26.2 实际问题与反比例函数-【课课练】2025-2026学年九年级下册数学同步训练（人教版）

第二十六章反比湖函数 目26.2实际问题与反比例函数 889 ®学习日标 一十六章 1.能充分利用反比例函数的图象和性质解决实际问题 2.能从实际问题中分析出变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题 夺实五分钟 难度☆ 1.攀登探险者一般会携带一种容积为5L的氧 40 y= (8≤x≤40) 气瓶。一位探险者的吸氧速度为每小时不少于 1L,但不多于5L,则氧气可供使用的时间y C.早晨8：00接通电源从20℃开始加热，可以 (单位：h)关于此人的吸氧速度x(单位：Lh) 保证当天上午9：30喝到不超过40℃的水 的函数图象是 D.在单次加热一降温的过程中，水温不低于 77 30℃的时间为3min 3.根据物理学知识，pPa 4000H 在压力不变的情3000 况下，某物体受到2000 1000 的压强p(单位： 00.10.20.30.40.57m Pa)是它的受力面积S(单位：m)的反比例函 数，其函数图象如图所示，当S=0.25m2时， 该物体受到的压强p的值为 Pa. D 4.一杠杆装置如图所示，杆的一端吊起一桶水， 2.学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升 所受的重力为250N,木桶对杆的拉力的作用 10℃，加热到100℃即停止加热，水温开始下 点到支点的距离为1.2m,杆与水平线的倾斜 降，此时水温y(单位：℃)与通电时间x(单位： 角为45°.设在杆的另一端施加的压力为p(单 min)成反比例.当水温降至20℃时，饮水机再 位：N),压力作用点到支点的距离为d(单位： 次自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温 m).(杆自身所受的重力略去不计) y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列 (1)求p关于d的函数解析式； 说法正确的是 (2)若d=2.4m,则杆的另一端所施加的压力 A.水温从20℃升高到y/℃ 为多少？ 100℃，需要7min 100 阻力 动力臂 B.水温下降过程中，y 阻力 20 与x的函数解析式是 x/min 动力 7 。问步练数学九年级下册则 第 素养稳提升 难度：亡 十 5.随着私家车的增加，城市的交通也越来越拥 (1)求这一系列圆锥模型的底面积S(单位： 挤.通常情况下，某段高架桥上车辆的行驶速 cm)关于高h(单位：cm)的函数解析式， 章 度y(单位：km/h)与高架桥上每百米拥有车的 并画出函数图象； 数量x(单位：辆)的关系如图所示，当x≥10 (2)利用所画的函数图象，当高的长度限定为 时，y与x成反比例，当车速度低于20km/h, 50≤h<100时，求底面积的取值范围. 交通就会拥堵，为避免出现交通拥堵，高架桥 上每百米拥有车的数量x的取值范围是 y/(km/h) 80 010 x/辆 6.某水库原有水160万立方米，由于连降大雨， 8.实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后， 水库蓄水量达到了190万立方米，为了保证水 1.5h内其血液中的酒精含量y(单位：mg 100mL)与时间x(单位：h)的关系可近似地用 库安全，该区的防洪部门决定开闸放水，使水 库蓄水量回到160万立方米 二次函数y=-200x2+400x刻画；1.5h后（包 括1.5h)y与x的关系可近似地用反比例函 (1)写出放水时间t(单位：天)与每天放水量a (单位：万立方米)之间的函数解析式； 数y=(>0)刻画（如图所示）。 (2)如果每天放水6万立方米，几天可以使水 (1)根据上述数学模型计算，喝酒后几时血液 库蓄水量达到160万立方米？ 中的酒精含量达到最大值？最大值为 多少？ (2)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精 含量大于或等于20mg/100mL时属于“酒 后驾驶”，不能驾车上路.参照上述数学模 型，假设某驾驶员第一天20：00在家喝完 半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车 7.已知圆锥的体积V=】Sh(S表示圆锥的底面 去上班？请说明理由， 3 4y/(mg/100mL） 积，h表示圆锥的高)，某工厂要制作一系列圆 锥模型，要求体积保持不变.测得其中一个已 30 做成的圆锥模型的底面半径为 cm,高为 x/h 10cm. 8 第二十六章反比湖函数 中考一点遇 9.研究发现，每个人都有一条腿迈出的步子比另10.有一台室内去除甲醛的空气净化器需要消耗 一条腿迈出的步子长的特点，这就导致人在蒙 净化药物去除甲醛，设净化药物的消耗量为 上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前 x(单位：kg),室内甲醛含量为y(单位：mg 章 进，但实际上走出的却是一个大圆圈！这就是 m3),开机后净化器开始消耗净化药物.当0< 有趣的“瞎转圈”现象.经研究，某人蒙上眼睛 x≤1时，室内甲醛含量不改变；当x>1时，净 走出的大圆圈的半径y(单位：m)是其两腿迈 化器开始计时.开始计时后，设时间为t(单 出的步长之差x(x>0,单位：cm)的反比例函 位：h)(t>0),并有以下两种工作模式 数，y与x之间有如下关系： 模式I:室内甲醛含量y与净化药物的消耗 x/cm 1 2 3 5 量x成反比例，且当x=2时，y=0.9; 模式Ⅱ：净化药物的消耗量由挡位值k(0<k≤ 14 y/m 14 2.8 3 10,且k为整数)控制，消耗量是挡位值k与 时间t的积，计时后甲醛的减少量d(单位： 请根据表中的信息，解决下列问题： mg/m3)与时间t的平方成正比，且当t= (1)直接写出y关于x的函数解析式： 2时，d=20 已知开机前测得该室内的甲醛含量为 (2)当某人两腿迈出的步长之差为0.5cm时， 1.8mg/m3. 他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为 (1)在模式I下，直接写出y与x的函数解析 m; 式.（不写x的取值范围） (3)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不 (2)在模式Ⅱ下： 小于35m,则其两腿迈出的步长之差最多 ①用k,t表示x,用含t的关系式表示d; 是多少厘米？ ②当k=5时，求y关于x的函数解析式. (不写x的取值范围) (3)若采用模式Ⅱ去除甲醛，当k=5,y= 1mg/m3时，与模式I相比，消耗相同的 净化药物，哪种模式去除甲醛的效果更 好？请通过计算说明理由. 9 步练数学九年级下册R则 第 纽化0纤 反比例函数的应用 六章 1.荣荣家用购电卡购买了1000kW·h电，这些 (2)若超市考虑学生的消费实际，计划将该物 电能够使用的天数m与荣荣家平均每天的用 品每天的销售利润定为60元，则该物品的 电量n(单位：kW·h)有怎样的函数关系？如 售价应定为多少？ 果平均每天用4kW·h电，这些电可以用多长 时间？ 4.某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系 统的大棚栽培蔬菜某天恒温系统从开启到关 闭及关闭后，大棚内温度y(单位：℃)与时间x (单位：h)之间的函数关系如图所示（恒温系 2.已知某品牌显示器的寿命大约为2×104h. 统开启前的温度是10℃)，AB段为开启恒温 (1)这种显示器可工作的天数d与平均每日 系统后，温度升高阶段，此时大棚内温度y与 工作的小时数t之间具有怎样的函数 时间x之间满足关系式：y=5x+10,BC段是恒 关系？ 温阶段，关闭恒温系统后，大棚内温度y与时 (2)如果平均每天工作10h,那么这种显示器 间x之间的关系是某反比例函数图象的一部 大约可使用多长时间？ 分（图中CD段），请根据图中信息解答下列 问题： (1)求a的值； (2)若大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃ 到20℃的条件下最适合生长，那么这种蔬 菜一天内最适合生长的时间有多长？ y/C 20 B 3.校园超市以4元/件的价格购进某物品，为制 定该物品合理的销售价格，对该物品进行试销 02 24x/H 调查.发现每天调整不同的销售价，其销售总金 额为定值，其中某天该物品的售价为6元/件 时，销售量为50件， (1)设该物品的售价为x元/件时，销售量为y 件，请写出y关于x的函数解析式；（不用 写出x的取值范围) 10 第二十六章反比湖函数 5.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为 “单位铅垂高”t=1.求此时m的值； 平行四边形，点A,D的坐标分别为(-2,5)， (3)已知二次函数y=-5x2(x≤0)，求这个二 (0,1),点B(3,5)在反比例函数y=(x>0) 次函数的“单位铅垂高”t的最小值 的图象上 六章 0 (1)求反比例函数y=的解析式； (2)求点C的坐标； (3)将口ABCD沿x轴正方向平移10个单位 长度后，判断点C能否落在反比例函数 7.如图，点A(3,2)和点M(m,n)(m≠3)都在反 =x>0)的图象上，请说明理鱼 比例两数y=(0)的图象上 (1)求k的值，并求当m=4时，直线AM的解 析式。 (2)过点M作MP⊥x轴，垂足为P,过点A作 AB⊥y轴，垂足为B,直线AM交x轴于点 Q,试说明四边形ABPQ是平行四边形 (3)在(2)的条件下，四边形ABPQ能否是菱 形？若能，请求出m的值；若不能，请说明 理由. 6.为了探究函数在图象不明的情况下，函数值的 变化情况，我们可以这样定义：如果点A(m, n1),B(m+1,n2)在函数的图象上，那么我们把 t=n2-n1称为该函数的“单位铅垂高”.例如， 对于函数y=3x+2,当x=m时，n1=3m+2;当 x=m+1时，n2=3m+5,n2-n1=3,则函数y= 3x+2的“单位铅垂高”t=3. (1)正比例函数y=-2x的“单位铅垂高”t= (2)若点A(m,n1),B(m+1,n2)在反比例函数 y=-0的图象上，则这个反比例函数的 20 11.点D的坐标为(-3，-2) (3)点B未落在反比例函数)y=-18的图象 上.理由如下： 2 对于一次函数y=-亏x4, 令y=0,则0=子-4，解得x=-6, ∴.点B的坐标为(-6,0)，∴.OB'=OB=6. :点D的坐标为(-3，-2)， .0D'=0D=√13， 如图2，过点D作DP⊥x轴于点P,过点 B'作B'G⊥x轴于点G P O 图2 S△0B=S△Dm08, 20B.DP= 1 0D·B'G, 即*62=分vB8e, B'G=12I3 13 在Rt△OB'G中， 0G=√OB2-B'C=18V3 13 ·点B'的坐标为(l8区123 13,13). 183x(12W )≠-18， 13 13 点B未落在反比例函数y=-18的图 象上 参米答荣及解种 26.2实际问题与反比例函数 夯实五分钟 1.D氧气瓶容量一定，则吸氧速度与氧气 可供使用的时间成反比例，由题意知，函 数解析式为y=.又1≤x≤5，.1≤ y≤5. 2.D.开机加热时水温每分钟上升10℃， .∴.水温从20℃升高到100℃，需要的时 问为0奶2”-8(m),故A选项不符合题 意；由题意可得点(8,100)在反比例函数 的图象上，设反比例函数的解析式为y三 兰k0),将(8,10)代人y会得6 800,.水温下降过程中，y与x的函数关 800 系式是y= (8≤x≤40)，故B选项不符 合题意.对于反比例函数y= 80,令y 20,则020，二x=40,即饮水机从200 开始加热，每经过40min,要重新从20℃ 开始加热一次.从8：00至9：30，经过的时 间为90min,90-40×2=10(min),故9点 30分时，是饮水机第三次从20℃开始加 热后的10min,而水温加热到100℃，需 要的时间为8min,此时的水温相当于x= 10min时的水温，令x=10,则y=800- 800 10 =80,即9点30分时，饮水机的水温为 80℃，故C选项不符合题意；水温从20℃ 升高到30℃所需要的时间为30-20。 10 7 。问步练数学九年级下册则 800 1(min),对于反比例函数y=s0,令y= 答：5天可以使水库蓄水量达到160万立 方米 30,则800 水温不低于 80 =30,解得x= 7.解：(1)由题意得V= 3Tx10× 1 3 77 30℃的时间为-1三3(min),故D选项 30 )2=100(cm3), 符合题意 300 3.0设反比例函数的解析式为p=专(（k≠0，。 ∴S= h (h>0), 函数图象如图所示： 由题图得反比例函数的图象经过点(0.1， S/cm 1000), ∴.k=0.1×1000=100 100 ∴.反比例函数的解析式为p= S h/cm 100 当S=0.25时，p= =400. 0.25 (2)当h=50时，S=6,当h=100时，S=3, 4.解：(1)由题意得，250×1.2=pd, ∴.由函数图象可知当高的长度限定为 则=四 50≤h<100时，底面积的取值范围为3< S≤6. 300 (2)当d=2.4时，p= 8.解：(1)y=-200x2+400x=-200(x- 2.4 =125. 1)2+200, 所以杆的另一端所施加的压力为125N. ∴.喝酒后1h血液中的酒精含量达到最大 素养稳提升 值，最大值为200mg/100mL. 5.0≤x≤40 设反比例函数的解析式为y= (2)不能驾车上班.理由如下： (k≠0).将(10,80)代入y=是，得= :当x=5时，y=45,y=(k>0), 800,故当车的行驶速度为20km/h时，20= .k=xy=5×45=225. 800 解得x=40,故高架桥上每百米拥有 第一天20：00到第二天早上7：00，一共 车的数量x应该满足的范围是0≤x≤40. 有11h, 6.解：(1)水库蓄水量达到190万立方米需 将x=11代入y=,得y三>20 放水30万立方米 .第二天早上7：00不能驾车去上班 由题意，得a=30,即1=30(a>0). 中考一点通 30 (2)当a=6时，t= 6 5 91y-40 8 提示：根据题意，设反比例函数的解析式 为y=(x>0). .当x=1时，y=14, 六14=年即k=4, y关于x的函数解析式是y=14(x>0). (2)28. 提示：某人两腿迈出的步长之差为 1414 0.5cm,即x=0.5,∴.y=一 =28, x0.5 .当某人两腿迈出的步长之差为0.5cm 时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为 28m. 14 (3)解：将y=35代入反比例函数y= (x>0), 得14=35，解得x=0.4. .当x>0时，y随x的增大而减小， ∴若某人蒙上眼晴走出的大圆圈的半径 不小于35m,则其两腿迈出的步长之差最 多是0.4cm. 1.8 10.(1)y= 提示：根据题意，可知当x=2时，y=0.9, .y=1.8, 1.8 .y= (2)解：①由题意可得，x=t+1, 设d=at2, 当t=2时，d=20,则有20=a×22, .a=5, .d=5t2 ②当k=5时，x=5t+1, 参米答来发解种园 5 又y=1.8-d=1.8-5t2, y18-5写3， 化简得，y=5x-1)+1.8. (3)解：消耗相同的净化药物，模式I去 除甲醛的效果更好.理由如下： 对于模式Ⅱ，当4=5时，y=写(-1)+ 1.8. 当y=1mg/m2时，1=号(x-1)2+1.8, 解得x1=3,x2=-1(舍去). 当x=3时，对于模式1，有y=18 1. 3=0.6, .1>0.6, .消耗相同的净化药物，模式I去除甲 醛的效果更好 强化训练 反比例函数的应用 1.解：.mn=1000, ms1000 n 当n=4时，m 1000=250, 4 ∴.这些电可以用250天 2解：(1)：=2x10,d=2×10 (2)当=10时，d=2x10 =2×103, 10 .这种显示器大约可使用2×103天. 9 。问步训练数学九年级下册 3.解：(1)依题意，得xy=50×6=300, 则y=300 (2)依题意，得60=300(x-4). 解得x=5. 经检验，x=5是原分式方程的解且符合 题意 答：该物品的售价应定为5元/件。 4.解：(1)设CD段对应的函数解析式为y= 0. 把D(24,10)代入y=(k≠0)，得 k=24×10=240, y240 当y=20时，20=240 解得x=12,即a=12. (2)对于y=5x+10,当y=12时，12= 5x+10, 解得x=0.4. 240 对于y=,当y=12时，12= 240 t 解得x=20, .20-0.4=19.6(h) 答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有 19.6h. 5.解：(1)把B(3,5)代入y=(x>0》 得k=3×5=15, 15 “反比例函数的解析式为y=元(x>0), (2).四边形ABCD为平行四边形， 10 ∴.AB=CD,AB∥CD. 点A,D,B的坐标分别为(-2,5)，（0， 1),(3,5), ∴.AB=3+2=5,∴.CD=5, ∴.点C的坐标为(5,1). (3)点C落在反比例函数y=15(x>0)的 图象上 理由如下： 把点C(5,1)沿x轴正方向平移10个单 位长度后得到对应点的坐标为(15,1)， 15=1, 而当x=15时，=1 15 .平移后点C能落在反比例函数y= (x>0)的图象上 .(1)-2. 提示：由题意得，当x=m时，n1=-2m;当x =m+1时，n2=-2(m+1)=-2m-2, ∴.正比例函数y=-2x的“单位铅垂高”t= n2-n1=-2m-2-(-2m)=-2. 20)=1, (2)解：由题您得0( ∴.m=4或m=-5. 经检验，m=4或m=-5是方程20-20-1 m+l m 的解 ∴.m=4或m=-5. (3)解：由题意，得t=-5(m+1)2- (-5m2), ∴.t=-5(2m+1). 又m≤0，m+1≤0， ∴.m≤-1. ∴.2m+1≤-1. .t=-5(2m+1)≥5. ∴.这个二次函数的“单位铅垂高”t的最小 值为5. 7.解：(1)点A(3,2)在反比例函数)=x(> 0)的图象上， ∴.k=y=6. 当m=4时，n=多 2,点M的坐标为(4， 设直线AM的解析式为y=cx+d, 1 3c+d=2, C=- 2 则 3解得 4c+d= 2 d2' .直线AM的解析式为y=2x+) (2),点A的坐标为(3,2)，AB⊥y轴， .AB=3,点B的坐标为(0,2)，AB∥PQ, 点M的坐标为(m,,MP1x轴 ∴.点P的坐标为(m,0) 由(1)已设直线AM的解析式为y=cx+d, 将A(3,2),M(m,6)分别代入y=cx+d, m. [3c+d=2, c=-2 m 得 6解得 mc+d=- 6 m d=2+ ·直线AM的解析式为y=- +2+6 m m (m≠3) 令y=0,易得x=m+3,即点Q的坐标为 (m+3,0), ∴.PQ=(m+3)-m=3,∴.AB=PQ. 多米客装发解种园 又ABPQ, .四边形ABPQ是平行四边形 (3)能 当四边形ABPQ是菱形时，PB=AB=3. .在Rt△B0P中，B02+P02=PB2, .22+m2=32, .m=5(负值舍去)， ∴.当m=√5时，四边形ABPQ是菱形 第二十六章 章末综合 一、选择题 1.D对于反比例函数)= ,-7<0,根 据反比例函数的性质，可知该函数的图象 位于第二、第四象限 2.D分两种情况讨论： ①当k<0时，反比例函数y=的图象位 于第二、第四象限，二次函数y=kx2-k的 图象开口向下且与y轴的交点在原点上 方，选项D符合题意，选项B不符合题意； ②当k>0时，反比例函数y=冬的图象位 于第一、第三象限，二次函数y=kx2-k的 图象开口向上且与y轴的交点在原点下 方，选项A,C都不符合题意 3.B·反比例函数y=6的图象上有(x, y1),(x2,y2),(x3y3)三个点，其中x1<x2< 0<x3,且6>0， .y2<y1<y3 4C“点B在反比例函数)y=2(x>0)的 图象上， 设点B的坐标为（石b), 11