，，不符合，舍去； 当，选项：等比数列的前项和， 则，，则， 所以．，选项错误； 选项： ， ， 所以，选项正确． 7.【答案】  【解析】解：由题意可知区域和全等，且都是底面半径为，高为的圆柱的侧面的一部分，将区域还原到如图所示圆柱中． 由图可知，，， 由扇形的弧长公式可知，的长为， 结合圆柱的侧面积公式可知， 所以， 所以被瓦片覆盖的区域和的总面积为． 8.【答案】  【解析】解：对于直线，可变形为， 令，解得，所以直线恒过定点， 对于直线，可变形为， 令，解得，所以直线恒过定点， 因为，所以， 又因为两直线相交于点，所以点在以为直径的圆上不包含点 已知，，则中点坐标为， ，所以半径， 故所在圆的方程为的轨迹不包含点， 已知圆的圆心，半径，则圆心与点轨迹圆的圆心的距离为， 的最大值为圆心距加上两圆半径，即， 由于轨迹不包含点，故不存在最小值．故选：． 9.【答案】  【解析】解：展开式的通项为， 则第项的系数为；第项的系数为；第项的系数为， 由前项的系数成等差数列，得，解得舍去，故A正确； 展开式中所有奇数项的二项式系数和为，故B正确； 令，得，则常数项为，故C错误； 设展开式中第项的系数最大，则，又，解得或， 则展开式中系数最大项为第项和第项，故D正确．故选：． 10.【答案】  解：，，当且仅当时取得等号，对． ，， ，当且仅当时取得等号，错． ， 当且仅当时取得等号，对． ，， ， 当且仅当，即时取，此时． ， 当且仅当时第一个不等号取“”，而两次基本不等式等号成立条件不同，错．故选AC． 11.【答案】  【解析】解：由题意得，要使有两个极值点， 故有两个不等实根，所以，即，选项A正确； ，设切点为， 在点处的切线方程为， 又切线过点，， 解得，即， 令， 过点可以作曲线切线条数可转化为与图象的交点个数， 当时，与图象有个交点， 即过点可以作曲线的条切线，选项B正确； ， ，，， 若，，成等差数列，则，， ，即，选项C错误； 又， 则， ， 同理，， ，选项D正确．故选：． 12.【答案】  解：根据，可得，两式相减得， 即，当时，，解得， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，故答案是：． 13.【答案】  解：不妨设甲的顺序是，，，，考虑甲得分为，的情况 分情况：只有种， 分情况：甲出的时候得分，此时只有种 甲出的时候得分， 此时乙对应有两种情况：乙出的时候有种情况，乙出的时候有种情况，所以共种 甲出的时候得分， 此时乙对应有种情况：乙出的时候有种情况，乙出的时候有种情况，乙出的时候有种情况从而共种情况． 总得分小于的概率为，则甲的总得分不小于的概率为． 14.【答案】  解：由题意得，渐近线方程， 联立方程解得：，所以， 因为，所以，代入方程得，解得， 所以，把点代入得，即，解得：． 15.【答案】解：由及正弦定理得， 又，所以， 因为，所以，所以，，所以，． 因为，，所以， 则，所以， 又由余弦定理得，可得，所以， 由角平线定理得．  16.【答案】解：证明：如图： 设，由底面是正方形知：是线段的中点， 因为，平面，平面，所以， 而是线段的中点，因此是线段的中点， 因为平面，所以平面与必相交于过的直线， 不妨设， 因为，平面，平面，所以， 而，因此，所以是线段的中点， 连接，延长交于， 因为、平面，所以平面， 因为，所以，因此点是线段的中点， 因为、平面，所以平面， 而，平面，因此， 所以由点是线段的中点得：是线段的中点， 因此五边形是截四棱锥所得截面， 因为，，，所以； 因为面，、面，所以、， 而底面是边长为的正方形，，因此、、两两垂直， 以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系如下： 设，，，，，，六点所在球的球心为， 因此由知：、，，，， 由得： 即 结合解得：， 因此，， 且球的半径平方为， 所以球的方程为， 因为，所以点在球上， 因此，，，，，六点能在同一个球上， 且该球的表面积为．  17.【答案】解：零假设为：这次考核结果与经验丰富与否无关， ， 查临界值表，对应的临界值，由于， 故依据小概率值的独立性检验，我们推断成立， 即认为这次考核结果与经验丰富与否无关，此推断犯错的概率不大于． 分层抽样时，经验丰富教师抽取比例为， 因此：经验丰富教师抽取人数：人， 经验不丰富教师抽取人数：人， 从人中抽取人，设经验不丰富教师人数为，则服从超几何分布，可能取值为， 计算各概率： ，， ，， ，则的分布列为： 数学期望由超几何分布性质得：  18.【答案】解：Ⅰ设圆心为，因圆过点，故半径，圆的方程为． 圆与轴交于，得，解得舍去，即点，故． 圆与轴交于，得．将代入，得：， 故点的轨迹方程为 Ⅱ设、，为中点，则，． 由、，相减得：． 因为圆心，故，即：． 在圆上，故． 直线过且斜率为，方程为，整理得， 代入抛物线方程，得：． 因直线与抛物线有两个交点，， 当时，直线为，符合条件．故的纵坐标取值范围为 Ⅲ依题意，过点的两切线斜率存在，设过的切线方程为， 即．因切线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径： ，整理为． 设切线，斜率分别为，由根与系数的关系得，． 联立切线与抛物线，得：． 因是交点，得另一个交点的横坐标，纵坐标． 同理，另一条切线与抛物线的交点的坐标为，． 设，，则，，且， 直线的两点式方程为：，化简得：， 无论取何值，当且时方程恒成立，故直线过定点．  19.【答案】解：由题意，函数在区间和上各有一个零点． 所以，解得：． ． ，是方程的两根，所以，． ，将代入，得． 切线方程为，在轴上得截距为 有． ，其中． 设， 令，得． 当时，，单调递增 当时，，单调递减． 故的最大值为． 证明：记的导函数为，有，显然是增函数． 又，时，，故存在，使得． 当时，，单调递减当时，，单调递增． 又，时，时，． 所以存在，使得． 此时在和单调递增，在单调递减． 所以， 设曲线在点处的切线的方程为， 则 设函数．， 记的导函数为， 则，所以单调递减，又． 所以时，，单调递增 所以时，，单调递减 故，有 设直线与直线交点的横坐标为，． 根据斜率，有 相同地，设曲线在点处的切线的方程为， 则 设函数由时，，可得 设直线与直线交点的横坐标为，由 ，的斜率，有 所以 又，， 根据，有 即，可得，所以．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $