浙江省重点高中2025-2026学年高一上学期提前招生摸底考试数学试卷

2025学年浙江省重点高中提前招生数学摸底试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，则(    ) A. B. C. 2 D. 2.方程的正根的个数为(    ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3.如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，，则下列各式成立的是(    ) A. B. C. D. 4.已知且，那么n，m，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 5.如图，已知等边三角形的一条边长和与它一边相切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿该三角形作无滑动旋转，直至回到出发位置时，该圆自转了n圈，则(    ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6.已知实数x，y满足，，则的值为(    ) A. B. C. D. 7.如图，与的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于点E，且已知，，，则的半径是(    ) A. 3 B. 4 C. D. 8.在数学活动课上，小明做了一个梯形纸模板，测得其一底边长为40cm，高为8cm，两腰长分别为10cm和17cm，那么该梯形纸模板的面积不可能是(    ) A. B. C. D. 9.对于正整数n，符号…，例如：，，如果，那么(    ) A. B. 1 C. D. 2 10.把数字1，2，3，…，9分别填入如图的9个圈内，要求和的每条边上三个圈内数之和等于18，共有n种不同填法，则(    ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题：本题共6小题，每小题6分，共36分。 11.已知，则      . 12.如图，等腰直角的腰长为将绕C点逆时针旋转则线段AB扫过的面积是      . 13.若…，则的个位数字是      . 14.定义一种新的运算“F”：①当n为奇数时结果为，②当n为偶数时结果为其中k是使为正奇数的正整数，反复运算.例如， 那么当时，第2025次“F”运算的结果是      . 15.已知关于x的两个一元二次方程：①，②，其二次项系数不相等且a，b均为正整数，若这两个方程至少有一个公共根，则      . 16.若两个正整数x，y相加时，得到的数是一个两位数，且个位、十位数字相同；相乘时，得到的数是一个三位数，且个位、十位、百位数字相同，则      . 三、解答题：本题共5小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题12分 已知关于x的方程只有一个实数解，求实数a的值. 18.本小题12分 如图，直线与x轴、y轴分别相交于B、C，经过B、C两点的抛物线与x轴另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线 求抛物线解析式； 连结AC，请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请求出Q点坐标；若不存在，说明理由． 19.本小题12分 把26个完全相同的玻璃球分别装在a，b，c，d，e五个袋子里，每个袋子里的球数不同且至少1个.用一台电子秤称重量，当称到不少于11个玻璃球时，超重警铃就会响，否则不响.如图，当①、③、④的状态时，警铃就响；②的状态时，警铃不响.请按从小到大的顺序写出装入5个袋中玻璃球的数量的所有组合，例如：，并说明理由. 20.本小题12分 把的长方形沿水平线或竖直线分割成4个图形，要求分割后的4个图形互为相似或全等.请分别在下列长方形中用实线画出4种不同的分割方法翻转后如果同另一种分割重叠的话，将视作是同一种分割方法 21.本小题16分 如图，在中，，，，延长BC至D使得，设P为线段AB上一动点异于点A、，连接PD交直线AC于M点，过P、M、B三点作交直线AC于另一点 求证：； 设的半径为R，给出下列两个结论：①MN的长度不变；②的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：， ，， 故选： 根据题意可得，，将整理为，根据绝对值的性质和二次根式的性质，化简求解即可． 本题主要考查了二次根式的性质与化简、完全平方公式等知识，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 2.【答案】A  【解析】解：设函数，函数， 函数的图象在一、三、四象限，开口向下，顶点坐标为，对称轴； 函数的图象在一、三象限；而两函数在第一象限没有交点，交点再第三象限． 即方程的正根的个数为0个． 故选： 此题实质是求函数和函数的图象在一、四象限有没有交点，根据两个已知函数的图象的交点情况，直接判断． 此题用函数知识解答比较容易，主要涉及二次函数和反比例函数图象的有关性质，同学们应该熟记且灵活掌握． 3.【答案】D  【解析】解：， ， ， ， ， 代入函数解析式中，得：， ， ， 故选： 根据，得出，再求出C点坐标，即可得到点B的坐标，代入函数解析式，即可判断． 本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据，得出，是解题的关键． 4.【答案】D  【解析】解：， ，n异号， 由，可知，，，，，， 假设符合条件的， 则， 则 故 故选： 根据条件设出符合条件的具体数值，根据负数小于一切正数，两个负数比较大小，两个负数绝对值大的反而小即可解答． 此题主要考查了实数的大小的比较，解答此题的关键根据已知条件分析出n，m的符号，绝对值的大小，再设出符合条件的数值比较大小，以简化计算． 5.【答案】C  【解析】解：设等边三角形的边长为1，圆的半径为r， 由条件可知， ， 圆心经过的路径长为， ， 故选： 设等边三角形的边长为1，圆的半径为r，求出圆心转动过的路程进而即可求解，理解题意是解题的关键． 本题考查了弧长公式，熟练掌握该知识点是关键． 6.【答案】D  【解析】解：设，则， ，即， 再设，则， ，即， 则m、t为方程的两个实根， ，， 故选： 设，则，易得，再设，则，进而可得，可知m、t为方程的两个实根，利用一元二次方程的根与系数的关系可得，，然后利用完全平方公式进行变形求解即可． 本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系、利用完全平方公式进行运算等知识，熟练运用相关知识是解题关键． 7.【答案】D  【解析】解：延长EC交圆于点F，连接 ，， ， 是直径， ， ∽， ， 即， ， 与的斜边AB相切于点D， ， ， ∽， 根据勾股定理，得， 则圆的半径是 故选： 延长EC交圆于点F，连接则根据的圆周角所对的弦是直径，得DF是直径．证明∽，求出EF的长，再根据勾股定理求直径DF的长，即可得半径． 此题要能够通过作辅助线，把直径构造到直角三角形中．熟练运用相似三角形的性质、圆周角定理的推论以和勾股定理． 8.【答案】B  【解析】解：由题意画出图形，如图1、图2、图3、图4， 则梯形纸板面积分别为： ， ， ， ， 故该梯形纸模板的面积不可能是 故选： 分类讨论可能存在的四种情况，利用平行四边形的性质和勾股定理求出各线段的长，最后利用梯形面积公式即可解决． 本题考查了梯形的面积公式，勾股定理，平行四边形的性质，利用分类讨论思想是解决本题的关键， 9.【答案】A  【解析】解：!……，5的倍数有5，10，15，20共4个， !中，末尾共有4个0， 故； !中的因数有9， !能被9整除， 各位数字之和也能被9整除， 应为9的倍数，即， ， 故选： 先确定末尾有4个0，再确定!能被9整除，则2432902008y7664x000各个数字之和也能被9整除，即可求解． 本题考查了新定义，涉及有理数的运算，数字类规律等知识点，难度较大，熟练掌握各知识点是解题的关键． 10.【答案】C  【解析】解：总和，设顶点和X、顶点和Y、中点和Z， 根据题意列三元一次方程得，， 联立解得：，， ，中仅1、2、3和为6，故中点为1、2、3； ，中仅7、8、9和为24，故顶点为7、8、9； ，剩余4、5、6和为15，故顶点为4、5、 顶点、5、可全排列，共种； 顶点及中点由顶点唯一确定如、时，，无需额外排列． 综上所述，共有6种不同填法，只有选项C正确，符合题意． 故选： 先算 总和为45；设顶点和为X、顶点和为Y、中点和为Z，由“每条边和为18”得：条边总和，条边总和，结合，联立解得、、；由此确定、5、、、8、、、2、，再统计X的排列数即为总填法． 本题考查三元一次方程的应用，解题的关键是通过边的总和与数字总和，确定关键位置 顶点、 顶点及中点的数字组合，再统计排列数． 11.【答案】1  【解析】解：由变形可得， 对原式进行变形可得， 故答案为： 先由得，再利用完全平方公式将所求式子变形为，再整体代入计算即可． 本题考查了代数式求值，完全平方公式，灵活运用以上知识点是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：如图， ，， ， 线段AB扫过的面积=以BC为半径的扇形的面积-以AC为半径的扇形的面积 故答案为： 根据勾股定理求出BC的长，线段AB扫过的面积=以BC为半径的扇形的面积的面积-以AC为半径的扇形的面积的面积，根据旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，可知的面积与的面积相等，所以线段AB扫过的面积等于两扇形的面积的差，列式求解即可． 本题考查了扇形的面积的求解，旋转变换的性质，得出线段AB扫过的面积等于两扇形的面积的差是解题的关键． 13.【答案】3  【解析】解：… … …， 乘任何非0数，结果的个位数字都是0， 则x是10的倍数， 所以x的个位数字是0， 则的个位数字为 故答案为： 由，可得x是10的倍数，进而确定x的个位数字，求解即可． 本题考查有理数的乘方，解题的关键是计算前两项，得出x是10的倍数． 14.【答案】8  【解析】解：前8次的“F”运算结果如下： 由上面的计算可以看出，从第4次“F”运算开始，奇数次“F”运算的结果都为8，偶数次“F”运算的结果都为1， 是奇数， 当时，第2025次“F”运算的结果是8， 故答案为： 根据新定义规定的运算法则分别计算出第1、2、3、…、8次的运算结果，即可发现从第4次“F”运算开始，奇数次“F”运算的结果都为8，偶数次“F”运算的结果都为1，据此可得． 本题考查有理数的混合运算，规律探索问题，掌握以上知识点是解题的关键． 15.【答案】6  【解析】解：设关于x的一元二次方程的两根分别为，，方程的两份分别为，， 一元二次方程可化简为， ，， 原方程化简为：， ，， 故同理可得的方程解为：，， 两个一元二次方程的二次项系数不相等， ，即， 两个一元二次方程有一个公共根， ，， 通过化简整理均得到方程， ， ，b均为正整数， ，或，； ， 故答案为： 分别求得两个方程的根，然后结合已知条件得到关于a、b的数量关系，再由限制性条件“a、b为正整数”来求a、b的值即可； 本题考查了一元二次方程的解的定义，解题时需要注意a、b是互不相等的正整数，掌握以上知识是解题的关键． 16.【答案】55或77  【解析】解：设①， ②， 设，则y为37的倍数， 若，则， ③， 由②知， 由③知为11的倍数， ， 此时，则； 若，则， ， ， ， ，则，显然 综上，或77， 故答案为：55或 三位数中，三个数相同的都是111的倍数…，，又，三个数字相同的三位数必能被37整除，所以设，同理可设，然后求出的值的情况． 本题考查的是整数问题的应用，一般采取设未知数的方法进行解答． 17.【答案】或或  【解析】解：原方程去分母得：， 整理得：①， 当方程①有两个相等的实数根时，， 解得， ， 解得：， 检验：满足题意； 当方程①有两个不相等的实数根时，， 解得：， 若是方程①的根，则原方程有增根，代入①解得， ， 解得：另一个根， 检验：当时，满足题意； 若是方程①的根，则原方程有增根，代入①解得， ， 解得：另一个根， 检验：当时，满足题意； 综上，或或 将分式方程转化为整式方程，然后结合题意分两种情况：当方程①有两个相等的实数根时，当方程①有两个不相等的实数根时，结合题意求解即可． 本题考查解分式方程，熟练掌握根据分式方程解的情况求参是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． 18.【答案】解：由题意，， 抛物线的对称轴，抛物线与x轴另一交点为A， ， 设抛物线的解析式为， 把代入得到， 抛物线的解析式为； 如图， ①当，时，∽ 即， ， 又， 点Q与点O重合， 的坐标是 ②当，时，∽ 即， ， ， 的坐标是 ，， 点Q不可能在B点右侧的x轴上 综上所述，在x轴上存在两点，  【解析】判断出A、B两点坐标，设抛物线的解析式为，把代入得到即可； 分成，和，两种情况求得QB的长，据此即可求解． 本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，正确进行分类求得QB的长是关键． 19.【答案】        比较  ，  式可知， 比较  ，  式可知， 由  +  ，  +  ，  式可得 由上面的三个式子可知，， ，，且每个袋子里的球数不同且至少1个 当，时，则或1； 当，时，则或1； 当，时，则； 当，时，则； 当，时，则； 当，时，则； 综上或1， 进一步由  ，  ，  式可知， 或9个， 当时，则，或，，此时， 当时，则，即5个袋中玻璃球的数量从小到大的顺序为2，3，4，8，9； 当时，则，即5个袋中玻璃球的数量从小到大的顺序为1，3，4，8，10； 当时，则，或，，此时， 则，，即5个袋中玻璃球的数量从小到大的顺序为1，2，4，9，10； 当时，则，或，，此时， 则，，即5个袋中玻璃球的数量从小到大的顺序为1，2，3，9，11； 符合题意的组合是1，2，3，9，11、1，2，4，9，10、1，3，4，8，10、2，3，4，8，9  【解析】解：当称到不少于11个玻璃球时，超重警铃就会响，否则不响．如图，当①、③、④的状态时，警铃就响；②的状态时，警铃不响． 设五个袋子a，b，c，d，e里玻璃球的数量分别为A，B，C，D，E个，则： 比较，式可知， 比较，式可知， 由，，式可得 由上面的三个式子可知，， ，，且每个袋子里的球数不同且至少1个 当，时，则或1； 当，时，则或1； 当，时，则； 当，时，则； 当，时，则； 当，时，则； 综上或1， 进一步由，，式可知， 或9个， 当时，则，或，，此时， 当时，则，即5个袋中玻璃球的数量从小到大的顺序为2，3，4，8，9； 当时，则，即5个袋中玻璃球的数量从小到大的顺序为1，3，4，8，10； 当时，则，或，，此时， 则，，即5个袋中玻璃球的数量从小到大的顺序为1，2，4，9，10； 当时，则，或，，此时， 则，，即5个袋中玻璃球的数量从小到大的顺序为1，2，3，9，11； 当①、③、④的状态时，警铃就响；②的状态时，警铃不响的组合是： 1，2，3，9，11、1，2，4，9，10、1，3，4，8，10、2，3，4，8， 通过比较得，，再整理进一步分析得，然后推出B，D的值是4或3或2或1个，因为，，故B，D的值为4或3或2个，则或1，进一步由，，式可知或9个，即可作答． 本题考查了不等式组的应用，先充分理解题意，再列出不等式组，正确进行计算是解题关键． 20.【答案】  【解析】解：由题意，分割的图形如下： 根据相似图形的形状相同，全等图形的形状和大小均相同，进行分割图形即可． 本题考查相似图形和全等图形，正确分割图形是解题的关键． 21.【答案】证明：如图1中，连接 ， ， ， ， ， ，，， ， ， 解：②的值不变 证明：如图2中，作于K，连接、PN、BM， 则，且， ，， ， 又，， ， ， 在中，，，， ， 所以，的值不变，其值为  【解析】如图1中，连接先证明，再证明，即可解决问题． ②的值不变．作于K，连接、PN、BM，由垂径定理得，，且，由正弦的概念得，，想办法证明，由，即可解决问题． 本题利用了垂径定理，直角三角形的性质，线段垂直平分线性质，锐角三角函数，勾股定理圆周角定理，三角形的外角与内角的关系等知识，综合性强，涉及多个知识点，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $