28.2.2 应用举例-【课课练】2025-2026学年九年级下册数学同步训练（人教版）

。问步练数学九年级下册则 (2)解：∠ACB=90°，CD是斜边AB上 28.2.2应用举例 的中线， 夯实五分钟 .CD=BD, 1.C ∴.∠B=∠BCD. 2.C设山高AB为xm.由题意得， AE⊥CD, ∠ACB=30°，∠ADB=45°，∠ABC=90°. .∴.∠CAH+∠ACH=90°. 在Rt△ACB中，有CB=x tan30。=y3xm. 又∠ACB=90°， ∴.∠BCD+∠ACH=90°， 在R△ADB中，有BD=x tan 450=x m, ∴.∠B=∠BCD=∠CAH. CD=CB-BD,..3x-x=50, AH=2CH, 解得x=25(3+1). .由勾股定理，得AC=√A+C=√5CH, 3.D如图，标示点C.由题意，得∠A=10°， CH√5 BC⊥AC,AB=120m, AC 5' CH√5 .∴sinB=sin CAH= AC 5 .sin A=BC 5 ' (3)解：.sinB= ∴.BC=AB·sinA=120sin10°m, AC_5 即她沿垂直方向升高了120sin10°m. ·.AB5 4.16.5自动扶梯示意图如图所示. 又AB=2CD=2W5, .AC=2. B 设CE=x(x>0),则AE=√5x. 根据题意，得AC=12m,AB=3.4m, 在Rt△ACE中，CE2+AC2=AE2, 在Rt△ABC中，sinC= AB3.417 AC1260' 2+22=(5x)2, .∠C≈16.5 解得x=1, 5.20由题意，知∠BCA=90°， .CE=1. BC3 .∴.sina= 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2, AB 5 .BC=12m, ∴.22+BC2=(25)2, 5 解得BC=4, AB= BC=12x=20(m): sin a 3 .∴.BE=BC-CE=3. 6.20.8如图，过点P作PD⊥AB,交AB的 40 参米答来及解粉 延长线于点D. √40-202=20W5(m), 由题意易得∠PAB=30°，∠PBD=60°， BC20√3 ,∴.tanA= ∴.∠APB=∠PBD-∠PAB=30°， AC2033 ∴.∠PAB=∠APB, .'BP=AB=24 n mile. 答：斜坡的坡度为3 在Rt△PBD中，PD=BP·sin∠PBD=24× 10.解：如图，过点A作AH⊥EF于点H. C45 ---D -123≈20.8(nmle), 2 即当轮船到达灯塔P的正南方向时，轮船 E30° 与灯塔P的距离约是20.8 n mile. B 由题意得∠EBF=30°，∠CAH=45 .BF=√3m, 30 609 BF=BF·tan EBF=3xY3 号=1m）. .·∠CAH=45°，∠AHC=90°， 素养稳提升 ∴.△ACH是等腰直角三角形， 7.A由题意，得AB⊥BC. ∴.CH=AH=BF=5m. 在Rt△ABC中，∠BAC=,AB=mm, ·CE=1m, BCBC .'tan a= .AB=HF=CF-CH=CE+EF-CH=1+1- ABm .'BC=mtan a m, √3=(2-√3)m. 即竹竿在地面上的影子BC的长为mtan a m. 11.解：.∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°， ∠BAC=37°，∠ABC=53°， 8.D由题意得，AB=32×=16(n mile), 2 ∴.∠ACB=90 LACS=90°. 在Rt△ACB中， :∠A=30°，∠CBS=60°， .·∠BAC=37°，AC=80m, .∠ASB=∠CBS-∠A=60°-30°=30°， .'AB = AC AC 80 cosZ.BAC=cos 370.80 .∠ASB=∠A, 100(m). .'BS=AB=16 n mile. 答：A,B两点之间的距离约为100m. 在Rt△BCS中，,sinLCBS=CS 12.解：如图，过点A作AH⊥BC于点H. BS' S=BS·sin CBS=16X5 =8√5(n mile). 2 9.解：在Rt△ABC中，AC=√JAB2-BC= 41 。问步训练数学九年级下则 AB-AC.BHC-BC. ∠BCA=45°， AB AB .∴.CA= 在Rt△ABH中，∠ABC=47°，AB=50cm, tanL BCA tan 456=h m, .BH=AB·c0sB=50Xcos47°≈50× .EA=CA+EC=(h+153)m. 0.68=34(cm), ②如图，过点D作DF⊥AB,垂足为F ∴.BC=2BH=68cm. B 答：车位锁的底盒BC的长约为68cm. 13.解：如图，延长BC交AE于点F. DFE 37 日F 459 E C A 根据题意，得∠AED=∠FAE=∠DFA=90°， B .四边形DEAF是矩形， 77/777777771777 根据题意，得BF=70m,∠EAC=15°， .DF=EA =(h+153)m,FA DE 15m. ∠EDC=45°，∠AFC=90°. ∴.BF=AB-FA=(h-15)m, 在Rt△ACF中，CF=AF·tan∠EAC=(15+ DF)·tan15°=0.27(15+DF), 在△B0F中，∠B0,∠BDP=2T 在Rt△CDF中，CF=DF·tan∠EDC=DF· .BF=DF·tanBDF, tan45°=DF, ∴.h-15=(h+153)·tan27°. ∴.0.27(15+CF)=CF,解得CF≈5.55， ∴.BC=BF-CF=70-5.55≈64.5(m). h=15+153xan27 ≈56(m) 1-tan27° 答：大楼的高度BC约为64.5m 答：塔AB的高度约为56m 中考一点通 15.解：(1)如图1，过点C作CE⊥AB,垂足 14.解：(1)在Rt△CDE中，∠DEC=90°， 为E ∠DCE=30°，CD=30m, 太阳光线 DE=c0=×30=15(m) 16m 北 楼 32° 答：DE的长为15m E (2)0在Rt△DCE中，cos∠DCE=BC B ,20m D 图1 ∴.EC=CD·cos∠DCE=30×cos30°= 由题意得，CE=BD=20m,CD=BE. 15√3(m) 在Rt△ACE中，∠ACE=32°， 在t△BCA中，tanLBCA=A5 ∴.AE=CE·tan32°≈20×0.625= CA4B=h m, 12.5(m), 42 多米答来发解种 .CD=BE=AB-AE=16-12.5=3.5(m).8.C根据题意，渔船P到A,B,C三艘军舰 答：在冬至正午时分，南楼的影子落在北 的距离相等，即渔船P在线段AB,AC垂 楼上约有3.5m. 直平分线的交点处，如图所示， (2)若要使每层楼在冬天都要受阳光照 射，则点C和点D重合，如图2所示 太阳光线 南 16m 楼 楼 320 .PE⊥AC,PF⊥AB,垂足分别为E,F.过 B D(C) 图2 点A作AG⊥AB,过点P作PG⊥AG于点 在Rt△ABC中，AB=16m,∠ADB=32°， G,PE与AG交于点H,连接AP. ..BD=AB 16 ≈26(m) 由题意，易得AC=4 n mile,AB=6 n mile, tan32°0.625 答：南、北两楼之间的距离至少应为 四边形AFPG是矩形， 26m,才能使每层楼在冬天都能受阳光 AE=CE-AC-2n mile,AF-PG=BF- 照射 第二十八章 章末综合 24B=3 n mile,AC=FP. 一、选择题 .∠EAH=30°，∠AEH=90°， 1.B2.C3.D4.A 5.A.在△ABC中，∠B=90°，AB=4,AC=6, cOsL EAH=cos 30AE_3 AH2 AB 42 .'sin C= C6=3 .AH 23 6.D如图，过点A作AD⊥BC于点D,则点 3 n mile,∠AHE= D在正方形网格格点上.在Rt△ACD中， ∠PHG=60°. mc记号 在Rt△PHG中，.tanLPHG=-tan60°=点3 6 =33=3(n mile), 3+3=73 AG=AH+GH=4 -(n mile). 3 7.A 由题意可知，BC=3×3-1(m). 在Rt△APG中，AP=VJAG+PG= 由勾股定理，得AB=√AC+BC=√3+1卫= √10(m). 43第二十八章桃痛三市西数可 28.2.2应用举例 88a 。学习目标 1.了解仰角、俯角、方向角、坡角、坡度等测量中的有关概念，并弄清它们的意义， 2.能从实际问题中抽象出直角三角形模型，会运用解直角三角形的有关知识解决简单的 实际问题 夺实五分钟 难度：☆ 1.下面关于“坡度”的说法正确的是 )4.荣荣乘自动扶梯从商场一楼去二楼，自动扶梯 A.坡度是坡角的正弦值 长约12m.如果楼层高3.4m,那么自动扶梯 B.坡度是坡角的余弦值 与地面夹角约为 ·.(结果精确 C.坡度是坡角的正切值 到0.1) D.以上说法都不正确 5.如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α， 第 2.如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对 sin a= ，堤坝高BC=12m,则迎水坡面AB的 岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为 长度为 m. 45°，点C,D,B在同一水平线上.若河宽CD为 50m,则山高AB为 ( 6.如图，海上有一灯塔P,位于小岛A北偏东60° 河 D 方向上，一艘轮船从小岛A出发，沿正东方向 A.50m B.25m 航行24 n mile到达B处，这时测得灯塔P在 C.25(√3+1)m D.75m 北偏东30°方向上.若轮船不改变航向继续向 3.如图，荣荣从点A出发，沿坡角为10°的坡道向 东航行，当轮船到达灯塔P的正南方向时，轮 上走了120m到达点B,则她沿垂直方向升高 船与灯塔P的距离约是 n mile.,(结 入 ( 果保留小数点后一位，√3≈1.73) 30 4.、120 tan 106 m B.、120 609 sin 106 m B C.120tan10°m D.120sin10°m 47 。同步川练数学九年级下册R则 素养稳提升 难度：白 7.如图，AB为垂直于地面放置的竹竿，AB=mm 10.一种机器零件的示意图如图所示，其中CE= 当太阳光线与竹竿所夹锐角为α时，竹竿在地 1m,BF=√3m,求AB的长， 面上的影子BC的长为 ( C45° A.mtan a m B.msin a m C.m m -m D. -m tan a cos a 609 30 (第7题) (第8题)》 8.如图，一艘渔船以32 n mile/h的速度向正北 第 方向航行，在A处时灯塔S在渔船的北偏东 30方向.半小时后渔船航行到B处，此时，灯 塔S在渔船的北偏东60°方向.若渔船继续沿 11.如图，通过两段笔直的观景栈道AC和CB可 章 正北方向航行到灯塔S的正西方向的C处，此 以从湖边点A到点B.为了计算A,B两点之 时灯塔S与渔船的距离CS为 ( 间的距离，经测量得：∠BAC=37°，∠ABC= A.16 n mile B.18 n mile 53°，AC=80m.求A,B两点之间的距离（参 C.8 n mile D.83 n mile 考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， 9.如图，已知斜坡AB长40m,坡顶B离地面的 tan37°≈0.75). 高度为20m,求斜坡的坡度， 48 第二十八章桃布三帝函纸可 12.一种三角车位锁如图1所示，其主体部分由13.如图，某人利用无人机测量大楼BC的高度， 两条长度相等的钢条组成.当位于顶端的小 无人机在空中点A处，测得点A与地面的距 挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在 离为70m,测得点C的俯角∠EAC=15°.控 地面上)，此时汽车可以进入车位；当小挂锁 制无人机水平移动至点D,测得AD=15m,楼 上锁时，钢条按图1所示的方式立在地面上， 顶点C的俯角∠EDC=45°.点A,B,C,D在同 以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入 一平面内，求大楼的高度BC(参考数据： 车位.其示意图如图2所示，经测量，钢条AB= sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈ AC=50cm,∠ABC=47°.求车位锁的底盒 0.27,√2≈1.41，结果精确到0.1m). BC的长（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈ A-----D-E 0.68,tan47°≈1.07) 图1 图2 第二十八章 49 。问步训练数学九年级下册R则 中考一点通 难度：☆合 14.如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已15.某房地产集团筹建一小区，小区内居民楼南 知CD=30m,∠DCE=30°，点E,C,A在同一 北朝向，楼高统一为16m(五层).已知该城 水平线上.某学习小组在观景台C处测得塔 市冬至正午时分太阳高度最低，此时太阳光 顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔 线与水平线的夹角为32°，设计南、北两楼相 顶部B的仰角为27°. 隔仅有20m,如图所示. (1)在冬至正午时分，南楼的影子落在北楼 上有多高（参考数据：tan32°≈0.625，结 果精确到0.1m)? 027 (2)根据居住要求，每层楼在冬天都要受阳 459 光照射，请你重新设计南、北两楼之间的 (1)求DE的长， 距离（结果精确到1m), (2)设塔AB的高度为h(单位：m). 太阳光线 第 ①用含有h的式子表示线段EA的长（结 果保留根号)； 16m 楼 北楼 32 ②求塔AB的高度（参考数据：tan27°≈ 0.5,√3≈1.7，结果取整数). 20m D L50