28.2.1 解直角三角形-【课课练】2025-2026学年九年级下册数学同步训练（人教版）

心。同步训练数学九年级下 目28.21 解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形 888 ©学习日标 1.理解直角三角形中边与边之间的关系、角与角之间的关系、边与角之间的关系 2.能运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余以及锐角三角函数解直角三角形 穷实五分钟 难度肉 1.在Rt△ABC中，BC=3,AC=√3，∠C=90°，则 B地，再从B地向正南方向走200m到C地， ∠A的度数是 ( ) 此时恒恒同学离A地 () 第 A.30° B.40° C.45° D.60° A.50m B.1003m 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=28°，AB= C.150m D.100m 十 10,则AC的长是 ( )4.在△ABC中，AB=6,BC=8,∠B=60°.求 章 △ABC的面积. dc A.10cos28° B.10sin28° C.10tan 28 D.10 sin28° 3.恒恒同学从A地沿北偏西60方向走100m到 素养稳提升 难度：☆ 5.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于6如图，在边长相等的小正方形组成的网格中， 点O,∠AOD=60°，AC=BD=2,则这个四边形 点A,B,C都在格点上，则sinLACB的值为 ABCD的面积是 ( ) () B C 25 3 C.√3 D.23 2 5 5 44 第二十八章桃布三帝函纸可 7.如图，在△ABC中，AB=√5，BC=3,cosB=10.如图，在△ABC中，AD⊥BC,BE=AE=AC= 3 ,则上C的度数为 25 ( 10,c0sC=5 (1)求BC的长； (2)求sinB的值. B A.75°B.60°C.45° D.30° 8在△18c中，已知m日=，AB=102,AC E D 5√5.求△ABC的面积 第二十八章 9.如图，将边长为2cm的两个互相重合的正方 11.如图，在△ABC中，∠B=120°，AB=4,BC=2, 形纸片中的一个按住不动，另一个绕点B旋转 求AC的长 一定的角度，使重叠部分的面积为43cm2, 求旋转角度. B D 45 问步川练数学九年级下川则 12.如图，在正方形ABCD中，E,F分别是边AD, (2)当0，M,D三点共线时，请直接写出 BC上的动点，且EF始终与以AB为直径的 tan∠OFE的值. ⊙0相切于点M,连接OE,OF, (1)求证：0E⊥0F; 中考一点通 难度：☆白 13.如图，在平面直角坐标系中，用12个以点014.如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，CD 为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图 是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD,AE 案.若OA=1,∠OAB=90°，求点E的坐标. 与CD,CB分别相交于点H,E,AH=2CH. 第二十八章 C (1)求证：AC·BC=AH·AB; (2)求sinB的值； (3)若CD=√5，求BE的长 46。问步练数学九年级下册则 .∴.sina+cosa= y x 2x AC AC ∴.sinB= rr-√5x-√5x AB10' 35 .∴.AC=10sinB=10sin28°. 3.B由题意画出示意图，如图所示. 北 综上所述，sina+cosa的值为3的 B100m D 皮 西 东 200m (3)解：角a是钝角，且点P(x,√5)是 角α终边上一点， .点P在第二象限」 AD=AB·sin60°=50W3m, 如图4，过点P作PM⊥x轴于点M. BD=AB·cos60°=50m, .CD=BC-BD=150 m. P(x,5 在Rt△ADC中，AC=√AD+CD2= √(503)2+1502=100w3(m). 4.解：如图，过点A作AD⊥BC于点D. 图4 ∴.c0s= 4,且cosa= -√② 7=4x,解得r=22. D 在Rt△ABD中，inB= 在Rt△PMO中， AB' OM =√OP2-PMr =√P-y 即血60=03 6=2 √(22)2-(5)2=√3， 解得AD=3√3， 点P的坐标为(-√5，√5)， 则5度=宁C…AD=×8x33=12,3. y√5√15 .'tan a= 素养稳提升 x-√5 3 5.C如图，过点D作DG⊥AC于点G,过点 28.2解直角三角形及其应用 B作BH⊥AC于点H. 28.2.1解直角三角形 夯实五分抑 1.D 2.B在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10, ∠B=28°， 36 参米答来及解种园 :∠A0D=60°， ∴.∠B0C=60°， DG=D0·sinL40D= B 2D0 D 在Rt△ADB中， 同理可得，BH=B0·sin BOC=5。 2B0, AB=√5，c0sB= BD 25 AB-5, 习eo=5ax村aue 24C·DG 24C·BH BD=AB,c08B=5×25 2, c. 1 -(D0+B0) 2 .AD=√AB2-BD=√(W5)2-22=1. BC=3, =3. ∴.CD=BC-BD=3-2=1, 6.C如图，过点B作AC的垂线，垂足为M. 设小正方形的边长为a. 在Rt△ADC中，anC=1 CD=1, .∠C=45° 8.解：如图1，当△ABC为锐角三角形时，过 点A作AD⊥BC于点D. 在Rt△ABD中，AD=AB·sinB=10√2× 在边长相等的小正方形组成的网格中， 点A,B,C都在格点上， √2 =10, .AB=a2+(3a)2=√10a, ∴.BD=√AB2-AD2=10. BC=√a2+(3a)2=√10a, 在Rt△ACD中，CD=√AC2-AD2= AC=√(2a)2+(2a)2=2√2a, √(55)-102=5， ..AB=BC. .BC=BD+CD=15, BM⊥AC, .M是AC的中点， SAANC=BC AD=7X15x10=7 ..CM-2AG-x2/2a-/2a 1 如图2，当△ABC为钝角三角形时，过点A 作AD⊥BC交BC的延长线于点D. 在Rt△BCM中，BM=√BC2-CM 在Rt△ABD中，AD=AB·sinB=10√2× √（√10a)2-(2a)7=22a, √2 =10, sinLACB=BM_2/2a_2/5 2 BC√I0a5 .BD=√AB2-AD2=10. 7.C如图，过点A作AD⊥BC于点D. 在Rt△ACD中， 37 同步训练数学九年级下册R则 CD=√AC2-AD=√(55)2-102=5， ∴.DE=CD=6, ∴.BC=BE+DE+CD=10+6+6=22, .BC=BD-CD=5, (2).∠ADE=∠ADC=90°，BE=AC= .SAARC=- c·A0×5x10-25. 10,DE=CD=6, 综上，△ABC的面积为75或25. .BD=16, AD=√AC2-CD2=√102-62=8， .AB=√AD2+BD2=√82+16=8√5， AD8√5 B D .'sin B=- ΓAB855 图1 图2 11.解：如图，过点C作CD⊥AB,交AB的延 9.解：在Rt△A'BE和Rt△CBE中， 长线于点D. (BA'=BC, BE=BE, .Rt△A'BE≌Rt△CBE(HL), 6 SSc2 23=3(cm2). ·∠ABC=120°， ∴.∠CBD=180°-120°=60° .BC=A'B=2 cm,SACBE=7 2Bc·EC, BC=2, 1 CDCD√3 SaBs=2A'B·A'E, sin∠CBD BC2=2,Cos∠CBD= BD 1 .EC=A'E= 23 3 cm. BC2· .CD=√3，BD=1. A'E√3 在Rt△A'BE中，tanA'BE A'B3, AB=4, ∴.∠A'BE=∠CBE=30°， ∴.AD=AB+BD=4+1=5, .∠A'BC=60°， .AC=√AD+CD=√52+(3)2=2万. .∠ABA'=90°-∠A'BC=30°， 12.（1)证明：如图1，连接0M. 即旋转角度为30°. 10.解：(1)cosC= 5,AD⊥BC,BE=AE= AC=10, B ∴.∠ADE=∠ADC=90°，DE=CD, 图1 CD_3 :四边形ABCD是正方形， AC5' .·.∠BAD=∠ABC=90°. 38 参米答来及解种园 AB是⊙O的直径， .·∠EOM+∠OEM=LOFE+∠OEM=90°， .AD,BC是⊙O的切线. ∴.∠EOM=∠OFE, 又EF始终与以AB为直径的⊙O相切于 点M, tanLOFE=tanL EOM-5-1 2 ∠NM0E=3∠A0M,∠M0F=7∠B0H, 中考一点通 13.解：，题图中的12个直角三角形是相似 ·∠EOF=∠MOE+∠MOF=2∠A0M+ 三角形， 1 =30°. ∠B0M= ×180°=90， ∠A0B=360 12 0A√3 ..OE⊥0F. 在Rt△AOB中，cos∠AOB= OB 2 (2)an∠0FE=5-l 2 0=3 0B 提示：当O,M,D三点共线时，延长OM 必经过点D,如图2 同理可得0B= 0,0c=3 2 D, 2 a3)20c,0A=(2 OA=1, ∴.OD= 83 图2 9, 设0A=x,则AD=2x, .DE=OD.tan 309=8 :tanLADO=2 1 设AE=y,则EM=y,DM= EM 点B的坐标为（号，。 anLADO =2y 14.（1)证明：：∠ACB=90°，CD是斜边AB 在Rt△DME中，DE=√EM+DM=√5y. 上的中线， AE+DE=AD, .'AD=CD, .y+V5y=2x, .∴.∠CAB=∠HCA. y=5-1 :AE⊥CD, x2 ∴.∠ACB=∠CHA=90°， ∴.△ABC∽△CAH, 在Rt△OME中，tan∠EOM= EM OM BC AB y=5-1 AH CA' .AC·BC=AH·AB. 39 。问步练数学九年级下册则 (2)解：∠ACB=90°，CD是斜边AB上 28.2.2应用举例 的中线， 夯实五分钟 .CD=BD, 1.C ∴.∠B=∠BCD. 2.C设山高AB为xm.由题意得， AE⊥CD, ∠ACB=30°，∠ADB=45°，∠ABC=90°. .∴.∠CAH+∠ACH=90°. 在Rt△ACB中，有CB=x tan30。=y3xm. 又∠ACB=90°， ∴.∠BCD+∠ACH=90°， 在R△ADB中，有BD=x tan 450=x m, ∴.∠B=∠BCD=∠CAH. CD=CB-BD,..3x-x=50, AH=2CH, 解得x=25(3+1). .由勾股定理，得AC=√A+C=√5CH, 3.D如图，标示点C.由题意，得∠A=10°， CH√5 BC⊥AC,AB=120m, AC 5' CH√5 .∴sinB=sin CAH= AC 5 .sin A=BC 5 ' (3)解：.sinB= ∴.BC=AB·sinA=120sin10°m, AC_5 即她沿垂直方向升高了120sin10°m. ·.AB5 4.16.5自动扶梯示意图如图所示. 又AB=2CD=2W5, .AC=2. B 设CE=x(x>0),则AE=√5x. 根据题意，得AC=12m,AB=3.4m, 在Rt△ACE中，CE2+AC2=AE2, 在Rt△ABC中，sinC= AB3.417 AC1260' 2+22=(5x)2, .∠C≈16.5 解得x=1, 5.20由题意，知∠BCA=90°， .CE=1. BC3 .∴.sina= 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2, AB 5 .BC=12m, ∴.22+BC2=(25)2, 5 解得BC=4, AB= BC=12x=20(m): sin a 3 .∴.BE=BC-CE=3. 6.20.8如图，过点P作PD⊥AB,交AB的 40