第05讲 平面向量建系讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026届高三数学二轮复习

该高中数学讲义聚焦平面向量建系法核心考点，按基底问题、三角形到多边形建系、三角函数结合最值的逻辑层次梳理，通过知识要点归纳、解题策略提炼、真题案例精讲、变式训练巩固四环节，帮助学生构建“几何问题代数化”的解题框架。 资料首创“图形特征—建系类型—坐标转化”三步解题法，如含直角图形以直角顶点为原点建系，培养学生数学眼光和逻辑推理能力。设置从基础到综合的分层练习，配合错题归因指导，助力教师精准把控复习节奏，提升学生快速突破向量难题的应考能力。

第05讲 平面向量建系法 目 录 思维导图 1 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 6 题型归纳 6 题型01：平面向量的基底 4 题型02： 建系求向量积 14 题型03： 三角形建坐标系求向量最值问题 23 题型04： 四边形建坐标系求向量最值问题 33 题型05： 多边形建坐标系求向量最值问题 49 题型06： 建坐标系设三角函数求向量最值问题 54 平面向量建系法是高考向量题的核心解题工具，常以选填题为主（5分），偶尔融入大题作为解题环节，核心是将几何问题代数化，以下从多维度展开分析。 一：考情与考查形式 1：分值与题型：近5年全国卷、新高考卷中，建系法多在5分选填题中考查，如2023新高考I卷T3、2024新高考II卷T14；大题中常作为辅助工具，如与解析几何结合求轨迹、与三角函数结合求夹角，难度中等偏易。 2：核心载体：以三角形、矩形、菱形、正六边形等平面图形为背景，聚焦向量的线性表示、模、数量积、夹角、共线与垂直等问题，重点考查建系后坐标运算的准确性。核心建系类型与高考应用 高考真题案例 2022天津卷T10（直角三角形中向量线性表示） 2023全国乙卷T13（正六边形中向量数量积） 2024新高考I卷T11（60°三角形中向量模长） 2025新高考II卷T15（三角形中点向量运算） 二：命题特点 1. 基础性强：侧重建系原则（找垂直、定原点）与坐标运算公式的直接应用，运算量不大，强调概念理解与方法选择。 2. 数形结合：要求考生根据图形特征快速确定建系方式，将向量坐标与点坐标对应，体现几何直观与代数运算的结合。 3. 灵活多变：同一题目可结合基底法与建系法，建系方式不唯一，但需选择最优方案（如减少参数、简化计算），考查思维灵活性。 三：命题趋势 1. 稳定基础考查：选填题中仍以基础建系运算为主，聚焦直角、特殊角等典型场景。 2. 加强综合融合：与解析几何、三角函数的结合更紧密，如建系后求轨迹方程、利用向量夹角求三角函数值。 3. 凸显素养导向：侧重考查直观想象（图形分析）、数学运算（坐标计算）、逻辑推理（建系合理性判断）等核心素养。 四：备考建议 1. 掌握核心建系技巧：熟记直角顶点、对称中心、特殊角等建系方法，明确不同场景下的最优建系方案。 2. 强化运算准确性：建系后快速标注点坐标，熟练运用线性运算、数量积、模长公式，避免计算错误。 3. 对比基底法与建系法：同一题目尝试两种方法，总结适用边界，提升解题灵活性。 1. 知识目标：理解建系的核心原则（找垂直、定原点、简化运算），掌握直角顶点、对称中心、特殊角等典型场景的建系技巧，明确建系后向量坐标与点坐标的对应关系，熟记坐标运算相关公式。 2. 能力目标：能根据平面图形特征（含直角、对称、特殊角等）快速选择最优建系方案，熟练完成点坐标标注与向量坐标转化，会用建系法解决向量线性表示、模、数量积、夹角及共线垂直等问题，提升数形结合与转化求解能力。 3. 素养目标：通过建系实现“几何问题代数化”的过程，培养直观想象（图形分析）、数学运算（坐标计算）、逻辑推理（建系合理性判断）核心素养，体会向量工具的实用性，为后续解析几何、空间向量的学习筑牢方法基础。 知识点一：常见建立坐标系方法 边长为的等边三角形 正方形 已知夹角的任意三角形 矩形 直角梯形 平行四边形 等腰梯形 圆 知识点回顾：平面向量的坐标表示及坐标运算 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． 平面向量的坐标运算 运算 坐标表示 和(差) 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2) 数乘 已知a＝(x1，y1)，则λa＝(λx1，λy1)，其中λ是实数 向量的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) 1.向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设，，则 ， ，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． |a|＝． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． 2.向量的坐标 设，，则 =，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． ||＝． ， 1．平面向量共线的坐标表示 1·共线向量定理应关注的两点 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0. 当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例 (2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定． 2．两个结论 (1)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为. (2)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为. 3．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线． 知识拓展 1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0． 2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为． 3．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为． 4．A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线的充要条件为(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0，或(x2－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y2－y1)，或(x3－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)·(y3－y1)． (1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②已知b≠0，则a∥b的充要条件是a＝λb(λ∈R)． (2)利用向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均为非零实数时，也可以利用坐标对应成比例来求解． 2·数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 （当且仅当时等号成立） 平面向量的垂直问题，有两个类型： (1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题 若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． (2)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． 平面向量建系解题的核心逻辑是 “先选最优坐标系，再坐标化向量，最后用公式运算”，三步搞定几何问题代数化，具体策略如下： 一、建系前：快速判断建系可行性与最优方案 1. 看图形特征定建系类型： ◦ 含直角（直角三角形、矩形、正方形）：优先以直角顶点为原点，直角边为x、y轴（最省计算）； ◦ 对称图形（正六边形、菱形、圆）：以对称中心为原点，对称轴为坐标轴（利用对称性简化坐标）； ◦ 含特殊角（30°、45°、60°）：以特殊角顶点为原点，一边为x轴（用三角函数快速求坐标）； ◦ 无明显直角/对称：选线段中点、定比分点或公共顶点为原点，选任意不共线边为坐标轴（尽量减少参数）。 2. 设坐标技巧：优先设整数坐标（如边长为2代替1，避免分数），未知边长设为a、k等参数（最后可消去或求解）。 2、 建系中：精准标注点坐标与向量转化 1. 按图形性质求点坐标： ◦ 利用边长、角度、对称关系（如中点坐标公式、定比分点公式）计算各顶点坐标，确保坐标无遗漏； ◦ 特殊图形结论直接用（如正六边形顶点坐标、菱形对角线垂直平分等），节省推导时间。 2. 向量坐标化核心：避免混淆“点坐标”与“向量坐标”。 三、建系后：套用公式解决目标问题 四．关键避坑策略 1. 建系优先性：能建直角坐标系就不建斜坐标系，能少设参数就少设（减少计算量）； 2. 计算校验：坐标标注后快速核对（如对称点坐标是否关于原点/坐标轴对称），运算后反向验证（如垂直问题可通过几何直观核对）； 3. 灵活切换：若建系后计算复杂，可换原点或坐标轴（如原以A为原点，改以B为原点），或切换为基底法。 需要我用一道含特殊角的三角形向量题，完整演示“建系→坐标转化→数量积求解”的三步解题过程吗？ 题型01：平面向量的基底 【典型例题1】在△ABC中，，，若点D满足，以作为基底，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】结合图形，将和分别用与线性表示，代入方程解之即得.    如图，因，则，即，解得：. 故选：A. 【典型例题2】若AD与BE分别为的边BC，AC上的中线，设，，则用基底表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据给定条件，利用三角形的重心定理，结合向量的线性运算求解作答. 令的边BC，AC上的中线AD与BE交于点G，则G是的重心， 则有， 所以. 故选：B 【典型例题3】已知向量是平面内的一组基底，若向量与共线，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据共线向量定理结合题意列方程求解即可 因为向量与共线， 所以存在唯一实数，使，即， 所以， 因为向量是平面内的一组基底，所以， 解得，， 故选：D 【典型例题4】若是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】不共线的向量能作为基底，逐一判断选项即可. 不共线的向量能作为基底， 因为，所以向量，共线，故排除A； 假设，解得，无解， 所以向量，不共线，故B正确； 因为，所以，共线，故排除C； 因为，所以，共线，故排除D， 故选：B 【典型例题5】设向量是平面内一个基底，且，则向量可以用另一个基底表示，即 . 【答案】 【解析】设，将代入，利用向量基本定理，得出的关系式，求解，即可得出结论. 设，因为， 所以，因为不共线， 所以，解得，， 故答案为：. 【变式训练1-1】设，是平面内不共线的两个向量，则以下各组向量中不能作为基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】根据基底不共线即可判断. 解：，是平面内不共线的两个向量， 对A，与不共线，故可以作为基底，故A错误； 对B，与不共线，故可以作为基底，故B错误； 对C，，故与共线， 不可以作为基底，故C正确； 对D，与不共线，故可以作为基底，故D错误； 故选：C. 【变式训练1-2】设，是平面向量的一组基底，以下四个选项中可以作为平面向量的一组基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【解析】根据基底向量的定义逐项分析判断. 对A：∵，则与共线， 故和不能作为基底向量，A错误； 对B：∵，则与共线， 故和不能作为基底向量，B错误； 对C：∵，则与共线， 故和不能作为基底向量，C错误； 对D：∵，则与不共线， 故和不能作为基底向量，D正确； 故选：D. 【变式训练1-3】如果是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解析】由基底的定义结合向量共线定理判断即可. 由为不共线向量，可知与，与，与必不共线，都可作为平面向量的基底，而，故与共线，不能作为该平面所有向量的基底． 故选：D. 【变式训练1-4】如果是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解析】判断选项中各组向量是否共线，即可得答案. 由为不共线向量，可知与，与，与必不共线， 都可作为平面向量的基底， 而，故与共线，不能作为该平面所有向量的基底. 故选:D. 【变式训练1-5】已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解析】根据基底不共线原则判断即可. 解：只要两向量不共线便可作为基底， 故对于A选项，，共线，不满足； 对于B选项，，共线，不满足； 对于C选项，共线，不满足； 对于D选项，与不共线，故满足. 故选：D. 【变式训练1-6】以下命题中，不正确的为（    ） A．是，共线的充要条件； B．若，则存在唯一的实数，使； C．若，则； D．若，，为空间的一个基底，则，，构成空间的另一个基底； 【答案】ABC 【解析】利用充分条件和必要条件的定义可判断A选项的正误；取可判断B选项的正误；易得，均与垂直，可判断C选项的正误；假设，，共面，可设，判断关于m、n的方程组是否有解，可判断D选项的正误. 对于A选项，充分性：若，则，方向相反，且，充分性成立； 必要性：若，共线且方向相同，则，即必要性不成立， 所以，是，共线的充分不必要条件，A选项错误； 对于B选项，若，，则，但不存在实数，使得，B选项错误； 对于C选项，若，则，均与垂直，不一定有，C选项错误； 对于D选项，假设，，共面， 可设， 由于，，为空间的一个基底，可得，该方程组无解， 假设不成立，所以，，构成空间的另一个基底，D选项正确. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：要证明，，构成空间的另一个基底，可假设 ，从而判断关于m、n的方程组无解即可． 【变式训练1-7】已知向量是空间的一个单位正交基底，若向量在基底下的坐标为（2，1，3），那么向量在基底，，下的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设向量在基底，，下的坐标为，由向量，列出方程组解出的值． 设在基底，，下的坐标为， ，而， 所以，得：， ， 向量在基底，，下的坐标为. 故选：C 【变式训练1-8】若是平面内的一个基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】根据不共线的向量作为基底即可得出选项. 对于A， 由，所以两向量共线，不能作为基底，故A正确； 对于B，由，所以两向量共线，不能作为基底，故B正确； 对于C，由，所以两向量共线，不能作为基底，故C正确； 对于D， 与不共线，能作为基底，故D不正确. 故选：ABC. 【变式训练1-9】下列说法中正确的是（    ） A．平面向量的一个基底中，，一定都是非零向量 B．在平面向量基本定理中，若，则 C．若单位向量，的夹角为，则在上的投影向量是 D．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的 【答案】ABC 【解析】选项A，由基底的定义判断；选项B，由判断；选项C，由在方向上的投影向量的定义判断；选项D，由基底的定义判断. 选项A，作为基底的两个向量一定不共线，零向量与任意向量共线， 因此，一定都是非零向量，故A正确； 选项B，，由在同一基底下向量分解的唯一性，得，故B正确； 选项C，在方向上的投影向量为，故C正确； 选项D，只要不共线的两个向量都可以作为基底，所以表示同一平面内所有向量的基底是不唯一的，故D错误； 故选：ABC 【变式训练1-10】如图，在正方形ABCD中，设，，，则以为基底时，可表示为 ，以为基底时，可表示为 ． 【答案】 ； 【解析】直接利用向量的加法运算可得答案. 以为基底时，； 以为基底时，. 故答案为：；. 题型02： 建系求向量积 【典型例题1】已知矩形中，，，，，则（    ） A．6 B．10 C．14 D．38 【答案】C 【解析】以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，由条件得出点的坐标，进而得出向量的坐标，从而得出向量的数量积. 以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系. 则, 由，则, 由，则 所以, 所以 故选：C 【典型例题2】如图在中，，为中点，，，，则（　　） A．-15 B．-13 C．13 D．14 【答案】C 【解析】建立平面直角坐标系，得到各点坐标，利用向量坐标运算法则求出，，从而求出数量积. 建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， 又，，， 则， 即，即， 则， ， 则，； 故选：C． 【典型例题3】已知正方形的边长为2，以为边作正三角形，使得位于直线的两侧，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解. 以为坐标原点，以为轴非负半轴，建立平面直角坐标系，如图， 由正三角形及正方形的边长为2可知， ， 所以. 故选：D 【变式训练2-1】（多选题）已知是边长为2的等边三角形，D，E分别是，上的点，且，，与交于点O，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在方向上的投影为 【答案】BD 【解析】以E为原点建立如图所示的平面直角坐标系，求出各点坐标，用向量的线性运算、数量积、向量的模坐标运算以及数量积的几何意义判断各选项． 因为是边长为2的等边三角形，， 所以E为的中点，且，以E为原点建立平面直角坐标系，如图所示： 则，，，，, 由得， 则， 取的中点G，连接，易得且， 所以，所以， 则. 对于A，，故A错误； 对于B，由可得，故B正确； 对于C，，，，， 所以， 所以，故C错误； 对于D，，， 所以在方向上的投影为，故D正确. 故选：BD. 【变式训练2-2】《九章算术》中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其大意为现有水池丈见方（即丈尺），芦苇生长在水池的中央，长出水面部分的长度为尺．将芦苇向池岸牵引，牵引至恰巧与水岸齐接的位置（如图所示）．试问水深、芦苇的长度各是多少？若将芦苇均视为线段，在芦苇移动的过程中，设其长度不变，则（    ）． A．平方尺 B．平方尺 C．平方尺 D．平方尺 【答案】C 【解析】设（尺），利用勾股定理可构造方程求得，以为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果. 设（尺），则（尺）， （尺），，解得：． 以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系（单位：尺）， 则，，，，，， （平方尺）． 故选：C. 【变式训练2-3】已知正方形ABCD的边长为2，点P满足，则_________；_________． 【答案】 (1). ； (2). 【解析】以点A为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点、、、， ， 则点，，， 因此，，. 【变式训练2-4】已知矩形，，．为矩形所在平面内一点，， ．则______． 【答案】0 【解析】建立平面直角坐标系，求得点坐标满足的关系，结合平面向量数量积的坐标运算，即可求得结果. 以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下所示： 则，设点的坐标为， 则， 因为 ，，故可得， 上述两式相减可得：； 则. 故答案为：. 【变式训练2-5】如图，四边形是边长为8的正方形，若，且为的中点，则___________. 【答案】20 【解析】建立平面直角坐标系，表示出来，的坐标，然后利用坐标求数量积即可. 以为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 则，，所以. 故答案为：20. 【变式训练2-6】已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形边长为，则___________. 【答案】 【解析】根据向量的坐标运算求解即可 由图可得，故 故答案为： 【变式训练2-7】如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼.其平面图形记为图乙中的正八边形，其中，则以下结论错误的是（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 【答案】C 【解析】选择合适的位置建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，逐项验证即可. 由题意，分别以 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，如图所示： 在正八边形中， 由 过作 因为，所以， 所以 对A选项：， 故A正确， 对B选项：，故B正确， 对C选项： 所以 所以，故C不正确， 对D选项： 所以在方向上的投影向量为： ，故D正确 故选：C. 题型03： 三角形建坐标系求向量最值问题 【典型例题1】已知是边长为1的正三角形，若点满足，则的最小值为 A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】以为原点，所在直线为轴，建立坐标系， ∵为边长为的正三角形，， ∴，， ∴. 故选C． 在中，点，在线段上，，当点在线段上运动时，总有，则一定有（ ） A. B. C. D. 解：以为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系， 设，则，，，得， ，，，， ， 由题意可得，解得，.故选：D 【典型例题2】已知， ， ，若点是所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ） A．13 B．15 C．19 D．21 【答案】A 【解析】以题意，以点为坐标原点，以所在的直线为轴，所在的直线为 轴建立如图所示的平面直角坐标系，所以点，，，所以== 13（当且仅当，即时取等号），所以的最大值为13．故选A． 【典型例题3】已知在边长为的正三角形中，､分别为边､上的动点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】建立直角坐标系由数量积坐标运算公式可得答案. 如图建系，则､､， 则，，设()， 则()，则，， ∴，， ∴， 当时取最大值， 故选：B. 【典型例题4】在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为（    ） A．－ B．0 C．4 D．－1 【答案】A 【解析】根据题意，建立平面直角坐标系，设出点的坐标，写出的坐标，利用坐标计算数量积，结合二次函数的最小值，即可求得结果. 依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x，y轴， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为y＝－x＋2， 因为点P在边AC的中线BD上，所以可设P(t，2－t)(0≤t≤2)， 所以＝(t，2－t)，＝(t，－t)， 所以·＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2－， 当t＝时，·取得最小值－， 故选：A. 【点睛】本题考查用解析法求平面向量的数量积，注意参数范围即可，属基础题. 【变式训练3-1】已知是边长为的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，建立平面直角坐标系，表示出各个点的坐标，进而利用向量数量积的坐标运算求得；利用平方为非负数的特性求得最小值． 建立如图所示的平面直角坐标系 设 ， 则 所以 所以最小值为 所以选B 【点睛】本题考查了向量数量积在平面几何中的简单应用，建立坐标系是常用的方法，属于中档题． 向量的数量积以及向量的坐标运算，考查计算能力以及转化思想． 【变式训练3-2】在中，P在边的中线上，则的值可以为（    ） A． B．0 C．5 D． 【答案】AB 【解析】根据题意，建立平面直角坐标系，设出点的坐标，写出的坐标，利用坐标计算数量积，结合二次函数的性质，可求得·的最值得选项. 解：依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x，y轴， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为y＝－x＋2， 因为点P在边AC的中线BD上，所以可设P(t，2－t)(0≤t≤2)， 所以＝(t，2－t)，＝(t，－t)， 所以·＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2－， 当t＝时，·取得最小值－，当时，·取得最大值4. 故选：AB. 【变式训练3-3】已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可． 建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点， 则，，， 设，则，，， 则 当，时，取得最小值， 故选：． 【变式训练3-4】在直角△中，,为边上的点且，若，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分析：把三角形放入直角坐标系中，求出相关点的坐标，利用已知条件即可求出λ的取值范围． ∵直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1， ∴以C为坐标原点CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立直角坐标系，如图： C（0，0），A（1，0），B（0，1），， ∵=λ， ∴λ∈[0，1] ，，． •≥•， ∴λ﹣1+λ≥λ2﹣λ+λ2﹣λ． 2λ2﹣4λ+1≤0， 解得：， ∵λ∈[0，1] ∴λ∈[，1] 故选D． 点睛：本题考查向量在几何中的应用，、 【变式训练3-5】在中，满足，是的中点，若是线段上任意一点，且，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知可得为等腰直角三角形，建立直角坐标系，利用坐标法可得向量的数量积，进而可得最值. 由，， 为等腰直角三角形， 以为原点，，为轴和轴建立直角坐标系， 如图所示， ，，， 是的中点，， 是线段上任意一点， 可设，， ，，， ， ， 故当时，的最小值为， 故选：C． 【变式训练3-6】如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，A＝60°．若D为BC边上的任意一点，M为线段AD的中点，则的最大值是_____． 【答案】7 【解析】根据余弦定理求得，以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求得点坐标，向量坐标，运用向量的数量积的坐标运算法则计算，再利用二次函数的最值，求得答案. 由余弦定理得，， 所以以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，， ， ， 当时，的最大值，最大值是7. 故答案为：7. 【点睛】本题考查向量的数量积运算，求向量数量积的最值，属于较难题. 【变式训练3-7】在中，，，，M是所在平面上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】以A为原点，AC所在直线为x轴，建系，如图所示，根据题意，可得A、B、C坐标，设，可得的坐标，根据数量积公式，可得的表达式，即可求得答案. 以A为原点，AC所在直线为x轴，建立坐标系，如图所示： 因为，，， 所以，设， 则， 所以 =， 当时，有最小值，且为， 故答案为： 【点睛】解题的关键是建立适当的坐标系，求得点坐标，利用数量积公式的坐标公式求解，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题. 【变式训练3-8】已知，是的中点 (1)若，求向量与向量的夹角的余弦值； (2)若是线段上的任意一点，且，求的最小值． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）建立直角坐标系，设出数据，写出向量与向量的坐标，代入夹角公式，计算得答案； （2）设动点的坐标，写出各个向量的坐标，代入计算得关于的目标函数，结合的取值范围，求得最小值. （1） 因为，所以， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 令，则，所以, 设向量与向量的夹角为， 所以； （2） 因为，所以， 设， 所以， 当且仅当时，取得最小值． 题型04： 四边形建坐标系求向量最值问题 【典型例题1】正方形边长为，点在线段上运动，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设出点坐标，求出各点及的坐标，代入所求表达式，化简后可求得取值范围. 以，为，轴建立直角坐标系则， ，，，， 设，则 ，，， ， 当时，函数有最大值为， 当时，函数有最小值为， 的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本小题主要考查平面向量的坐标运算，解题的关键点是建立平面直角坐标系，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 【典型例题2】“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，且，为上一点，.若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：由题意建立如图所示的直角坐标系， 因为，，则，，. 设，则，， 因为，所以，解得， 由，得， 所以解得，所以.故选：C. 【典型例题3】如图，在直角梯形中，，，，，点在边上，且，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】以为原点，建立平面直角坐标系，再根据向量数量积的坐标公式计算即可. 以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则， 设，则，， 则，解得， 即. 故选：C. 【典型例题4】已知点P是边长为2的菱形内的一点(包含边界)，且，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图建系，可求得A,B,C,D的坐标，设，则可得的表达式，根据x的范围，即可求得答案. 如图，建立平面直角坐标系，则. 设，则，故， 即的取值范围是. 故选：A 【典型例题5】如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________． 【答案】 (1). (2). 【解析】 ，，， ， 解得， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， , ∵，∴的坐标为, ∵又∵,则，设，则（其中）， ，， ， 所以，当时，取得最小值. 【变式训练4-1】如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题建立平面直角坐标系，再由平面向量数量积的坐标运算得到，再求二次函数的最大值即可． 以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 设，其中， 则，， ， 当时，有最大值6． 故选：C．    【变式训练4-2】如图，在四边形中，已知，，，点在边上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方法一：利用已知条件及勾股定理判断线段所在直线的关系，然后利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算律将问题转化为二次函数形式求向量数量积的最值； 方法二：利用已知条件及勾股定理判断线段所在直线的关系，然后建立平面直角坐标系，将问题转化为向量数量积的坐标表示，得出二次函数，最后利用二次函数性质求出向量数量积的最值即可； 方法三：同方法二一样，但是选择另外的边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，将问题转化为平面向量坐标形式求解即可； 解法一  由，，， 得，， 所以，， ． 设，则，所以 ， 当且仅当时，取得最小值． 解法二： 由，，， 得，， 所以，， ，， 连接，交于点，则易知， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， 所以． 设， 则， 所以， ，， 则 ， 当且仅当时，取得最小值． 解法三  由，，， 得，， 所以，， ，， 如图， 分别以所在的直线为轴、轴建立平面直角坐标系， 所以，． 因为点在边上， 所以设， 所以，， 所以 ， 当且仅当时，取得最小值． 故选：A. 【变式训练4-3】如图，在直角梯形ABCD中，，，，，P是线段AB上的动点，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】D 【解析】如图，以B点为坐标原点，建立平面直角坐标系，所以，，，分别表示出，，再由向量的模长公式代入即可得出答案. 如图，以B点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 设，，因为，， 所以，，，所以，， ，所以， 所以， 所以当，即时，的最小值为7， 故选：D． 【变式训练4-4】如图，在平面四边形ABCD中，．若点E为边CD上的动点（不与C、D重合），则的最小值为（    ）    A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】建立平面直角坐标系，求出相关点坐标，求得的坐标，根据数量积的坐标表示，结合二次函数知识，即可求得答案. 由于， 如图，以D为坐标原点，以为轴建立直角坐标系， 连接,由于，则≌,    而，故，则， 则， 设，则，， 故， 当时，有最小值， 故选：B． 【变式训练4-5】如图，四边形ABCD满足：．若点M为线段BD上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设有、，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴构建直角坐标系，则，设，利用向量数量积的坐标表示、结合二次函数的性质求最小值. 由题意知：，有且，即， ∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴构建直角坐标系， 设点，且满足，点， ∴，其中， 当时，的最小值为， 故选：B． 【点睛】关键点点睛：构建坐标系，设且在上，利用向量数量积的坐标表示及二次函数性质求最值. 【变式训练4-6】如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，点E从D点出发，按字母顺序D→A→B→C沿线段DA，AB，BC运动到C点，在此过程中的最大值是（　　） A．0 B． C．1 D．﹣1 【答案】A 【解析】以B为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出、、点坐标，然后分类讨论在线段DA，AB，BC时，并结合数量积的坐标公式求的最大值即可求解. 以BC、BA所在直线为x轴、y轴，建立坐标系如图: 可得，，，， ①当E在DA上，设，其中， 此时，， 故； ②当E在AB上，设，， 此时， 此时最大值为0； ③当E在BC上，设，其中， ，， 此时， 综上所述，的最大值是0. 故选：A． 【变式训练4-7】如下图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点M为边BC上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以点为原点，以，所在的直线为和轴，建立平面直角坐标系，设，得到，即可求解. 以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，过点作轴，过点作轴， 因为且，则， 所以， 设，则， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：B. 【变式训练4-8】已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为______. 【答案】5 【解析】以为轴的正方向建立直角坐标系，利用向量的坐标表示求模长的最小值. 由题：以为轴的正方向建立直角坐标系，如图所示： 设， 则 ，当取得最小值. 故答案为：5 【点睛】此题考查平面向量线性运算和模长的坐标表示，恰当地建立直角坐标系将模长问题进行转化利于解题. 【变式训练4-9】如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，求： (1)的值； (2)的最大值． 【答案】(1)1，(2)1 【解析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求解. (1)解：建立如图所示平面直角坐标系： 则，设， 所以， 所以； (2) 因为， 所以， 因为， 所以的最大值是1. 【变式训练4-10】如图，分别是矩形的边和上的动点，且. （1）若都是中点，求. （2）若都是中点，是线段上的任意一点，求的最大值. （3）若，求的最小值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）构建平面直角坐标系，写出对应点坐标，应用向量数量积的坐标运算求. （2）设，由求关于的坐标，应用向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求的最大值. （3）设，则，可得，再应用辅助角公式、三角恒等变换及余弦函数的性质求的最小值. （1）以点A为原点建系，得,,， ∴. （2）由（1）知，设， ∴，， ∴ 当时，最大值. （3）设，则， ∴， 当且仅当时，等号成立，故最小值是. 【变式训练4-11】如图，在梯形中，，，，，， （1）________． （2）P是上的动点，则的最小值为___________． 【答案】     4     11 【解析】（1）根据图形，应用数量积的定义求即可. （2）令且，将转化为，结合数量积的运算律得到关于的函数，即可求最小值. （1）由题设知：. （2）若且， ∵，， ∴， ∴， 故当时，的最小值为11. 故答案为：4，11. 题型05： 多边形建坐标系求向量最值问题 【典型例题1】如图，已知正八边形的边长为1，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】建立适当的平面直角坐标系，由向量数量积的坐标公式即可求解. 分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图， 可得，，，，， 所以，， 所以． 故选：C． 【典型例题2】如图是由等边△和等边△构成的六角星，图中的，，，，，均为三等分点，两个等边三角形的中心均为.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：由平行四边形法则，，所以，，所以 以点为坐标原点，为轴，为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设等边三角形的边长为.则等边三角形的高为， 由，，，，，均为三等分点，则, 所以，,, 所以，解得所以故选：B. 【变式训练5-1】如图，在正八边形中，，则（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求出向量的坐标运算得解. 分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图.设正八边形的边长为1， 可得，，，， 所以，，. 因为，所以， 所以，解得，则. 故选：D. 【变式训练5-2】如图，正八边形中，若，则的值为________． 【答案】 【解析】以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，正八边形的中心即为坐标原点，设交轴与点，由正八边形的性质可得轴，为等腰直角三角形，设，求出、、、点坐标及、、坐标，根据 的坐标运算可得答案. 如图，以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，正八边形的中心即为坐标原点，设交轴与点，， ，所以， ，所以， 即轴，为等腰直角三角形， 设，则，， 所以，所以，，与关于轴对称， 所以， ，，， 由得， 即，解得， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了平面向量坐标法解决几何问题，建立坐标系是解题的关键，还考查了向量的加法运算，考查方程思想及转化思想，属于中档题． 【变式训练5-3】设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到，然后利用即可解出． 以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示： 则,，设,于是， 因为，所以，故的取值范围是. 故答案为：． 【变式训练5-4】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范用是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是， 结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积， 所以的取值范围是， 题型06： 建坐标系设三角函数求向量最值问题 【典型例题1】如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）上滑动，则的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】令，由边长为1的正方形的顶点、分别在轴、轴正半轴上，可得出，的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可． 解：如图令，由于，故，， 如图，，故，， 故 同理可求得，即， 所以 所以当时，取得最大值为2， 故选：C． 【典型例题2】（多选题）如图，直角的斜边BC长为2，，且点B，C分别在x轴正半轴和y轴正半轴上滑动，点A在线段BC的右上方则（    ） A．有最大值也有最小值 B．有最大值无最小值 C．有最小值无最大值 D．无最大值也无最小值 【答案】BD 【解析】设，则，所以，， .由化简为根据的范围可判断A；由化简为根据的范围可判断B；由化简为根据的范围可判断C；由化简为根据的范围可判断D. 由题意，，所以，设， 则的补角即与x轴正半轴的夹角， 所以，，， 所以， ， 由于，所以， 当得时，取最大值为1，无最小值， 有最大值为，无最小值， 故有最大值无最小值，即A错误； 所以， 由于，所以， 当得时，取最大值为1，无最小值， 的最大值为，无最小值， 故有最大值无最小值，故B 正确； ， 由于，所以， 当得时，取最大值1，无最小值， 此时有最大值，无最小值， 即有最大值无最小值，故C错误； ， 由于，所以， 所以，既无最大值也无最小值，D 正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查了向量的数量积、模长的坐标表示，解题的关键点是建立坐标系后求出各点的坐标，把数量积、模长用坐标表示，再根据的范围求解，考查了学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力. 【典型例题3】如图，在半径为4的扇形中，，点是上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，建系，写出各点的坐标，将表示为关于的三角函数，求最小值即可. 设，如图，以所在的直线为轴，以的垂线为轴，建立平面直角坐标系. 则由已知可得，，，， 根据三角函数的定义知，. 则，， 所以，， 因为，，所以. 则，当，即时，该式子有最小值为-8. 故选：A. 【变式训练6-1】（多选题）已知扇形AOB的半径为1，，点C在弧AB上运动，，下列说法正确的有（    ） A．当C位于A点时，的值最小 B．当C位于B点时，的值最大 C．的取值范围为 D．的取值范围 【答案】ACD 【解析】建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值可判断结合选项逐一求解. 以为原点，以为轴，建立如图所示的直角坐标系， 设，则，其中，，． 因为， 所以，即， 所以． 所以当时，取得最大值，此时点为的中点， 当或时，取得最小值，此时点为或点，故A正确，B错误， 而，， 所以， ． 因为，所以,故，因此， 所以的取值范围为，故C正确， ，，， 因为，所以,故， ，，所以D正确． 故选：ACD 【变式训练6-2】骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的直径均为1，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为1的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意建立平面直角坐标系，然后将涉及到的点的坐标求出来，其中点坐标借助于三角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解． 以为坐标原点，为轴，过做的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，， 圆的方程为，可设， 所以． 故． 所以的最大值为 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，解题关键是建立平面直角坐标系，用坐标运算计算向量的数量积，结合三角函数的性质求得最大值，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于较难题. 【变式训练6-3】如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角的斜边，直角边，．若，，E为半圆弧的中点，F为半圆弧上的任一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【解析】如图，以为轴建立平面直角坐标系，则，，求出点坐标，写出半圆弧的方程，设出点坐标，用坐标法计算，利用三角函数性质求得最大值． 如图，以为轴建立平面直角坐标系，则，， ，，， 半圆弧的方程为， 设（）， ， ， ，则，时取得最小值是， 所以取得最大值． 故选：B. 【变式训练6-4】如图，在扇形及扇形中，，，动点在（含端点），则的最小值是（    ）    A． B．6 C． D．7 【答案】A 【解析】建立直角坐标系，根据向量的坐标运算，即可结合三角恒等变换求解最值. 建立如图所示平面直角坐标系，则. 设，， 则, 则， 其中.所以， 当且仅当时，取“=”， 故选:A.   【变式训练6-5】已知扇形的半径为5，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，，弧的中点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则，求出，利用同角三角函数关系得到，，求出答案. 令，则， ，解得， 即，又， 又，解得，， ，即， 所以. 故选：B． 【变式训练6-6】如图，已知：，为的中点，为以为直径的圆上一动点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】建立直角坐标系，利用数量积的坐标来求解. 以直线为轴，圆心为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则，所以，， 设，则， 所以，其中（，）， 所以的最大值为． 故选：A． 【变式训练6-7】如图，点C是半径为1，圆心角为的圆弧AB上的点． (1)若C为圆弧AB的中点，点D在线段OA上运动，求的最小值： (2)若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧AB上运动时，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）借助题设条件建立直角坐标系，运用向量模的计算公式建立函数求解； （2）借助题设运用向量的数量积公式和三角变换公式建立三角函数探求. （1）以为原点，为轴，反方向为轴，建立直角坐标系，如图， 则， 设，则， 所以， 当时，，即的最小值为. . （2）由题意，设，， 所以， 因为，则，故， 所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 平面向量建系法 目 录 思维导图 1 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 6 题型归纳 6 题型01：平面向量的基底 6 题型02： 建系求向量积 11 题型03： 三角形建坐标系求向量最值问题 16 题型04： 四边形建坐标系求向量最值问题 20 题型05： 多边形建坐标系求向量最值问题 27 题型06： 建坐标系设三角函数求向量最值问题 30 平面向量建系法是高考向量题的核心解题工具，常以选填题为主（5分），偶尔融入大题作为解题环节，核心是将几何问题代数化，以下从多维度展开分析。 一：考情与考查形式 1：分值与题型：近5年全国卷、新高考卷中，建系法多在5分选填题中考查，如2023新高考I卷T3、2024新高考II卷T14；大题中常作为辅助工具，如与解析几何结合求轨迹、与三角函数结合求夹角，难度中等偏易。 2：核心载体：以三角形、矩形、菱形、正六边形等平面图形为背景，聚焦向量的线性表示、模、数量积、夹角、共线与垂直等问题，重点考查建系后坐标运算的准确性。核心建系类型与高考应用 高考真题案例 2022天津卷T10（直角三角形中向量线性表示） 2023全国乙卷T13（正六边形中向量数量积） 2024新高考I卷T11（60°三角形中向量模长） 2025新高考II卷T15（三角形中点向量运算） 二：命题特点 1. 基础性强：侧重建系原则（找垂直、定原点）与坐标运算公式的直接应用，运算量不大，强调概念理解与方法选择。 2. 数形结合：要求考生根据图形特征快速确定建系方式，将向量坐标与点坐标对应，体现几何直观与代数运算的结合。 3. 灵活多变：同一题目可结合基底法与建系法，建系方式不唯一，但需选择最优方案（如减少参数、简化计算），考查思维灵活性。 三：命题趋势 1. 稳定基础考查：选填题中仍以基础建系运算为主，聚焦直角、特殊角等典型场景。 2. 加强综合融合：与解析几何、三角函数的结合更紧密，如建系后求轨迹方程、利用向量夹角求三角函数值。 3. 凸显素养导向：侧重考查直观想象（图形分析）、数学运算（坐标计算）、逻辑推理（建系合理性判断）等核心素养。 四：备考建议 1. 掌握核心建系技巧：熟记直角顶点、对称中心、特殊角等建系方法，明确不同场景下的最优建系方案。 2. 强化运算准确性：建系后快速标注点坐标，熟练运用线性运算、数量积、模长公式，避免计算错误。 3. 对比基底法与建系法：同一题目尝试两种方法，总结适用边界，提升解题灵活性。 1. 知识目标：理解建系的核心原则（找垂直、定原点、简化运算），掌握直角顶点、对称中心、特殊角等典型场景的建系技巧，明确建系后向量坐标与点坐标的对应关系，熟记坐标运算相关公式。 2. 能力目标：能根据平面图形特征（含直角、对称、特殊角等）快速选择最优建系方案，熟练完成点坐标标注与向量坐标转化，会用建系法解决向量线性表示、模、数量积、夹角及共线垂直等问题，提升数形结合与转化求解能力。 3. 素养目标：通过建系实现“几何问题代数化”的过程，培养直观想象（图形分析）、数学运算（坐标计算）、逻辑推理（建系合理性判断）核心素养，体会向量工具的实用性，为后续解析几何、空间向量的学习筑牢方法基础。 知识点一：常见建立坐标系方法 边长为的等边三角形 正方形 已知夹角的任意三角形 矩形 直角梯形 平行四边形 等腰梯形 圆 知识点回顾：平面向量的坐标表示及坐标运算 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． 平面向量的坐标运算 运算 坐标表示 和(差) 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2) 数乘 已知a＝(x1，y1)，则λa＝(λx1，λy1)，其中λ是实数 向量的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) 1.向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设，，则 ， ，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． |a|＝． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． 2.向量的坐标 设，，则 =，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． ||＝． ， 1．平面向量共线的坐标表示 1·共线向量定理应关注的两点 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0. 当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例 (2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定． 2．两个结论 (1)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为. (2)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为. 3．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线． 知识拓展 1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0． 2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为． 3．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为． 4．A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线的充要条件为(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0，或(x2－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y2－y1)，或(x3－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)·(y3－y1)． (1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②已知b≠0，则a∥b的充要条件是a＝λb(λ∈R)． (2)利用向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均为非零实数时，也可以利用坐标对应成比例来求解． 2·数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 （当且仅当时等号成立） 平面向量的垂直问题，有两个类型： (1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题 若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． (2)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． 平面向量建系解题的核心逻辑是 “先选最优坐标系，再坐标化向量，最后用公式运算”，三步搞定几何问题代数化，具体策略如下： 一、建系前：快速判断建系可行性与最优方案 1. 看图形特征定建系类型： ◦ 含直角（直角三角形、矩形、正方形）：优先以直角顶点为原点，直角边为x、y轴（最省计算）； ◦ 对称图形（正六边形、菱形、圆）：以对称中心为原点，对称轴为坐标轴（利用对称性简化坐标）； ◦ 含特殊角（30°、45°、60°）：以特殊角顶点为原点，一边为x轴（用三角函数快速求坐标）； ◦ 无明显直角/对称：选线段中点、定比分点或公共顶点为原点，选任意不共线边为坐标轴（尽量减少参数）。 2. 设坐标技巧：优先设整数坐标（如边长为2代替1，避免分数），未知边长设为a、k等参数（最后可消去或求解）。 2、 建系中：精准标注点坐标与向量转化 1. 按图形性质求点坐标： ◦ 利用边长、角度、对称关系（如中点坐标公式、定比分点公式）计算各顶点坐标，确保坐标无遗漏； ◦ 特殊图形结论直接用（如正六边形顶点坐标、菱形对角线垂直平分等），节省推导时间。 2. 向量坐标化核心：避免混淆“点坐标”与“向量坐标”。 三、建系后：套用公式解决目标问题 四．关键避坑策略 1. 建系优先性：能建直角坐标系就不建斜坐标系，能少设参数就少设（减少计算量）； 2. 计算校验：坐标标注后快速核对（如对称点坐标是否关于原点/坐标轴对称），运算后反向验证（如垂直问题可通过几何直观核对）； 3. 灵活切换：若建系后计算复杂，可换原点或坐标轴（如原以A为原点，改以B为原点），或切换为基底法。 需要我用一道含特殊角的三角形向量题，完整演示“建系→坐标转化→数量积求解”的三步解题过程吗？ 题型01：平面向量的基底 【典型例题1】在△ABC中，，，若点D满足，以作为基底，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】结合图形，将和分别用与线性表示，代入方程解之即得.    如图，因，则，即，解得：. 故选：A. 【典型例题2】若AD与BE分别为的边BC，AC上的中线，设，，则用基底表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据给定条件，利用三角形的重心定理，结合向量的线性运算求解作答. 令的边BC，AC上的中线AD与BE交于点G，则G是的重心， 则有， 所以. 故选：B 【典型例题3】已知向量是平面内的一组基底，若向量与共线，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据共线向量定理结合题意列方程求解即可 因为向量与共线， 所以存在唯一实数，使，即， 所以， 因为向量是平面内的一组基底，所以， 解得，， 故选：D 【典型例题4】若是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】不共线的向量能作为基底，逐一判断选项即可. 不共线的向量能作为基底， 因为，所以向量，共线，故排除A； 假设，解得，无解， 所以向量，不共线，故B正确； 因为，所以，共线，故排除C； 因为，所以，共线，故排除D， 故选：B 【典型例题5】设向量是平面内一个基底，且，则向量可以用另一个基底表示，即 . 【答案】 【解析】设，将代入，利用向量基本定理，得出的关系式，求解，即可得出结论. 设，因为， 所以，因为不共线， 所以，解得，， 故答案为：. 【变式训练1-1】设，是平面内不共线的两个向量，则以下各组向量中不能作为基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式训练1-2】设，是平面向量的一组基底，以下四个选项中可以作为平面向量的一组基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式训练1-3】如果是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式训练1-4】如果是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式训练1-5】已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式训练1-6】以下命题中，不正确的为（    ） A．是，共线的充要条件； B．若，则存在唯一的实数，使； C．若，则； D．若，，为空间的一个基底，则，，构成空间的另一个基底； 【变式训练1-7】已知向量是空间的一个单位正交基底，若向量在基底下的坐标为（2，1，3），那么向量在基底，，下的坐标为（  ） A． B． C． D． 【变式训练1-8】若是平面内的一个基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-9】下列说法中正确的是（    ） A．平面向量的一个基底中，，一定都是非零向量 B．在平面向量基本定理中，若，则 C．若单位向量，的夹角为，则在上的投影向量是 D．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的 【变式训练1-10】如图，在正方形ABCD中，设，，，则以为基底时，可表示为 ，以为基底时，可表示为 ． 题型02： 建系求向量积 【典型例题1】已知矩形中，，，，，则（    ） A．6 B．10 C．14 D．38 【答案】C 【解析】以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，由条件得出点的坐标，进而得出向量的坐标，从而得出向量的数量积. 以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系. 则, 由，则, 由，则 所以, 所以 故选：C 【典型例题2】如图在中，，为中点，，，，则（　　） A．-15 B．-13 C．13 D．14 【答案】C 【解析】建立平面直角坐标系，得到各点坐标，利用向量坐标运算法则求出，，从而求出数量积. 建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， 又，，， 则， 即，即， 则， ， 则，； 故选：C． 【典型例题3】已知正方形的边长为2，以为边作正三角形，使得位于直线的两侧，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解. 以为坐标原点，以为轴非负半轴，建立平面直角坐标系，如图， 由正三角形及正方形的边长为2可知， ， 所以. 故选：D 【变式训练2-1】（多选题）已知是边长为2的等边三角形，D，E分别是，上的点，且，，与交于点O，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在方向上的投影为 【变式训练2-2】《九章算术》中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其大意为现有水池丈见方（即丈尺），芦苇生长在水池的中央，长出水面部分的长度为尺．将芦苇向池岸牵引，牵引至恰巧与水岸齐接的位置（如图所示）．试问水深、芦苇的长度各是多少？若将芦苇均视为线段，在芦苇移动的过程中，设其长度不变，则（    ）． A．平方尺 B．平方尺 C．平方尺 D．平方尺 【变式训练2-3】已知正方形ABCD的边长为2，点P满足，则_________；_________． 【变式训练2-4】已知矩形，，．为矩形所在平面内一点，， ．则______． 【变式训练2-5】如图，四边形是边长为8的正方形，若，且为的中点，则___________. 【变式训练2-6】已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形边长为，则___________. 【变式训练2-7】如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼.其平面图形记为图乙中的正八边形，其中，则以下结论错误的是（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 题型03： 三角形建坐标系求向量最值问题 【典型例题1】已知是边长为1的正三角形，若点满足，则的最小值为 A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】以为原点，所在直线为轴，建立坐标系， ∵为边长为的正三角形，， ∴，， ∴. 故选C． 在中，点，在线段上，，当点在线段上运动时，总有，则一定有（ ） A. B. C. D. 解：以为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系， 设，则，，，得， ，，，， ， 由题意可得，解得，.故选：D 【典型例题2】已知， ， ，若点是所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ） A．13 B．15 C．19 D．21 【答案】A 【解析】以题意，以点为坐标原点，以所在的直线为轴，所在的直线为 轴建立如图所示的平面直角坐标系，所以点，，，所以== 13（当且仅当，即时取等号），所以的最大值为13．故选A． 【典型例题3】已知在边长为的正三角形中，､分别为边､上的动点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】建立直角坐标系由数量积坐标运算公式可得答案. 如图建系，则､､， 则，，设()， 则()，则，， ∴，， ∴， 当时取最大值， 故选：B. 【典型例题4】在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为（    ） A．－ B．0 C．4 D．－1 【答案】A 【解析】根据题意，建立平面直角坐标系，设出点的坐标，写出的坐标，利用坐标计算数量积，结合二次函数的最小值，即可求得结果. 依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x，y轴， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为y＝－x＋2， 因为点P在边AC的中线BD上，所以可设P(t，2－t)(0≤t≤2)， 所以＝(t，2－t)，＝(t，－t)， 所以·＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2－， 当t＝时，·取得最小值－， 故选：A. 【点睛】本题考查用解析法求平面向量的数量积，注意参数范围即可，属基础题. 【变式训练3-1】已知是边长为的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是 A． B． C． D． 【变式训练3-2】在中，P在边的中线上，则的值可以为（    ） A． B．0 C．5 D． 【变式训练3-3】已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【变式训练3-4】在直角△中，,为边上的点且，若，则的取值范围是 A． B． C． D． 【变式训练3-5】在中，满足，是的中点，若是线段上任意一点，且，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-6】如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，A＝60°．若D为BC边上的任意一点，M为线段AD的中点，则的最大值是_____． 【变式训练3-7】在中，，，，M是所在平面上的动点，则的最小值为________． 【变式训练3-8】已知，是的中点 (1)若，求向量与向量的夹角的余弦值； (2)若是线段上的任意一点，且，求的最小值． 题型04： 四边形建坐标系求向量最值问题 【典型例题1】正方形边长为，点在线段上运动，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设出点坐标，求出各点及的坐标，代入所求表达式，化简后可求得取值范围. 以，为，轴建立直角坐标系则， ，，，， 设，则 ，，， ， 当时，函数有最大值为， 当时，函数有最小值为， 的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本小题主要考查平面向量的坐标运算，解题的关键点是建立平面直角坐标系，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 【典型例题2】“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，且，为上一点，.若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：由题意建立如图所示的直角坐标系， 因为，，则，，. 设，则，， 因为，所以，解得， 由，得， 所以解得，所以.故选：C. 【典型例题3】如图，在直角梯形中，，，，，点在边上，且，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】以为原点，建立平面直角坐标系，再根据向量数量积的坐标公式计算即可. 以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则， 设，则，， 则，解得， 即. 故选：C. 【典型例题4】已知点P是边长为2的菱形内的一点(包含边界)，且，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图建系，可求得A,B,C,D的坐标，设，则可得的表达式，根据x的范围，即可求得答案. 如图，建立平面直角坐标系，则. 设，则，故， 即的取值范围是. 故选：A 【典型例题5】如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________． 【答案】 (1). (2). 【解析】 ，，， ， 解得， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， , ∵，∴的坐标为, ∵又∵,则，设，则（其中）， ，， ， 所以，当时，取得最小值. 【变式训练4-1】如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为（    ）      A． B． C． D． 【变式训练4-2】如图，在四边形中，已知，，，点在边上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】如图，在直角梯形ABCD中，，，，，P是线段AB上的动点，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D．7 【变式训练4-4】如图，在平面四边形ABCD中，．若点E为边CD上的动点（不与C、D重合），则的最小值为（    ）    A． B． C． D．1 【变式训练4-5】如图，四边形ABCD满足：．若点M为线段BD上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-6】如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，点E从D点出发，按字母顺序D→A→B→C沿线段DA，AB，BC运动到C点，在此过程中的最大值是（　　） A．0 B． C．1 D．﹣1 【变式训练4-7】如下图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点M为边BC上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-8】已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为______. 【变式训练4-9】如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，求： (1)的值； (2)的最大值． 【变式训练4-10】如图，分别是矩形的边和上的动点，且. （1）若都是中点，求. （2）若都是中点，是线段上的任意一点，求的最大值. （3）若，求的最小值. 【变式训练4-11】如图，在梯形中，，，，，， （1）________． （2）P是上的动点，则的最小值为___________． 题型05： 多边形建坐标系求向量最值问题 【典型例题1】如图，已知正八边形的边长为1，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】建立适当的平面直角坐标系，由向量数量积的坐标公式即可求解. 分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图， 可得，，，，， 所以，， 所以． 故选：C． 【典型例题2】如图是由等边△和等边△构成的六角星，图中的，，，，，均为三等分点，两个等边三角形的中心均为.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：由平行四边形法则，，所以，，所以 以点为坐标原点，为轴，为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设等边三角形的边长为.则等边三角形的高为， 由，，，，，均为三等分点，则, 所以，,, 所以，解得所以故选：B. 【变式训练5-1】如图，在正八边形中，，则（　　） A．1 B． C． D． 【变式训练5-2】如图，正八边形中，若，则的值为________． 【变式训练5-3】设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______． 【变式训练5-4】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范用是（ ） A. B. C. D. 题型06： 建坐标系设三角函数求向量最值问题 【典型例题1】如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）上滑动，则的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】令，由边长为1的正方形的顶点、分别在轴、轴正半轴上，可得出，的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可． 解：如图令，由于，故，， 如图，，故，， 故 同理可求得，即， 所以 所以当时，取得最大值为2， 故选：C． 【典型例题2】（多选题）如图，直角的斜边BC长为2，，且点B，C分别在x轴正半轴和y轴正半轴上滑动，点A在线段BC的右上方则（    ） A．有最大值也有最小值 B．有最大值无最小值 C．有最小值无最大值 D．无最大值也无最小值 【答案】BD 【解析】设，则，所以，， .由化简为根据的范围可判断A；由化简为根据的范围可判断B；由化简为根据的范围可判断C；由化简为根据的范围可判断D. 由题意，，所以，设， 则的补角即与x轴正半轴的夹角， 所以，，， 所以， ， 由于，所以， 当得时，取最大值为1，无最小值， 有最大值为，无最小值， 故有最大值无最小值，即A错误； 所以， 由于，所以， 当得时，取最大值为1，无最小值， 的最大值为，无最小值， 故有最大值无最小值，故B 正确； ， 由于，所以， 当得时，取最大值1，无最小值， 此时有最大值，无最小值， 即有最大值无最小值，故C错误； ， 由于，所以， 所以，既无最大值也无最小值，D 正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查了向量的数量积、模长的坐标表示，解题的关键点是建立坐标系后求出各点的坐标，把数量积、模长用坐标表示，再根据的范围求解，考查了学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力. 【典型例题3】如图，在半径为4的扇形中，，点是上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，建系，写出各点的坐标，将表示为关于的三角函数，求最小值即可. 设，如图，以所在的直线为轴，以的垂线为轴，建立平面直角坐标系. 则由已知可得，，，， 根据三角函数的定义知，. 则，， 所以，， 因为，，所以. 则，当，即时，该式子有最小值为-8. 故选：A. 【变式训练6-1】（多选题）已知扇形AOB的半径为1，，点C在弧AB上运动，，下列说法正确的有（    ） A．当C位于A点时，的值最小 B．当C位于B点时，的值最大 C．的取值范围为 D．的取值范围 【变式训练6-2】骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的直径均为1，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为1的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（　　） A．3 B． C． D． 【变式训练6-3】如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角的斜边，直角边，．若，，E为半圆弧的中点，F为半圆弧上的任一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D．4 【变式训练6-4】如图，在扇形及扇形中，，，动点在（含端点），则的最小值是（    ）    A． B．6 C． D．7 【变式训练6-5】已知扇形的半径为5，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，，弧的中点为，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-6】如图，已知：，为的中点，为以为直径的圆上一动点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-7】如图，点C是半径为1，圆心角为的圆弧AB上的点． (1)若C为圆弧AB的中点，点D在线段OA上运动，求的最小值： (2)若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧AB上运动时，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $