2.4 一元一次不等式组（分层题型专练，4夯基题型+5进阶题型+拓展培优）2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第二章 不等式与不等式组 2.4 一元一次不等式组 （分层题型专练） 题型一 识别一元一次不等式组 1．下列各式不是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式不是一元一次不等式组的是（   ）． A． B． C． D． 3．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 4．下列不等式组中，是一元一次不等式组的有________．（填序号） ①    ②    ③   ④    ⑤ 题型二 解不等式组 1．关于的不等式组的解集为（   ） A． B． C． D．无解 2．不等式组的解集为（    ） A． B． C． D．无解 3．不等式组的解集是___________． 4．解不等式组：． 5．解不等式组： 题型三 一元一次不等式组解集在数轴上的表示 1．不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 2．不等式组，则m的取值范围在数轴上可表示为（    ） A． B． C． D． 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 4．关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组的解集为______． 5．解不等式组： ，并将解集在数轴上表示出来． 6．解不等式组：，并在数轴上表示解集． 7．解下列不等式组，把它们的解集在数轴上表示出来． 题型四 列一元一次不等式组 1．2025年5月13日，万源市的最高气温为，最低气温为，则万源市这天的气温的范围是（   ） A． B． C． D． 2．检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．前两次检验，pH的读数分别是7.4，7.9，那么第三次检验的pH应该为多少才能合格？设第3次的pH为x，由题意可得（    ） A． B． C． D． 3．在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 4．根据条件“与和的倍是非正数，的倍与的差小于”列出的不等式组是________． 题型一 根据一元一次不等式组的解情况求参数的取值范围 1．若关于的不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知不等式组有解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．不等式组的解集是0＜x＜2，那么a+b＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 4．已知不等式的解集是，是的取值范围是______． 5．若不等式组的解集是，则的值是________． 6．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是__________． 题型二 一元一次不等式组中整数解问题 1．不等式组的整数解是（    ） A．1 B．0 C． D． 2．不等式组的负整数解是（　　） A．，0， B． C．， D．不能确定 3．如果关于x的不等式组 恰有2个整数解，符合条件的a的取值可以是（   ） A．6 B．3.5 C．4 D．4.5 4．关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 5．不等式组的所有整数解的和为（    ） A． B．0 C．1 D．2 6．关于x的不等式组有且只有2个偶数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．不等式组的整数解为______． 8．已知，则关于的不等式组的所有整数解的积是________． 9．关于的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的整数解有_____个． 10．不等式组的正整数解有_________个． 11．如图，某同学设计了一种计算流程图，据图完成下列问题：如果要使开始输入的x的值经过两次运行才能输出结果，那么的整数值为_______． 12．如果整数使得关于的不等式组有解，且使得关于，的二元一次方程组的解为整数（，均为整数），则符合条件的所有整数的和为_________． 题型三 方程与一元一次不等式组综合问题 1．若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若x，y满足方程和不等式组，则x的范围是（　　） A． B． C． D． 3．在方程组中，若，则的取值范围是_______． 4．若关于，的方程组的解满足，则整数的值是______． 5．已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为____________ 题型四 一元一次不等式组中的新定义问题 1．定义：符号，例如：．若关于的不等式组，恰好有4个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．对于实数，定义一种运算“”：，则不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．定义：若x，y满足（t为参数），则称点为“好点”．在的范围内，若直线上存在“好点”，则c的取值范围为__________． 4．高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过x的最大整数． 例如：，． 则下列结论：①；②；③若，则x的取值范围是； 其中正确的结论有_________（写出所有正确结论的序号）． 5．对于非负实数，“去尾法”到个位的值记为，即当为非负整数时，如果，则．例：， ，解决下列问题： (1)_____、_____； (2)当为非负整数时，求证：； (3)解方程：． 6．已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 题型五 利用一元一次不等式组解决实际问题 1．某商场购进，两种商品，商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元，该商场计划购进，两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数为多少？ 2．某物流公司要运输一批70吨的货物，现有两种运输车辆可供选择：①甲型货车每辆可运货物8吨，运费400元；②乙型货车每辆可运货物6吨，运费360元．若计划用两种货车共10辆，一次性运完所有货物，且总运费不超过3800元，问有几种运输方案？哪种方案总运费最低？最低运费是多少元？ 3．班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 4．已知，两地相距，甲骑自行车，乙骑摩托车沿一条笔直的公路由地匀速行驶到地．设行驶时间为，甲、乙离开地的路程分别记为，，它们与的关系如图所示． （1）分别求出线段，所在直线的函数表达式． （2）试求点的坐标，并说明其实际意义． （3）乙在行驶过程中，求两人距离超过时的取值范围． 5．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 6．【问题背景】 全球气候正在变暖，科学家认为，这与大气中二氧化碳等温室气体的浓度变化有关．每个人的日常消费都会产生二氧化碳（温室气体都可转化为二氧化碳当量计算）排放，积极倡导并实践“低碳”生活是我们每一个人的社会责任．以下是一系列排碳计算公式及数据： 排碳计算公式 每人使用各种交通工具 每移动产生的碳排放量 家庭用电的二氧化碳排放量耗电量 汽油的二氧化碳排放量耗油量 天然气的二氧化碳排放量天然气使用量 自来水的二氧化碳排放量自来水使用量 自行车： 公交车： 汽车： 【理解应用】 （1）王芳家某月的“碳足迹”：家庭用电，水，天然气，汽油，请计算王芳家这个月（按30天计算）平均每天二氧化碳排放量多少（结果保留1位小数）？ 【方案设计】 （2）为了早日实现“碳达峰”，王芳所在区域响应低碳环保号召，计划建设一些共享单车租赁点，已知建设一个小型租赁点的成本是5000元，建设一个大型租赁点的成本是8000元，若该区域计划投入资金不超过50000元，建设大、小两种租赁点一共8个（两种租赁点都至少有一个），则有多少种建设方案？哪种方案最省钱？ ∴建1个大租赁点，7个小租赁点最省钱． 1．若不等式组无解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．定义新运算．若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 3．如图，将函数（为常数）的图象位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（为常数）的图象，若该图象在直线下方的点的横坐标满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知关于x的不等式组有且仅有3个偶数解，且关于y的一元一次方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为__________． 5．为梦想续航，向美好奔赴．1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开跑．3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春．为了在比赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，已知甲、乙、丙的速度均为整数，不低于，不高于，乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持不变．10日甲乙练习时间之比为，丙练习时间比甲少，10日他们一共跑了．11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的，乙增加的时间是丙增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了，则甲的速度为______，11日三人练习时间之和为_______． 6．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为．即：当n为非负整数时，如果，则．反之，当n为非负整数时，如果，则，例如：，，． 试解决下列问题： (1)填空：①___________（π为圆周率）；②如果，则实数x的取值范围为___________． (2)①若关于x的不等式组的整数解恰有3个，则a的取值范围是___________． ②若关于x的方程有正整数解，求m的取值范围． (3)求满足的所有非负整数x的值． 7．如图，某校的饮水机有温水，开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：开水体积开水降低的温度=温水体积温水升高的温度． 阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水秒，则再接温水的时间为多少秒； (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的时间是秒，求乙同学分别接温水和开水所用的时间； (3)丙同学要接一杯的温水和开水混合的水，现有两种方案可供选择，方案一：先接秒的温水，再接开水；方案二：先接秒的开水，再接温水；请你帮助丙同学分析一下哪种接水方案杯中水的温度会更高． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 不等式与不等式组 2.4 一元一次不等式组 （分层题型专练） 题型一 识别一元一次不等式组 1．下列各式不是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的定义，准确判断是解题的关键．根据一元一次不等式组的定义：由几个含有相同未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组，判断即可得到结果． 【详解】解：A、，是一元一次不等式组，故不符合题意； B、，是一元一次不等式组，故不符合题意； C、，是一元一次不等式组，故不符合题意； D、，含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故符合题意； 故选：D． 2．下列各式不是一元一次不等式组的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组． 根据一元一次不等式组的定义进行解答． 【详解】解：A．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误； B．该不等式组中含有2个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项正确； C．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误； D．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误． 故选：B． 3．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元一次不等式组，解题的关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 利用一元一次不等式组定义逐个判断解答即可． 【详解】A．，含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故不符合题意； B．，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组，故不符合题意； C．，是一元一次不等式组，故符合题意； D．，含有分式不等式，不是一元一次不等式组，故不符合题意； 故选：C． 4．下列不等式组中，是一元一次不等式组的有________．（填序号） ①    ②    ③   ④    ⑤ 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的定义，熟练掌握定义并灵活运用是解题的关键．根据一元一次不等式组的定义，含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未知数的最高次数是一次，对各选项判断后即可得解． 【详解】解：根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，所以都是一元一次不等式组； ③含有两个未知数， ⑤含有一个未知数，但未知数的最高次数是2， 所以③⑤都不是一元一次不等式组． 故答案为：①②④． 题型二 解不等式组 1．关于的不等式组的解集为（   ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的解集，利用“大小小大中间找”的规律求解即可． 【详解】解：关于的不等式组的解集为． 故选：C． 2．不等式组的解集为（    ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的求解，分别解出两个不等式，然后即可求出不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式的解集为， 故选：C． 3．不等式组的解集是___________． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，掌握求不等式公共解集的方法是解题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集． 【详解】解： 解①得：， 解②得：， 则不等式组的解集为：， 故答案为： 4．解不等式组：． 【答案】无解． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式①，得； 解不等式②，得； 所以原不等式组无解． 5．解不等式组： 【答案】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为． 题型三 一元一次不等式组解集在数轴上的表示 1．不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解题的关键． 先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为：， 故选：． 2．不等式组，则m的取值范围在数轴上可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式组的解集以及在数轴上的表示，解题关键是理解解集的概念，本题根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无处找”求出解集并在数轴上表示即可． 【详解】解：不等式组的解集为， 利用大小小大取中间，且包括3和4，取实心点， 故选：D ． 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，利用数轴确定不等式组的解集，掌握利用数轴确定几个不等式的解集的公共部分是解题的关键． 分别解不等式组中的两个不等式，再把其解集在数轴上表示即可． 【详解】解： 由①得：， 由②得：， 分别在数轴上表示两个不等式的解集如下： 所以不等式组的解集为： 故选：A 4．关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组的解集为______． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟练的利用数轴确定解集的公共部分是解答此题的关键．由数轴知且，再确定其公共部分即可． 【详解】解：由数轴知：且， 其公共部分为， 故答案为：． 5．解不等式组： ，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先分别解每个不等式，得到不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式，得：， 解不等式，得， ∴该不等式组的解集为 将解集在数轴上表示如图： 6．解不等式组：，并在数轴上表示解集． 【答案】，见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式①得 解不等式②得 ∴不等式组的解集为： 解集在数轴上表示为： ． 7．解下列不等式组，把它们的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式，得 解不等式，得 ∴原不等式组的解集为 将不等式组的解集表示在数轴上，如图所示 题型四 列一元一次不等式组 1．2025年5月13日，万源市的最高气温为，最低气温为，则万源市这天的气温的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出不等式组，解题的关键是抓住关键词，正确理解最高和最低的含义． 万源市的最高气温为，最低气温为，即气温大于或等于，小于或等于，据此写出答案即可． 【详解】解：万源市的最高气温为，最低气温为，则万源市这天的气温的范围是：． 故选：D． 2．检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．前两次检验，pH的读数分别是7.4，7.9，那么第三次检验的pH应该为多少才能合格？设第3次的pH为x，由题意可得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平均数的定义，并结合三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8可得，从而得出答案． 【详解】解：根据题意知， 故选：C． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，解题的关键是掌握算术平均数的定义． 3．在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意，总棵数在两种情况下保持不变，当每人植树3棵时，最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），由此建立不等式组即可． 【详解】解：设该班同学人数为人，则植树的总棵数为棵，位同学植树棵数为， 最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），可列不等式组为：． 故选：B． 4．根据条件“与和的倍是非正数，的倍与的差小于”列出的不等式组是________． 【答案】 【分析】根据题意列出不等式组即可． 【详解】解：根据与和的倍是非正数得：， 根据的倍与的差小于得：， 因此可以列不等式组为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列不等式组，解题的关键是根据不等关系列出不等式． 题型一 根据一元一次不等式组的解情况求参数的取值范围 1．若关于的不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的步骤． 先分别解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组无解（两个解集无公共部分），建立关于的不等式求解即可． 【详解】解不等式，得， 解不等式，得， 又∵不等式组无解， ∴， 解得． 故选：A． 2．已知不等式组有解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式组有解的条件； 根据不等式组有解的条件确定参数的取值范围即可． 【详解】解：若不等式组有解，则两个解集必须有公共部分，此时需满足， 当时，解集为，存在解； 当时，和无公共部分，无解； 因此，的取值范围是， 故选：A． 3．不等式组的解集是0＜x＜2，那么a+b＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【答案】C 【分析】首先解不等式组得到解集为4﹣2a ＜x，得到方程组，求出a和b的值． 【详解】，由①得，x＞4﹣2a，由②得，x， ∵不等式组的解集是0＜x＜2， ∴，解得， ∴a+b＝2﹣1＝1． 故选：C． 【点睛】本题考查解不等式组，方法是首先接触不等式组中各个不等式的解集，其公共部分就是不等式组的解集． 4．已知不等式的解集是，是的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，理解并掌握不等式的基本性质是解题关键．不等式的基本性质：（1）不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；（2）不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．据此求解即可． 【详解】解：解不等式， 不等式的两边同时减去，得． ∵它的解集是， ， ． 故答案为：． 5．若不等式组的解集是，则的值是________． 【答案】1 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出不等式组的解集，再根据解集为确定出a、b的值，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得 ， ∴不等式组的解集为， ∵解集是， ∴且， 解得，， ∴， 故答案为：1． 6．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，结合不等式组的解集可得答案． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集是， 故的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 题型二 一元一次不等式组中整数解问题 1．不等式组的整数解是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为， 故选：C． 2．不等式组的负整数解是（　　） A．，0， B． C．， D．不能确定 【答案】C 【分析】先求出不等式组的解集，再找出解集中符合要求的负整数． 【详解】解：不等式组的解集为：， ∴该不等式组的负整数解是，． 3．如果关于x的不等式组 恰有2个整数解，符合条件的a的取值可以是（   ） A．6 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，关键是掌握解不等式组的方法．先求出每个不等式的解集，再根据不等式组有且只有2个整数解，求出的取值范围即可求解． 【详解】解： ， 两边乘2得，， 解得，； ， 移项得，， 解得，， 不等式组的解集为． 恰有2个整数解， 整数解为2和3， ， 即， 对比选项，只有3.5满足． 故选：B． 4．关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解问题，关键是先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围．首先分别解两个不等式得到不等式组的解集为，再结合“有且只有三个整数解”的条件确定的取值范围，进而求出的最大值． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得； 不等式组的解集为． 不等式组有且只有三个整数解， 这三个整数解为2、3、4， 的取值范围是， 的最大值是5． 故选：D． 5．不等式组的所有整数解的和为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】先解每个不等式，得到解集的范围，然后找出所有整数解，并求和即可． 本题考查了不等式组的解法，熟练掌握解不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式组：， 解第一个不等式 ，得 ， 解第二个不等式 ，得， ∴ 不等式组的解集为 整数解为 和为， 故选：B． 6．关于x的不等式组有且只有2个偶数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 本题考查一元一次不等式组整数解问题，先解不等式组，根据有2个偶数解列不等式组求解即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集是， ∵不等式组有且只有2个偶数解， ∴这2个偶数解为2，4， ∴，解得， ∵a为整数， ∴a为，，，， ∴符合条件的所有整数a的和为：． 故选：B． 7．不等式组的整数解为______． 【答案】 【分析】本题考查求不等式组的整数解，分别求解两个不等式，进而求出不等式组的解集，再确定整数解即可. 【详解】解：解不等式 ，得 ； 解不等式 ，得 ； 所以不等式组的解集为 ， 所以不等式组的整数解为 3； 故答案为：3. 8．已知，则关于的不等式组的所有整数解的积是________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是求不等式组的整数解，解题关键是熟练掌握一元一次不等式组的解法． 先求出不等式组的解集，结合的取值范围找到所有整数解并求积即可． 【详解】解：由可得， ， 不等式组的解为，所有整数解为、、， 故所有整数解的积是． 故答案为：． 9．关于的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的整数解有_____个． 【答案】3/三 【分析】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式组的整数解．根据数轴得到不等式组的解集为，据此即可得到该不等式组的整数解的个数． 【详解】解：由数轴可知关于的不等式组的解集为， ∴该不等式组的整数解有，共3个， 故答案为：3 10．不等式组的正整数解有_________个． 【答案】1 【分析】本题考查解不等式组，求不等式组的正整数解，先解不等式组，根据不等式组的解集求正整数解，即可求解． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： ∴正整数解有，共1个 故答案为：． 11．如图，某同学设计了一种计算流程图，据图完成下列问题：如果要使开始输入的x的值经过两次运行才能输出结果，那么的整数值为_______． 【答案】或 【分析】本题考查了流程图和不等式，根据题意得到不等式组，求解即可． 【详解】根据题意，得 解得： 为整数 的整数值为或 故答案为：或． 12．如果整数使得关于的不等式组有解，且使得关于，的二元一次方程组的解为整数（，均为整数），则符合条件的所有整数的和为_________． 【答案】 【分析】根据不等式的性质解不等式组，根据不等式组的解集的情况求出整数的取值范围，根据解二元一次方程组的方法求出关于，的值，根据二元一次方程组的解为整数，通过试根的方法判定整数的值，由此即可求解． 【详解】解：， 由①得，；由②得，； ∵关于的不等式组有解， ∴， ， 得，，则， ∴， 把代入③得，，解得，， ∴关于，的二元一次方程组的解为，且，均为整数， 由不等式有解得，， ∴当时，，，符合题意； 当时，，中，分母为零，无意义，不符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意； 综上所述，符合题意得的值有：， ∴符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，不等式组解集，二元一次方程组的解的综合，掌握不等式的性质解不等式组，求不等式组的解集，解二元一次方程组的方法及解的情况等知识是解题的关键． 题型三 方程与一元一次不等式组综合问题 1．若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组和一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加可得，再根据方程组解的情况得到关于的不等式，求最小整数解即可． 【详解】解：， 由得：， 方程组的解满足， ， 解得：， 整数m的最小值为2， 故选：B． 2．若x，y满足方程和不等式组，则x的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，则可变形为，可变形，再分别求解即可得出答案． 【详解】解：由得， 则可变形为， 解得， 可变形为， 解得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 3．在方程组中，若，则的取值范围是_______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组以及解二元一次方程组．先根据方程组将两式相减，得到，再代入，得到关于k的不等式组，进而得出k的取值范围． 【详解】解：， 得：， 又∵， ∴， 解得． 故答案为：． 4．若关于，的方程组的解满足，则整数的值是______． 【答案】3 【分析】求出y-x=k-2，根据0＜y-x＜2得到k的范围，即可得到答案． 【详解】解：， ①-②得：y-x=k-2， ∵0＜y-x＜2， ∴0＜k-2＜2， ∴2＜k＜4， ∵k是整数， ∴k=3； 故答案为：3． 【点睛】本题考查二元一次方程组及一元一次不等式组，解题的关键是求出y-x=k-2，由已知得出关于k的不等式． 5．已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为____________ 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式，两个方程相减得到，再根据列出关于的不等式，可解得的范围，得到符合条件的所有整数m的值，最后求和即可． 【详解】解： 得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴符合条件的所有整数m的取值为，，，，，，， ∴符合条件的所有整数m的取值之和为， 故答案为：． 题型四 一元一次不等式组中的新定义问题 1．定义：符号，例如：．若关于的不等式组，恰好有4个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义运算，求不等式组的解集，先根据新定义将不等式组转化为常规一元一次不等式组，求解解集后，结合恰好有4个整数解的条件，确定k的取值范围即可． 【详解】解：∵定义， ∴第一个不等式转化为：， 化简得：， 即， ， 第二个不等式转化为：， 化简得：， ， ， 则不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有4个整数解，整数解为，0，1，2， ， 不等式两边同乘7得： 解得：． 故选：B． 2．对于实数，定义一种运算“”：，则不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式组，将不等式组的解集表示在数轴上，先由新定义运算可得不等式组为，再分别求解，表示在数轴上即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵对于实数，定义一种运算“”：， ∴不等式组为， 解可得：， 解可得：， 将解集表示在数轴上如图所示： 故选：D． 3．定义：若x，y满足（t为参数），则称点为“好点”．在的范围内，若直线上存在“好点”，则c的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与系数的关系，求不等式组的解集等知识，熟练掌握以上知识点是关键． 根据题意得出，消去t得，在中，代入计算得出． 【详解】解：∵在的范围内，若直线上存在“好点”， ∴， 消去t得， ∴， ∴， 故答案为：． 4．高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过x的最大整数． 例如：，． 则下列结论：①；②；③若，则x的取值范围是； 其中正确的结论有_________（写出所有正确结论的序号）． 【答案】①③ 【分析】本题考查了高斯函数的概念及其性质，解题的关键在于准确理解高斯函数的定义．根据高斯函数的定义，逐一分析各结论的正确性即可． 【详解】解：①，正确； ②取反例验证： 当时，，，和为； 当时，，，和为； 当时，，，和为． 因此结论②不总成立，错误． ③若，则， 解得，即，正确． 综上所述，①③正确， 故答案为：①③． 5．对于非负实数，“去尾法”到个位的值记为，即当为非负整数时，如果，则．例：， ，解决下列问题： (1)_____、_____； (2)当为非负整数时，求证：； (3)解方程：． 【答案】(1)、 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了新定义和一元一次方程与不等式组的应用， 熟练掌握不等式的解法，理解的意义是解题的关键． （1）由题意可直接得出结论； （2）根据题意，得到中的取值范围，由不等式的性质得出的取值范围，即可证明出； （3）设，将方程转化为关于的方程，解得关于的取值范围，由为非负整数，把的值代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意得、， 故答案为：、； （2）证明：设，则且为非负整数， 为非负整数， ， ， ， ； （3）解：设且为非负整数，则原方程转化为， 解得， ， ， 解得， 为非负整数， ， 当时，， 符合题意， ， 答：方程的解为． 6．已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，列代数式，正确理解的意义是解题的关键． （1）根据符号表示大于或等于的最小正整数求解即可； （2）以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），结合的意义列式即可； （3）把代入求解的范围即可解答． 【详解】（1）解：表示大于或等于的最小正整数， ，， ， ， 故答案为：，，； （2）解：由题意得，当（单位：千米）时，， 故答案为：； （3）解：由题意得，， 得， 故， 即， 故该乘客所行的路程的取值范围：． 题型五 利用一元一次不等式组解决实际问题 1．某商场购进，两种商品，商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元，该商场计划购进，两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数为多少？ 【答案】购进商品的件数为19或20件 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用；设购进件商品，则购进件商品，根据题意列出一元一次不等式组，计算求解即可． 【详解】解：设购进件商品，则购进件商品，根据题意得： 解得：， 整数值为19或20． 答：购进商品的件数为19或20件． 2．某物流公司要运输一批70吨的货物，现有两种运输车辆可供选择：①甲型货车每辆可运货物8吨，运费400元；②乙型货车每辆可运货物6吨，运费360元．若计划用两种货车共10辆，一次性运完所有货物，且总运费不超过3800元，问有几种运输方案？哪种方案总运费最低？最低运费是多少元？ 【答案】运输方案共1种：甲型货车5辆、乙型货车5辆；最低运费3800元 【分析】本题考查不等式组解应用题，读懂题意，准确列出不等式组求解是解决问题的关键． 设安排甲型货车辆，则乙型货车为辆，根据题意，列不等式组求解即可得到答案． 【详解】解：设安排甲型货车辆，则乙型货车为辆，根据题意列不等式组： ， 解不等式①得； 解不等式②得； ， 则只有1种运输方案：甲型货车辆，乙型货车辆； 总运费为：（元）， 答：有种运输方案，该方案为最低运费方案，最低运费3800元． 3．班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 【答案】(1)A种奖品最多买了35件； (2)①；②36 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式以及一元一次不等式组的应用． （1）设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，根据最初购买的奖品总数不超过100件，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再将x的最大整数值代入中，即可求出结论； （2）①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，利用颁发A，B两种奖品的总数量=颁发A种奖品的数量+颁发B种奖品的数量，可用含x的代数式表示出颁发A，B两种奖品的总数量； ②根据颁发A，B两种奖品的总数量不低于45件且不超过件，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x，均为正整数，可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为7， ∴（件）． 答：A种奖品最多买了35件； （2）解：①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， ∴此次颁奖，共颁发了A，B两种奖品（件）． 故答案为：； ②根据题意得：， 解得：， 即， 又∵x，均为正整数， ∴， ∴． 答：全班有36位同学获得了B种奖品． 4．已知，两地相距，甲骑自行车，乙骑摩托车沿一条笔直的公路由地匀速行驶到地．设行驶时间为，甲、乙离开地的路程分别记为，，它们与的关系如图所示． （1）分别求出线段，所在直线的函数表达式． （2）试求点的坐标，并说明其实际意义． （3）乙在行驶过程中，求两人距离超过时的取值范围． 【答案】（1）所在直线的函数表达式，线段所在直线的函数表达式； （2）F 的坐标为，甲出发小时后，乙骑摩托车到达乙地； （3）或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键． （1）利用待定系数法求出线段OD的函数表达式，进而求出点C的坐标，再利用待定系数法求出线段EF所在直线的函数表达式； （2）根据线段EF所在直线的函数表达式求出F的坐标，即可说明其实际意义； （3）根据两条线段的函数表达式列不等式解答即可． 【详解】解：（1）设线段所在直线的函数表达式， 将，代入， 得， ∴线段所在直线的函数表达式， 把代入，得， ∴点的坐标为， 设线段所在直线的函数表达式， 将，代入， 得， 解得：， ∴线段所在直线的函数表达式； （2）把代入，得， ∴的坐标为， 实际意义：甲出发4.5小时后，乙骑摩托车到达乙地； （3）由题意可得，或者, 当时，， 解得， 又∵当时，乙开始行驶， ∴当时，， ∴, ∴, 当时，， 解得, 又∵当时，乙骑摩托车沿一条笔直的公路由A地匀速行驶到B地． ∴当时，， ∴, ∴, 综上所述，乙在行驶过程中，两人距离超过时的取值范围是：或． 5．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【详解】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 6．【问题背景】 全球气候正在变暖，科学家认为，这与大气中二氧化碳等温室气体的浓度变化有关．每个人的日常消费都会产生二氧化碳（温室气体都可转化为二氧化碳当量计算）排放，积极倡导并实践“低碳”生活是我们每一个人的社会责任．以下是一系列排碳计算公式及数据： 排碳计算公式 每人使用各种交通工具 每移动产生的碳排放量 家庭用电的二氧化碳排放量耗电量 汽油的二氧化碳排放量耗油量 天然气的二氧化碳排放量天然气使用量 自来水的二氧化碳排放量自来水使用量 自行车： 公交车： 汽车： 【理解应用】 （1）王芳家某月的“碳足迹”：家庭用电，水，天然气，汽油，请计算王芳家这个月（按30天计算）平均每天二氧化碳排放量多少（结果保留1位小数）？ 【方案设计】 （2）为了早日实现“碳达峰”，王芳所在区域响应低碳环保号召，计划建设一些共享单车租赁点，已知建设一个小型租赁点的成本是5000元，建设一个大型租赁点的成本是8000元，若该区域计划投入资金不超过50000元，建设大、小两种租赁点一共8个（两种租赁点都至少有一个），则有多少种建设方案？哪种方案最省钱？ 【答案】（1）；（2）有3种建设方案；建1个大租赁点，7个小租赁点最省钱 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，不等式组的应用，解题的关键是理解题意，根据不等关系，列出不等式． （1）根据题干信息列出算式进行计算即可； （2）设大租赁点x个，则小租赁点个，根据投入资金不超过50000元，两种租赁点都至少有一个列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：（1） ， 答：王芳家这个月（按30天计算）平均每天二氧化碳排放量． （2）设大租赁点x个，则小租赁点个，根据题意得： ， 解得：， ∴x的整数解有1，2，3， ∴有3种建设方案，方案一：建2个大租赁点，6个小租赁点；方案二：建3个大租赁点，5个小租赁点；方案三：建1个大租赁点，7个小租赁点； 方案一所需要费用：（元）； 方案二所需要费用：（元）； 方案三所需要费用：（元）； ∵， ∴建1个大租赁点，7个小租赁点最省钱． 1．若不等式组无解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组无解的问题，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤以及不等式组解的情况． 先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件确定实数a的取值范围． 【详解】解：解不等式，得； ∵解不等式， 移项得， 即， ∴； ∵不等式组无解； ∴两个解集无公共部分，即， ∴解得， 故选：D． 2．定义新运算．若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是根据不等式组的整数解的含义求解字母的取值范围，根据新运算定义，分别计算两个不等式，得到解集为. 要求恰有三个整数解，即，故需，解得． 【详解】解：∵， 对于： ∵， ∴， 即， 对于： ∵， ∴， 即， ∴不等式组解为 要求恰有三个整数解，即 ∴需， ∴． 故选：B． 3．如图，将函数（为常数）的图象位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（为常数）的图象，若该图象在直线下方的点的横坐标满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是正确理解题意，能根据一次函数的增减性列出符合题意的不等式组．根据题意，直线的图象沿x轴翻折后的函数关系式是，两函数与x轴的交点坐标为，且对，当时；对，当时，；据此列出不等式组，再求解即可． 【详解】解：根据题意，直线的图象沿x轴翻折后的函数关系式是， 把代入得：， 解得：， ∴两函数与x轴的交点坐标为：， 对，当时； 对，当时，； 可列出不等式组， 解得：． 故选：A． 4．已知关于x的不等式组有且仅有3个偶数解，且关于y的一元一次方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和一元一次方程，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和一元一次方程的一般步骤． 先解不等式组得到，再由不等式组有3个偶数解得到，接着解一元一次方程得到，利用一元一次方程的解为非负整数和得到，， ，从而得到结果． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有3个偶数解， ∴这3个偶数解为，0，2， ∴， 解得． 解方程， 得， ∵方程的解为非负整数， ∴， 解得，且a为偶数， ∴a的范围为，且a为偶数， ∴，， ， 则所有满足条件的整数a的值之和为． 故答案为：． 5．为梦想续航，向美好奔赴．1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开跑．3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春．为了在比赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，已知甲、乙、丙的速度均为整数，不低于，不高于，乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持不变．10日甲乙练习时间之比为，丙练习时间比甲少，10日他们一共跑了．11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的，乙增加的时间是丙增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了，则甲的速度为______，11日三人练习时间之和为_______． 【答案】 5 288 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，设甲的速度为，丙的速度为，则乙的速度为，根据三人的速度不低于，不高于列出不等式组可求出，则甲的速度为，则乙的速度为；设1月10日甲练习的时间为，则乙练习的时间为，丙练习的时间为，根据路程等于速度乘以时间可得；设1月11日丙增加的时间为，则乙增加的时间为，则甲增加的时间为，根据甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，推出；根据路程等于速度乘以时间可得，联立①②，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设甲的速度为，丙的速度为，则乙的速度为， 由题意得，， ∴， ∴， ∴甲的速度为，则乙的速度为； 设1月10日甲练习的时间为，则乙练习的时间为，丙练习的时间为， ∵10日他们一共跑了， ∴， ∴ 设1月11日丙增加的时间为，则乙增加的时间为， ∴甲增加的时间为， ∵甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍， ∴， ∴； ∵11日他们一共跑了， ∴， ∴， ∴， 联立①②，解得， ∴， ∴11日三人练习时间之和为； 故答案为：5；288． 6．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为．即：当n为非负整数时，如果，则．反之，当n为非负整数时，如果，则，例如：，，． 试解决下列问题： (1)填空：①___________（π为圆周率）；②如果，则实数x的取值范围为___________． (2)①若关于x的不等式组的整数解恰有3个，则a的取值范围是___________． ②若关于x的方程有正整数解，求m的取值范围． (3)求满足的所有非负整数x的值． 【答案】(1)①3，② (2)①；② (3)3 【分析】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，新定义，根据题意正确理解的意义是解题关键． （1）①利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，进而得出的值；②利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，进而得出x的取值范围； （2）①首先将看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出a的取值范围；②先解方程，得出，再根据是整数，x是正整数，得到或2，进而得出或1，则或，即得； （3）根据，得，解得，3，4，由是正整数即得． 【详解】（1）解：①由题意可得：； 故答案为：3， ②∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：①解不等式组得：， 由不等式组整数解恰有3个得，， 故； 故答案为：； ②解方程得， ∵是整数，x是正整数， ∴或1， ∴或1， ∴，或， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，3，4， ∵x为整数， ∴满足的所有非负整数x的值为3． 7．如图，某校的饮水机有温水，开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：开水体积开水降低的温度=温水体积温水升高的温度． 阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水秒，则再接温水的时间为多少秒； (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的时间是秒，求乙同学分别接温水和开水所用的时间； (3)丙同学要接一杯的温水和开水混合的水，现有两种方案可供选择，方案一：先接秒的温水，再接开水；方案二：先接秒的开水，再接温水；请你帮助丙同学分析一下哪种接水方案杯中水的温度会更高． 【答案】(1) (2)乙同学接温水所用的时间为，接开水所用的时间为 (3)当时，方案一的水温更高；当时，方案一、二的水温一样高；当时，方案二的水温更高． 【分析】（1）根据接水时间×速度＝体积，得到接温水的时间． （2）设乙同学接温水所用的时间为，根据接水的总体积列方程，得到接温水和开水的时间． （3）根据每个方案分别列出温水和开水的接水体积，设两种方案最终的温度值和，根据热量守恒列方程，得到和的值，分，，三种情况解得的取值范围． 【详解】（1）解：∵他先接开水秒， ∴他接开水的体积为：， ∴他接温水的体积为：， ∴他再接温水的时间为：； （2）解：设乙同学接温水所用的时间为，则他接开水所用的时间为， 根据题意可列方程：，解得：， ∴， ∴乙同学接温水所用的时间为，接开水所用的时间为； （3）解：方案一：丙同学接的温水体积为，则他接的开水体积为， 设接好后的水温为，则根据题意有：， 解得：， 方案二：丙同学接的开水体积为，则他接的温水体积为， 设接好后的水温为，则根据题意有：， 解得：， ∴当时，即时，解得：， 当时，即时，解得：， 当时，即时，解得：， 又∵，解得：， ∴当时，方案一的水温更高；当时，方案一、二的水温一样高；当时，方案二的水温更高． 学科网（北京）股份有限公司 $