精品解析：浙江省重点高中2025-2026学年高一上学期提前招生摸底考试数学试卷

2025学年浙江省重点高中提前招生数学摸底试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A B. C. 2 D. 2. 方程的正根的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3. 如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知且，那么n，m，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知等边三角形的一条边长和与它一边相切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿该三角形作无滑动旋转，直至回到出发位置时，该圆自转了n圈，则（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 已知实数x，y满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，与的斜边AB相切于点D，与直角AC相交于点E，且．已知，，则的半径是（ ） A. B. 4 C. D. 3 8. 在数学活动课上，小明做了一个梯形纸模板，测得其一底边长为40cm，高为8cm，两腰长分别为10cm和17cm，那么该梯形纸模板的面积不可能是（ ） A. B. C. D. 9. 对于正整数n，符号…，例如：，，如果，那么（ ） A. B. 1 C. D. 2 10. 把数字1，2，3，…，9分别填入如图的9个圈内，要求和的每条边上三个圈内数之和等于18，共有n种不同填法，则（ ） A 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题：本题共6小题，每小题6分，共36分. 11. 已知，则______. 12. 如图，等腰直角的腰长为将绕C点逆时针旋转则线段AB扫过的面积是______. 13. 若，则的个位数字是______. 14. 定义一种新的运算“”：①当为奇数时结果为，②当为偶数时结果为（其中是使为正奇数的正整数），反复运算.例如，那么当时，第2025次“”运算的结果是______. 15. 已知关于x的两个一元二次方程：①，②二次项系数不相等且a，b均为正整数，若这两个方程至少有一个公共根，则______. 16. 若两个正整数x，y相加时，得到的数是一个两位数，且个位、十位数字相同；相乘时，得到的数是一个三位数，且个位、十位、百位数字相同，则______. 三、解答题：本题共5小题，共64分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知关于x方程只有一个实数解，求实数a的值. 18. 如图，直线与轴，轴分别相交于点B、C，经过B、C两点抛物线与轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴为直线. （1）求该抛物线的函数表达式； （2）连结AC.请问在轴上是否存在点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 19. 把26个完全相同的玻璃球分别装在a，b，c，d，e五个袋子里，每个袋子里的球数不同且至少1个.用一台电子秤称重量，当称到不少于11个玻璃球时，超重警铃就会响，否则不响.如图，当①、③、④的状态时，警铃就响；②的状态时，警铃不响.请按从小到大的顺序写出装入5个袋中玻璃球的数量的所有组合，例如：，并说明理由. 20. 把的长方形沿水平线或竖直线分割成4个图形，要求分割后的4个图形互为相似或全等.请分别在下列长方形中用实线画出4种不同的分割方法翻转后如果同另一种分割重叠的话，将视作是同一种分割方法 21. 如图，在中，，，，延长BC至D使得，设P为线段AB上一动点异于点A、，连接PD交直线AC于M点，过P、M、B三点作交直线AC于另一点 （1）求证：； （2）设的半径为R，给出下列两个结论：①MN的长度不变；②的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年浙江省重点高中提前招生数学摸底试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，，根据绝对值性质和二次根式的性质，化简求解即可． 【详解】，，， 故选：C 2. 方程的正根的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数和函数的图像特征，结合图形以及范围即可判断． 【详解】设函数，函数， 函数的顶点坐标为，对称轴，且经过原点；故图象在一、三、四象限，开口向下， 函数的图象在一、三象限； 第一象限时，当时，,此时两个函数图像没有交点，当时，，此时依然没有交点，而当时，，因此两个函数图像在第一象限没有交点， 即方程的正根的个数为0个． 故选：A. 3. 如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，得出，再求出C点坐标，即可得到点B的坐标，代入函数解析式，即可判断. 【详解】由抛物线交y轴于C点，得， 由，得，则， 而点在抛物线上，则， 即，而，所以，B错误，D正确； 又，则，AC错误. 故选：D 4. 已知且，那么n，m，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】法一，根据条件得出的范围，再分别作差即可；法二，根据条件设出符合条件的具体数值，即可解答． 【详解】法一：因，， 则，，则， 因，则，故， 则，即； ，即； ，即； 故 法二：假设符合条件的，， 则， 则 故 故选：D 5. 如图，已知等边三角形的一条边长和与它一边相切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿该三角形作无滑动旋转，直至回到出发位置时，该圆自转了n圈，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】设等边三角形的边长为1，圆的半径为r，求出圆心转动过的路程进而即可求解． 【详解】设等边三角形的边长为1，圆的半径为r， 由条件可知，， 圆从一边转到另一边时,圆心绕三角形的一个顶点旋转了三角形的一个外角的度数, 即圆心要绕其三角形的顶点旋转， 圆心经过的路径长为， . 故选：C 6. 已知实数x，y满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，易得，再设，则，进而可得，可知m、t为方程的两个实根，利用一元二次方程的根与系数的关系可得，，然后利用完全平方公式进行变形求解即可． 【详解】解：设，则， ，即， 再设，则， ，即， 则m、t为方程的两个实根，（）， ，， 故选：D 7. 如图，与的斜边AB相切于点D，与直角AC相交于点E，且．已知，，则的半径是（ ） A B. 4 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆周角为直角确定直径，由三角形相似得出，再由射影定理求即可. 【详解】延长交圆于点，连接，如图， , 则根据的圆周角所对的弦是直径知是直径. ∽， ，则， 在直角中，根据射影定理得， 根据勾股定理，则圆的半径是. 故选：A 8. 在数学活动课上，小明做了一个梯形纸模板，测得其一底边长为40cm，高为8cm，两腰长分别为10cm和17cm，那么该梯形纸模板的面积不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论可能存在的四种情况，利用平行四边形的性质和勾股定理求出各线段的长，最后利用梯形的面积公式即可求解. 【详解】由题意画出图形，如图1、图2、图3、图4， 则梯形纸板面积分别为： ， ， ， ， 故该梯形纸模板的面积不可能是， 故选：B 9. 对于正整数n，符号…，例如：，，如果，那么（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先确定末尾有4个0，再确定!能被9整除，则各个数字之和也能被9整除，即可求解． 【详解】由!……，5的倍数有5，10，15，20共4个， !中，末尾共有4个0， 故； !中的因数有9， !能被9整除， 各位数字之和也能被9整除， 应为9的倍数，即， ， 故选：A. 10. 把数字1，2，3，…，9分别填入如图的9个圈内，要求和的每条边上三个圈内数之和等于18，共有n种不同填法，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先算 总和为45；设顶点和为X、顶点和为Y、中点和为Z，由“每条边和为18”得：的条边总和，的条边总和，结合，联立解得、、；由此确定、5、、、8、、、2、，再统计X的排列数即为总填法． 【详解】解：，设的顶点和X、的顶点和Y、的中点和Z， 根据题意列三元一次方程得，， 联立解得：，， ，中仅1、2、3和为6，故中点为1、2、3； ，中仅7、8、9和为24，故顶点为7、8、9； ，剩余4、5、6和为15，故顶点为4、5、 顶点、5、可全排列，共种； 顶点及中点由顶点唯一确定如、时，，无需额外排列． 综上所述，共有6种不同填法，只有选项C正确，符合题意． 故选：C. 二、填空题：本题共6小题，每小题6分，共36分. 11. 已知，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】先由得，再利用完全平方公式将所求式子变形为，再整体代入计算即可． 详解】由变形可得， 对原式进行变形可得： 故答案为： 12. 如图，等腰直角的腰长为将绕C点逆时针旋转则线段AB扫过的面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题可求得，然后由图可得线段AB扫过的面积以BC为半径的扇形的面积以AC为半径的扇形的面积，据此可得答案. 【详解】解：如图， ，， . 又如图，所求面积为：. 以BC为半径的扇形的面积为：， 以AC为半径的扇形的面积为：. 结合旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，可知的面积与的面积相等， 则，从而以BC为半径的扇形的面积为：， 则所求面积为：， 即线段AB扫过的面积以BC为半径的扇形的面积以AC为半径的扇形的面积 故答案为： 13. 若，则的个位数字是______. 【答案】3 【解析】 【分析】由，可得x是10的倍数，进而确定x的个位数字，求解即可． 【详解】 … …， 乘任何非0数，结果的个位数字都是0， 则x是10的倍数， 所以x的个位数字是0， 则的个位数字为 故答案为： 14. 定义一种新的运算“”：①当为奇数时结果为，②当为偶数时结果为（其中是使为正奇数的正整数），反复运算.例如，那么当时，第2025次“”运算的结果是______. 【答案】8 【解析】 【分析】根据新定义规定的运算法则分别计算出第1、2、3、…、8次的运算结果，即可发现从第4次“”运算开始，奇数次“”运算结果都为8，偶数次“”运算结果都为1，据此即可得解. 【详解】由题意前8次的“F”运算结果如下： 由上面的计算可以看出，从第4次“”运算开始，奇数次“”运算的结果都为8，偶数次“”运算的结果都为1， 因为是奇数，当时，第2025次“”运算的结果是8， 故答案为： 15. 已知关于x的两个一元二次方程：①，②二次项系数不相等且a，b均为正整数，若这两个方程至少有一个公共根，则______. 【答案】6 【解析】 【分析】分别求得两个方程的根，然后结合已知条件得到关于a、b的数量关系，再由限制性条件“a、b为正整数”来求a、b的值即可. 【详解】解：设关于x的一元二次方程的两根分别为，，方程的两根分别为，， 一元二次方程可化简为， ，， 原方程化简为：， ，， 故同理可得的方程解为：，， 两个一元二次方程的二次项系数不相等， ，即， 两个一元二次方程有一个公共根， ，， 通过化简整理均得到方程， ， ，b均为正整数， ，或，； ， 故答案为： 16. 若两个正整数x，y相加时，得到的数是一个两位数，且个位、十位数字相同；相乘时，得到的数是一个三位数，且个位、十位、百位数字相同，则______. 【答案】55或77 【解析】 【分析】三位数中，三个数字相同的都是111的倍数…，，又，三个数字相同的三位数必能被37整除，所以设，同理可设，然后求出的值的情况即可． 【详解】解：由题意知x，y为两个正整数，由题意设①， ②，为正整数，； 设，则y为37的倍数， 若，则， ③， 由②知， 由③知为11的倍数，则或， ，（时，m不为整数）， 此时，则； 若，则， ， ，且为11的倍数，即77， ， ，则， 显然，故综上，或77， 故答案为：55或 三、解答题：本题共5小题，共64分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知关于x的方程只有一个实数解，求实数a的值. 【答案】或或 【解析】 【分析】将分式方程转化为整式方程，然后结合题意分两种情况：当方程①有两个相等的实数根时，当方程①有两个不相等的实数根时，结合题意求解即可． 【详解】原方程去分母得：， 整理得：①， 当方程①有两个相等的实数根时，，解得， ，解得：， 检验：满足题意； 当方程①有两个不相等的实数根时，，解得：， 若是方程①的根，则原方程有增根，代入①解得， ，解得：另一个根， 检验：当时，满足题意； 若是方程①的根，则原方程有增根，代入①解得， ，解得：另一个根， 检验：当时，满足题意； 综上，或或 18. 如图，直线与轴，轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线与轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴为直线. （1）求该抛物线的函数表达式； （2）连结AC.请问在轴上是否存在点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）y=x2-4x+3；（2）存在，(0，0)，（，0） 【解析】 【分析】（1）先由直线解析式求出B，C两点坐标，再根据对称轴为直线可求出点A的坐标，A，B，C三点坐标代入，可得抛物线的函数式；（2）设抛物线的对称轴交x轴于点M，由可知，由可知，由相似三角形对应边的比相等可求出点Q。 【详解】 解：（1）∵直线y=-x+3与x轴相交于点B，∴当y=0时，x=3. ∴点B的坐标为. 又∵抛物线过x轴上的A，B两点，且对称轴为x=2， 根据抛物线的对称性，∴点A的坐标为(1，0). ∵y=-x+3过点C，易知，∴c=3. 又∵抛物线过点，， ∴ 解得 ∴ （2）设在x轴上存在点Q.连结PB，由，得. 设抛物线的对称轴交x轴于点M. 在Rt△PBM中，PM=MB=1，∴△PBM为等腰直角三角形.∴. 由点，，可得OB=OC=3，∴△OBC为等腰直角三角形.∴. 由勾股定理，得. 假设在x轴上存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似. ①当，∠PBQ=∠ABC=45°时，△PBQ∽△ABC. 即，∴BQ＝3.∴Q1的坐标是(0，0). ②当，∠QBP=∠ABC=45°时，△QBP∽△ABC， 即，∴QB＝.∴Q2的坐标是（，0）. 由题意知点Q不可能在B点右侧的x轴上.综上所述，在x轴上存在两点Q1(0，0)，Q2（，0） 【点睛】本题考查求函数解析式，以及求存在一点使三角形相似，第二问中三角形相似有两种情况都满足条件，考查思维严密性。 19. 把26个完全相同的玻璃球分别装在a，b，c，d，e五个袋子里，每个袋子里的球数不同且至少1个.用一台电子秤称重量，当称到不少于11个玻璃球时，超重警铃就会响，否则不响.如图，当①、③、④的状态时，警铃就响；②的状态时，警铃不响.请按从小到大的顺序写出装入5个袋中玻璃球的数量的所有组合，例如：，并说明理由. 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】设五个袋子a，b，c，d，e里玻璃球的数量分别为A，B，C，D，E个，通过比较得，，再整理进一步分析得，然后推出B，D的值是4或3或2或1个，因为，，故B，D的值为4或3或2个，则或1，进一步由，，式可知或9个，即可作答． 【详解】解：当称到不少于11个玻璃球时，超重警铃就会响，否则不响．如图，当①、③、④的状态时，警铃就响；②的状态时，警铃不响． 设五个袋子a，b，c，d，e里玻璃球的数量分别为A，B，C，D，E个，则： 比较，式可知， 比较，式可知， 由，，式可得 由上面的三个式子可知，， ，，且每个袋子里的球数不同且至少1个 当，时，则或1； 当，时，则或1； 当，时，则； 当，时，则； 当，时，则； 当，时，则； 综上或1， 进一步由，，式可知， 或9个， 当时，则，或，，此时， 当时，则，即5个袋中玻璃球的数量从小到大的顺序为2，3，4，8，9； 当时，则，即5个袋中玻璃球的数量从小到大的顺序为1，3，4，8，10； 当时，则，或，，此时， 则，，即5个袋中玻璃球数量从小到大的顺序为1，2，4，9，10； 当时，则，或，，此时， 则，，即5个袋中玻璃球的数量从小到大的顺序为1，2，3，9，11； 故符合题意的组合是：1，2，3，9，11、1，2，4，9，10、1，3，4，8，10、2，3，4，8，9. 20. 把的长方形沿水平线或竖直线分割成4个图形，要求分割后的4个图形互为相似或全等.请分别在下列长方形中用实线画出4种不同的分割方法翻转后如果同另一种分割重叠的话，将视作是同一种分割方法 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】根据相似图形的形状相同，全等图形的形状和大小均相同，进行分割图形即可． 【详解】由题意，分割的图形如下： 21. 如图，在中，，，，延长BC至D使得，设P为线段AB上一动点异于点A、，连接PD交直线AC于M点，过P、M、B三点作交直线AC于另一点 （1）求证：； （2）设的半径为R，给出下列两个结论：①MN的长度不变；②的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值. 【答案】（1）证明见解析； （2）的值不变，证明见解析， 【解析】 【分析】（1）连接，先证明，再证明，即可解决问题. （2）作于K，由垂径定理可得，且，由正弦的概念可得，再证明并结合直角三角形边角关系得解. 【小问1详解】 连接， 由，得，由，得，则， 而，，则， 又，因此，所以. 【小问2详解】 的值不变 作于K，连接，则，且， 于是，而，， 则，，又，，， 则，中，，，， 则，因此， 所以的值不变，其值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $