精品解析：浙江省杭州市西湖区学军中学2024-2025学年高一上开学考数学试题

浙江省杭州市西湖区学军中学2024-2025学年高一上开学考 数学试题 考生须知： 1.本试题卷共15道填空题，满分150分. 2.考生答题前，务必将自己的姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.答案写在本试题卷上无效. 1. 已知，则为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用立方差公式即可求解. 【详解】由题意得： . 2. 已知，则_________． 【答案】28 【解析】 【分析】由已知得到，根据完全平方公式求出，把所求多项式整理成，代入数据计算即可． 【详解】,两边同时除以得，, 两边平方得,, 由已知,得, 得. 故答案为：28. 3. 已知是等边三角形，它的高是4.若点P到边的距离分别是.则点P到边的距离为________. 【答案】或3或5或 【解析】 【详解】根据题意画出图像，直线与直线与的距离都为，直线与直线与的距离都为， 当与重合时，为点到的距离，当与重合时，为点到的距离， 由题意得，和为等边三角形， 所以， 所以，， 所以， 同理可得，当与重合时，点到的距离为， 当与重合时，点到的距离为， 所以点P到边的距离为或3或5或. 4. 在中，，分别以为边向外部作正，连接分别交于点.则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，运用平面几何知识得出各个点的坐标，通过直线联立得到的坐标，运用两点间的距离公式得到长度，作比得到答案，或者取的中点为，结合平面几何知识可证明四边形为平行四边形，结合相似形可求线段长的比值. 【详解】法1：因为为直角三角形且， 故不妨设. 如图，取的中点分别为，则， 因为为等边三角形且，故且， 故，而为等边三角形，故且， 故，故，故，而， 故四边形为平行四边形，故，故 而，故. 法2： 如图，以线段所在直线为轴，以线段所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设，因为，所以，. 由几何关系得，，， 所以，直线，所以，所以’ 同理直线，联立，解得，所以， 则’ 所以. 5. 如图，在任意五边形中，点分别是的中点，点分别是的中点，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】构造中位线，找出数量关系即可. 【详解】如图， 连接，取中点，连接，，，，，， 易得：是三角形的中位线，所以. 分别是各边上的中点，所以四边形是平行四边形，，两条对角线互相平分， 所以，的中点都是. 在三角形中，是中位线，所以. 即， 所以. 6. 若，，则的值是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元，消元思想进行求解 【详解】，，故， 设，则，， 则， 将代入，可得 ， 所以. 7. 若，则________. 【答案】或 【解析】 【分析】设，可得，再分和两种情况求解即可． 【详解】解：设， 则， 即， ， ①当时，， ； ②当时，即，解得， ， ； 综上，或． 8. 6人同时被邀请参加一项活动.必须有人去，去几个人自行决定，共有________种不同的去法. 【答案】 【解析】 【分析】利用分类加法原理计算即可. 【详解】如果有1个人去，则有种情况； 如果有2个人去，则有种情况； 如果有3个人去，则有种情况； 如果有4个人去，则有种情况； 如果有5个人去，则有种情况； 如果有6个人去，则有种情况； 所以共有种不同的去法. 9. 个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，不同的传球方法数为________. 【答案】 【解析】 【分析】设第次传球后，球又回到甲手中的传球方法有种，探索数列的首项和递推公式，从而求的值. 【详解】设第次传球后，球又回到甲手中的传球方法有种，经过次传球后，所有可能的传球方法总数为. 这些方法可分为两类：一类是球在甲手中，有种方法， 另一类是球不在甲手中，有种方法， 第次传球后球要回到甲手中，当且仅当第次传球后球不在甲手中，然后由持球人传给了甲， 因此，，即， 由于甲是发球者，一次传球后球又回到甲手中的传球方法是不存在的，所以． 利用递推关系可以得到：． 这说明经过次传球后，球仍回到甲手中的传球方法有种． 10. 摄影师给8名同学照相，有两人合影，也有三人合影，若任意两名同学都恰好合影一次，则最少要拍的照片数为________. 【答案】 【解析】 【详解】设三人合影张，两人合影张， 则. 从而，当最大时，所拍照片总数最少. 当时，由知，有一人出现4次，在出现的4张三人合影中有其他人共八次， 故必有一人与在两张三人合影中同时出现，矛盾. 当时，，可以办到，将八个人编号为， 所拍的12张照片可以为， 所以最少要拍的照片数为12. 11. 有红、黄、蓝卡片各张，分别写有数字.从中选取张，要求三色俱全，且数字各一张，则不同的选法数目有________. 【答案】540 【解析】 【分析】求出所有选法数，并求出三色不全的选法数，用间接法即可求得三色俱全的选法数目. 【详解】因为每一个数字均对应张卡片，所以选择数字各一张的选法共有种. 其中三色不全的选法有种. 所以三色俱全的选法有种. 12. 用数字各两个，组成一个六位数，使它能被168整除，则这个六位数是________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以能被整除的整数，能同时被整除. 因为，可以被3整除，所以组成的六位数一定可以被3整除. 因为是的倍，所以能被整除的六位数，末位是偶数，且末三位组成的数一定是的倍数. 从中选三个，组成的末位是偶数的三位数有668，678，686，688，766，768，776，778，786， 788，866，868，876，886. 验证可得，只有是的倍数. 所以组成的六位数可能是，. 逐一检验可得，只有能被7整除，所以这个六位数是. 13. 如果甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，则甲数是________. 【答案】18 【解析】 【分析】对三个公倍数分解质因数，结合题中条件，分析推理，即可得答案. 【详解】将三个最小公倍数分解质因数：，，. 因为126是甲的倍数，又126不是5的倍数，所以甲中不含因数5. 因为90中含有因数5，所以乙中含有因数5. 因为105不是2的倍数，所以乙中不含因数2.，则甲中必含有因数 因为105不是9的倍数，所以乙也不是9的倍数，即乙中最多含有一个因数3， 所以甲中必含有2个因数3. 因为甲、乙两数的最小公倍数是90，90不含质因数7，所以甲中不含质因数7， 则甲数为. 14. 方程的整数解的个数是________. 【答案】144 【解析】 【分析】分析可得2016为4的倍数，所以可以判断为2的倍数，整理变形，可得，根据126的构成情况，分析推理，即可得答案. 【详解】因为2016为4的倍数，偶数的平方除以4的余数为0，奇数的平方除以的余数为1， 所以可以判断为偶数， 两边同时除以4，得， 同理可得为2的倍数， 两边同时除以4，得， 因为， 所以的取值有3种不同组合， 若， 则的排列有种， 且的值均可正可负，有种符号组合， 故该情况下共有组解， 综上，共有组解. 15. 若正整数使得是由同一个数字组成的三位数，则符合条件的为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式计算分析即可. 【详解】由， 又是由同一个数字组成的三位数，设该数为：（为的整数）， 由题意有：， 由等式左边为相邻的两个正整数与相乘，而等式右边为与相乘， 当时，等式右边为不满足等式左边； 当时，等式右边为不满足等式左边； 当时，等式右边为不满足等式左边； 当时，等式右边为不满足等式左边； 当时，等式右边为不满足等式左边； 当时，等式右边为满足等式左边； 当时，等式右边为不满足等式左边； 当时，等式右边为不满足等式左边； 当时，等式右边为不满足等式左边； 综上所述当时，满足题意， 此时正整数，当时，满足题意. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省杭州市西湖区学军中学2024-2025学年高一上开学考 数学试题 考生须知： 1.本试题卷共15道填空题，满分150分. 2.考生答题前，务必将自己的姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.答案写在本试题卷上无效. 1. 已知，则为________. 2. 已知，则_________． 3. 已知是等边三角形，它的高是4.若点P到边的距离分别是.则点P到边的距离为________. 4. 在中，，分别以为边向外部作正，连接分别交于点.则的值为________. 5. 如图，在任意五边形中，点分别是的中点，点分别是的中点，且，则________. 6. 若，，则的值是________. 7. 若，则________. 8. 6人同时被邀请参加一项活动.必须有人去，去几个人自行决定，共有________种不同的去法. 9. 个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，不同的传球方法数为________. 10. 摄影师给8名同学照相，有两人合影，也有三人合影，若任意两名同学都恰好合影一次，则最少要拍的照片数为________. 11. 有红、黄、蓝卡片各张，分别写有数字.从中选取张，要求三色俱全，且数字各一张，则不同的选法数目有________. 12. 用数字各两个，组成一个六位数，使它能被168整除，则这个六位数是________. 13. 如果甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，则甲数是________. 14. 方程的整数解的个数是________. 15. 若正整数使得是由同一个数字组成的三位数，则符合条件的为________. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $