专题6.1 解析几何中对称问题9大考向及方法技巧全归纳（重难专练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题6.1 解析几何中的对称问题9大考向及方法技巧全归纳 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 分析考情·探趋势 锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标 破解重难·冲高分 方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化 拔尖冲优·夺满分 巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力 近三年：新高考中对解析几何对称问题考查稳定，题型覆盖选择、填空与解答题，多以中档题为主，压轴题中偶有综合考查。选择题、填空题侧重基础对称：点关于点 / 直线对称、直线 / 曲线关于轴 / 原点对称，难度中等，侧重公式应用与几何直观。解答题常结合中点弦、定点定值，以椭圆、抛物线为载体，考查对称性质转化与代数运算，难度中档偏上，强调数形结合与逻辑推理。全国卷与新高考卷均高频考查，分值约 5–12 分，命题重基础、重通法，淡化复杂计算，突出几何性质应用与核心素养。 预测2026年：对称问题将延续基础与综合并重，基础题聚焦点、直线、圆的对称，侧重公式与几何直观；中档题以圆锥曲线为载体，结合中点弦、斜率关系，考查对称性质转化；综合题可能与向量、函数融合，考查定点、定值与最值，强调几何性质应用、减少繁琐运算。命题更重思维与素养，情境化、探究性增强，需熟练掌握对称转化方法，强化数形结合与运算能力，备考应覆盖基础模型与综合应用. 考向01 点或直线关于点对称 1．点关于点的对称 求点P关于点A(a,b)的对称点P'的问题，主要依据A是线段PP′的中点来求解. 设P(x0,y0)，对称中心为A(a,b)，则P关于A的对称点为P'(2a-x0,2b-y0). 2．直线关于点的对称 求直线l关于点A(a,b)对称的直线l'的步骤： (1)由平行直线系设出直线l'的方程； (2)在l上任取一点P(x,y)，求P关于A的对称点P'(2a-x,2b-y)； (3)将P'的坐标代入直线l'的方程，求出参数，得到l'的方程. 【经典例题】 1．（24-25高三上·北京·期中）点与点的对称中心是（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25高三上·辽宁鞍山·阶段练习）点关于点的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知直线关于对称的直线与圆相离，则（    ） A． B． C． D．或 考向02 点、直线关于直线对称 1．两点关于某直线对称 设点A(x0,y0)关于直线l的对称点为B(x,y). (1)直线l的斜率不存在时，设直线1：x=t，则. (2)直线l的斜率为0时，设直线l：y=t，则. (3)直线l的斜率存在且不为0时，设点A(x0,y0)关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为B(x,y). 则，由此可求出B(x,y). 2．直线关于直线对称 (1)若已知直线l₁与对称轴l相交于点P，则交点P必在l₁关于l对称的直线l2上，再求出l₁上除点P外 任意一个已知点P₁关于l对称的点P2，那么经过交点P及点P2的直线就是l2. (2)若已知直线l₁与对称轴l平行，则l₁关于l对称的直线l2到直线l的距离和l₁到直线l的距离相等，由平行直线系和对称点即可求出l₁关于l对称的直线l2. 【经典例题】 1．（24-25高三上·江苏盐城·期中）已知直线，则点关于直线的对称点的坐标为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·天津红桥·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·四川凉山·期末）设点，若直线关于轴对称的直线与圆相切，则的值为（   ） A． B．0 C． D．1 【变式训练】 1．（24-25高三上·广东·期中）若点和点关于直线对称，则 ． 2．（24-25高三上·广东广州·期中）已知点关于直线的对称点为，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为 . 3．（23-24高三上·海南海口·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．点关于直线的对称点为 C．直线关于直线的对称直线的方程为 D．直线关于点的对称直线的方程为 考向03 圆中的对称问题 与圆有关的对称问题 (1)若两圆关于某点对称，则这两圆的圆心关于该点对称，半径相等； (2)若两圆关于某直线对称，则这两圆的圆心关于该直线对称，半径相等； (3)任意一个圆关于它的任一条直径所在直线对称； (4)任意两个圆关于它们的连心线所在直线对称; (5)任意两个等圆关于它们连心线的垂直平分线对称. 【经典例题】 1．（25-26高三上·河南·阶段练习）圆关于直线对称的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东深圳·期中）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B．1 C． D．2 3．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．圆关于点对称的圆的方程是 . 【变式训练】 1．（24-25高三上·广东深圳·期中）若存在点，使得圆与圆关于点对称，则（    ） A．1 B． C．2 D． 2．若圆与圆关于直线对称，则直线的方程为 . 3．（24-25高三上·广东广州·期中）已知圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是 ． 4．（24-25高三上·广东深圳·期中）已知圆关于直线对称，为圆C上一点，则的最大值为 ． 考向04 光的反射问题 解析几何中光的反射问题，核心是对称点共线。 1.利用点关于直线对称：入射点关于镜面的对称点在反射光线上，反射点关于镜面的对称点在入射光线上。 步骤：求对称点→由两点确定反射光线→求直线方程，再与曲线联立求解。 2.圆锥曲线中：椭圆一焦点发出光线经反射过另一焦点；抛物线焦点发出光线反射后平行对称轴。 抓住对称，即可统一解决各类光反射问题. 【经典例题】 1．（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·单元测试）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 3．（24-25高三下·河南信阳·开学考试）古希腊数学家阿波罗尼斯在对圆锥曲线的研究过程中，还进一步研究了圆锥曲线的光学性质，例如抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．如图所示，两条平行于轴的入射光线，分别经抛物线上的A，B两点反射后，两条反射光线，又沿平行于轴的方向射出，则两条反射光线，之间的距离为（   ）    A． B．1 C． D．2 【变式训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）在等腰直角中，是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（2025高三·北京·专题练习）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线为坐标原点，一条平行于轴的光线从抛物线内的点（不在轴上）射入，经过上的点反射，再经上另一点反射后，沿直线射出并经过点，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则平分 C．若，延长交直线于点，则三点共线 D．若，过作轴的平行线交抛物线的准线于点，则直线的斜率 3．(多选)（24-25高二上·陕西咸阳·期末）双曲线具有如下光学性质：如图，分别为双曲线的左，右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点．若双曲线的方程为，则（   ） A． B．双曲线的右焦点到渐近线的距离为21 C．当反射光线过点时，光线由所经过的路程为6 D．设反射光线所在直线的斜率为，则 4．（2025高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知射线，，半圆，现从点向轴上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线时会发生镜面反射．设光线在发生反射前所在直线的斜率为，若光线始终与半圆没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考向05 圆中利用对称性求距离和或差的最值 1.根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 2.将平面向量的运算坐标化 3.运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解. 【经典例题】 1．（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，点C的坐标为（），则的最小值是（   ） A．6 B． C． D．5 2．（24-25高三上·广东深圳·期中）已知点是坐标原点，点是圆上的动点，当动点在直线上运动时，的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式训练】 1．（24-25高三上·广东深圳·期中）已知点是坐标原点，点是圆上的动点，当动点在直线上运动时，的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 2．（24-25高三上·广东清远·期中）已知点P在直线上，点，则的最小值为 考向06 椭圆中利用对称性求距离和或差的最值 椭圆中的距离最值求解策略: 1.在遇到椭圆中线段和或的最值问题时，常利用椭圆的定义（）及三角形三边关系转化求解， 即利用定义将到一焦点的距离化为到另一个焦点的距离，再进一步求解. 2. 注意椭圆上点的坐标的范围，有时也可利用该范围求有关距离的最值. 【经典例题】 1．（25-26高三上·河北衡水·月考）已知为椭圆的上焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·山东泰安·期末）已知点P是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（   ） A．4 B． C． D．8 【变式训练】 1．（25-26高三上·山东临沂·期末）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三上·全国·专题练习）已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值为（ ） A．12， B．， C．12，8 D．9， 3．（25-26高三上·天津南开·月考）已知点为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的动点，则下列结论中错误的是（    ） A．若，则的面积为2 B．使为直角三角形的点有6个 C．的最大值为 D．若，则的最大值为 4.（2025·江苏-模拟预测）已知为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（ ） A．5 B．6 C． D． 考向07 双曲线中利用对称性求距离和或差的最值 双曲线中的距离最值求解策略: 1.在遇到双曲线中线段和或的最值问题时，常利用双曲线的上点的性质（）及三角形三边关系转化求解， 即利用定义将到一焦点的距离化为到另一个焦点的距离，再进一步求解. 2. 注意双曲线上点的位置，在哪一支上，影响所求最值. 【经典例题】 1．（25-26高三上·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 2．（25-26高三上·湖北·月考）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D． 【变式训练】 1．（25-26高三上·河北·期中）已知双曲线的虚半轴长为，为双曲线的左焦点，点为双曲线C的右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D．10 2．（25-26高三上·四川南充·月考）已知双曲线：的左右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值16时，面积的最大值为（   ） A．16 B．32 C．36 D．64 3．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 考向08 抛物线中利用对称性求距离和或差的最值 抛物线中线段和与差的最值问题破解策略 由抛物线的定义可知，抛物线上的点M到焦点F的距离与M到准线l的距离相等，故与抛物线相关的距离的最值问题常通过距离的转化来解决. 【经典例题】 1.（24-25高三上·辽宁·期末）已知抛物线的焦点为，P为抛物线上一点，若，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.（24-25高三上·安徽·月考）已知点P是抛物线上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知为抛物线上任意一点，为抛物线的焦点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．10 C．4 D．8 2.（25-26高三上·黑龙江大庆·开学考试）设为抛物线上的动点，关于的对称点为，记到直线，的距离分别，，则的最小值为 . 考向09 圆锥曲线中存在点关于直线对称问题 1.解题策略一：判别式法 第一步 假设这样的对称点A、B存在，利用对称中的垂直关系设出两点A、B所在的直线方程； 第二步 联立AB所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点C的坐标； 第三步 把C的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式； 第四步 利用联立后方程的△求出其中需求参数的范围. 2．解题策略二：点差法 第一步 设出两点和中点坐标（x，y）； 第二步 用“点差法”根据垂直关系求出x，y满足的关系式； 第三步 联立直线方程，求出交点，即中点； 第四步 由中点位置及对应范围求出参数取值范围. 【经典例题】 1.若抛物线y=-1上总存在关于直线x+y=0对称的两点，求a的范围． 2.在 中，顶点 所对三边分别是 已知 ,且 成等差数列. (1 )求顶点 的轨迹方程； (2) 设顶点A的轨迹与直线 相交于不同的两点 ，如果存在过点的直线 ,使得点 关于 对称，求实数 的取值范围 【变式训练】 1.【2020年高考上海卷10】已知椭圆，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于两点（点在第二象限），若关于轴对称的点为，且满足，则直线的方程为 ． 2. 【2017天津，理19】设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为. （1）求椭圆的方程和抛物线的方程； （2）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程. 3．（2025·湖南株洲·二模）已知抛物线经过点，过作两条不同直线，其中直线关于直线对称. （1）求抛物线的方程及准线方程； （2）设直线分别交抛物线于两点（均不与重合），若以线段为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线的方程. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（25-26高二上·全国·课后作业）圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）若直线是圆的一条对称轴，则实数的值为（    ）. A． B．1 C． D． 3．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 5．（25-26高三下·云南楚雄·开学考试）已知圆：关于直线：对称，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 6．（25-26高二上·上海浦东新·期末）在等腰直角中，，点P是边上异于端点的一点，光线从点P出发经，边反射后又回到点P，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 7．（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 8．（2024·山东日照·一模）过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 二、多选题 9．（2026·黑龙江·一模）已知抛物线的焦点为，为上一动点，A为一定点，则正确的有（   ） A．若，则点P的坐标为 B．若，则的最小值为6 C．若，则的最小值为 D．若，则的最大值为 10.（2025·安徽池州·二模）定义：既有对称中心又有对称轴的曲线称为“和美曲线”，“和美曲线”与其对称轴的交点叫做“和美曲线”的顶点.已知曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线是“和美曲线” B．点是曲线的一个顶点 C．曲线所围成的封闭图形的面积 D．当点在曲线上时， 11．（多选）（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在一处四周都是镜子的暗房里，在点平行于地面发出一条射线，与的夹角为，在中点处有一个感应器（体积忽略不计），已知，，则下列说法正确的是（    ） A．若，射线经过一次反射就被感应器捕捉到，则 B．若，射线第一个反射点在边上，则最少需要折射三次才能被感应器捕捉到 C．无论长度如何变化，必定存在使得射线反射两次就可以被感应器捕捉到 D．存在，使得射线依次经过，，三个面的反射后能被感应器捕捉到 三、填空题 12．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线关于y轴对称的直线m和圆相切，则________. 13．（2025·辽宁·二模）“双曲线电瓶新闻灯”是我国首先研制成功的，利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．这种灯的轴截面是双曲线的一部分（如图），从双曲线的右焦点发出的互为反向的光线，经双曲线上的点P，Q反射，反射光线的反向延长线交于点M，且，．制作时，通过双曲线的离心率控制该新闻灯的开口大小，则该新闻灯轴截面双曲线的离心率为 ． 14．（24-25高三上·江苏无锡·期末）椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，、为其左、右焦点.是上的动点，点，且的最大值为，则 ，动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，则点到直线的距离的取值范围为 . 四、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）试确定的取值范围，使得双曲线上有不同的两点关于直线对称． 16．【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点. （1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A为线段BM的中点. 17．（25-26高三·河南安阳·月考）已知焦点在轴上的双曲线的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知的一个焦点与关于直线对称． (1)求双曲线的方程； (2)设直线与双曲线的左支交于、两点，另一直线经过及的中点，求直线在轴上的截距的取值范围． 18．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知椭圆：，的下顶点为，左焦点为，动直线与椭圆交于、两点.    (1)若是椭圆上的一个动点，求的最大值； (2)设，为坐标原点，若四边形为平行四边形，求直线的方程； (3)若直线经过定点，坐标平面上是否存在定点（不同于点），使得恒成立？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 19．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知圆，椭圆点为圆上任意一点，过点作圆的切线与椭圆交于，两点. (1)当时， (i)证明：切线方程为； (ii)求面积的取值范围. (2)直线关于原点的对称直线与椭圆交于，两点，是否存在，使四边形为菱形. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.1 解析几何中的对称问题9大考向及方法技巧全归纳 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 分析考情·探趋势 锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标 破解重难·冲高分 方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化 拔尖冲优·夺满分 巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力 近三年：新高考中对解析几何对称问题考查稳定，题型覆盖选择、填空与解答题，多以中档题为主，压轴题中偶有综合考查。选择题、填空题侧重基础对称：点关于点 / 直线对称、直线 / 曲线关于轴 / 原点对称，难度中等，侧重公式应用与几何直观。解答题常结合中点弦、定点定值，以椭圆、抛物线为载体，考查对称性质转化与代数运算，难度中档偏上，强调数形结合与逻辑推理。全国卷与新高考卷均高频考查，分值约 5–12 分，命题重基础、重通法，淡化复杂计算，突出几何性质应用与核心素养。 预测2026年：对称问题将延续基础与综合并重，基础题聚焦点、直线、圆的对称，侧重公式与几何直观；中档题以圆锥曲线为载体，结合中点弦、斜率关系，考查对称性质转化；综合题可能与向量、函数融合，考查定点、定值与最值，强调几何性质应用、减少繁琐运算。命题更重思维与素养，情境化、探究性增强，需熟练掌握对称转化方法，强化数形结合与运算能力，备考应覆盖基础模型与综合应用. 考向01 点或直线关于点对称 1．点关于点的对称 求点P关于点A(a,b)的对称点P'的问题，主要依据A是线段PP′的中点来求解. 设P(x0,y0)，对称中心为A(a,b)，则P关于A的对称点为P'(2a-x0,2b-y0). 2．直线关于点的对称 求直线l关于点A(a,b)对称的直线l'的步骤： (1)由平行直线系设出直线l'的方程； (2)在l上任取一点P(x,y)，求P关于A的对称点P'(2a-x,2b-y)； (3)将P'的坐标代入直线l'的方程，求出参数，得到l'的方程. 【经典例题】 1．（24-25高三上·北京·期中）点与点的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】点与点的对称中心是的中点， 所以对称中心的坐标为， 故选：C 2．（2025高三·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25高三上·辽宁鞍山·阶段练习）点关于点的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点坐标为， 则由题意可得，解得， 所以点坐标为, 故选：B 2．（24-25高三上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线的方程可化为，由得， 所以，直线过定点，点关于点的对称点为， 因此，直线恒过的定点. 故选：C. 3．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知直线关于对称的直线与圆相离，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】设直线上任一点为，则其关于的对称点在直线上， ∴，且， ∴，即， ∴直线， ∵圆，即， ∴圆心，半径，且， ∴圆心到直线的距离， ∵直线与圆相离， ∴，即，又，解得. 故选：C. 考向02 点、直线关于直线对称 1．两点关于某直线对称 设点A(x0,y0)关于直线l的对称点为B(x,y). (1)直线l的斜率不存在时，设直线1：x=t，则. (2)直线l的斜率为0时，设直线l：y=t，则. (3)直线l的斜率存在且不为0时，设点A(x0,y0)关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为B(x,y). 则，由此可求出B(x,y). 2．直线关于直线对称 (1)若已知直线l₁与对称轴l相交于点P，则交点P必在l₁关于l对称的直线l2上，再求出l₁上除点P外 任意一个已知点P₁关于l对称的点P2，那么经过交点P及点P2的直线就是l2. (2)若已知直线l₁与对称轴l平行，则l₁关于l对称的直线l2到直线l的距离和l₁到直线l的距离相等，由平行直线系和对称点即可求出l₁关于l对称的直线l2. 【经典例题】 1．（24-25高三上·江苏盐城·期中）已知直线，则点关于直线的对称点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则中点，且， 由，两点关于直线对称，且， 则，解得， 即， 故选：B. 2．（24-25高三上·天津红桥·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设所求直线上任意一点的坐标为，该点关于直线对称的点的坐标为， 则,故对称点坐标为，代入直线上，， 故选：D 3．（24-25高三上·四川凉山·期末）设点，若直线关于轴对称的直线与圆相切，则的值为（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【解析】由可得，故直线关于轴对称的直线斜率为，且经过点，故直线方程为， 圆的圆心和半径分别为， 由相切可得，解得， 故选：A 【变式训练】 1．（24-25高三上·广东·期中）若点和点关于直线对称，则 ． 【答案】 【解析】因为点和点关于直线对称， 所以是线段的垂直平分线，由，可得，解得. 又AB的中点坐标为，，所以，解得， .故. 故答案为：. 2．（24-25高三上·广东广州·期中）已知点关于直线的对称点为，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为 . 【答案】 【解析】设点，有，解得，，所以， ，，结合图可知，. 故答案为：. 3．（23-24高三上·海南海口·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．点关于直线的对称点为 C．直线关于直线的对称直线的方程为 D．直线关于点的对称直线的方程为 【答案】D 【解析】对于A，直线与两坐标轴交于，则所求三角形面积为，A错误； 对于B，点和的中点不在直线上，则点关于直线的对称点不是，B错误； 对于C，在直线上取点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，而点不在直线上，C错误； 对于D，在所求方程的直线上任取点，则该点关于点的对称点为在直线上， 于是，即，因此所求的直线方程为，D正确. 故选：D 考向03 圆中的对称问题 与圆有关的对称问题 (1)若两圆关于某点对称，则这两圆的圆心关于该点对称，半径相等； (2)若两圆关于某直线对称，则这两圆的圆心关于该直线对称，半径相等； (3)任意一个圆关于它的任一条直径所在直线对称； (4)任意两个圆关于它们的连心线所在直线对称; (5)任意两个等圆关于它们连心线的垂直平分线对称. 【经典例题】 1．（25-26高三上·河南·阶段练习）圆关于直线对称的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得圆心为，半径， 设圆心关于直线的对称点为， 则 解得 故所求圆的方程为． 故选：C. 2．（24-25高三上·广东深圳·期中）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】由，得，故圆心为， 又因为圆关于直线对称， 故圆心在直线上，则. 故选：A 3．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】关于直线的对称直线为， 则题设等价于函数的图象和的图象有两个交点． 令等价于， 设直线和相切， 由，解得或（舍）， 又当直线过点时，解得， 所以k的取值范围是. 故选：A． 4．圆关于点对称的圆的方程是 . 【答案】 【解析】圆，化为标准方程：， 设关于点对称的圆的圆心为， 则，解得， 所以圆关于点对称的圆的方程是： ， 【变式训练】 1．（24-25高三上·广东深圳·期中）若存在点，使得圆与圆关于点对称，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由题意，两圆半径相等， 所以，解得， 故选：A 2．若圆与圆关于直线对称，则直线的方程为 . 【答案】 【解析】依题意，直线是两圆圆心的对称轴. 由可得，由可得， 则的中点为，因，故直线的斜率为， 故直线的方程为：，即. 3．（24-25高三上·广东广州·期中）已知圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是 ． 【答案】16 【解析】由圆的对称性可得，直线必过圆心，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 则的最小值是16 故答案为：16 4．（24-25高三上·广东深圳·期中）已知圆关于直线对称，为圆C上一点，则的最大值为 ． 【答案】20 【解析】方程可化为， 所以圆的圆心为，半径为， 因为圆关于直线对称，所以，所以，令，则， 所以，所以，所以的最大值为20， 故答案为：20. 考向04 光的反射问题 解析几何中光的反射问题，核心是对称点共线。 1.利用点关于直线对称：入射点关于镜面的对称点在反射光线上，反射点关于镜面的对称点在入射光线上。 步骤：求对称点→由两点确定反射光线→求直线方程，再与曲线联立求解。 2.圆锥曲线中：椭圆一焦点发出光线经反射过另一焦点；抛物线焦点发出光线反射后平行对称轴。 抓住对称，即可统一解决各类光反射问题. 【经典例题】 1．（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以反射光线所在直线方程为，即. 故选：B. 2．（25-26高二上·全国·单元测试）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】由光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为，得，即． 延长交于点，如图，由光的反射定律知垂直平分线段（关键点），连接OH， 则OH是的中位线，于是， 而点在圆上，则的周长等于．    故选：D. 3．（24-25高三下·河南信阳·开学考试）古希腊数学家阿波罗尼斯在对圆锥曲线的研究过程中，还进一步研究了圆锥曲线的光学性质，例如抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．如图所示，两条平行于轴的入射光线，分别经抛物线上的A，B两点反射后，两条反射光线，又沿平行于轴的方向射出，则两条反射光线，之间的距离为（   ）    A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】由题意得，，，， 设点D，E的坐标分别为，， 直线AD：，联立抛物线方程得， 得，解得，，所以， 同理直线BD：，联立抛物线方程得， 得，解得，，可得， 所以两条反射光线，之间的距离． 故选：B. 【变式训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）在等腰直角中，是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】以为坐标原点，建立如图直角坐标系， 可得，故直线BC的方程为， 则的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过重心，代入得， 化简得或（舍去），故，所以. 故选：D 2．（2025高三·北京·专题练习）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线为坐标原点，一条平行于轴的光线从抛物线内的点（不在轴上）射入，经过上的点反射，再经上另一点反射后，沿直线射出并经过点，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则平分 C．若，延长交直线于点，则三点共线 D．若，过作轴的平行线交抛物线的准线于点，则直线的斜率 【答案】D 【解析】作出示意图，如图所示： 对A，若，则， 又点，中，令得，所以． 易知的焦点，所以⊥轴， 则，所以，故A正确． 对B，若，则，，又点，所以， ，故直线， 联立与得， 易知，， 其中． 所以，又，所以， 即平分，B正确． 对C，若，则，，故， 延长交直线于点，则， 即，所以， 又，则， 直线，联立得， 则，则， 所以，则三点共线，故C正确； 对D，，，易知焦点， 由C知，三点共线，设， 直线，联立得， 则． 因为，所以，所以． 由，得，则， 所以，故D不正确． 故选：D． 3．(多选)（24-25高二上·陕西咸阳·期末）双曲线具有如下光学性质：如图，分别为双曲线的左，右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点．若双曲线的方程为，则（   ） A． B．双曲线的右焦点到渐近线的距离为21 C．当反射光线过点时，光线由所经过的路程为6 D．设反射光线所在直线的斜率为，则 【答案】ACD 【解析】对于双曲线，根据双曲线的标准方程（，），其中为双曲线的实半轴长，为双曲线的虚半轴长.可得，则. 由双曲线的定义：对于双曲线右支上的点，有，所以，选项A正确. 由双曲线可得，，则，右焦点. 双曲线的渐近线方程为，即. 右焦点到渐近线的距离，选项B错误. 由双曲线定义知，即. 光线由所经过的路程为. 当，，三点共线时，取得最小值，，， 根据两点间距离公式，可得. 所以光线由所经过的路程为，选项C正确. 设左、右顶点分别为A、B.如图示： 双曲线的渐近线斜率为. 当与同向共线时，的方向为，此时，最小. 因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为. 则斜率满足，选项D正确. 故选：ACD. 4．（2025高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知射线，，半圆，现从点向轴上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线时会发生镜面反射．设光线在发生反射前所在直线的斜率为，若光线始终与半圆没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知半圆的圆心为，半径为1，设反射前光线所在直线方程为． ①如图：当光线不发生反射时，光线所在直线的斜率，若此时光线与半圆无交点，则半圆圆心到光线所在直线的距离，解得，即． ②当光线只发生一次反射时，反射光线不与轴非负半轴相交，由，得则反射光线所在直线方程为，即，所以，解得．令半圆圆心到反射光线所在直线的距离1，解得，又，所以此时要使光线与半圆没有交点，则． ③当光线发生两次反射时，讨论如下．当时，第一次反射后光线所在直线与轴非负半轴有交点，交点为，则第二次反射后光线所在直线方程为，所以，解得．令半圆圆心到第二次反射光线的距离，得，故此时要使光线与半圆无交点，则．当时，易知第一次反射后光线过点，第二次反射后光线所在直线方程为，与半圆没有交点．综上，． ④当光线发生三次反射时，由得则第三次反射光线所在直线方程为，即，所以，即．令半圆圆心到第三次反射光线的距离，得，故此时要使光线与半圆无交点，则． 综上，的取值范围为． 故选：A． 考向05 圆中利用对称性求距离和或差的最值 1.根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 2.将平面向量的运算坐标化 3.运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解. 【经典例题】 1．（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，点C的坐标为（），则的最小值是（   ） A．6 B． C． D．5 【答案】C 【解析】如图，   ， 在直线上， 设点A关于直线的对称点为A'，则所在直线为， 代入点，可得，解得， 故所在直线为， 联立，解得， 故直线与直线交点， 则点关于直线的对称点的坐标为， ， 因为， 所以的最小值是， 故选：C 2．（24-25高三上·广东深圳·期中）已知点是坐标原点，点是圆上的动点，当动点在直线上运动时，的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【解析】设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 由题意可知：圆的圆心为，半径， 则， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 又因为，当且仅当三点共线时，等号成立， 综上所述：当且仅当时，的最小值为6. 故选：C 【变式训练】 1．（24-25高三上·广东深圳·期中）已知点是坐标原点，点是圆上的动点，当动点在直线上运动时，的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【解析】设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 由题意可知：圆的圆心为，半径， 则， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 又因为，当且仅当三点共线时，等号成立， 综上所述：当且仅当时，的最小值为6. 故选：C 2．（24-25高三上·广东清远·期中）已知点P在直线上，点，则的最小值为 【答案】 【解析】如图，设关于直线的对称点为，则， 解得，则， 于是， 结合图形知，当三点共线时，此时取得最小值， 即取得最小值为 故答案为： 考向06 椭圆中利用对称性求距离和或差的最值 椭圆中的距离最值求解策略: 1.在遇到椭圆中线段和或的最值问题时，常利用椭圆的定义（）及三角形三边关系转化求解， 即利用定义将到一焦点的距离化为到另一个焦点的距离，再进一步求解. 2. 注意椭圆上点的坐标的范围，有时也可利用该范围求有关距离的最值. 【经典例题】 1．（25-26高三上·河北衡水·月考）已知为椭圆的上焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示，由圆，可得圆心，半径为， 又由椭圆，设上焦点为，下焦点为，且， 根据椭圆的定义，可得，则， 所以， 要使得最大，则最小. 因为，当且仅当为线段与圆的交点时，等号成立， 所以， 当且仅当为线段与椭圆的交点时，等号成立， 所以，即的最大值为. 故选：D.    2．（25-26高三上·山东泰安·期末）已知点P是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【解析】由椭圆方程可知，， 故为椭圆的下焦点，则椭圆的上焦点为，如图，    根据椭圆的定义，有， 根据三角形两边的差小于第三边可知， 故的最大值为. 故选：D 【变式训练】 1．（25-26高三上·山东临沂·期末）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于椭圆，，，则，故、， 圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由椭圆定义可得， 所以 ， 当且仅当点、分别为线段与椭圆、圆的交点时，上述两个等号同时成立， 故的最小值为. 故选：A. 2．（2025高三上·全国·专题练习）已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值为（ ） A．12， B．， C．12，8 D．9， 【答案】C 【解析】令椭圆的左焦点为，有，由椭圆定义知， 显然点在椭圆内，，直线交椭圆于， 而，即， 当且仅当点共线时取等号， 当点与重合时，，则， 当点与重合时，，则， 所以的最大值和最小值为12，8.故选：C 3．（25-26高三上·天津南开·月考）已知点为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的动点，则下列结论中错误的是（    ） A．若，则的面积为2 B．使为直角三角形的点有6个 C．的最大值为 D．若，则的最大值为 【答案】C 【解析】，，， 选项A，，， 点为椭圆上的点，， ，联立，解得， ，故选项A正确； 选项B，当时，，点为短轴的两个端点，故这样的有2个； 当，，点有两个，故这样的有2个； 当，，点有两个，故这样的有2个； 综上可知，使为直角三角形的点有6个，故选项B正确； 选项C，，， ， ，， ，， ，故选项C错误； 选项D，，， ，， ， 的最大值为，故选项D正确. 故选：C. 4.（2025·江苏-模拟预测）已知为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（ ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【解析】依题意，设椭圆的左焦点为， 圆的圆心为，半径为， ， 当三点共线，且在之间时等号成立. 而， 所以， 当四点共线，且在之间， 是的延长线与圆的交点时等号成立.故选：D 考向07 双曲线中利用对称性求距离和或差的最值 双曲线中的距离最值求解策略: 1.在遇到双曲线中线段和或的最值问题时，常利用双曲线的上点的性质（）及三角形三边关系转化求解， 即利用定义将到一焦点的距离化为到另一个焦点的距离，再进一步求解. 2. 注意双曲线上点的位置，在哪一支上，影响所求最值. 【经典例题】 1．（25-26高三上·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【答案】B 【解析】由圆可化为， 则，半径为1， 因为是的下焦点，则， 由双曲线定义可得， 所以， 当且仅当四点共线时，取得最小值， 即的最小值是. 故选：B. 2．（25-26高三上·湖北·月考）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D． 【答案】D 【解析】双曲线方程为，则， ， ，， 又、分别是圆和上的点， 即、在以为圆心，半径为的圆上， ， ． 故选：D． 【变式训练】 1．（25-26高三上·河北·期中）已知双曲线的虚半轴长为，为双曲线的左焦点，点为双曲线C的右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D．10 【答案】B 【解析】由双曲线的虚半轴长为，有，可得， 可得双曲线的方程为，可得，实轴长为4，    设双曲线的右焦点为， 由双曲线的性质有， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：B. 2．（25-26高三上·四川南充·月考）已知双曲线：的左右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值16时，面积的最大值为（   ） A．16 B．32 C．36 D．64 【答案】B 【解析】由题意得，故，如图所示， 而到渐近线的距离， 则， 当且仅当M，，N三点共线时两个等号同时成立， 所以的最小值为，所以，即， 当且仅当时，等号成立，又，故， 所以， 即面积的最大值为32. 故选：B 3．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【解析】如图所示，双曲线方程的两焦点坐标为，， 连接，，，，则， 因为，， 所以 ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故选：B. 考向08 抛物线中利用对称性求距离和或差的最值 抛物线中线段和与差的最值问题破解策略 由抛物线的定义可知，抛物线上的点M到焦点F的距离与M到准线l的距离相等，故与抛物线相关的距离的最值问题常通过距离的转化来解决. 【经典例题】 1.（24-25高三上·辽宁·期末）已知抛物线的焦点为，P为抛物线上一点，若，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为抛物线的焦点为，则，得， 所以抛物线的方程为，令，则， 设过P作抛物线准线的垂线于点B，可得，则. 故点在抛物线内部，过点A作抛物线准线的垂线交抛物线于点P，此时取得最小值，最小值为. 故选：C. 2.（24-25高三上·安徽·月考）已知点P是抛物线上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】抛物线的焦点为，准线方程为， 过点F作，交直线m于点E， 由抛物线的定义可知，， 所以当P在线段上时，取得最小值，． 故选：B. 【变式训练】 1.（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知为抛物线上任意一点，为抛物线的焦点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．10 C．4 D．8 【答案】D 【解析】如图，过点作垂直准线于点，连接交于点. 由题意可得的准线方程为. 因为，所以， 当三点共线时，取得最小值，最小值为， 所以的最小值为. 故选：D 2.（25-26高三上·黑龙江大庆·开学考试）设为抛物线上的动点，关于的对称点为，记到直线，的距离分别，，则的最小值为 . 【答案】 【解析】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 因为为抛物线上的动点，到直线，的距离分别，， 所以，， 因为关于的对称点为， 所以， 所以， 又， 当且仅当点为线段与抛物线的交点时等号成立， 所以，当且仅当点为线段与抛物线的交点时等号成立， 所以当点为线段与抛物线的交点时，取最小值， 的最小值为， 故答案为：. 考向09 圆锥曲线中存在点关于直线对称问题 1.解题策略一：判别式法 第一步 假设这样的对称点A、B存在，利用对称中的垂直关系设出两点A、B所在的直线方程； 第二步 联立AB所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点C的坐标； 第三步 把C的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式； 第四步 利用联立后方程的△求出其中需求参数的范围. 2．解题策略二：点差法 第一步 设出两点和中点坐标（x，y）； 第二步 用“点差法”根据垂直关系求出x，y满足的关系式； 第三步 联立直线方程，求出交点，即中点； 第四步 由中点位置及对应范围求出参数取值范围. 【经典例题】 1.若抛物线y=-1上总存在关于直线x+y=0对称的两点，求a的范围． 【解析】如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上关于直线x=-对称的两点，则AB的方程可设为=+。 解方程组：得AB中点C的坐标(-，)。 联立消去得--(+1)=0。 (*) 依题意(*)式△=1+4(+1)>0，且 ∴=-1，再由△>0得> 解法二：曲线y=-1关于直线x+y=0对称曲线方程为：-x=ay2-1， 解方程组： ∵+≠0 ∴=－，代入=－1得关于的二次方程：，由△>0得>。 2.在 中，顶点 所对三边分别是 已知 ,且 成等差数列. (1 )求顶点 的轨迹方程； (2) 设顶点A的轨迹与直线 相交于不同的两点 ，如果存在过点的直线 ,使得点 关于 对称，求实数 的取值范围 【解析】（1）由题知 得 ，即 （定值）． 由椭圆定义知，顶点 的轨迹是以 为焦点的椭圆（除去左右顶点）， 且其长半轴长为 ，半焦距为 ，于是短半轴长为 ． ∴ 顶点 的轨迹方程为 ． （2）由 消去整理得, ∴ ，整理得： …①. 令 ，则 . 设 的中点 ，则 . i)当 时，由题知， ． ii)当 时，直线 方程为 ， 由 在直线l上，得，得…② 把②式代入①中可得 ，解得 . 又由②得 ，解得 ，∴． 验证：当 在 上时，得 代入②得 ， 无解．即 不会过椭圆左顶点. 同理可验证 不过右顶点．∴ 的取值范围为)． 综上，当 时，m的取值范围为；当 时，m的取值范围为． 【变式训练】 1.【2020年高考上海卷10】已知椭圆，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于两点（点在第二象限），若关于轴对称的点为，且满足，则直线的方程为 ． 【答案】 【解析】由条件可知是等腰直角三角形，所以直线的倾斜角是，所以直线的斜率是，且过点，得到直线的方程为，即．故答案为：． 2. 【2017天津，理19】设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为. （1）求椭圆的方程和抛物线的方程； （2）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程. 【解析】（1）解：设的坐标为.依题意，，，，解得，，，于是.所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为. （2）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以. 所以，直线的方程为，或. 3．（2025·湖南株洲·二模）已知抛物线经过点，过作两条不同直线，其中直线关于直线对称. （1）求抛物线的方程及准线方程； （2）设直线分别交抛物线于两点（均不与重合），若以线段为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线的方程. 【解析】（1）∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线的方程为，准线方程为． （2）方法一：不妨设在的左边，从而可设直线的方程为，即， 由消去整理得． 设， 则，故， ∴， ∴点． 又由条件得与的倾斜角互补，以代替点坐标中的， 可得点． ∴，且中点的横坐标为， ∵以线段为直径的圆与抛物线的准线相切， ∴，解得 ∴，， ∴， ∴直线的方程为，即． 方法二：设， 因为直线关于对称，所以与的倾斜角互补， 所以， 所以， 所以． 设直线的方程为， 由消去去整理得， 所以， 所以，且中点D的横坐标为． 因为以线段为直径的圆与抛物线的准线相切， 所以， 即，解得， 所以直线的方程为，即． 【点睛】由于在解答圆锥曲线问题中需要涉及到大量的计算，所以在解题时要注意“设而不求”、“整体代换”等方法的利用，另外还应注意巧设直线的方程，以达到简化运算的目的，考查直线和圆锥曲线的位置关系及考查计算能力，属于中档题． （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（25-26高二上·全国·课后作业）圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径． 圆心关于原点的对称点为，即所求圆的圆心为，半径为5， 所以所求圆的方程为． 故选：B. 2．（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）若直线是圆的一条对称轴，则实数的值为（    ）. A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】由题意得圆心为，而直线是圆的一条对称轴， 则在直线上，可得，解得. 3．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，解得，所以直线与直线的交点为， 在直线上取点关于直线对称的点为， 所以，解得， 所以点关于直线对称的点为， 所以直线的斜率为， 故对称直线的方程为，即， 故选：B. 4．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 故选：C 5．（25-26高三下·云南楚雄·开学考试）已知圆：关于直线：对称，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【解析】因为圆：关于直线：对称， 所以直线过圆心，即，因为，， 所以， 故选：B． 6．（25-26高二上·上海浦东新·期末）在等腰直角中，，点P是边上异于端点的一点，光线从点P出发经，边反射后又回到点P，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在等腰直角中，，建立如图所示的直角坐标系，则，    直线方程为，且的重心为， 设，关于直线的对称点为， 则，解得，则， 而关于轴的对称点为， 由光的反射定律知四点共线，且，， 因此直线的方程为，即， 由直线过，得，而，解得， 即点，，，则， 所以的周长为. 故选：B 7．（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为右焦点为，所以，即； 设双曲线的左焦点为，则；由双曲线的定义得， 所以，当三点共线时，有最小值， 最小值为，所以的最小值为. 8．（2024·山东日照·一模）过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 【答案】C 【解析】由题设中圆心，半径， 中圆心，半径， 根据双曲线方程知其左右焦点为，连接， 所以， 所以 ， ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故的最小值为30. 故选：C. 二、多选题 9．（2026·黑龙江·一模）已知抛物线的焦点为，为上一动点，A为一定点，则正确的有（   ） A．若，则点P的坐标为 B．若，则的最小值为6 C．若，则的最小值为 D．若，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】对于A，因为焦半径，所以，代入，解得， 所以，故A错误； 对于B，将横坐标5代入抛物线方程中，得，所以点A在抛物线内， 所以，当且仅当与轴平行时取等，故B正确； 对于C，设，则， 所以， 所以的最小值为，C正确； 对于D，设点M是x轴上点A右侧一点，不妨设P位于第一象限， 如图所示： 则 ， 令，分母为，则， 当，，所以在上单调递减； 当，，所以在上单调递增； 所以当时，， 此时，由图知，所以，故D正确. 10.（2025·安徽池州·二模）定义：既有对称中心又有对称轴的曲线称为“和美曲线”，“和美曲线”与其对称轴的交点叫做“和美曲线”的顶点.已知曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线是“和美曲线” B．点是曲线的一个顶点 C．曲线所围成的封闭图形的面积 D．当点在曲线上时， 【答案】AD 【解析】对于A，将代入曲线方程，易知成立，故曲线关于原点对称， 将代入，易知成立，故曲线关于坐标轴对称，故A正确； 对于B，令可得：，即，故B错， 对于C，， 所以曲线所围成的封闭图形在椭圆内部， 而椭圆面积为：，故C错误； 对于D,由 ， 可得：， 所以，当时取等号，故D正确； 故选：AD 11．（多选）（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在一处四周都是镜子的暗房里，在点平行于地面发出一条射线，与的夹角为，在中点处有一个感应器（体积忽略不计），已知，，则下列说法正确的是（    ） A．若，射线经过一次反射就被感应器捕捉到，则 B．若，射线第一个反射点在边上，则最少需要折射三次才能被感应器捕捉到 C．无论长度如何变化，必定存在使得射线反射两次就可以被感应器捕捉到 D．存在，使得射线依次经过，，三个面的反射后能被感应器捕捉到 【答案】BC 【解析】由于该射线平行于地面，根据题意可视为射线在平面四边形内部发生反射， 对于A，当时，发出射线使其反射点在靠近端的四等分点，反射后再正好被感应器捕捉， 所以，则，故A错误； 对于B，当时，第一次反射在边上，所以不可能只反射一次就被感应器捕捉； 如图1，假设反射两次后被感应器捕捉，则第二次反射一定在边上， 将平面依次向右、向上翻折一次，到达， 观察线段，要求此线段完全在平面与翻折平面构成图形的内部， 设直线，所以:，令得， 所以线段不可能完全在平面与翻折平面构成图形的内部， 即不可能经过两次反射后被感应器捕捉； 如图2，计算得：时可以反射三次后被感应器捕捉（线段完全在平面与翻折平面构成图形的内部）， 故B正确； 对于C，如图3，依次将平面向上、向右翻折，连接，观察线段，其经过点， 所以与直线的交点在线段上， 故线段完全在平面与翻折平面构成图形的内部， 意味着射线将依次经过、反射后被感应器捕捉，反射了两次，故C正确； 对于D，如图4，同翻折，同理分析，观察线段，交点恰好在转折点处， 所以线段一定不可能完全在平面与翻折平面构成图形的内部，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 12．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线关于y轴对称的直线m和圆相切，则________. 【答案】/ 【解析】直线关于y轴对称的直线m的方程为， 由圆可得圆心，半径为， 又因为直线m与圆相切， 所以. 13．（2025·辽宁·二模）“双曲线电瓶新闻灯”是我国首先研制成功的，利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．这种灯的轴截面是双曲线的一部分（如图），从双曲线的右焦点发出的互为反向的光线，经双曲线上的点P，Q反射，反射光线的反向延长线交于点M，且，．制作时，通过双曲线的离心率控制该新闻灯的开口大小，则该新闻灯轴截面双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】结合双曲线的光学性质可知，为双曲线的左焦点，进而结合正弦定理可设，，，，再根据双曲线的定义可得，进而得到，再结合勾股定理可得，进而求解即可. 【解析】由双曲线的光学性质可知，直线，的交点为双曲线的左焦点， 在中，由正弦定理得， 则，设，， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 两式作商得， 设，， 由双曲线的定义可知，， ， 解得，则，，，， 所以，则，即， 在中，， 则，则，即， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 14．（24-25高三上·江苏无锡·期末）椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，、为其左、右焦点.是上的动点，点，且的最大值为，则 ，动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，则点到直线的距离的取值范围为 . 【答案】 【解析】根据椭圆定义得， 所以，， 当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立， 因为的最大值为6，且，则，解得， 则. 设切椭圆于点， 由椭圆的光学性质可得、、三点共线，， 则点的轨迹是以为圆心，半径为4的圆， 所以，到直线的距离为， 由圆的几何性质可知，点到直线的距离最小值，最大值，即. 四、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）试确定的取值范围，使得双曲线上有不同的两点关于直线对称． 【答案】 【解析】设关于直线对称的两点为中点． 已知，则，且， 两式相减得，即． 从而，故， 若点在同支上，则中点在双曲线焦点所在区域，即，于是，无解； 若点在异支上，则中点位于双曲线两支之间的区域，即，于是，得． 16．【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点. （1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A为线段BM的中点. 【解析】（1）由抛物线C：过点P（1，1），得. 所以抛物线C的方程为. 抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为. （2）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为，. 由，得. 则，. 因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为. 直线ON的方程为，点B的坐标为. 因为 ， 所以. 故A为线段BM的中点. 17．（25-26高三·河南安阳·月考）已知焦点在轴上的双曲线的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知的一个焦点与关于直线对称． (1)求双曲线的方程； (2)设直线与双曲线的左支交于、两点，另一直线经过及的中点，求直线在轴上的截距的取值范围． 【解析】(1)设双曲线的渐近线方程为，则， 由题可知，， 故双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为， 由题可知双曲线的一个焦点为，∴c＝，，， ：； (2)设，， 由得， 直线与双曲线左支交于两点， ∴， ， ∴中点为，即， 则直线l的斜率为：， 直线的方程为：， 令，得， ，， ． 18．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知椭圆：，的下顶点为，左焦点为，动直线与椭圆交于、两点.    (1)若是椭圆上的一个动点，求的最大值； (2)设，为坐标原点，若四边形为平行四边形，求直线的方程； (3)若直线经过定点，坐标平面上是否存在定点（不同于点），使得恒成立？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】（1），，右焦点，， 当且仅当、、共线（介于、之间）时取到， （2）由平行于时，可设直线：，与椭圆联立后得到， 由可知，， 结合韦达定理， 解得， 所以直线方程为或， （3）当直线斜率存在时，设方程为，与：联立得： ， 设，， 由韦达定理得，. 当直线平行于轴时，，因此， 此时在轴上，设. 当直线斜率不存在时，不妨设，， 则有， 解得或（舍）.下面证明点符合条件. 设直线：，要证， 即是的角平分线，只要证明. 而， 而韦达定理可得，因而得证， 综上，存在定点， 19．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知圆，椭圆点为圆上任意一点，过点作圆的切线与椭圆交于，两点. (1)当时， (i)证明：切线方程为； (ii)求面积的取值范围. (2)直线关于原点的对称直线与椭圆交于，两点，是否存在，使四边形为菱形. 【解析】（1）（i）当时，由点在圆上，可得， 当，时，直线斜率不存在， 此时切线方程为，满足； 当，时，直线斜率为， 此时切线方程为，满足； 当且时，直线斜率， 则切线斜率满足，即， 此时切线方程为，化简可得； （ii）由（i）可知， 当，时，，且， 联立直线与椭圆，整理得， 则， 且，， 则， 又由直线与圆相切可得点到直线的距离， 则， 设，则，，， 又当时，， 则， 当，时，由椭圆对称性可知，与时，三角形面积相等， 不妨令，则直线， 将代入椭圆方程，得，解得，， 即，则， 综上所述； （2） 假设存在，使四边形为菱形， 设，， 由椭圆的对称性可知，，且，， 即四边形为平行四边形， 则若四边形为菱形，则需满足， 即，， 当直线斜率存在时，设直线， 又直线与圆相切，即原点到直线的距离， 即， 联立直线与椭圆，则， 满足， 即， 且，， 又，即， 即， 化简可得，满足， 又，所以； 当直线斜率不存在时，结合椭圆的对称性，不妨设直线， 则，， 则，解得， 综上所述，存在，使四边形为菱形. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $