天津市北辰区太行高级中学2026届高三下学期数学周练试题2

★2026年3月17日星期二 天津市北辰区太行高级中学2026届高三下学期数学周练2 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分 总分 150 分，考试时间 120 分钟 一、选择题：本大题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分. 1．设集合，则 A． B． C． D． 2．若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C D. 4. 已知空间中三条不同的直线a，b，c，三个不同的平面，，，则下列说法错误的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则与平行或相交 C 若，，，则 D. 若，，，则 5．设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．频率分布直方图中a的值为0.012 B．估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80 C．估计这20名学生数学考试成绩的众数为80 D．估计总体中成绩落在内的学生人数为110 7. 已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（     ） A. B. C. D. 8．设双曲线的右焦点为，为坐标原点，若双曲线及其渐近线上各存在一点，，使得四边形为矩形，则其离心率为（ ） A． B． C． D．2 9．如图，正方体中，点在上，且，点在上，且，过点的平面将正方体分成上、下两部分，则上、下这两部分的体积比等于（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 10．复数，则的虚部为______. 11．若的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_______． 12．已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长为_______. 13．为缓解高三学习压力，太行中学举办一对一石头、剪刀、布猜拳比赛，比赛约定赛制如下：累计赢2局者胜，分出胜负即停止比赛；若猜拳4局仍未分出胜负，则比赛结束. 在一局猜拳比赛中，已知每位同学赢､输､平局的概率均为，每局比赛的结果相互独立. 现甲、乙两位同学对战，则甲同学比赛三局获胜的概率为_______；已知比赛进行了四局的前提下，两位选手未分出胜负的概率为_______. 14．已知四边形，，，，且，（i）_______；（ii）若，动点在线段上，则的最大值为_______. 15. 已知函数，若函数在上恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是_______. 三、解答题：本大题共 5 个小题，共 75 分. 16．（本小题满分 14 分） 在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若， ①求的值： ②求的值. 17.（本小题满分 15 分） 如图，正方形所在的平面与平面垂直，点为的中点，，，。 （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离。 18.（本小题满分 15 分） 已知椭圆，椭圆与有相同的离心率，且短轴的一个端点坐标为，O是坐标原点. (1)求的方程； (2)若直线l与有且仅有一个公共点，与交于A，B两点，试问的面积是否为定值？若是，求的面积；若不是，请说明理由. 19.（本小题满分 15 分） 已知公差大于0的等差数列的前项和为，且是的等比中项． （1）求的通项公式及； （2）记为在区间内项的个数，为数列的前项和． （i）若，求的最大值； （ii）设，证明：． 20.（本小题满分 16 分） 已知函数，其中. (1)求当时函数过点的切线方程。 (2)若函数在上单调递增，求的取值范围； (3)若函数存在两个极值点，当时，求的取值范围. 天津市北辰区太行高级中学2026届高三下学期数学周练试题答案 一、单选题 1．B 2．A 3．D 4．D 5．C 6．B 7．B 8．B 9．A 二、填空题 10．. 11． 12．. 13．；. 14．； 15． 三、解答题 16．【详解】（1）因为，利用正弦定理可得： ，即. 因为，所以，即，又，可得. （2）①由余弦定理及已知可得： 即，又因为，所以， 联立或（舍）， ②由正弦定理可知：， 因为，则，故为锐角，， . 17．【详解】（1）因为平面 平面 ，交线为 ， 平面 且 ，所以 平面 ， 又因为 ，所以 ． 以点 为原点，，， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则 ，，，，，，． 因为 ，平面 的法向量为 ， ，所以 ，又因为 平面 ，所以 平面 ． （2）因为 ，，设平面 的法向量为 ， 则 ，令 ，则 ， 设平面 与平面 的夹角为 ，， ， 则平面 与平面 夹角的余弦值为 ． （3）因为 ，则点 到平面 的距离为 ． 18．【详解】（1）由题意得：，又的离心率为，所以， 解得：，故的方程为：. （2）当直线l斜率不存在时，此时， 不妨令，此时，解得：， 所以，， 当直线l斜率存在时，设直线方程为：， 与联立得：， 由，解得：， 与联立得：， 设，则， 则 则点O到直线的距离为，则， 综上：的面积为定值，为. 19.【详解】（1）设等差数列的公差为，依题意，，即①， ，即②， 将①代入②得，因为，解得， 所以． （2）（i）令，即，解得， 所以，即的通项公式为 所以． 又，所以． 由，得，因为， 所以的最大值为5． （ii）由（i）知，则，所以． 设①， 则②， ①②得， 所以． 因为， 所以． 综上，． 20．【详解】（1）解：当时，设切点，则切线方程 将代入上式得， 所以，函数过点的切线方程： （2）因为，所以， 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立，所以在上恒成立， 故令，则在上恒成立， 所以在上单调递增，故， 所以，即的取值范围是. （3）解：， 要使与有两个交点，由（1）知：， 此时有两个极值点，且. ， 令，则，所以， 所以，即所以， 令， 令， 所以在上递增. 因为，所以在上恒成立. 所以在上恒成立.所以在上递增. ， 所以当时，， 所以的取值范围是. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $