技巧02 空间向量与立体几何中斜棱柱、不规则几何体建系与计算技巧（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 技巧02空间向量与立体几何中斜棱柱、不规则几几何体建系与计算 技巧 目录 01析·考情精解 2 02构。知能框架 3 03破。题型攻坚 3 考点一建系与求点技巧 真题动向 知识1各类几何体针对性建系方法 必备知识 知识2空中求点坐标+通用规范步骤 考向1斜棱柱垂面型建系 考向2斜棱柱垂线法建系 考向3棱锥垂面型建系 考向4斜面棱锥建系 命题预测 考向5平行六面体建系 考向6等角射影角平分线型建系 考向7台体型建系 考向8不规则几何体建系 考向9翻折型建系 N0.1 析·考情精解 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 近三年全国卷中，斜棱柱、不规则几何体建系与计算是立体几何核心考点，多以解答 题形式考查，分值15分左右。命题核心围绕“建系转化”展开，需通过补形、找垂直 命题 关系构建空间直角坐标系，斜棱柱常结合面面垂直、菱形性质。 轨迹 题型集中于二面角、线面角求解及垂直关系证明，常融合长度、距离计算，综合性较 透视 强。命题趋势侧重空间想象与转化能力，易错点在于建系时垂直关系找错、坐标标注 失误。整体难度中等，是检验基础运算与逻辑推理的重要题型。 N0.2 构·知能框架 斜棱柱垂面型建系 斜棱柱垂线法建系 棱锥垂面型建系 斜面棱锥建系 斜棱柱、不规则几何体 平行六面体建系 建系与计算技巧 等角射影角平分线型建系 台体型建系 不规则几何体建系 翻折型建系 N0.3 破·题型攻坚 考点一建系与求点技巧 一、未命名题型 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(2025全国二卷高考真题，17,15分)如图，在四边形ABCD中，AB/1CD,∠DAB=90°，F为CD的 中点，点E在AB上，EF/IAD,AB=3AD,CD=2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A',使得 面EFD'A'与面EFCB所成的二面角为60°. D D (1)证明：A'B/1平面CD'F; (2)求面BCD'与面EFD'A'所成的二面角的正弦值. 2.(2024全国甲卷高考真题，19,12分)如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，四边形 ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，EF//AD,BC//AD,AD=4,AB=BC=EF=2, ED=√10，FB=2√5，M为AD的中点. B (1)证明：BM/平面CDE; (2)求二面角F-BM-E的正弦值. 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.(2024新课标Ⅱ卷高考真题，17,15分)如图，平面四边形ABCD中，AB=8,CD=3,AD=5√5， ∠ADC=90,∠BAD=30,点E,F满足正-号D,F-号西，将△AEF沿EF翻折至PEF,使得 PC=43. D B (I)证明：EF⊥PD; (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值. 4.(2023全国甲卷高考真题，18,12分)如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，AC⊥底面ABC, ∠ACB=90°，AA,=2,A到平面BCC,B,的距离为1. C A (1)证明：A,C=AC; (2)已知AA与BB,的距离为2，求AB,与平面BCCB,所成角的正弦值. 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(2023全国乙卷高考真题，19,12分)如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC,AB=2,BC=2√2， PB=PC=√6，BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,AD=√5DO,点F在AC上，BF⊥AO D (1)证明：EF/1平面AD0: (2)证明：平面AD0⊥平面BEF; (3)求二面角D-A0-C的正弦值， 6.(2023新课标IⅡ卷高考真题，20,12分)如图，三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC,BD⊥CD, ∠ADB=∠ADC=60°，E为BC的中点. A F D (I)证明：BC⊥DA; 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)点F满足EF=DA,求二面角D-AB-F的正弦值. 7.(2022新高考全国Ⅱ卷高考真题，20,12分)如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA=PB, AB⊥AC,E是PB的中点. ○ (1)证明：OE11平面PAC; (2)若∠AB0=∠CB0=30°，PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值. 8.(2022全国甲卷高考真题，18,12分)在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面 ABCD,CD//AB,AD =DC=CB =1,AB=2,DP=3. 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D :----C B (1)证明：BD⊥PA; (②)求PD与平面PAB所成的角的正弦值. 必 备 知 识 。。● 知识1各类几何体针对性建系方法 1.斜棱柱建系 (1)垂面型：垂面为菱形（常60°），拆分菱形为等边三角形，借中线作z轴；垂面为梯形，等腰梯 形用中线、直角梯形用直角腰建系。 (2)垂线型：直接以垂线为z轴，底面找/作互相垂直的线为X、y轴，重点分析空中点坐标。 2.棱锥建系 (1)垂面型：垂面多为等腰三角形，直接以中线作z轴：任意三角形借助正余弦定理求高，在底面垂 线组处选z轴。 (2)斜面型：无明显垂面/垂线时，从顶点向底面作垂线为z轴，在垂足处构造/得找互相垂直的线为X、 y轴。 3.特殊几何体建系 (1)平行六面体/等角射影型：侧棱与底面两边成角相等时，其底面投影为角平分线，选侧棱上点作底 面投影为z轴（等角射影结论需简单证明）。 (2)台体型：正棱台以正多边形中心为原点，上下底面连线为z轴；非正棱台有垂面/垂线则按对应方 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 法，无则参考斜面型棱锥建系。 (3)翻折型：抓翻折前后不变关系（同一平面内点线数量关系不变），利用翻折后垂面建系，或构造 三棱锥转化为斜面型棱锥建系。 4.不规则几何体建系 有垂面/垂线则按垂面、垂线型建系；无则通过切割“提取”三棱锥，转化为斜面型三棱锥建系，重点解 决空中点坐标问题。 知识2空中求点坐标+通用规范步骤 1.核心难点：空中点坐标求解 (1)投影法：将空中点垂直投影到底面，确定投影点坐标，结合题干条件算出下落高度，综合得空中 点坐标： (2)向量法：借助向量相等性质，找到空中点所在线段的向量对应底面相等向量，通过向量运算推导 坐标。 2.通用建系规范步骤（右手定则） ①定轴：确定x、y、z三轴方向，优先选垂线、垂面中线作z轴，底面互相垂直的线作x、y轴； ②定原点：选三轴交点为原点，常用垂足、正多边形中心、线段中点、几何体重心等； ③定正方向：严格按右手定则确定，大拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，中指指向为z轴 正方向； ④定刻度：选取合适数值为坐标轴刻度，以简化坐标计算、减少后续运算量为原则： ⑤标坐标：根据几何体边长、角度等条件，依次标注各顶点坐标，标注后验证相邻点位置关系，避免 出错。 考向1斜棱柱垂面型建系 1.(2024山东枣庄一模)如图，己知斜三棱柱ABC-A,B,C的侧面A4,B,B是正方形，侧面A4,CC是菱形， 平面AA,C,C⊥平面AAB,B,AA=4,∠AA,C1=60°，点E,F分别是棱AB,AC的中点 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B (I)求证：CF⊥BC: (2)设直线AB与平面C,EF的交点为M,求AM的长； (3)求二面角B,-FM-B的余弦值 2.(2025·福建南平.二模)如图，斜四棱柱ABCD-A'B'CD'的底面为菱形，平面A'BD⊥平面ABCD,E,F分 别为AA,CC的中点. D' C B E 7 D A B (I)证明：平面BEF⊥平面A'BD; (②)若△ABD,△A'BD都是边长为2的等边三角形，求直线BC'与平面BEF所成角的正弦值. 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3. (2025湖北武汉模拟预测)在斜四棱柱ABCD-4B,CD,中，M=AB=BC=CD=AD=2, BC∥AD,平面44D0上平面4BCD,∠ADD=. A D B (I)求AB,的长； (2)求二面角A-CC,-D的正切值. 4.(2025广东广州·二模)如图，在斜三棱柱ABC-A,B,C,中，已知ABC为正三角形，四边形ACC,A是 菱形，∠C,CA=60°，D是AC的中点，平面AA,C,C⊥平面ABC. C A Bi B (I)若E是线段CC的中点，求证：A,C⊥平面BDE; ②若E是线段CC的一点（如图），且C正=1EC,二面角B-BD-E的余弦值为5，求入的值 14学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 技巧02空间向量与立体几何中斜棱柱、不规侧则几何体建系与 计算技巧 目录 01析考情精解… 02构•知能框架， 0.2 03破，题型攻坚3 考点一建系与求点技巧3 真题动向 知识1各类几何体针对性建系方法 必备知识 知识2空中求点坐标+通用规范步骤 考向1斜棱柱垂面型建系 考向2斜棱柱垂线法建系 考向3棱锥垂面型建系 考向4斜面棱锥建系 命题预测 考向5平行六面体建系 考向6等角射影角平分线型建系 考向7台体型建系 考向8不规则几何体建系 考向9翻折型建系 N0.1 析·考情精解 1/108 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 命 题 近三年全国卷中，斜棱柱、不规则几何体建系与计算是立体几何核心考点，多以解 答题形式考查，分值15分左右。命题核心围绕“建系转化”展开，需通过补形、找 轨迹 垂直关系构建空间直角坐标系，斜棱柱常结合面面垂直、菱形性质。 题型集中于二面角、线面角求解及垂直关系证明，常融合长度、距离计算，综合性 较强。命题趋势侧重空间想象与转化能力，易错点在于建系时垂直关系找错、坐标 透视 标注失误。整体难度中等，是检验基础运算与逻辑推理的重要题型。 N0.2 构·知能框架 斜棱柱垂面型建系 斜棱柱垂线法建系 棱锥垂面型建系 斜面棱锥建系 斜棱柱、不规则几何体 平行六面体建系 建系与计算技巧 等角射影角平分线型建系 台体型建系 不规则几何体建系 翻折型建系 N0.3 破·题型攻坚 考点一建系与求点技巧 一、未命名题型 2/108 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 L.(2025全国二卷高考真题，17,15分)如图，在四边形4BCD中，4B1/CD,∠DMB=90 ,F为CD 的中点，点E在AB上，EFIIAD,AB=3AD,CD=2AD 将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFDA,使 得面FD4 60° 与面EFCB所成的二面角为· D' D E A'B/I CD'F (1)证明： 平面 EFD'A (2)求面 BCD 与面 所成的二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 √42 (2)7 【分析】 【详解】()设1D=1,所以B=3,CD=2 因为F为CD中点，所以DF=1,因为EF1AD AB/ICD,所以AEFD是平行四边形，所以AE/IDF,所以A'EIID'F, 因为DFC平 面CDF,4Ec平面CDF,所以4E/平面CDF. 因为FCI/EB,RCC平面 CD'F,EB 平面CDF,所以EB/平面CDF 女8nE=E,E我Ec平有E,所以平面B7平面r, 又A'BC平面AEB,所以AB/I平面CD'F. (2) 3/108 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 因为D1B=90°，所以DLAB,又因为 B//FC,EF//AD ,所以EF1FC 以F为原点， FE,FC 以及垂直于平面B贴CF的直线分别为2轴，建立空间直角坐标系. D'F⊥EF,CF⊥EF 因为 ,平面EFDA与平面EFCB月 21”所成二面角为60°， 所以<D'FC=60 则a2:GauW,9ALa4-有an0 c-tw而--E-a心，历- 设平面BCD的法向量为=(x2,则 BC-=0 -y+ 所以 222=0 CD'n=0 -x-y=0 ， 令=5则：-xg则=55，刘 设平面EFD4的法向量为成=(x,, 15 FEm=0 y+ 则 FDm=0 所以2 2=0 2 x=0 令y=5,则2=-山x=0,所以m=0,5,- 所以s元列= m动_ 0+3-1 1 丽3+3+1x+3V万 4/108 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 √42 所以平面。。，与平面 夹角的正弦值为 BCD' EFD'A' 7 2.(2024全国甲卷·高考真题，19,12分)如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，四边形 EF /AD,BC//AD AD=4,AB=BC=EF=2 ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形， ED=√0，FB=25,M为AD的中点. BM// (1)证明： 平面CDE (2)求二面角F-BM-E的正弦值. 【答案】(1)证明见详解： 45 (2)13 【分析】 BCAD,EF=2,AD=4,M为MD的中点，所以 CI∥MD,BC=MD 【详解】(1)因 四边形BCDM为平行四边形，所以BMI∥CD,又因为BM丈平面CDE, CDC平面CDE,所以BMI∥平面CDE: (2)如图所示，作 0LD交D于O,连接OF, 因为四边形 ABCD 为等腰梯形， BC∥AD,AD=4,AB=BC= 2,所以CD=2, BCDM BM=CD=2 结合(1) 为平行四边形，可得 ,又AM=2 所以△MBM为等边三角形，O为AM中点，所以OB=5 又因为四边形ADEF为等腰梯形，M为D中点，所以 EF =MD.EF//MD 5/108 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 四边形EFMD为平行四边形，FM=ED=AF, 所以△AFM为等腰三角形，△ABM与△AFM底边上中点O重合，OF⊥AM,OF=VAF2-AO=3, 因为OB+OF2=B ,所以OB1OF,所以 B,OD,OF 互相垂直， 以OB方向为轴，OD方向为'轴，0F方向为产轴，建立0-2空间直角坐标系， F(0,0,3),BV5,00,M(01,0,E(0,2,3),BM=-V5,10,BF=-√50,3， B死=-V3,23),设平面BFM的法向量为m=(,,2, 平面EMB的法向量为万=(，乃，)， m.BM=0 「-3x+y=0 则mB=0,即5x+32=0令x=5,得=3，名=1即m=53,1 nBM=0 「-5x2+2=0 则nB死=0，即1-5x,+25+32,=0令x=5,得=3，=-1 m-n1111 即i=v5,3-1, cosm,n= 网阿3而5，则s血元-5 13， 4v3 故二面角F-BM-E的正弦值为13· 3.(2024新课标Ⅱ卷高考真题，17,15分)如图，平面四边形ABCD中，AB=8,CD=3,AD=5V5 ∠ADC=90,∠BAD=30°，点E,F满足 2 ,将△AEF沿EF翻折至△PEF,使得 6/108 学科网·上好课 WWW.ZX×k.com 上好每一堂课 $$P C = 4 \sqrt 3$$ P A D F C B (1)证明： EF⊥PD； (2)求平面 PCD 与平面 PBF 所成的二面角的正弦值. 【答案) (1)证明见解析 8√65 (2) 65 【分析】 【详解】(1)由 $$A B = 8 ， A D = 5 \sqrt 3 ， \overrightarrow { A E } = \frac { 2 } { 5 } \overrightarrow { A D } ， \overrightarrow { A F } = \frac { 1 } { 2 } \overrightarrow { A B } ，$$ 得 4 $$A E = 2 \sqrt 3 ， A F = 4 ，$$ $$x ^ { \angle }$$ $$\angle B A D = 3 0 ^ { \circ } ，$$ $$E ^ { \triangle A E F }$$ 中 中， 由余弦定理得 E $$E F = \sqrt { A E ^ { 2 } + A F ^ { 2 } - 2 A E \cdot A F \cos \angle B A D } = \sqrt { 1 6 + 1 2 - 2 . 4 \cdot 2 \sqrt 3 \cdot } \frac { \sqrt 3 } { 2 } = 2$$ 所以 $$A E ^ { 2 } + E F ^ { 2 } = A F ^ { 2 }$$ 则 AE⊥EF，且 即 F 所以 EF⊥PE，EF⊥DE， 又 PE∩DE=E，PE、DE⊂ 平面 PDE， 所以 EF⊥ 平面 PDE， ，又 PD⊂ 平面 PDE， 故 EF⊥PD； CE 中 $$\angle A D C = 9 0 ^ { \circ } ， E D = 3 \sqrt 3 ， C D = 3$$ (2)连接 接 由 则 则C $$C E ^ { 2 } = E D ^ { 2 } + C D ^ { 2 } = 3 6$$ 在 $$\triangle P E C _ { 甲 } ，$$ $$P C = 4 \sqrt 3 ， P E = 2 \sqrt 3 ， E C = 6 ，$$ 得 得 $$E C ^ { 2 } + P E ^ { 2 } = P C ^ { 2 }$$ PE⊥EF E EC∩EF=E，EC、EF⊂ 平 ABCD 所以 PE⊥EC 由 由(1)知 ，又 平面 所以 PE⊥ 平面 ABCD， ，又 ED⊂ 平面 ABCD， 所以 PE⊥ED D PE，EF，ED E-xyz E-xyz ，则 两两垂直，建立如图空间直角坐标系 7/108 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则5000，.P0,0.25,D0,350.Ca35.0,F200,40,-2N5.0 由F是1B的中点，得B425.0 所以PC=8,35-25,历=0,35，-25丽=4,2w5-25.F=20-2V 设平面PCD和平面PBF的一个法向量分别为”=(：，，)，m=(x,乃，2) i.P℃=3x+33y-252,=0m-PB=4x,+2W5y2-25z2=0 则nPD=35y-251=0’m-PF=2x,-2W5,=0 令片=2,5=V5 得=0=3=-1=1 所以”=02,3m=(W5.-1) 所以cosi,= m列 1 √65 m园√5√1365， 设平面PcD和平面PBF所成角为0，则sin0=V-cos'行=8 65, 8V65 即平面PCD和平面PBF所成角的正弦值为65· D B 4.(2023全国甲卷高考真题，18,12分)如图，在三校柱1BC-AB,G中，4C1底面ABC, ∠1CB=90,A4=2,A到平面BCC8的距离为1. 8/108 函学科风网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C B A (1)证明： AC=AC 2已知4与B8的距离为2，求M8与平面BCC8所成角的正弦值.。 【答案】(1)证明见解析 √13 (2)13 【分析】 【详解】(1)如图， C B A 底面 面 :AC⊥ ABC BC ABC AC1BC,又Bc上AC,4C,ACc平面ACC4,ACOAC=C BC上平面4CCA,又BCC平面BCC8, 平面1CC4上平面BCC8, 过4作401CC交CG于0，又平面1CC4n平面BcC8=cG,40c平面4CCA, ·.A0上平面 CCB :4到平面BCCB的距离为1,40= 9/108 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在R△ACC中，AC⊥AC,CC=AA=2, 设C0=x,则C0=2-x, △40C,△40C,△4CC为直角三角形，且CG=2, C02+A02=AC2,40+0C=C4.4C2+AC=CC2 1+2+1+2-=4,解得x=1, .AC=AC=AC=2 ..AC=AC (2)AC=AC .BC L AC.BCL AC .Rt△ACB≌Rt△ACB .BA=BA 过B作BD LAA,交14于D,则D为MM中点， 由直线14与B距离为2，所以8D=2 4D=1,BD=2,·AB=AB=V5, 在R△ABC,·.BC=VAB2-AC=5 延长AC,使4C=CM,连接CM 由CM/4G,CM=4G知四边形4CMC为平行四边形， CM∥AC,CM上平面ABC,又AMC平面ABC, .CM⊥AM 则在Rt△ACM中，AM=2AC,CM=AC,AG=V(2AC)2+AC2, 10/108