专题02 复数、平面向量与平面解析几何（5大考点）（浙江专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题02 复数、平面向量与平面解析几何 5大考点概览 考点01复数的概念与运算 考点02平面向量的概念、运算与运用 考点03圆锥曲线离心率 考点04直线与圆、圆锥曲线位置关系 考点05圆锥曲线综合运用 ( 复数的 概念与运算 考点1 ) 1．设复数为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知复数，若（为虚数单位），则（　　） A． B．5 C． D．3 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 4．(25-26高三上·浙江宁波·模拟)复数的虚部为（   ） A． B．3 C． D． 5．(24-25高三下·浙江强基联盟·)若，则（   ） A． B． C． D． 6．(25-26高三上·浙江杭州·)已知为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 7．已知复数，设在复平面内对应的向量分别为，则（    ） A． B．3 C．5 D． 8．已知复数满足，其中为虚数单位，则______ ( 平面向量的概念、运用与运算 考点2 ) 9．(25-26高三上·浙江杭州·)设向量.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．(25-26高三上·浙江金华十校·一模)设为两个非零向量所成的角，已知对任意，的最小值为，则（    ） A． B． C．或 D．或 11．已知向量与的夹角为，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 12．(25-26高三上·浙江宁波·模拟)已知，，若，则（   ） A． B．5 C． D．10 13．(24-25高三下·浙江强基联盟·)已知向量，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 14．在中，已知，那么（    ） A．25 B．24 C． D． 15．(25-26高三上·浙江嘉兴·一模)已知向量满足，则__________. ( 圆锥曲线 离心率 考点3 ) 16．(25-26高三上·浙江金华十校·一模)若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．已知为双曲线的左右焦点，点的坐标为．若为等边三角形，则双曲线的离心率是（　　） A． B．2 C．2 D．3 18．设，分别为双曲线（）的左右焦点，过的直线交双曲线右支于两点，若，则双曲线的离心率可以是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 19．(25-26高三上·浙江嘉兴·一模)已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 20．(25-26高三上·浙江宁波·模拟)双曲线的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 21．(24-25高三下·浙江强基联盟·)双曲线（，）的左、右焦点为，，P为双曲线上一点，且满足轴，，则双曲线的离心率为__________. ( 直线 与圆锥曲线位置关系 考点4 ) 22．已知分别是椭圆的左､右顶点，为椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于两点，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为3 B．直线与的斜率之积为定值 C．不为定值 D．面积的最大值为 23．设抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交于，两点，以为圆心，为半径的圆交于两点．若，则（　　） A． B．直线的斜率是 C． D．的面积是 24．(25-26高三上·浙江嘉兴·一模)过点的直线与抛物线相交于两点，若恰为的中点，则线段的长为__________. 25．(24-25高三下·浙江强基联盟·)已知椭圆：，直线l：.，是椭圆的左、右顶点，，是椭圆的左、右焦点，过直线l上任意一点P作椭圆的切线PM，PN，切点分别为M，N，椭圆上任意一点Q（异于，）处的切线分别交，处的切线于点，，则（   ） A．直线MN过定点 B．，，，四点共圆 C．当时，是线段MN的三等分点 D．的最大值为9 26．是坐标平面内一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限.若四边形（为原点）的面积为，设的轨迹为曲线，则（    ） A．的方程为 B．的方程为 C．的最大值为 D．的最大值为 27．当直线与圆相交所得弦长最短时，m的值为（    ） A．1 B． C． D． 28．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 29．(24-25高三下·浙江强基联盟·)已知圆O：上一点关于x轴的对称点为Q，M是圆O上异于P，Q的任意一点，若分别交x轴于点，则（   ） A． B．2 C． D．4 30．已知点在直线上，且，点在圆上，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．(25-26高三上·浙江金华十校·一模)若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． ( 圆锥曲线综合运用 考点 5 ) 32．(24-25高三下·浙江强基联盟·)已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C上点满足. (1)求抛物线C的方程； (2)设点，过D作直线l交抛物线C于A，B两点，证明：是的角平分线. 33．(25-26高三上·浙江嘉兴·一模)已知双曲线的左､右焦点分别是，并且经过点. (1)求的方程； (2)过点的直线交双曲线的右支于两点（点在第一象限），过点作直线的垂线，垂足为. （i）求证：直线经过定点； （ii）记的面积为，求的取值范围. 34．(25-26高三上·浙江宁波·模拟)已知椭圆的离心率为，是上的点. (1)求椭圆的方程； (2)过作两条倾斜角互补的直线，分别交椭圆在轴上方部分于，两点. （i）求面积的最大值； （ii）过延长线上的点作椭圆的两条切线，，若与交于点，与交于点，求证：直线过定点. 35．已知抛物线的焦点为上有一点到焦点的距离为3，过焦点作直线与抛物线交于两点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)求的面积. 36．已知点F为抛物线的焦点，点（）在C上，且. (1)求C的方程； (2)过C上的动点P作C的切线，与直线交于点Q，过Q作PF的垂线，垂足为H. （ⅰ）当时，求点P的坐标； （ⅱ）求的最大值. 37．(25-26高三上·浙江杭州·)已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方.当轴时，. (1)求椭圆的标准方程； (2)设， （i）求证：； （ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值. 38．已知渐近线为的双曲线过点，过点且斜率为的直线交双曲线于异于的点，记的面积为. (1)求双曲线的方程； (2)求； (3)证明：. 39．(25-26高三上·浙江金华十校·一模)如图，已知点到两点，距离的乘积为8，点的轨迹记为曲线，与轴交点分别记为．    (1)求曲线的方程； (2)求的周长的取值范围； (3)过作直线分别交于两点，且，若的面积为18，求的最小值． 40．已知是椭圆上的两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知是椭圆上的两动点，且的横坐标之和为，设直线为线段的中垂线，过点作直线，垂足为．求垂足横坐标的取值范围，并求的轨迹方程． 41．已知双曲线的离心率为，且过点，渐近线分别为，，其中经过第一、三象限. (1)求双曲线的渐近线的方程； (2)设动点在第一象限内，且不在直线上，过点分别作的平行线，交轴于，两点，且，为坐标原点. ①求动点的轨迹方程； ②求面积的最小值. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02 复数、平面向量与平面解析几何 考点1 复数的概念与运算 1.D 2.A 3.D 4.A 5.D 6.B 7.B 8.2 考点2 平面向量的概念、运用与运算 9.A. 10.C 11.A 12.C. 13.C. 14.D. 15.1 考点3 圆锥曲线离心率 16.C. 17.C. 18.A. 19.A 20.D 3 21. 考点4 直线与圆锥曲线位置关系 22.AD. 1/3 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 23.BCD 24.16 25.ABD 26.ACD 27.B 28.C. 29.B 30.B 31.A 考点5 圆锥曲线综合运用 32.(1 y2=4x (2)证明见解析 x22 33.红)日=1 (2)(i)证明见解析；(ii) +四 34.y+2-1 x2 3-4 (2)(i);(i)证明见解析 (1,0) 35.(1 白哈 x2=4y 36.(1) 2)(DP-49P44 或 m4 +号=1 37.(1) COS/ANB= (2)(i)证明见解析；(i) 2/3 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 38.(1 x2-2y2=1 (3)证明见解析. x2+y2-8(x2-y月)=48 39.(1) 8V3,4W3+2W6+6V3 (2) B,2+V3 0- we-5-自.x+202+P=91e[-5-自 (2) 41.y=v2x,2y=-V2x 20-22=16x>0.y>0,2 3/3 专题02 复数、平面向量与平面解析几何 5大考点概览 考点01复数的概念与运算 考点02平面向量的概念、运算与运用 考点03圆锥曲线离心率 考点04直线与圆、圆锥曲线位置关系 考点05圆锥曲线综合运用 ( 复数的 概念与运算 考点1 ) 1．设复数为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】求得，即可得答案. 【详解】因为， 对应的点位于第四象限. 故选：D. 2．已知复数，若（为虚数单位），则（　　） A． B．5 C． D．3 【答案】A 【分析】利用复数的运算法则求出，再根据复数模长计算公式可得答案. 【详解】由方程 得， 所以. 故选：A 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用复数的运算，即可求解. 【详解】因为，则， 故选：D. 4．(25-26高三上·浙江宁波·模拟)复数的虚部为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的乘法和除法运算化简后即可求解. 【详解】复数， 故虚部为. 故选：A 5．(24-25高三下·浙江强基联盟·)若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的运算法则即可求解. 【详解】， 又，所以. 故选：D 6．(25-26高三上·浙江杭州·)已知为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的除法运算即可得到答案. 【详解】. 故选：B. 7．已知复数，设在复平面内对应的向量分别为，则（    ） A． B．3 C．5 D． 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义求得，根据平面向量数量积坐标运算计算即可. 【详解】复数，则， 所以， 故. 故选：B 8．已知复数满足，其中为虚数单位，则______ 【答案】2 【分析】先根据复数的除法运算化简，然后利用复数模的运算求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以 . 故答案为：2 ( 平面向量的概念、运用与运算 考点2 ) 9．(25-26高三上·浙江杭州·)设向量.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由向量的坐标表示出，然后解方程即可. 【详解】， ∴， 解得. 故选：A. 10．(25-26高三上·浙江金华十校·一模)设为两个非零向量所成的角，已知对任意，的最小值为，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】令，根据向量减法及模的几何意义得即为线段的长度，数形结合得，即可求夹角. 【详解】令，如下图示，即为线段的长度， 由对任意，的最小值为，即，而， 显然时，线段最短，此时， 所以，又，故 或. 故选：C 11．已知向量与的夹角为，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先根据已知求得，再利用运算. 【详解】，故，解得， 则. 故选：A 12．(25-26高三上·浙江宁波·模拟)已知，，若，则（   ） A． B．5 C． D．10 【答案】C 【分析】根据条件，利用向量共线的坐标表示，得到，再利用向量的模长公式，即可求解. 【详解】因为，，且，则，解得， 所以，则， 故选：C. 13．(24-25高三下·浙江强基联盟·)已知向量，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】由，，，， 由得，解得. 故选：C. 14．在中，已知，那么（    ） A．25 B．24 C． D． 【答案】D 【分析】利用向量和为零向量，对其两边平方，结合向量模的平方等于向量的平方，展开后求解数量积的和即可. 【详解】由，对其两边平方可得： . 故选：D. 15．(25-26高三上·浙江嘉兴·一模)已知向量满足，则__________. 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求解. 【详解】由，得，而， 则，解得. 故答案为：1 ( 圆锥曲线 离心率 考点3 ) 16．(25-26高三上·浙江金华十校·一模)若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断点在双曲线外部或在双曲线上，得，再结合过该中点的直线斜率可得另一不等式，最后求解出的范围，结合离心率等式即可求解． 【详解】由题意得点在双曲线外部或在双曲线上，则，得， 假设存在以为中点的弦，设弦与双曲线交于点，， 则，， 由点，在双曲线上，得， 两式作差得， 所以， 因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点， 则，也即， 所以，则． 故选：C． 17．已知为双曲线的左右焦点，点的坐标为．若为等边三角形，则双曲线的离心率是（　　） A． B．2 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由题可得，即，再根据求解即可． 【详解】为等边三角形，为的中点， ，则， ， ． 故选：C． 18．设，分别为双曲线（）的左右焦点，过的直线交双曲线右支于两点，若，则双曲线的离心率可以是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】，结合条件，利用双曲线的定义可得，，由构成三角形的条件可得，即可求解. 【详解】如图，设， 由双曲线的定义知，所以，又，所以 又，，则，在中，， 由，得到，又，所以， 结合各个选项，A正确，B、C、D错误， 故选：A. 19．(25-26高三上·浙江嘉兴·一模)已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理列式，再结合离心率的计算公式，可求双曲线的离心率. 【详解】如图： 设椭圆：，双曲线：. 因为它们有相同的焦点，所以. 不妨设点在第一象限，且，， 因为点在椭圆上， 所以 . 又 ， 所以. 又在双曲线上， 所以 . 所以 . 所以双曲线的离心率为：. 故选：A 20．(25-26高三上·浙江宁波·模拟)双曲线的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点在轴右侧，由双曲线定义可得，，由是直角三角形，建立等式求解即可. 【详解】如图，设点在轴右侧，则，    因为， 所以， 因为点在以为直径的圆上， 所以是直角三角形，， 即，化简得， 所以离心率. 故选：D 21．(24-25高三下·浙江强基联盟·)双曲线（，）的左、右焦点为，，P为双曲线上一点，且满足轴，，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【分析】因为轴，所以,再利用双曲线的定义即可求得答案. 【详解】因为轴，所以为通径的一半，故， 在中，因为，所以， 所以，即，可得. 故答案为：. ( 直线 与圆锥曲线位置关系 考点4 ) 22．已知分别是椭圆的左､右顶点，为椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于两点，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为3 B．直线与的斜率之积为定值 C．不为定值 D．面积的最大值为 【答案】AD 【分析】根据椭圆的性质以及直线与椭圆的关系逐项计算判断即可. 【详解】由题意得，. 对于A： 当过点的直线垂直于轴时，最小. 该直线方程为，所以，所以，A正确； 对于B： 设，则. 所以. 设直线的斜率为，则该直线方程为. 联立直线与椭圆方程得，化简得. 所以. 解得，所以. 所以 ， ， 所以，不是定值，所以B错误； 对于C： . 所以 . 所以，为定值； 当直线斜率不存在时，，此时. 所以为定值，所以C错误； 对于D： . 因为， 所以. 所以. 当直线的斜率不存在时，. 所以面积的最大值为，所以D正确. 故选：AD. 23．设抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交于，两点，以为圆心，为半径的圆交于两点．若，则（　　） A． B．直线的斜率是 C． D．的面积是 【答案】BCD 【分析】对于A,利用几何关系求出焦点和准线之间的距离即可；对于B，利用几何关系求出直线的倾斜角即可；对于C，利用弦长公式求解即可；对于D，利用三角形面积公式求解即可. 【详解】对于A，以为圆心，为半径的圆交准线于两点,且 故, 所以是等边三角形，所以， 设准线与轴交于点,则， 故故A错误； 对于B，因为,平行于轴， 故，故当点位于第一象限时，直线的倾斜角为； 当点位于第四象限时，直线的倾斜角为； 所以直线的斜率是，故B正确； 对于C，因为直线的斜率是，且抛物线， 故直线的方程为：， 联立方程得：，即 设则， 故，故C正确； 对于D,由A知， ， 故 故 ,故D正确. 故选: BCD 24．(25-26高三上·浙江嘉兴·一模)过点的直线与抛物线相交于两点，若恰为的中点，则线段的长为__________. 【答案】16 【分析】用点差法求出直线斜率，得直线方程，联立方程组，利用韦达定理，由弦长公式计算可得． 【详解】设， 则，两式相减得， ∴， ∵的中点是，∴． ∴直线方程为，即， 由，得， 则， ∴． 故答案为：16 25．(24-25高三下·浙江强基联盟·)已知椭圆：，直线l：.，是椭圆的左、右顶点，，是椭圆的左、右焦点，过直线l上任意一点P作椭圆的切线PM，PN，切点分别为M，N，椭圆上任意一点Q（异于，）处的切线分别交，处的切线于点，，则（   ） A．直线MN过定点 B．，，，四点共圆 C．当时，是线段MN的三等分点 D．的最大值为9 【答案】ABD 【分析】根据椭圆的极点和极线方程可列式求出直线l关于椭圆的极点坐标，即可由此求出A、C答案。由极点和极限方程性质可表示出过Q点的切线方程，由此表示出四点坐标，通过向量法求解可得出B答案，根据圆的相交弦定理和椭圆的光学性质可知，由此可得出D答案。（椭圆极点与极线方程定义及其证明见后附。） 【详解】   对于A，根据椭圆极点、极线定义，直线l关于椭圆存在极点，即为直线MN的定点（证明后续提供）， 设极点为，则直线l的方程为，又由于直线l的方程为：， 故直线l关于椭圆的极点（定点）为，故A正确； 对于B，设，则Q点处的切线方程为，令，得，， 而，故，同理，即四点共圆，故B正确； 对于C，当时，直线MN的方程为，可以验证此时有，故C不正确； 对于D，由圆的相交弦定理和椭圆的光学性质可知， 等号在Q为短轴端点时取到，故D正确. 故选：ABD. 附注：1.定义：任取一点，它可以在圆锥曲线上，也可以在圆锥曲线外或内， 过这点作圆锥曲线的割线，产生两个交点，过这两个交点作圆锥曲线的切线， 两条切线相交于一点.随着割线绕任取之点运动，交点将描绘出一条直线. 若任取之点称为极点，则这条直线就称为极点的极线. 反之，任意作一条直线，它可以与圆锥曲线相交、相切或相离， 在直线上且位于圆锥曲线外任取一点，过这点作圆锥曲线的两条切线， 连接两个切点可得一直线.让任取之点在其所在直线上运动， 则连接两切点的直线也跟着运动，但它将绕着一个不动的点转动. 若开始时的直线称为极线，则这个不动的点就称为这条极线的极点. 2.结论：设极点坐标为，那么，不管极点在椭圆上，椭圆外还是椭圆内， 极点的极线的方程都是 证明：（1）先证明也就是求出极点在椭圆上时椭圆切线方程为. 设过点的椭圆切线方程为：， 与椭圆联立方程得： ， 因为切线方程只存在一个解，即， 化简得：，即得， 从而得出切线方程为，化简得. （2）极点在椭圆之外的情况.过极点作椭圆的两条切线，设切点分别为和. 由上面的第（1）条，直接写出两条切线的方程：和 由于极点当然在这两条切线上，所以和， 这又说明，点和的坐标都满足方程：， 所以上式就是直线AB的方程，即极点P的极线的方程. （3）极点在椭圆之内的情况.过点作轴的垂线，与椭圆交于点（另一交点同理）. 于是由第（1）条，得过点的椭圆切线方程为. 让，得切线与x轴的交点也就是切线的横截距. 同理可以得到切线与y轴的交点即切线的纵截距. 于是，由直线的截距式方程得切线方程为，即. 【点睛】关键点点睛：运用极点、极线方法，解决圆锥曲线的切线相关的直线过定点等问题，可大大减少运算. 26．是坐标平面内一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限.若四边形（为原点）的面积为，设的轨迹为曲线，则（    ） A．的方程为 B．的方程为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】首先利用点到直线的距离求，利用面积为，列式求轨迹方程，即可判断选项；再联立所求与曲线方程，根据判别式求解选项的最大值；利用换元法将所求式子转变成二次函数求最值即可得到选项. 【详解】对于选项，设，根据题意可知点在和相交的右侧区域，所以点到直线的距离， 到直线的距离， 则，即，故正确，错误； 对于选项，由可得，设，则， 与曲线方程联立得， 因为，所以，解得或， 方程的根为， 因为且时，，此时，不符合题意，舍去； 当时，，符合，因此的最大值为，故正确； 对于选项，因为，令，则， 将其代入到曲线方程中得，整理， 因为，所以. 将代入原式， 对称轴满足，代入得，即所求最大值为，故正确. 故选： 27．当直线与圆相交所得弦长最短时，m的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线过定点，求出圆的圆心和半径，当⊥时，直线与圆相交所得弦长最短，根据斜率得到方程，求出答案. 【详解】过定点， ，圆心为，半径为， 当⊥时，直线与圆相交所得弦长最短， 其中，故直线的斜率为1，故，解得. 故选：B 28．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出斜率，再结合倾斜角的范围得出倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 设倾斜角为，所以， 所以. 故选：C. 29．(24-25高三下·浙江强基联盟·)已知圆O：上一点关于x轴的对称点为Q，M是圆O上异于P，Q的任意一点，若分别交x轴于点，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】设点坐标，写出坐标，写出直线方程，求得坐标，然后得到的值. 【详解】，设，则 则，， 则，， 故. 故选：B. 30．已知点在直线上，且，点在圆上，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心到直线的距离，得到点到直线的距离的取值范围，由，得到的范围. 【详解】圆心到直线的距离为， 则点到直线的距离的取值范围为， 由，得到. 故选：B. 31．(25-26高三上·浙江金华十校·一模)若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将题干条件，结合几何知识转化为圆心到直线的距离需满足，解该不等式即可求解． 【详解】当直线与圆相交时，如图所示，若A、B离直线越近时，直至与直线和圆C的两交点重合，此时， 若A、B相距越来越近时，直至A、B两点重合，此时， 所以一定存在A、B及P，使得； 当直线与圆相切时，同直线与圆相交分析可知，一定存在A、B及P，使得； 当直线与圆没有公共点时，对直线上的任一点P，若A、B相距越来越近时，直至A、B两点重合时，仍有， 另一方面，若PB与圆C相切于B，PA与圆C相切于A，此时必为该P点所能达到的最大情况，如图所示， 由图可知，，CP最短时， 即等于圆心C到直线的距离d，最大，也最大，同时最大， 所以若圆上存在两点，直线上存在点，使得， 则必有，解得，又因为圆的半径， 圆心到直线的距离， 所以，解得． 故选：A． ( 圆锥曲线综合运用 考点 5 ) 32．(24-25高三下·浙江强基联盟·)已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C上点满足. (1)求抛物线C的方程； (2)设点，过D作直线l交抛物线C于A，B两点，证明：是的角平分线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据抛物线的定义即可求得； （2）根据题意，直线斜率不为0，设其方程为：，和抛物线方程联立，根据韦达定理可得，即直线与直线的倾斜角互补，得证. 【详解】（1）由，可得， 所以抛物线C的方程为. （2）根据题意，直线斜率不为0，设其方程为：，，， 由得，由，可得：或， 由韦达定理得：，. 则 ，即直线与直线的倾斜角互补， 所以是的角平分线. 33．(25-26高三上·浙江嘉兴·一模)已知双曲线的左､右焦点分别是，并且经过点. (1)求的方程； (2)过点的直线交双曲线的右支于两点（点在第一象限），过点作直线的垂线，垂足为. （i）求证：直线经过定点； （ii）记的面积为，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据给定条件，求出即可. （2）（i）设出直线方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及直线方程计算推理得证；（ii）由（i）求出的函数关系，再结合函数单调性求出范围. 【详解】（1）依题意，双曲线半焦距，则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）（i）设，则， 由消去得， 则，解得，， 直线的方程为，即， 而 ，因此直线的方程为， 所以直线经过定点. 或令，得 ， 所以直线经过定点. （ii）由（i）知， ， 而，令， 因此在上单调递增，则， 所以的取值范围是.    34．(25-26高三上·浙江宁波·模拟)已知椭圆的离心率为，是上的点. (1)求椭圆的方程； (2)过作两条倾斜角互补的直线，分别交椭圆在轴上方部分于，两点. （i）求面积的最大值； （ii）过延长线上的点作椭圆的两条切线，，若与交于点，与交于点，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）由离心率及点在椭圆上，椭圆参数关系列方程组求得，即可得椭圆方程； （2）（i）设DE的方程为，与椭圆方程联立，利用弦长公式表示出，利用点到直线的距离公式表示出T到DE的距离，表示出面积，利用基本不等式即可求得面积的最大值； （ii）设，设出过点的椭圆的切线方程，与椭圆方程联立，消元得到一元方程，由相切得，再设，与切线方程联立，表示出点，点的横坐标，再由则，化简可得，可得直线MN过定点. 【详解】（1）已知椭圆的离心率为，是上的点. 则，解得， 所以椭圆的方程为； （2）（i）显然当DE与轴垂直时，TD，TE的倾斜角不互补， 设DE的方程为：，设， 联立,消x得：， 所以，， 则， 所以， 代入得：， 所以，即直线DE过定点. 所以，， 所以， 又T到DE的距离为， 所以，当时取等号. 即面积的最大值为； （ii）设，设过点的椭圆的两条切线为，， 联立， 得， 由相切得，化简得， 所以，， 设，联立，解得， 联立，解得， 则，化简得：， 所以直线MN过定点. 35．已知抛物线的焦点为上有一点到焦点的距离为3，过焦点作直线与抛物线交于两点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义解出p的值，得到点的坐标； （2）设直线方程，与抛物线联立，利用弦长公式求出直线方程，进而得到到直线距离，最终求得的面积 【详解】（1）由抛物线定义可得，因此 所以抛物线的方程为，焦点的坐标为 （2） 设直线的方程为，与联立，消元可得， ， 设，则， 所以； 解得. 所以原点到直线的距离为， 所以 36．已知点F为抛物线的焦点，点（）在C上，且. (1)求C的方程； (2)过C上的动点P作C的切线，与直线交于点Q，过Q作PF的垂线，垂足为H. （ⅰ）当时，求点P的坐标； （ⅱ）求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）或；（ii） 【分析】（1）根据题意，点在上，由抛物线的定义，可得，进而得到抛物线的标准方程； （2）（ⅰ）设点，求得切线方程为，得到，再求得和的方程，联立方程组，求得，得到，结合，得到，由抛物线的定义，求得，即可求解； （ⅱ）由（i）知，得到点在以点为圆心，半径为的圆上，结合圆的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由抛物线，可得其焦点为，准线方程为， 因为点在上，且，可得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）解：（ⅰ）由抛物线，可得， 设点，可得，所以切线方程为， 整理得， 令，代入切线方程，可得，即， 又由，可得，所以的方程为， 则，则的方程为， 联立方程组，解得， 则， 因为，可得， 由抛物线的定义，可得，所以，解得，解得， 所以点或. （ⅱ）因为点（）在抛物线上，可得，即， 由（i）知，点在以点为圆心，半径为的圆上， 又由， 则，当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最大值为.    37．(25-26高三上·浙江杭州·)已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方.当轴时，. (1)求椭圆的标准方程； (2)设， （i）求证：； （ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）根据即可求解椭圆标准方程； （2）（i）设与的斜率分别为，将问题转化为证明即可； （ii）设满足，化简可得：，因为直线和直线的交点为，则点都在以为直径的圆上，因为都在以为直径的圆上，故，所以是的角平分线，则，利用三角形面积公式化简即可求解. 【详解】（1）由题知，，又，解得. 故椭圆的方程为. （2）（i）记，由题意知. 设直线的方程为，代入椭圆得：. 则有，① 设与的斜率分别为，则 所以. （ii）设满足，则 ② 将代入②，并化简得 ，③ 将（2）中①代入③得：， 即. 又因为直线和直线的交点为. 故满足的点都在以为直径的圆上. 因为都在以为直径的圆上， 故，所以是的角平分线. 则， 所以， 即. 所以，解得， 所以. 38．已知渐近线为的双曲线过点，过点且斜率为的直线交双曲线于异于的点，记的面积为. (1)求双曲线的方程； (2)求； (3)证明：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）双曲线的方程为代入计算得解； （2）联立方程与，解得的横坐标.求出，计算，代入得解； （3）将利用放缩法得到，利用裂项相消求解. 【详解】（1）设双曲线的方程为， 代入得，故双曲线的方程为. （2）联立方程与，解得的横坐标. 因为， 故 ， 所以. （3）因为 ， 故 ， 当时成立. 故.    39．(25-26高三上·浙江金华十校·一模)如图，已知点到两点，距离的乘积为8，点的轨迹记为曲线，与轴交点分别记为．    (1)求曲线的方程； (2)求的周长的取值范围； (3)过作直线分别交于两点，且，若的面积为18，求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）设，根据已知及两点距离公式得到方程，进而整理可得； （2）令，且，，则，进而得到关于的表达式，应用导数研究单调性求值域，即可得三角形周长的范围； （3）设，由已知得，曲线得，令，结合基本不等式及一元二次不等式的解法求参数范围，即可得. 【详解】（1）设，则，得， 所以； （2）由（1）知，令， 由（1），以为主元直接求根公式知，则， 则，且， ， 令， 则，其中， 所以时，时， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，而， 所以的周长的取值范围为；    （3）设，则，则， 由题知，则，代入曲线得：， 令，则 ①当时，，解得，则； ②当时，，解得，则． 综上所述：的最小值为. 40．已知是椭圆上的两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知是椭圆上的两动点，且的横坐标之和为，设直线为线段的中垂线，过点作直线，垂足为．求垂足横坐标的取值范围，并求的轨迹方程． 【答案】(1)； (2)，且. 【分析】（1）根据椭圆上两点代入方程求解的值即可得椭圆方程； （2）设，线段的中点，分别讨论直线的斜率是否存在，当斜率存在时确定直线的方程与直线联立得横坐标与的关系，结合函数得的取值范围，结合圆的定义从而得的轨迹方程. 【详解】（1）由题意解得，所以椭圆的标准方程为； （2）设，线段的中点，则，， ①当时，的中垂线为轴，过点向中垂线作垂线，垂足为点 ②当时，直线的斜率，则， 所以，将代入椭圆方程得， 所以，从而或， 线段的中垂线方程为，即． 故线段的中垂线过定点 故垂足轨迹是在以为圆心，半径为的圆弧，其方程为 过点与垂直的直线为， 联立方程组消去得，因为， 所以，综上①，②所得 所以垂足轨迹方程是，且． 41．已知双曲线的离心率为，且过点，渐近线分别为，，其中经过第一、三象限. (1)求双曲线的渐近线的方程； (2)设动点在第一象限内，且不在直线上，过点分别作的平行线，交轴于，两点，且，为坐标原点. ①求动点的轨迹方程； ②求面积的最小值. 【答案】(1)； (2)①；②. 【分析】（1）由，以及，得到，从而写出渐近线方程； （2）①根据题意，写出，的直线方程，从而得到，，再根据得到轨迹方程； ②利用面积公式，分析出点到直线的距离最短时，面积最小，再通过直线与曲线的位置关系解决曲线中的最值问题. 【详解】（1）由，得， 因此，； （2）①过点且与平行的直线方程为：， 过点且与平行的直线方程为：， 求得， 所以动点的轨迹方程为， ②在中，因为， 所以要使的面积最小，只要使点到直线的距离最短， 设过点且与平行的直线， 又因为点在点轨迹的渐近线的下方， 所以当直线与曲线相切的时候，点到直线的距离最短， 联立，消去得， ，解得， 当时，求得，不满足条件， 当时，求得，符合题意， 易求得点到直线的距离为，且， 因此，面积的最小值为. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $