期末测试-【课课练】2025-2026学年九年级下册数学同步训练（人教版）

问步练数学九年级下册则 期未测试 一、选择题 5.如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△COD 3 ,∠A是锐角，则∠A的度数为 是位似图形，且以原点O为位似中心.若CD= 1.已知tanA= 3AB,点B的坐标为(2,1)，则点D的坐标为 ( () A.30° B.45° C.60° D.90° 2.荣荣从正面观察如图所示的两个物体，看到的 是 ( A.(6,3) B.(6,2) C.(4,2) D.(4,6) 6.如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数 B D y1=ax+b(a,b是常数，且a≠0)的图象与反比 3.如果△ABC△DEF,那么下列等式中，不一 例函数2=(e是常数，且c≠0)的图象相交 定成立的是 ( 于A(-4,m),B(1,n)两点，则不等式ax+b- A.∠A=∠D B SAABC AC2 SADEF C≤0的解集是 AB DE C.AB=DE D.AC DF 4.老师画出的△ABC如图所示，已标出三边的长 度.下列选项中，四位同学画出的三角形与老 师画出的△ABC不一定相似的是 A.-4≤x≤1 B.-4≤x<0或0<x≤1 4 C.-4≤x<0或x≥1D.-4<x<1 7.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)的 图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例 3.4 人Y 函数y=-在同一平面直角坐标系中的图象 6.8 力 大致是 2 4.8 D 20 期末测试 A.①②④ B.①②③④ C.①②③ D.①③④ 二、填空题 11.皮影戏是用兽皮或纸板做成的人物剪影，用 来表演故事的戏曲形式.表演时，用灯光把剪 影照射在银幕上，艺人在幕后一边操纵影人， 一边演唱，并配以音乐，则皮影形成的影子是 投影.（填“平行”或“中心”) 12.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为 D (1,0),以P为圆心作⊙P,交x轴于A(-1, 8.如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠B=45, 0),B两点，交y轴于C,D两点.若点M为 AB=√6，CE平分∠ACB交AB于点E,则线段 CE的长为 ( CBD上任一点（不与点C,D重合），则 A.√3+1B.2 C.√2 D.√6-√2 tan∠CMD= B a 13.如图，太阳光线与地面成60°的角，照射在地 (第8题) (第9题)》 面的一只圆皮球上.若皮球在地面上的投影 9.如图，在平面直角坐标系中，已知点0(0,0)， 长是10√3cm,则圆皮球的半径是 A(0,2),B(1,0),点P是反比例函数y=-图 象上的一个动点，过点P作PQLx轴，垂足为 Q.若以点O,P,Q为顶点的三角形与△OAB 60° 相似，则相应的点P共有 14.如图，正比例函数y=mx(m≠0)的图象与反 A.1个B.2个 C.3个 D.4个 10.如图，正方形ABCD的边长为6，点0是对角 比例函数y=”(n≠0)的图象在第一象限内 线AC,BD的交点，点E在边CD上，且DE= 交于点A,过点A作AB⊥OA,交反比例函数 2CE,过点C作CF⊥BE,垂足为F,连接OF. 有以下结论：①∠OFB=45°；②tan∠OBF= y=(n≠0)的图象于点B.若OA=AB,则m ③SAmE=SAr3④BF-CF=20P其 的值为 论正确的是 15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12,BC= 71 d。问步训练数学九年级下册则 9,D为AB的中点，点M在线段AC的延长线18.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐 上运动，线段DM与BC交于点N.若AC= 标分别是A(1,2),B(1,1),C(3,1),以原点 4CM,则DW的长为 0为位似中心，在平面直角坐标系内画 △DEF,使它与△ABC位似，且△DEF与 △ABC的相似比为2：1. 4 三、解答题 B -6-5-4-3-2-10123456 16.计算：（-3)2+15-11-（π- -3 tan60)°-2cos30°. 4 (1)画出△DEF; (2)求△DEF的顶点坐标. 17.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于 点D,过点D作DE∥AC交BC于点E.求证： BD EC BA AC D B 72 期末测试 19.码头工人每天往一艘轮船上装载货物，平均 20.已知反比例函数y=3-”的图象位于第一第 每天装载速度y(单位：t/天)与装完货物所 需时间x(单位：天)之间是反比例函数关系， 三象限 其图象如图所示 (1)求a的取值范围； (1)求这个反比例函数的解析式； (2)若点(2，y1),(4,y2)是反比例函数图象 (2)由于紧急情况，如果要求装载货物不超 上的两点，试比较y,y2的大小 过5天，那么平均每天至少要装载多少吨 货物？ y/(/天) (8,50) x/天 21.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE 交BC于点F,交AB的延长线于点E,且 ∠EDB=∠C. (1)求证：△ADE∽△DBE; (2)若DC=9cm,BE=16cm,求DE的长 73 d。问步州练数学九年级下册则 22.晚上，荣荣和恒恒利用灯光下的影子长来测23.祖冲之发明的水碓(du)是一种春米机具（如 量一路灯的高度.如图，当荣荣走到点A处 图1)，在我国古代科学家宋应星的著作《天 时，恒恒测得荣荣直立时身高AM与其影子 工开物》中有详细记载，其原理是以水流推动 长AE正好相等：接着荣荣沿AC方向继续向 轮轴旋转进而拨动碓杆上下春米.碓杆与支 前走，走到点B处，荣荣直立时身高BN的影 柱的示意图如图2所示，支柱OM高4尺且 子恰好是线段AB,并测得AB=1.2m.已知荣 垂直于水平地面，碓杆AB长16尺，OB= 荣直立时的身高为1.6m,求路灯的高 30A.当点A位于最低点时，∠AOM=60°，此 时点B位于最高点；当点A位于最高点A' D 时，∠A'OM=108.2°，此时点B位于最低 点B B M 图1 图2 (1)当点A位于最低点时，求最低点A与地 面的垂直距离； (2)求最低点B'与地面的垂直距离（参考数 据：sin18.2°≈0.31，cos18.2°≈0.95， tan18.2°≈0.33). 74 期末测试 24.在一次综合实践活动课上，小明设计了一个25.如图，在正方形ABCD中，E是CD边上一点， 探究杠杆平衡条件的装置.如图，在左边固定 连接BE,以BE为对角线作正方形BGEF,边 的托盘A中放置一个重物，右边可左右移动 EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点 的托盘B中放置若干数量的砝码.改变托盘 H,连接AF,CG B与点O之间的距离x(单位：cm),调整托 (1)写出AF和DE的数量关系，并证明； 盘B中砝码的总质量y(单位：g),使装置重 (2)连接DF,求证：2DF2=BH·BD. 新在水平位置平衡（平衡时遵循杠杆的平衡 条件)，根据实验结果得到如下表格： x/cm 10 20 30 40 y/g 0 30 20 15 (1)小明根据上述数据确定y与x之间是反 比例函数关系，请运用表格中的数据求y 与x之间的函数关系式； (2)若砝码的总质量为10g,求装置在水平位 置平衡时托盘B与点O之间的距离； (3)已知该装置能够放置的托盘B与点O之 间的最大距离为120cm,求装置在水平 位置平衡时托盘B中砝码的最小总 质量 75 。问步训练数学九年级下册则 26.如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于 b 点E.过点D作DF∥AB,交CA的延长线于点 "bsin A=asin B,.a sin A sin B F,CF=CD,∠F=67.5°. D EO 图1 D 根据上面的材料解决下列问题： (1)试判断直线DF与⊙0的位置关系，并说 (1)如图2，在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对 明理由； c 边分别为a,b,c求证：sinBin C (2)若DE·DC=2,求⊙0的半径. (2)为了促进旅游业的发展，某市积极优化旅 游环境.如图3，规划中的一片三角形区域 需美化.已知∠A=67°，∠B=53°，AC= 160m,求这片区域的面积（结果保留根 号.参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9). (3)求图2中△ABC的面积（用a,b,c及锐角 三角函数表示) 67 53 B 图2 图3 27.阅读下列材料：如图1，在△ABC中，∠A, ∠B,∠C的对边分别为a,b,c.求证： sin A sin B 证明：过点C作CD LAB于点D. ,sin B=CD ·sinA=CD Q, .CD=bsin A,CD=asin B, 76如下： 如图1，连接0B,0C. 10 B 图1 .AD=BC=1.6m,0D=0.6m, .∴.0A=AD-0D=1.6-0.6=1(m), ,AB=0.8m, 六0B=√0M+MB=1P+08=V 5(m)小 v3 5m=1.2m 过道宽度都是1.2m, .该物品不能顺利通过直角过道， .不赞同荣荣同学的结论 (3)解：如图2，过点D作MN⊥OT于点 M,交PQ于点N.由题意知，OT∥CQ, .MW⊥CQ. R B 图2 在Rt△BCP中，∠CBP=30°， ∴.∠BCP=60 ∠BCD=90°，∴.∠DCN=30°， ·DWs1 )CD=1×0.8=0.4(m) 2 :∠CND=∠ADC=90°，∴.∠DCN+ ∠CDN=90°，∠CDN+∠ODM=90°， ∴.∠ODM=∠DCN=30°， .MN=1.2m, 参米答来及解种园 ∴.DM=MN-DN=1.2-0.4=0.8(m）), 在△ODW中，0M0D, 设0M=xm,则0D=2xm. 由勾股定理，得DM+OM2=OD2, 即0.82+x2=(2x)2, 43 =15(负值舍去)， 0D=2x=83 m. 即OD的长是8 15m. 4 提示：若求该过道可以通过的物品的最 大长度，此时0为AD的中点，OC⊥PQ, 0B⊥PR,且OB=OC=1.2m, .0D=W0C2-CD=√1.22-0.82= 5(m),AD=20D=45 2 m,BC的 最大值为45 . 期末测试 一、选择题 1.A心tanA= 3,∠A是锐角，.∠A=30 2.C 3.C△MBC∽ADEF,LA=LD,S S△AC= 品是-光放选项AB, D不符合题意；AB,DE不一定相等，故选 项C符合题意 4.DA.由两角分别相等的两个三角形相 57 。问步训练数学九年级下册 似，可得该选项中的三角形和△ABC相 符合题意 似，故该选项不符合题意； 8.B如图，过点A作AD⊥BC于点D,过点 以因为兰-。且∠y=∠，所以山两 E作EF⊥BC于点F. 边对应成比例且夹角相等的两个三角形 相似，可得该选项中的三角形和△ABC相 似，故该选项不符合题意； C因为名-子言所以由三边对应成比 .∠B=45°，∴.∠BAD=∠BEF=90°-45°= 45°，∴.∠B=∠BAD=∠BEF,∴.BD=AD, 例的两个三角形相似，可得该选项中的三 BF=EF. 角形和△ABC相似，故该选项不符合 在Rt△ABD中，BD=AD=AB·sinB=√6× 题意； D.选项D中的三角形和△ABC不一定相 25. 似，故该选项符合题意， 在Rt△ADC中，∠DAC=90°-∠ACB=30°， 5.A.CD=3AB, CD=AD·tan∠DAC=5×5=1,则BC= .∴.△COD与△AOB的相似比为3：1. 点B的坐标为(2,1)， BD+CD=√3+1. .点D的坐标为(6,3). 设BF=EF=x.:CE平分∠ACB,.∠BCE= 6.C 1 2 ×60°=30°.在Rt△EFC中，CF= 7.D由二次函数y=ax2+bx+c的图象可得， EF a>0,b>0,c>0,.-c<0, =√3x.由CF+BF=BC,得3x+x= tan BCE ∴y=ax+b的图象经过第一、二、三象限， √3+1，解得x=1, y=-C的图象位于第二、第四象限，选项 ∴.CE=2EF=2. 9.D A(0,2),B(1,0), B,C不符合题意 .∴.0A=2,0B=1. 令a+h=,则a2+te=0 设点P的坐标为(t,) :二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有 :PQ⊥x轴， 两个公共点， ∴.∠PQ0=90 ∴.方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数 :∠PQ0=∠AOB, 根，即y=ax+b的图象与y=-C的图象有 两个公共点，选项A不符合题意，选项D 当2=0时，△0P0△BM0,即 AO BO 58 ,此时点P的坐 标为是2)或2： 1-1 当品-%，△0r0△40， 1 2,解得3=-2,4=2，此时点P的坐 标为（号）或2.学。 综上，若以点0，P,Q为顶点的三角形与 △OAB相似，则相应的点P共有4个 10.B如图，以BC为直径作⊙R,过点O作 OH⊥BF于点H,设AC与BE相交于 点G. 四边形ABCD是正方形，.OB⊥OC, ∠0CB=45. ∠B0C=90°，CF⊥BE,.点0，F在以 BC为直径的圆上， 又OB=OB,∠0FB=∠0CB=45°，故 结论①正确. .正方形ABCD的边长为6， ∴.BD=AC=62,OB=0C=0A=0D=32. DE=2CE,CD=CE+DE=6, ∴.DE=4,CE=2. 在正方形ABCD中，：AB∥CD, .△ABG∽△CEG, 参米答荣及解种园 AG AB CD ·CG CECE =3, .CC-1AC-10c-- 4 2 , 2 1 ·06=CG=20C=20B, 2 tanL0BF=OB=之，故结论②正确. Bc-V0i40c-Ja2+22r- 0B32 .∴sinLOGB=sin∠CGF= G310 .OH=OG·sim∠0GB= *5 0.CF-CGsinLCGF=G0CB= 3 5 aF=vac-0-6-(g12 10,OH-CF. 9 1 1 SAmr=2BF.OH,SAco-2 BF.CF, ∴.S△Bor=S△cBF,故结论③正确. ·∠0FB=45°， OH ∴.0F= 65， sinLOFB 5 .√20F= :BF-GF-号而-31而=g而， ∴.BF-CF=√2OF,故结论④正确 59 。问步训练数学九年级下册可 二、填空题 :圆皮球的半径是}x15=7.5(cm. 11.中心 12.√5如图，过C,P两点作直径CG,连接 1+√5 14. 如图，过点A作AM⊥y轴于点 2 DG,则∠CMD=∠CGD,且∠CDG=90°. M,过点B作BN⊥MA交MA的延长线于 点N, B 点P,A的坐标分别为(1,0)，(-1,0)， .⊙P的半径PA=1-(-1)=2,P0=1. 则∠OMA=∠ANB=90°， P01 .sinOCP= ∴.∠MOA+∠OAM=90°. PC2’ AB⊥OA, ∴.∠0CP=30°， .∠OAM+∠NAB=90°， .∴.∠CGD=∠CMD=60°， ∴.∠MOA=∠NAB. .tan/CMD=√3. OA=AB, 13.7.5cm如图，设AB为圆皮球的直径， 标示点C,E,过点C作CD∥AB交AE于 ∴.△OMA≌△ANB(AAS), 点D. ∴.OM=AN,AM=BN. 设点A的坐标为(a,ma),则AM=BN= a,OM=AN=ma. .MN=AM+AN=a+ma, 609 .点B的坐标为(a+ma,ma-a). 由切线的性质，得AB⊥BC,AB⊥AD, ·点A,B在反比例函数y=几的图象上， BCLCD,CE=10√5cm, .四边形ABCD是矩形，则AB=CD ∴.a·ma=(a+ma)(ma-a）, 又∠BCD=90°，∴.∠ECD=30°. ∴.ma2=m2a2-a2. CD√3 由题意可知a≠0，∴.m2-m-1=0, .cos DCE=c0s30=C2 ..cDc 得m55(合动. F2×103=15(cm）, +√5 m的值为 .'AB=CD=15 cm, 2 60 15.3√5如图，过点D作DE⊥BC于点E. .∠ACB=90°，∴.DE∥AC, ∴.△BDE△BAC. 又0为的中点一侣 E=34C= 2×12=6,CE=BE= 1 9 2BC=2×9= 又AC=4MC,.MC=3. .DE∥AC .△CMW∽△EDN, MC CN 3 1 DEEN62 CN+EN=9 ,EN=3. 在Rt△DNE中，DN=√DE2+EW2= √62+32=35. 三、解答题 16.解：原式=9+√3-1-1-√5=7. 17.证明：.CD平分∠ACB, ∴.∠ACD=∠BCD. .DE∥AC, ∴.∠EDC=∠ACD=∠BCD,△BDE∽△BAC, .DE=EC, BD-DE,即BD_EC ·BAAC,即BAAC 18.解：(1)如图，以原点0为位似中心，相似 比为2：1，△D'EF'和△D"E"F"即为所 参米答荣及解种园 求的△DEF. 4 5 D 3 E 2 -6-5-4-3-2-1☑0123456x D" (2).△ABC的顶点坐标分别是A(1,2), B(1,1),C(3,1),原点0是位似中心， △DEF和△ABC的相似比为2：1， .D'(2,4),E(2,2),F'(6,2),D"(-2, -4),E"(-2,-2),F"(-6,-2) 19.解：(1)设这个反比例函数的解析式为 y=在(k≠0). 该函数图象经过点(8,50)， 50=专解得k=40,则这个反比例函 数的解析式为y=400 (2)把x=5代人y=400 x, 得y=80. 答：平均每天至少要装载80t货物 20.解：(1)：反比例函数y=3-的图象位于 第一、第三象限， ∴.3-a>0,解得a<3. (2):反比例函数)y-3“的图象位于第 一、第三象限， .在每一个象限内，y随x的增大而 减小 61 。问步练数学九年级下册则 又点(2，y1),(4,y2)是反比例函数图象23.解：如图，过点0作直线EF⊥OM,过点A 上的两点，且0<2<4， 作AH⊥OM,垂足为H. .y1>y2 B 21.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边 形，.∠A=∠C. ∠EDB=∠C, M ∴.∠A=∠EDB. (1):AB=16尺，0B=30A, 又∠E=LE, .0A=4尺 .△ADE△DBE. .·∠AH0=90°，∠AOM=60°， (2)解：四边形ABCD是平行四边形， 1 .0H=0A·c0s60°=。0A=2尺， ∴.DC=AB. 2 DC=9 cm,BE=16 cm, .MH=0M-OH=2尺， .AB=9cm,∴.AE=25cm. .当点A位于最低点时，最低点A与地 由(1)得，△ADE∽△DBE, 面的垂直距离为2尺 DE AE (2)过点B'作B'D⊥EF,垂足为D. 六BEDE' AB=16尺，0A=4尺， .'DE=20 cm. .OB'=0B=AB-OA=12尺 22.解：根据题意，得AM=AE=BN=1.6m, 又∠A'OM=108.2°，∴.∠A'0E=∠D0B'= AB=1.2m,MA⊥EC,NB⊥EC,DC⊥EC, 108.2°-90°=18.2°， ∴.MA//NB/DC,∠E=45° ∴.DB'=0B'·sin18.2°≈12×0.31= 设BC=xm,则AC=AB+BC=(1.2+x)m, 3.72(尺)， EC=DC=AE+AC=(2.8+x)m. .4-3.72=0.28(尺)， .'tanE=tan45°= DC 1, .最低点B到地面的垂直距离约为 0.28尺 ∴.DC=(2.8+x)m. 24.獬：(1)设y与x之间的函数关系式为 :B∥DC,△ABN∽△ACD,则 Ac y(k≠0) 即，216 BN .…当x=10时，y=60, 1.2+x2.8+ 解得x=3.6, 检验：当x=3.6时，原分式方程有意义， .60= 10? ∴.x=3.6是原分式方程的解， 解得k=600, .DC=2.8+3.6=6.4(m), 即路灯的高为6.4m. .y与x之间的函数关系式为y= 600 62 (2)在y 600中，当y=10时， x=60, .若砝码的总质量为10g,装置在水平 位置平衡时托盘B与点O之间的距离为 60cm. (3)在y= 600中，当x=120时，y= 600 1205 .600>0,x>0, .在第一象限内，y随x的增大而减小， .当0<x≤120时，y≥5， .装置在水平位置平衡时托盘B中砝码 的最小总质量为5g 25.(1)解：AF=号DE.证明如下 ·四边形ABCD和四边形BCEF都是正 方形， ∴.∠ABD=∠FBE=∠BDC=∠BEF=45°， AB=AD,BF=EF,∠DAB=∠EFB=90°， ∴.∠ABD-∠FBD=∠FBE-∠FBD,DB= √AB2+AD2=√2AB,BE=√JBF2+EF= √2BF, ABAB√2BF LABF=∠DBE,DB2AB2'BE BF√2 √2BF2) AB BF 六DBBE△ABF∽△DBE, AFAB√2 .DEDB2·AF=V2 (2)证明：：∠BEH=∠EDB=45°， 参米答荣及解种园 ∠EBH=∠DBE, ∴.△BEH∽△BDE, D肥BE=B朗·BD BE BH ∵BE=√2BF,.2BF2=BH·BD 由(1)知△ABF∽△DBE, .∠BAF=∠BDE=45° ∠DAB=90°，∴.∠DAF=∠DAB- ∠BAF=45°=∠BAF. 又AD=AB,AF=AF, .∴.△ADF≌△ABF(SAS), DF=BF,.2DF2=BH·BD. 26.解：(1)DF为⊙0的切线.理由如下： 如图，连接OD ·CF=CD,∠F=67.5°， ∴.∠CDF=∠F=67.5°， .∠DCF=180°-67.5°-67.5°=45 AD=AD ∴.∠AOD=2∠DCF=90° DF∥AB, .∠0DF=90°， ∴.OD⊥DF OD是⊙0的半径， .DF为⊙O的切线 (2)如图，连接AD. A0=0D, .∠EAD=45. .∠ACD=45°， 63 。问步训练数学九年级 ·.∠ACD=∠EAD. 又∠ADE=∠CDA, ..△DAE∽△DCA, DE DA DA DC' 即DA2=DE·DC=2, .DA=2, √2 ∴.A0=0D 2 DA=1, 即⊙0的半径为1. 27.（1)证明：如图1，过点A作AE⊥BC 点E. a 图1 6,sin B=AR “sinc=E .AE=bsin C,AE=csin B, .'bsin C=csin B, b sin B sin C BC AC (2)解： sin A sin B' BC 160 sin67°sin53o, ..BC≈180m. .∠A+∠B+∠C=180°， .∠C=180°-∠A-∠B=60° 如图2，过点A作AF⊥BC于点F. 53 B 图2 64 下册 AF sin C= AC' .∴.AF=AC·sinC=160×sin60°=160× 3 2 =80√3(m), 1BC·AF=万×180× 72003(m2). 答：这片区域的面积约为72005m2. 必 (3)解：如图3，过点C作CD⊥AB于点 D,过点A作AE⊥BC于点E.根据题意， 得CD=asin B,CD=bsin A, 1 1 六Sac=2AB.CD=2cimB或SNG= 2bcsin A. 由(1)，得AE=bsin C,AE=csin B, 1 SAAN=2BC·ME=2 absin C或SaMc= 2acsin B. 同理得，SAARG= 2 -bcsin A或SAc= 1 2absin C. 1 综上，SABc= 2 -bcsin A= 2 acsin B= 1 2absin C. 图3