28.2.2 第1课时与视角有关的解直角三角形（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）安徽专版

1黑0号号1吕是1 规律：对于任意锐角a,有sin2a十cos2a=1. 证明：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°. "'sina=a, ,cosx名，C2=a2十b· sin'a+cos'aabc c2 规律：对于任意锐角a,有tana=s加a cos a 证明：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°. a sina c a tan a-b'cos a bb,..tan a= cos a 第3课时特殊角的锐角三角函数值 1B2A3盟 4.23-25.15-1(2 4 3 6.C7.D8.c9.6010.30 01.B12.B13.302714.B15.A16.号 17.-418w619.-号 20.B 28.2解直角三角形及其应用 28.2.1解直角三角形 1.B 2.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5,c=52, .sin A=4=5v c5√22 ∴.∠A=45°，.∠B=90°-∠A=90°-45°=45°， ∴∠B=∠A,.b=a=5. 3.B4.B5.4 6.解：(1)∠A=90°-∠B=90°-60°=30°. G1anB-AC,AC=BC·iamB=4ham60°=4B :cos B-ABAB-Bc4 cos B cos 605=8. (2)∠A=90°-∠B=90°-55°=35°. ':tan B= BC=AC 4 tan B tan55≈2.8 心sin B-AGAB54C-4 sin B sin55o≈49. 7.4√5+3或4√5-38.D9.B10.A n556 12.[探究]SAABC= 2bcsin a [应用]SDABCD= 2absina 方法归纳专题6求锐角三角函数值 常用的四种方法 1.B2.号 酒 4.A5.A 6.解：(1)证明：AE是∠BAC的平分线，∠C=90°， EF⊥AF,∴.CE=EF. CE=FE, 在R△ACE和R△AFE中，AE=AE, ,∴.Rt△ACE≌Rt△AFE(HL). (2)由(1)，知△ACE≌△AFE, ∴.AC=AF. F是AB的一个三等分，点(AF>BF), BF=AF=号AB, 设BF=m,则AC=AF=2m,AB=3m, ∴.BC=√AB2-AC=√9m2-4m=5m. 解法1：∠EFB=∠C=90°，∠B=∠B, EF BF △EFB∽△ACB,AC-BC 由(1)，知CE=EF, ∴.tan∠CAE= CE_EF_BF_m5 ACAC BC 5m5 AC_-2m=25 解法2：在R△ABC中，anB=BC5m 在Rt△EFB中，EF=BF·tanB= 25m 5 CE=EF=2/5m 51 2√5m CE 5 在Rt△ACE中，tan∠CAE= √5 AC 2m 8 9.D10.D 4 11. 12.4 28.2.2应用举例 第1课时 与视角有关的解直角三角形 1.B2.A 3.解：如图，连接CO并延长，与AB交于点D, ..CO=AO. 水面 D 由题意，得CD⊥AB,.AD=BD= 2AB=3米， 答案7· 在Rt△AOD中，∠OAD=41.3°， cos41.3°=A0,即A0 AD 3 c0s41.3≈0.75=4（米）， tan41.3° AD,即0D=AD·tan41.3°≈3×0.88= O 2.64(米)， .CD=CO+OD=AO+OD≈4+2.64=6.64（米）. 答：点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米. 4.A5.50√3 6.解：如图，过点A作AE⊥CD,垂足为E. 36.9° 423.809E ”地面 由题意，得四边形ABCE为矩形， ∴.CE=AB=13.20m. 在Rt△ACE中，tan∠CAE=CE AE CE 13.2013.20 六AE=tan∠CAE-tan23.8≈0.44 =30.0(m). 在Rt△ADE中，oS∠DAE=AE AD' AE 30.030.0 ..AD= cos/DAEcos 36.90.80-37.5(m). 答：AD的长约为37.5m. 7.22.78.11648π 9.解：(1)如图，将测角仪放在点D处，CD为测角仪 的高度，用皮尺测量出点D到AB的距离为m,用测 角仪测出点A的仰角为α，测出，点B的俯角为B.(设 计方案不唯一，合理即可) (2)如图，过，点C作CE⊥AB于点E, 则四边形CDBE是矩形，∠ACE=a,∠BCE=B, ..CE=BD=m,BE=CD, .在Rt△BCE中，BE=CE·tan∠BCE=mtan B, 在Rt△ACE中，AE=CE·tan∠ACE=mtan a, .'.AB=AE+BE=m(tan a+tan B). 答：教学楼AB的高度为m(tana十tanB). 第2课时方向角、坡度与解直角三角形 1.D2.D 3.A,B两点间的距离约为96m 4.A5.4 6.解：该建筑物不需要拆除，理由如下： ,∠CBD=45°，∠CDB=90°，CD=6m, ·答 ∠BCD=∠CBD=45°，∴.CD=BD=6m. :∠CAD=30°，∠CDA=90°， CD =6=63(m), ∴AD=an∠CAD 3 ∴.AN=BD+BN-AD=6+8-6√3≈3.6(m). 3.6>3,.该建筑物不需要拆除. 7.(10√5+20) 8.大蜀山的高度约为281m 9.(1)BD的长度约为26.5km (2)甲无人机飞离B处约3.8km时，两无人机可以 开始相互接收到信号 方法归纳专题7利用三角函数解决实际 问题的常用方法 1.解：如图，过点E作EH⊥AD于点H. B法线 C -水面 E 壁 D97 池底 由题意可知，∠CEB=a=36.9°，∠CBE=3,EH= 1.20 m,DH=CE. BC1.20 在Rt△BCE中，CE= an36.g≈0.75-1.60(m), ∴.AH=AD-DH=AD-CE≈2.50-1.60=0.90(m), .AE=√/AH+EH≈√0.902+1.202=1.50(m), AH0.90 .'sin y= AE≈1.50 =0.60. CE :sinP=sin∠CBE-BE=cos∠CEB=cosa≈0.80， .".sinB0.80 siny0.60≈13. 2.解：如图，过点D分别作DE⊥BC于点E,DF⊥ AB于点F,则四边形DEBF为矩形. A D ■ B E ∠C=45°，∠DEC=90°，.∠CDE=45°. ∠ADC=153°，∴.∠ADF=153°-45°-90°=18°. ,CD=2√2cm,∠C=45°， .∴.DE=CE=2cm. .'BC=5 cm, .'BE=BC-CE=5-2=3(cm), ∴.DF=BE=3cm, ∴.在Rt△ADF中，AF=DF·tan∠ADF≈3X 0.32=0.96(cm). 因此S矩形DEBr=BE·DE=3X2=6(cm2), Sawm=7AF·DF≈号×096X3=1.4(em, 8·28.2.2 第1课时与视角 A知识分点练 夯基础、 知识点1与圆有关的实际问题 1.一可调节弧形衣架的示意图如图所示，它可以 近似看成一段劣弧AC,其中螺母B的位置是 该劣弧的中点，过点B作BM⊥AC,垂足为 M,其中AC=29.6cm,BM=10.3cm,则 ∠BAM的度数约为（参考数据：sin44°≈0.7， cos46°≈0.7，tan35°≈0.7，tan19°≈0.3)() 一螺母 A.19° B.35 C.46° D.44° 2.(教材P74例3变式)若一飞船完成变轨后，就在离 地球表面400km的圆形轨道上运行，如图，当 飞船运行到地球表面上点P正上方的点A处 时，从飞船上能直接看到的地球表面最远的点 与点P相距约（参考数据：地球半径约为 6400km,π≈3，sin20°≈0.34，c0s20°≈0.94， tan20°≈0.36) A.2133km B.2217km C.2298km D.7467km 3.筒车（如图1）是我国古代发明的一种水利灌溉 工具.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图 画描绘了筒车的工作原理.如图2，筒车盛水桶 的运行轨道是以轴心O为圆心的圆.已知圆心 在水面上方，且圆被水面截得的弦AB的长为 6米，∠OAB=41.3°.若点C为运行轨道的最 高点(C,O的连线垂直于AB),求点C到弦 AB所在直线的距离.（结果保留两位小数，参考 56一本·初中数学9年级下册RJ版 应用举例 有关的解直角三角形 数据：sin41.3°≈0.66，c0s41.3°≈0.75， tan41.3°≈0.88) 图 图2 知识点2仰角、俯角问题 4.如图，小明站在泰山山顶A处看到山脚下B处 的泰山天平湖景区，俯角为α，此时小明所处位 置的高度AC为1540m,则B,C两点之间的 距离为 () 540 A. m B.1 540tan a m tan a C.1 540sin a m D.1 540cos a m B -----“ B 第4题图 第5题图 5.如图，为测量一幢楼的高度，在A处测得楼顶 B的仰角为30°，向前走100m到达C处，又测 得楼顶B的仰角为60°，则这幢大楼的高度BD 为 m. 6.(2025·安徽)某公司为庆祝新产品上市，在甲楼 与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛.如 图，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段 AB和CD表示，彩带用线段AD表示.工作人 员在点A处测得点C的俯角为23.8°，测得点 D的仰角为36.9°.已知AB=13.20m,求AD的 长.（结果精确到0.1m,参考数据：sin23.8°≈ 0.40,cos23.8°≈0.91，tan23.8°≈0.44， sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75) D 36.9° AA23.8 777777777777力 B地面 B能力综合练 练思维、 7.(2024·深圳改编)如图，为了测量某电子厂的高 度，小明用高1.8m的测量仪EF测得顶端A 的仰角为45°，小军在小明的前面5m处用高 1.5m的测量仪CD测得顶端A的仰角为 53°，则电子厂AB的高度约为 m. (参考数据n时oas对子m5对) E B 8.【新情境·跨学科】一个数学小组研究如何用 某地的纬度来计算该地所在纬线（圈）的长度. 各成员查阅相关资料，得到如下信息：①地球 半径约等于6400km;②如图1，在地球仪表 面，与地轴垂直并环绕地球一周的圆圈叫做纬 线（圈）；③如图2，OA为地球半径，弦BC∥ OA,∠a的大小为点B所在地纬线（圈）的 纬度 根据以上信息，北纬24°纬线（圈）的长度约为 km.(结果保留π，参考数据：sin24°≈ 0.41,cos24°≈0.91，tan24°≈0.45) 图1 图2 9【新考法·综合与实践】(2024·包头)如图，学校 数学兴趣小组开展“实地测量教学楼AB的高 度”的实践活动.教学楼周围是开阔平整的地 面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺 的功能是直接测量任意可到达的两点间的距 离；测角仪的功能是测量角的大小) (1)请你设计测量教学楼AB的高度的方案，方 案包括画出测量平面图，把应测数据标记在所 画的图形上（测出的距离用m,n等表示，测出 的角用α，3等表示)，并对设计进行说明； (2)根据你测量的数据，计算教学楼AB的高度 (用字母表示). B 7777777777777777777 皮尺 测角仪 第二十八章锐角三角函数57