2.2 一元一次不等式（分层题型专练，5夯基题型+6进阶题型+拓展培优）2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第二章 不等式与不等式组 2.2 一元一次不等式 （分层题型专练） 题型一 识别一元一次不等式 1．下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列不等式中，一元一次不等式有（   ）个 （1），（2），（3），（4） A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列各式是一元一次不等式的有________个． ，，，，， 题型二 一元一次不等式的解与解一元一次不等式 1．下列选项中，是的解的是（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．下列数中，能使不等式成立的x的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．写出一个解集为的一元一次不等式：______． 5．将不等式化为“”或“”的形式为________． 6．解不等式：． 7．解不等式：． 8．解不等式： 题型三 在数轴上表示一元一次不等式的解集 1．不等式的解集表示在数轴上正确的是（   ） A． B． C． D． 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，该数轴表示的不等式的解集是_____． 4．如图，在数轴上表示的关于x的不等式组的解集为________． 5．已知关于的不等式的解集如图所示，则的值为___________． 6．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 7．解不等式，并把解集在下面的数轴上表示出来． 题型四 列一元一次不等式 1．用不等式表示：“与的的和为正数”，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．“x与2的差的3倍是非负数”，用不等式可表示为（   ） A． B． C． D． 3．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，表示车辆高度不超过，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（    ） A． B． C． D． 4．某学校组织学生乘汽车到距离学校50千米的植物园春游，早晨8：00从学校出发，汽车匀速行驶，计划不能迟于8：30到达植物园．设汽车的速度为千米/小时，则列一元一次不等式为_______． 5．某瓶饮料的保质期不少于12个月，如果用（单位：月）表示保质期，那么该饮料的保质期可以用关于的不等式表示为______． 题型五 二次根式与不等式问题 1．若是二次根式，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若二次根式在实数范围内有意义，则x不可能是（   ） A． B． C．0 D．1 3．二次根式有意义，则x的取值范围是______________． 4．若二次根式在实数范围内有意义，则x的值可以是_________．（写出一个即可） 题型一 判断解不等式过程的正误并改正 1．在解不等式时，小聪给出如下解法： 解：去括号，得 移项，得 合并同类项，得______ 两边同除以，得______ (1)请帮小聪把剩余的步骤补充完整； (2)其中第二步“移项”的依据是______． 2．下面是小星同学解不等式的过程： 解：去分母，得：．．．．．．．．．．．第一步 去括号，得：．．．．．．．．．．．第二步 移项，得：．．．．．．．．．．．．第三步 合并同类项，得：．．．．．．．．．．．第四步 系数化为1，得：．．．．．．．．．．．．第五步 ①小星同学的解答过程从第_______步开始出错； ②请写出你认为正确的解答过程． 3．请根据小明同学解不等式的过程，完成下面各项任务：解不等式 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得……第四步 系数化为1，得……第五步 所以不等式的解集为： 任务一：以上解题过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 ； 任务二：请把正确的解答过程完整的写出来． 4．下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ．第四步 (1)任务一：①以上运算步骤中，第______步是去分母，去分母的依据是_______________________________； ②第______步开始出现错误． (2)任务二：请直接写出正确的计算结果； (3)任务三：请你根据平时的学习经验，就解一元一次不等式给其他同学提一条建议． 题型二 利用一元一次不等式的定义求参数的值或取值范围 1．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 2．若是关于的一元一次不等式，则_____． 3．关于x的不等式是一元一次不等式，则______． 4．若是关于的一元一次不等式，则____________． 5．若是关于的一元一次不等式，则的值为__________． 题型三 一元一次不等式中的整数解问题 1．能使不等式成立的负整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．不等式的最小整数解是（    ） A． B． C．0 D．1 3．已知：不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．写出不等式的一个负整数解________． 5．关于的不等式的最大正整数解是_______． 6．按如图所示的程序进行运算时，发现输入的整数恰好经过2次运算输出，则输入的的最小整数值是__________． 7．如图，下面是一个运算的流程图． （1）当时，输出_____； （2）要使输出值大于，则输入的最小正整数的值是_____． 8．求不等式的负整数解． 9．已知不等式的最小整数解是方程的解，求代数式的值． 题型四 含绝对值的一元一次不等式问题 1．若，则（   ） A． B． C． D． 2．若，则x与3的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．不等式的解集是______． 4．能够使不等式成立的x的取值范围_______． 5．已知不等式的解是，则a＝_______． 6．已知、在数轴上分别表示、. (1)对照数轴填写下表： 、两点的距离 (2)写出数轴上到和的距离之和为的所有整数，并求这些整数的和； (3)若数轴上表示数a的点位于与6之间，求的值； (4)若x表示一个有理数，且，求有理数的取值范围． 、两点的距离 6 2 12 题型五 利用一元一次不等式解决实际问题 1．茗香茶园研发小组准备用篱笆围出一块长方形试验田培育新品种茶叶，已知该试验田的宽比长少，若要求围绕试验田的篱笆总长度不超过，设此试验田的宽为，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 2．某地政府批了一块面积为的地块，准备建造若干幢楼房，每幢楼5层，共300套公租房．要求只建的两室两厅和的一室两厅两种户型，且建楼的土地面积不超过．要求的户型最多可以建多少套，则设的户型可以建套，可列不等式为（  ） A． B． C． D． 3．某乡镇中心学校举行教职工象棋比赛，规定预赛10局，积分不低于30分的选手晋级．预赛中，赢一局得10分，平一局得3分，输一局扣5分，张老师在预赛中平2局，他要想晋级比赛，则至少应获胜（    ） A．3局 B．4局 C．5局 D．6局 4．如图4个羽毛球按此方式放置的高度是，5个羽毛球的高度是，高的羽毛球桶最多可以放___________个羽毛球． 5．杭州某中学社团制作杭州特色文创产品义卖，前期投入1000元，每个产品材料成本10元，售价20元，场地及宣传费为销售收入的，若要使利润（销售收入减去材料成本、前期投入、场地及宣传费）超过1000元，则至少需要制作并售出___________个产品． 6．如图，班级为布置图书角购买了一个长度为的简易书架，打算在上面摆放辅导书和名著阅读．已知每本辅导书厚度为，每本名著阅读厚度为，为了营造阅读氛围，先摆放了50本名著阅读，剩余空间最多还能摆放______本辅导书． 7．为了加强体育锻炼，某班计划购买足球和篮球共40个．已知足球和篮球的价格分别为60元/个和90元/个，购买的总费用不超过2800元．该班级至少购买几个足球？ 8．某服装厂计划生产一种服装，每件成本是元，售价是元．该厂生产这种服装，每月除成本外的其他开支共为元．如果想使生产这种服装的月获利不低于元，那么每月至少要生产这种服装多少件？ 9．为积极倡导“阳光体育”运动，某班派6名同学参加“一分钟跳绳”比赛，负责记录成绩的小李以175次为标准，超出的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中5名同学的成绩记录（单位：次）为：． (1)求这5名同学的最好成绩与最差成绩相差多少次？ (2)若这6名同学的平均成绩超过了175次，求剩下的那名同学的成绩最少为多少． 10．某苹果种植商组织10辆汽车装运，两种苹果到外地销售．按规定每辆汽车只装一种苹果且必须装满．已知每辆汽车运载量及每吨苹果获利如下表： 苹果品种 每辆汽车运载量 3 2 每吨苹果获利元 500 900 (1)若要求一次性运出苹果超过，试写出装运种苹果的汽车辆数应满足的不等式； (2)若要求共获利不少于15000元，试写出装运种苹果的汽车辆数应满足的另一个不等式． 题型六 一元一次不等式与几何问题 1．已知的三个内角互不相等，如果为最小的内角，那么下列四个度数中，最大可取 （    ） A． B． C． D． 2．若三角形的两边长分别为3和5，则第三边m的值可能是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知点是射线上一动点（不与点重合），，若为钝角三角形，则的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 4．将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为______．    5．如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m，且． (1)求m的值； (2)一个光点从点A出发，沿数轴向右运动到点C时，到点A，B的距离之和大于30个单位长度，求此时点C对应的数n的最小整数值． 6．如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为，宽为． (1)写出用表示的式子______．当时，求的值； (2)受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围． 7．若点P为数轴上一个定点，点M为数轴上一点将M，P两点的距离记为MP．给出如下定义：若MP小于或等于k，则称点M为点P的k可达点． 例如：点O为原点，点A表示的数是1，则O，A两点的距离为1，1＜2，即点A可称为点O的2可达点． （1）如图，点B1，B2，B3中，___是点A的2可达点； （2）若点C为数轴上一个动点， ①若点C表示的数为﹣1，点C为点A的k可达点，请写出一个符合条件的k值 ___； ②若点C表示的数为m，点C为点A的2可达点，m的取值范围为 ___； （3）若m≠0，动点C表示的数是m，动点D表示的数是2m，点C，D及它们之间的每一个点都是点A的3可达点，写出m的取值范围 ___． 8．如图是由黑白两种正方形地砖拼成的图案，且每块正方形地砖边长为0.6m． (1)按图示规律，图1的长为______m，图2的长为______m，图3的长为______m； (2)设图案的长为，当黑色地砖块数为n（n为正整数）时，______（用含n的代数式表示）； (3)若要使不小于72m，则至少需要黑色地砖多少块? 9．如图，在中，，，．为的中点，动点从点出发，先以的速度沿运动，到达点后再以的速度沿向终点运动．设点的运动时间为，的面积为． (1)当______时，点运动到点； (2)当点在边上运动时，的长度为多少厘米．（用含的代数式表示）； (3)在点的运动过程中，请用含的代数式表示； (4)当时，请直接写出的取值范围． 1．用表示不超过的最大整数，如，，正整数小于100，并满足等式，这样的正整数有（    ） A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 2．若不等式的解集中的每一个值都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．新定义运算：※， ① ② ③ （1）若某运算满足：※※※（其中，为任意有理数，为任意非零有理数），则称此运算满足“右分配律”．上述三个运算中，满足“右分配律”的是___________（填写序号）； （2）若为任意有理数时，将，分别代入上述三个运算，则结果一定为非负数的是___________（填写序号）． 4． 由于中考要求“尺规作图”必须使用铅笔和相对应的圆规，某商店专门购进了两种型号的圆规，型圆规为带笔芯的圆规，型圆规为可夹铅笔的圆规，为了方便初三同学购买，商店采用自取和送货两种方式进行售卖，截止目前，“自取”与“送货”一共销售的数量不少于190副，不超过240副．通过进一步统计发现，“自取”售出的两种圆规数量之比为，且“自取”与“送货”两种渠道售出的圆规数量一样多，“送货”售出的型号的圆规价格一样，均为“自取”两种圆规单价之和，“自取”两种圆规单价均为正整数，“自取”与“送货”的总销售额为1155元，则“自取”售出的型圆规的销售额最多为___________元． 5．“绿水青山，就是金山银山”某旅游景区为了保护环境，需购买、两种型号的垃圾处理设备，已知台型设备和台型设备日处理能力一共为吨；台型设备和台型设备日处理能力一共为吨． (1)求台型设备、台型设备日处理能力各多少吨？ (2)若购买、两种型号的垃圾处理设备共台、两种型号均购买，并且它们的日处理能力不低于吨．请你为该景区设计购买、两种设备的方案； (3)已知每台型设备价格为万元，每台型设备价格为万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于万元时，则按折优惠；问：采用中设计的哪种方案，使购买费用最少，并说明理由． 6．定义运算：，当时，；当时，；当时，或．例如：；．完成下列任务： (1) ； (2)，则x的取值范围是 ； (3)已知y关于x的函数的部分图象如图， ①补全图象； ② ， ； ③若，则x的取值范围是 ； ④若时，的最大值与最小值的差为，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 不等式与不等式组 2.2 一元一次不等式 （分层题型专练） 题型一 识别一元一次不等式 1．下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义（只含有一个未知数，未知数的次数为1，且左右两边为整式的不等式），逐一分析各选项即可求解． 【详解】解：A选项：，只含一个未知数，未知数次数为1，是不等式且左右两边为整式，符合一元一次不等式的定义． B选项：是等式，不是不等式，不符合定义． C选项：含有两个未知数，不符合“一元”的要求． D选项：中未知数的最高次数为2，不符合“次数为1”的要求． 故选：A． 2．下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式．选项A是方程，选项B是代数式，选项C中未知数的次数为2，只有选项D满足条件． 【详解】解：∵ 一元一次不等式需满足：含一个未知数、未知数次数为1、且为不等式． 选项A：，是方程，不是不等式； 选项B：，是代数式，没有不等号； 选项C：，未知数x的次数为2，不是一次； 选项D：，含一个未知数x，x的次数为1，且为不等式． 故选：D． 3．下列不等式中，一元一次不等式有（   ）个 （1），（2），（3），（4） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式，据此判断即可． 【详解】解：（1）是二元一次不等式，不是一元一次不等式； （2）是一元一次不等式； （3）是一元一次不等式； （4）不等式的左边是分式，不是整式，不是一元一次不等式， 综上所述：一元一次不等式有2个 故选：B． 4．下列各式是一元一次不等式的有________个． ，，，，， 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，关键是掌握含有一个未知数，未知数的次数是的不等式，叫做一元一次不等式．利用一元一次不等式的定义进行判断即可． 【详解】解：是一元一次不等式； 是不等式，但不是一元一次不等式； 是一元一次不等式； 是不等式，但不是一元一次不等式； 是等式，不是一元一次不等式； 是不等式，但不是一元一次不等式； 故是一元一次不等式的有个， 故答案为：． 题型二 一元一次不等式的解与解一元一次不等式 1．下列选项中，是的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解一元一次不等式得到解集，再判断选项中的值是否满足解集即可. 【详解】解：∵ ， ∴ 不等式两边同时减得， 即 ， ∵ 四个选项中只有满足， ∴ 故选：D. 2．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤． 不等式移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 故选：A． 3．下列数中，能使不等式成立的x的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了解不等式，掌握不等式的性质是关键，解不等式，得到x的取值范围，再判断选项中符合条件的值． 【详解】解：∵， ∴，即， 观察各选项，只有， 故选择：D． 4．写出一个解集为的一元一次不等式：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义及解集，解题的关键是理解一元一次不等式解集的定义．根据题意写出符合要求的不等式即可． 【详解】解集为的一元一次不等式可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 5．将不等式化为“”或“”的形式为________． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式． 根据不等式的基本性质，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 6．解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，去括号，移项，合并同类项，系数化1进行求解即可，熟练掌握解不等式的步骤，是解题的关键． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，． 7．解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的求解，按照步骤求解即可 按照一元一次不等式的解法，即去分母，移项，合并同类项，化系数为1等步骤求解即可 【详解】解：不等式为， 去分母：， 移项：， 合并同类项：， 化系数为1：， 所以不等式的解集为 ． 8．解不等式： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，关键是能根据不等式的性质解出不等式．根据不等式的性质求出不等式的解即可． 【详解】解：两边同时乘以6得，， 去括号得，， 移项得，， 整理得， 系数化为1得，． 题型三 在数轴上表示一元一次不等式的解集 1．不等式的解集表示在数轴上正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解不等式以及在数轴上表示不等式的解集，掌握解不等式的方法以及数轴表示不等式的解集是解题的关键． 先得出不等式的解集，再观察各选项的表示是否满足不等式解集即可． 【详解】解：不等式，解得， A、解集为，不满足题意要求； B、解集为，满足题意要求； C、解集为，不满足题意要求； D、解集为，不满足题意要求； 故选B． 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；根据不等式的解集在数轴上表示即可． 【详解】解：∵， ∴在数轴上表示为： 故选：C． 3．如图，该数轴表示的不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握“实心点对应不等号含等号、向左表示小于或小于等于”是解题的关键．根据数轴上点的虚实和方向，确定不等式的解集即可． 【详解】解：数轴上表示的点是1（实心点），方向向左， 故解集为：， 故答案为： 4．如图，在数轴上表示的关于x的不等式组的解集为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式组的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．根据在数轴上表示不等式组解集的方法进行解答即可． 【详解】解：由数轴得：不等式组的解集为， 故答案为：． 5．已知关于的不等式的解集如图所示，则的值为___________． 【答案】2 【分析】本题考查不等式的解集，根据不等式的解集以及数轴表示的解集范围进行计算即可． 【详解】解：关于的不等式的解集为， 由数轴可知不等式的解集为， 所以， 解得， 故答案为：2． 6．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】 ，数轴见解析 【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法及解集的数轴表示，掌握 “移项、系数化为1的解不等式步骤” 和 “空心圆圈表示不包含端点” 是解题的关键．先计算不等式再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， ， ， 在数轴上表示解集如下： ． 7．解不等式，并把解集在下面的数轴上表示出来． 【答案】，图见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤，注意不等式两边同除以或乘以同一个负数，不等号方向发生改变． 先去分母，然后移项合并同类项，再将系数化为1，并把解集表示在数轴上即可． 【详解】解： ． ． 将解集在数轴上表示为： 题型四 列一元一次不等式 1．用不等式表示：“与的的和为正数”，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题目主要考查列不等式，理解题意，列出不等式求解即可 【详解】解：∵与的的和为正数， ∴， 故选：A 2．“x与2的差的3倍是非负数”，用不等式可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据“非负数”的含义是大于等于0，即可根据题意列出不等式． 【详解】解：x与2的差可表示为， x与2的差的3倍可表示为， ∵该式子是非负数， ∴． 3．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，表示车辆高度不超过，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的定义，理解标志牌的意义是求解本题的关键．根据标志牌的含义列不等式即可求解． 【详解】解：由题意得：， 故C正确． 故选：C． 4．某学校组织学生乘汽车到距离学校50千米的植物园春游，早晨8：00从学校出发，汽车匀速行驶，计划不能迟于8：30到达植物园．设汽车的速度为千米/小时，则列一元一次不等式为_______． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式的能力，分析题意，找到关键描述语，得到合适的不等关系是解决问题的关键．抓住关键语句“不能迟于8：30到达”转换出行驶时间范围，已知速度，路程，可根据“时间＝路程速度”表示出时间再列出不等式，注意最后要转化成一元一次不等式． 【详解】解：根据题意时间不超过， 即， 为正数， 转化成一元一次不等式为： 故答案为：． 5．某瓶饮料的保质期不少于12个月，如果用（单位：月）表示保质期，那么该饮料的保质期可以用关于的不等式表示为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象一元一次不等式的知识，理解保质期的含义是解答本题的关键．根据保质期不少于12个月解答即可． 【详解】解：∵保质期不少于12个月， ∴． 故答案为：． 题型五 二次根式与不等式问题 1．若是二次根式，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件． 根据二次根式的定义，被开方数需为非负数，据此列不等式求解x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次根式的被开方数必须是非负数， ∴， ∴， 故选：D． 2．若二次根式在实数范围内有意义，则x不可能是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，牢记二次根式有意义的条件是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件列不等式，求出x的取值范围，再判断选项中不符合范围的数即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义 ∴被开方数 解得 ∵，，， ∴x不可能是， 故选：A． 3．二次根式有意义，则x的取值范围是______________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数列出关于x的不等式，然后解不等式即可． 【详解】解：要使二次根式有意义，则， 解得． 故答案是：． 4．若二次根式在实数范围内有意义，则x的值可以是_________．（写出一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数，是解题的关键．根据二次根式的被开方数为非负数，得出，再解不等式即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得：， ∴x的值可以是1． 故答案为：1．（答案不唯一） 题型一 判断解不等式过程的正误并改正 1．在解不等式时，小聪给出如下解法： 解：去括号，得 移项，得 合并同类项，得______ 两边同除以，得______ (1)请帮小聪把剩余的步骤补充完整； (2)其中第二步“移项”的依据是______． 【答案】(1)， (2)不等式的基本性质1 【分析】本题考查了解一元一次不等式．根据解一元一次不等式的一般步骤即可判断和求解． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得； （2）解：第二步“移项”的依据是不等式的基本性质1． 故答案为：不等式的基本性质1． 2．下面是小星同学解不等式的过程： 解：去分母，得：．．．．．．．．．．．第一步 去括号，得：．．．．．．．．．．．第二步 移项，得：．．．．．．．．．．．．第三步 合并同类项，得：．．．．．．．．．．．第四步 系数化为1，得：．．．．．．．．．．．．第五步 ①小星同学的解答过程从第_______步开始出错； ②请写出你认为正确的解答过程． 【答案】①一；②解答过程见详解 【分析】本题考查了解一元一次不等式，准确地进行计算是解题的关键．①由题可知，第一步错误；②按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解一元一次不等式即可． 【详解】①解：第一步，去分母错误， 故答案为：一； ②解：去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得： 3．请根据小明同学解不等式的过程，完成下面各项任务：解不等式 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得……第四步 系数化为1，得……第五步 所以不等式的解集为： 任务一：以上解题过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 ； 任务二：请把正确的解答过程完整的写出来． 【答案】任务一：一，去分母时把1漏乘以12；任务二：见解析 【分析】本题考查了解去分母的一元一次不等式，属于基础题型，熟练掌握不等式的基本性质、明确每一步计算的根据是解题的关键． 任务一：根据分式的运算法则可知：第①步开始出现错误，去分母时，分式的每一项都要乘以最简公分母； 任务二：根据不等式的基本性质解答． 【详解】解：任务一：以上解题过程中，从第一步开始出现错误，错误的原因是：去分母时把1漏乘以12； 任务二：解不等式 解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 所以不等式的解集为． 4．下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ．第四步 (1)任务一：①以上运算步骤中，第______步是去分母，去分母的依据是_______________________________； ②第______步开始出现错误． (2)任务二：请直接写出正确的计算结果； (3)任务三：请你根据平时的学习经验，就解一元一次不等式给其他同学提一条建议． 【答案】(1)①一，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变②二 (2) (3)去分母时，不要漏乘不含分母的项；（答案不唯一，合理即可） 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，掌握不等式的基本性质以及去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤规范是解题的关键． （1）一元一次不等式的去分母步骤，其理论依据是不等式的基本性质，对每一步的运算进行规则校验，尤其是去括号的“符号法则” ； （2）本题依据一元一次不等式的完整解法流程（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为），每一步严格遵循不等式基本性质和运算规则； （3）根据解一元一次不等式的常见易错点，如：去分母漏乘、去括号符号错误、系数化为时不等号方向忘记改变等，给出适当的建议． 【详解】（1）解：由解题过程可以看出，第一步是去分母，去分母的依据是不等式基本性质：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 故答案为：一，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；二． （2）解：， 去分母：， 去括号：， 合并同类项：， 移项：， 系数化为：． （3）解：解一元一次不等式时，要注意每一步的运算细节，尤其是去分母时各项都要乘最小公倍数，不要漏乘不含分母的项，去括号时的符号变化，以及系数化为时不等号方向是否改变，以上均是解一元一次不等式易出错的地方，可以选择任意一条作为给同学的建议． 题型二 利用一元一次不等式的定义求参数的值或取值范围 1．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次不等式的定义，解题关键是根据一元一次不等式的 “未知数次数为 1 且系数不为 0” 这两个条件列方程与不等式求解． 根据一元一次不等式的定义，未知数 的次数必须为 1，且系数不为零得到关于的方程求解即可． 【详解】∵ 不等式是关于 x 的一元一次不等式， ∴ x 的指数 ，且系数 ， 解 ，得 ，即 或 ， 又 ∵ ，即 ， ∴． 故选A． 2．若是关于的一元一次不等式，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义可得，求解即可，正确把握定义是解题关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴， 故答案为：． 3．关于x的不等式是一元一次不等式，则______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式定义，解题的关键在于正确理解一元一次不等式定义． 根据一元一次不等式定义，推出且，解之，即可解题． 【详解】解：关于x的不等式是一元一次不等式， 且， 解得且， 综上，； 故答案为：． 4．若是关于的一元一次不等式，则____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，解决本题的关键是熟练掌握一元一次不等式的定义． 根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为，且系数不能为，由此建立方程和不等式求解． 【详解】解：由题意得： 且． 解得： 故答案为： 5．若是关于的一元一次不等式，则的值为__________． 【答案】3 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，列出条件求解. 【详解】解：由题意，得 且 ， 解 ，得 或 ， 当 时，，不符合题意；当 时，，符合题意. 故答案为：3. 【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键. 题型三 一元一次不等式中的整数解问题 1．能使不等式成立的负整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解： ， ， ， ， ∴ 满足条件的负整数只有，共个． 2．不等式的最小整数解是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了求不等式的解集及确定最小整数解．先求出不等式的解集，然后确定最小整数解即可． 【详解】解：∵， 移项得， 合并同类项得， 解得， ∵大于等于的最小整数是， ∴该不等式的最小整数解是． 故选：A． 3．已知：不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及一元一次方程的解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．求出不等式的解集，确定出最小整数解，代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：不等式去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 不等式最小整数解为， 把代入方程得：，即， 整理得：， 解得：． 故选：． 4．写出不等式的一个负整数解________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查解一元一次不等式及求整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤．先求解不等式，再找出负整数解即可． 【详解】解：， ， ， 解得， ∴ 不等式的负整数解为、、， 故答案为：（答案不唯一）． 5．关于的不等式的最大正整数解是_______． 【答案】2 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解答此题要先求出不等式的解集，再确定正整数解． 先求出不等式的解集，在取值范围内可以找到最大正整数解． 【详解】解：解不等式 ， 移项，得：， 两边同时除以 ，不等号方向改变，得：， 因此，不等式的解集为 ， 最大正整数解为：2， 故答案为：2． 6．按如图所示的程序进行运算时，发现输入的整数恰好经过2次运算输出，则输入的的最小整数值是__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据程序流程图结合题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， ∴输入的的最小整数值是， 故答案为：． 7．如图，下面是一个运算的流程图． （1）当时，输出_____； （2）要使输出值大于，则输入的最小正整数的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，不等式的应用； （1）根据题意进行计算即可求解． （2）根据题意列出不等式，求出不等式的最小整数解即可． 【详解】解：（1）当时，输出 故答案为：． （2）依题意，当为奇数时， 解得： ∴， 当为偶数时， 解得： ∴最小整数 综上所述，输入的最小正整数的值是 故答案为：． 8．求不等式的负整数解． 【答案】 ，， 【分析】本题考查一元一次不等式的求解，先通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤求出不等式的解集，再找出解集中的所有负整数即可． 【详解】解： ， 两边同乘6，得， 去括号，得， 合并同类项，得 ， 移项，得， 两边同除以，不等号方向改变，得，即 ， ∴该不等式的负整数解为，，． 9．已知不等式的最小整数解是方程的解，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解，代数式求值；先解不等式得到最小整数解，代入方程求出参数，再计算代数式的值． 【详解】解：解不等式 ， 移项得 ， 即 ， 两边乘以 得 ， ∴ 最小整数解为 ． ∵ 是方程 的解， 代入得 ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 当时 ． 题型四 含绝对值的一元一次不等式问题 1．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，利用“一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为非正数”这一性质列不等式求解x的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 移项得 两边同时除以3，得． 故选：C． 2．若，则x与3的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，准确分析判断是解题的关键． 根据绝对值的非负性，等式成立需，即，且代入验证成立． 【详解】， ， ，即， 故选． 3．不等式的解集是______． 【答案】/ 【分析】根据“|a|”的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离即可解答． 【详解】解：根据绝对值的几何意义可得：“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于， 不等式的解集是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 4．能够使不等式成立的x的取值范围_______． 【答案】x＜-1 【分析】根据绝对值的性质可知：|x|-x≥0，当等于0时不符合题意，再由不等式的性质两个异号因式相乘的值小于0可求出x的取值范围． 【详解】解：当x≥0时，|x|-x=x-x=0， 于是（|x|-x）（1+x）=0，不满足原式，故舍去x≥0； 当x＜0时，|x|-x=-2x＞0， x应当要使（|x|-x）（1+x）＜0，满足1+x＜0，即x＜-1， 所以x的取值范围是x＜-1． 故答案为：x＜-1． 【点睛】本题综合考查了绝对值的性质和不等式的性质，有一定难度． 5．已知不等式的解是，则a＝_______． 【答案】 【分析】首先根据题意表示出不等式的解，然后根据列方程求解即可． 【详解】∵ ∴，即， ∴ ∴或 ∴或 ∵不等式的解是， ∴应舍去， ∴，解得， 经检验，是方程的解． 故答案为：． 6．已知、在数轴上分别表示、. (1)对照数轴填写下表： 、两点的距离 (2)写出数轴上到和的距离之和为的所有整数，并求这些整数的和； (3)若数轴上表示数a的点位于与6之间，求的值； (4)若x表示一个有理数，且，求有理数的取值范围． 【答案】(1)6；2；12 (2)0 (3)10 (4)或 【分析】（1）根据数轴上点表示的有理数，即可求出两点间的距离． （2）由数轴上两点间的距离，可得出只要在和7之间的整数均满足题意，进而即可求解． （3）由题意得：，去绝对值即可求解． （4）分类讨论：当时；当时；当时；去绝对值，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：当，时，A、B两点的距离为； 当，时，A、B两点的距离为； 当，时，A、B两点的距离为， 、两点的距离 6 2 12 故答案为：6、2、12． （2）7到的距离为，     7到之间的所有整数，均满足到和的距离之和为， ∴ 数轴上到7和的距离之和为14的所有整数有：，，，，，，，0，1，2，3，4，5，6，7； ， 答：所有这些整数的和为0． （3）由题意得：， 则． （4）当时， 不等式，即：， 解得：； 当时， 不等式，即， 则无解， 当时，不等式，即：， 解得：， 综上所述：有理数x的取值范围为：或． 题型五 利用一元一次不等式解决实际问题 1．茗香茶园研发小组准备用篱笆围出一块长方形试验田培育新品种茶叶，已知该试验田的宽比长少，若要求围绕试验田的篱笆总长度不超过，设此试验田的宽为，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据宽和长的关系表示出长，再结合长方形周长公式和篱笆长度的限制列出不等式即可． 【详解】解：∵设试验田的宽为，宽比长少， ∴试验田的长为， ∵篱笆总长度是长方形的周长，要求篱笆总长度不超过， 长方形周长宽长，“不超过”用“”表示， ∴可列不等式为． 2．某地政府批了一块面积为的地块，准备建造若干幢楼房，每幢楼5层，共300套公租房．要求只建的两室两厅和的一室两厅两种户型，且建楼的土地面积不超过．要求的户型最多可以建多少套，则设的户型可以建套，可列不等式为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次不等式的运用，先理清建楼土地面积与总建筑面积的关系，再根据“建楼的土地面积不超过地块面积的”这一限制条件列不等式，核心是理解每幢楼5层时，建楼土地面积为总建筑面积的． 【详解】解：设的户型建套，则的户型建套， ∵每幢楼5层，总建筑面积为，建楼的土地面积为总建筑面积的，且建楼的土地面积不超过地块面积的，地块面积为， ∴可列不等式：， 故选：D． 3．某乡镇中心学校举行教职工象棋比赛，规定预赛10局，积分不低于30分的选手晋级．预赛中，赢一局得10分，平一局得3分，输一局扣5分，张老师在预赛中平2局，他要想晋级比赛，则至少应获胜（    ） A．3局 B．4局 C．5局 D．6局 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，理解题意，列出不等式是解题的关键． 设张老师至少获胜x局，依据积分规则列出一元一次不等式，求解不等式并结合实际取整，得到获胜局数的最小值． 【详解】设张老师至少获胜x局，则输了局，即局， ∵ 积分不低于30分可晋级，赢一局得10分，平一局得3分，输一局扣5分，张老师平2局， ∴ 列不等式：， 展开并整理得：， ， ， 解得：， ∵ x为正整数， ∴ x的最小值为5， 即张老师至少应获胜5局． 故选：C． 4．如图4个羽毛球按此方式放置的高度是，5个羽毛球的高度是，高的羽毛球桶最多可以放___________个羽毛球． 【答案】15 【分析】本题考查用代数式表示图形的规律，一元一次不等式的应用，解答本题的关键是探究出规律，列出相应的代数式和不等式； 根据题目中的图形，可知每增加一个羽毛球，高度增加，从而可以得到n个羽毛球叠在一起的高度，再列出不等式即可求解． 【详解】解：由题意知，每增加一个羽毛球，高度增加， 单独一个羽毛球的高度是， n个这种羽毛球叠放在一起高度为：， ∴，解得： 故答案为：． 5．杭州某中学社团制作杭州特色文创产品义卖，前期投入1000元，每个产品材料成本10元，售价20元，场地及宣传费为销售收入的，若要使利润（销售收入减去材料成本、前期投入、场地及宣传费）超过1000元，则至少需要制作并售出___________个产品． 【答案】334 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用． 根据题意，设售出产品数量为x个，则求出销售收入、材料成本、场地及宣传费，根据“利润超过1000元”列不等式求解，根据x为整数作答即可． 【详解】解：设售出产品数量为x个， ∵每个产品材料成本10元，售价20元， ∴销售收入为元，材料成本为元， ∵场地及宣传费为销售收入， ∴场地及宣传费为元， ∵利润为销售收入减去材料成本、前期投入和场地及宣传费，利润超过1000元， 即， 解得， ∵x为整数， ∴x至少为334． 故答案为：334． 6．如图，班级为布置图书角购买了一个长度为的简易书架，打算在上面摆放辅导书和名著阅读．已知每本辅导书厚度为，每本名著阅读厚度为，为了营造阅读氛围，先摆放了50本名著阅读，剩余空间最多还能摆放______本辅导书． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意正确列不等式是解题关键．设剩余空间还能摆放本辅导书，根据题意列一元一次不等式，结果取最大整数解即可． 【详解】解：设剩余空间还能摆放本辅导书， 则， 解得：， 为整数， 剩余空间最多还能摆放本辅导书， 故答案为：． 7．为了加强体育锻炼，某班计划购买足球和篮球共40个．已知足球和篮球的价格分别为60元/个和90元/个，购买的总费用不超过2800元．该班级至少购买几个足球？ 【答案】27个 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用．设购买足球有个，则购买篮球个，根据“购买的总费用不超过2800元．”列出不等式，即可求解． 【详解】解：设购买足球有个，则购买篮球个，由题意得， ， 解得：， 因为为整数， 所以的最小值取27． 答：至少购买27个足球． 8．某服装厂计划生产一种服装，每件成本是元，售价是元．该厂生产这种服装，每月除成本外的其他开支共为元．如果想使生产这种服装的月获利不低于元，那么每月至少要生产这种服装多少件？ 【答案】件 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，掌握相关知识是解决问题的关键．设每月生产这种服装 件，根据单位利润乘以数量减去开支不低于元列不等式求解即可． 【详解】解：设每月生产这种服装 件，依题意得， ， ， ， ． 答：每月至少要生产 件． 9．为积极倡导“阳光体育”运动，某班派6名同学参加“一分钟跳绳”比赛，负责记录成绩的小李以175次为标准，超出的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中5名同学的成绩记录（单位：次）为：． (1)求这5名同学的最好成绩与最差成绩相差多少次？ (2)若这6名同学的平均成绩超过了175次，求剩下的那名同学的成绩最少为多少． 【答案】(1)这5名同学的最好成绩与最差成绩相差21次 (2)剩下的那名同学的成绩最少为次 【分析】本题考查有理数加减运算、用不等式解决实际应用题，读懂题意，准确列出式子求解是解决问题的关键． （1）找出这5名同学的最好成绩与最差成绩，然后作差即可； （2）剩下的那名同学的成绩可记为次，根据题意列出关于的不等式，进而得出答案． 【详解】（1）解：次， 答：这5名同学的最好成绩与最差成绩相差21次； （2）解：设剩下的那名同学的成绩可记为a次， 由题意得：， 解得：， ∴剩下的那名同学的成绩最少为次． 10．某苹果种植商组织10辆汽车装运，两种苹果到外地销售．按规定每辆汽车只装一种苹果且必须装满．已知每辆汽车运载量及每吨苹果获利如下表： 苹果品种 每辆汽车运载量 3 2 每吨苹果获利元 500 900 (1)若要求一次性运出苹果超过，试写出装运种苹果的汽车辆数应满足的不等式； (2)若要求共获利不少于15000元，试写出装运种苹果的汽车辆数应满足的另一个不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设装种苹果的车x辆，装种苹果的车辆，根据一次性运输的苹果超过吨即可列出不等式； （2）设装种苹果的车x辆，装种苹果的车辆，根据销售完这两种苹果共获利不低于元即可列出不等式． 【详解】（1）解：设辆汽车运种苹果，则有辆汽车运种苹果． 由题意，得． （2）解：设辆汽车运种苹果，则有辆汽车运种苹果． 由题意，得． 题型六 一元一次不等式与几何问题 1．已知的三个内角互不相等，如果为最小的内角，那么下列四个度数中，最大可取 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由为最小的内角得，，利用三角形的内角和定理转化为不等式，求解即可． 【详解】是最小的内角，且三个内角互不相等， ， 即最大可取 故选：B 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，不等式及其求解，解题的关键是利用三角形内角和定理转化为不等式． 2．若三角形的两边长分别为3和5，则第三边m的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式组，进而结合选项求得第三边的值． 【详解】三角形的两边长分别为3和5，第三边m 故选B 【点睛】本题考查了根据三角形三边关系确定第三边的范围，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 3．如图，已知点是射线上一动点（不与点重合），，若为钝角三角形，则的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】当两角的和小于90°或一个角大于90°时三角形是一个钝角三角形，由此可求解． 【详解】解：由三角形内角和可得：， ∵， ∴当与∠O的和小于90°时，三角形为钝角三角形，则有； 当大于90°时，此时三角形为钝角三角形，则有． 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角形内角和及一元一次不等式的应用，熟练掌握三角形内角和及一元一次不等式的应用是解题的关键． 4．将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为______．    【答案】或 【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ ∵ ∴第一次操作，剩下的长方形宽为：，长为：； 第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ ∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且 ∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； 当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； ∴的值为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 5．如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m，且． (1)求m的值； (2)一个光点从点A出发，沿数轴向右运动到点C时，到点A，B的距离之和大于30个单位长度，求此时点C对应的数n的最小整数值． 【答案】(1)m的值为8 (2)19 【分析】本题考查了数轴，一元一次不等式的应用． （1）根据题意，结合数轴得； （2）根据题意，列出不等式，解不等式，进而可得n的最小整数值． 【详解】（1）解：，点B在点A的右侧， ， 即m的值为8； （2）解：由题意，得， 解得， 的最小整数值为19． 6．如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为，宽为． (1)写出用表示的式子______．当时，求的值； (2)受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围． 【答案】(1)a=50-2b，15． (2) 【分析】（1）根据等量关系“围栏的长度为50”可以列出代数式，再将a=20代入所列式子中求出b的值即可； （2）由（1）可得a、b之间的关系式，再用含有b的式子表示a，然后再结合，列出关于b的不等式组，解不等式组求出b的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意得，即a=50-2b 当时，．解得． （2）解：∵，， ∴ 解这个不等式组得：． 答：矩形花园宽的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了列代数式、代数式求值、解不等式组等知识点，审清题意、正确列出不等式组是解答本题的关键． 7．若点P为数轴上一个定点，点M为数轴上一点将M，P两点的距离记为MP．给出如下定义：若MP小于或等于k，则称点M为点P的k可达点． 例如：点O为原点，点A表示的数是1，则O，A两点的距离为1，1＜2，即点A可称为点O的2可达点． （1）如图，点B1，B2，B3中，___是点A的2可达点； （2）若点C为数轴上一个动点， ①若点C表示的数为﹣1，点C为点A的k可达点，请写出一个符合条件的k值 ___； ②若点C表示的数为m，点C为点A的2可达点，m的取值范围为 ___； （3）若m≠0，动点C表示的数是m，动点D表示的数是2m，点C，D及它们之间的每一个点都是点A的3可达点，写出m的取值范围 ___． 【答案】 、/B3、B2 3 【分析】（1）分别求两点间距离，满足≤2即可； （2）①求得CA两点间距离为2，k≥2即可；②表示CA的距离为，列不等式求解即可； （3）根据题意，，列不等式计算． 【详解】解：（1）由题意知：2，2，2， ∴、是点A的2可达点， 故填：、； （2）①当点C表示的数为﹣1时，≤，故k＝3， 故填：3； ②当点C表示的数为m时，≤2，解得：， 故填：； （3）由题意知：，， 即：，， 解得：， 故填：． 【点睛】本题考查两点间距离、不等式的应用，正确理解题意是关键． 8．如图是由黑白两种正方形地砖拼成的图案，且每块正方形地砖边长为0.6m． (1)按图示规律，图1的长为______m，图2的长为______m，图3的长为______m； (2)设图案的长为，当黑色地砖块数为n（n为正整数）时，______（用含n的代数式表示）； (3)若要使不小于72m，则至少需要黑色地砖多少块? 【答案】(1)1.8；3；4.2 (2) (3)至少需要黑色地砖60块 【分析】本题考查的是图形的变化规律，从图形中找出砖块的变化规律是解题的关键． （1）根据上述图形计算即可； （2）根据（1）中的规律，可知：当图案的长为．当黑色地砖块数为为正整数）时，； （3）由题可知，，求解即可． 【详解】（1）解：图1的长为：； 图2的长为：； 图3的长为：； 故答案为：1.8；3；4.2； （2）解：根据（1）中的规律，可知： 当图案的长为．当黑色地砖块数为为正整数）时， ， 故答案为：； （3）解：由题可知，， ， （块， 至少需要黑色地砖块60块． 9．如图，在中，，，．为的中点，动点从点出发，先以的速度沿运动，到达点后再以的速度沿向终点运动．设点的运动时间为，的面积为． (1)当______时，点运动到点； (2)当点在边上运动时，的长度为多少厘米．（用含的代数式表示）； (3)在点的运动过程中，请用含的代数式表示； (4)当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)的取值范围为或或 【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，合理分类讨论是解题的关键． （1）根据时间等于路程除以速度求解即可； （2）求出，分点在上运动和点在上运动两种情况，分别列式即可； （3）分点在上，点在上，点在上，三种情况讨论，分别根据三角形的面积公式列式即可； （4）分，，三种情况讨论，分别根据列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵，以的速度沿运动， ∴点运动到点的时间为， 故答案为：； （2）解：∵，为的中点， ∴， ∴点运动到点的时间为， 点运动到点的时间为， ∴当点在上运动时，， 当点在上运动时，， 综上，； （3）解：当点在上时，即， 根据题意，得； 当点在上时，即， 根据题意，得， 当点在上时，即， 根据题意，得， ∴； （4）解：当时， 根据题意，得， 解得； 当时， 根据题意，得， 解得； 当时， 根据题意，得， 解得； 综上，的取值范围为或或． 1．用表示不超过的最大整数，如，，正整数小于100，并满足等式，这样的正整数有（    ） A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 【答案】D 【分析】本题主要考查取整函数，利用不等式即可得出为6的倍数，再计算小于100的正整数中6的倍数的个数． 【详解】解：若，，有一个不是整数， 则或者或者， ∴， ∴，，都是整数，即n是2，3，6的公倍数，且， ∴n的值为6，12，18，24，......96，共有16个， 故选：D． 2．若不等式的解集中的每一个值都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别解两个不等式，得到第一个不等式的解集为 ，第二个不等式的解集为 ．由题意，所有满足第一个不等式的 都满足第二个不等式，因此需要 ，解此不等式即可得到 的取值范围． 【详解】解：解不等式 ， ， ， ， 两边同乘 3 得 ， ， ， ∴ . 解不等式 ， ， ， ， 两边同除以-4，不等号方向改变， . ∵ 对于 的每一个值，都能使 成立， ∴ ， 两边同乘 10 得 ， ， ， ∴ . 因此， 的取值范围是 ， 故选： C． 【点睛】本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于的不等式是解此题的关键． 3．新定义运算：※， ① ② ③ （1）若某运算满足：※※※（其中，为任意有理数，为任意非零有理数），则称此运算满足“右分配律”．上述三个运算中，满足“右分配律”的是___________（填写序号）； （2）若为任意有理数时，将，分别代入上述三个运算，则结果一定为非负数的是___________（填写序号）． 【答案】 (1)③ (2)② 【分析】本题主要考查有理数的运算、绝对值、不等式等： （1）①；②当时，，当且时，；③． （2）①；②，分两种情况讨论；③． 【详解】（1）①，不满足“右分配律”． ②当时，，不满足“右分配律”；当且时，，不满足“右分配律”，同理可得，其他的情况，均不满足“右分配律”． ③，满足“右分配律”． 故答案为：③ （2）①，当时，． ②． 当时，． 当时，． ∴为任意有理数时，． ③． 当或，． 故答案为：② 4．由于中考要求“尺规作图”必须使用铅笔和相对应的圆规，某商店专门购进了两种型号的圆规，型圆规为带笔芯的圆规，型圆规为可夹铅笔的圆规，为了方便初三同学购买，商店采用自取和送货两种方式进行售卖，截止目前，“自取”与“送货”一共销售的数量不少于190副，不超过240副．通过进一步统计发现，“自取”售出的两种圆规数量之比为，且“自取”与“送货”两种渠道售出的圆规数量一样多，“送货”售出的型号的圆规价格一样，均为“自取”两种圆规单价之和，“自取”两种圆规单价均为正整数，“自取”与“送货”的总销售额为1155元，则“自取”售出的型圆规的销售额最多为___________元． 【答案】350 【分析】本题主要考查了不等式的应用，不定方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式和方程． 设“自取”售出的型圆规为副，则售出的型为副，型圆规单价为元，型圆规单价为元，则“送货”售出的型号的圆规共副，“送货”售出的型号的圆规单价都为元，根据题意列出不等式和方程，得出，得出或35，再进行分别讨论即可． 【详解】解：设“自取”售出的型圆规为副，则售出的型为副，型圆规单价为元，型圆规单价为元，则“送货”售出的型号的圆规共副，“送货”售出的型号的圆规单价都为元， 根据题意得， 可得，， ∴， ∵、、均为正整数，， ∴是1155的因数， ∴或35， 当时，， 解得：， 此时“自取”售出的型圆规的销售额（元）； 当时，， 解得：，或， 当时，“自取”售出的型圆规的销售额（元）； 当时，“自取”售出的型圆规的销售额（元）； 综上，“自取”售出的型圆规的销售额最多为350元， 故答案为：350． 5．“绿水青山，就是金山银山”某旅游景区为了保护环境，需购买、两种型号的垃圾处理设备，已知台型设备和台型设备日处理能力一共为吨；台型设备和台型设备日处理能力一共为吨． (1)求台型设备、台型设备日处理能力各多少吨？ (2)若购买、两种型号的垃圾处理设备共台、两种型号均购买，并且它们的日处理能力不低于吨．请你为该景区设计购买、两种设备的方案； (3)已知每台型设备价格为万元，每台型设备价格为万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于万元时，则按折优惠；问：采用中设计的哪种方案，使购买费用最少，并说明理由． 【答案】(1)设备处理能力为一天吨，设备一天吨； (2)一共有2种方案，方案：买设备台，设备台；方案②：买设备台，设备台； (3)采用购买A型设备1台、B型设备台的方案，购买费用最少，理由见解析． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及费用最值问题，解题的关键是根据题意列出方程组和不等式，准确计算各方案费用并比较． （1）设未知数，根据两种设备组合的日处理能力列出方程组，求解得出两种设备的日处理能力； （2）设购买A设备台数，结合总台数和日处理能力要求列不等式，根据“A、B均购买”确定正整数解，得出购买方案； （3）分别计算各有效方案的货款，判断是否符合优惠条件，计算实际费用后比较大小． 【详解】（1）解：设1台A型设备日处理能力为吨，1台B型设备日处理能力为吨， 由题意得， 由得，代入得， 解得， 则， 答：1台A型设备日处理能力吨，1台B型设备日处理能力吨． （2）解：设购买A型设备台，则购买B型设备台， 由题意得， 解得， ∵为正整数（A、B两种型号均购买）， ∴或，对应的购买方案方案①：购买A型设备1台，B型设备台； 方案②：购买A型设备2台，B型设备台； 答：两种方案，分别为购买A型设备1台、B型设备台和A型设备2台、B型设备台． （3）解：方案①：货款万元， ∵，享受折优惠， 实际付款万元； 方案②：货款万元， ∵，不享受优惠， 实际付款万元； ∵， ∴方案①（购买A型设备1台、B型设备台）费用最少． 答：采用购买A型设备1台、B型设备台的方案，购买费用最少． 6．定义运算：，当时，；当时，；当时，或．例如：；．完成下列任务： (1) ； (2)，则x的取值范围是 ； (3)已知y关于x的函数的部分图象如图， ①补全图象； ② ， ； ③若，则x的取值范围是 ； ④若时，的最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】(1) (2)x (3)①见解析②1，③或；④ 【分析】本题考查新定义下的运算，负整数指数幂，一次函数图象与性质，不等式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据新定义，仿照示例，比较，可得到结果； （2）仿照示例，可得到，解不等式，可得到结果； （3）根据题意，求出k，b，画出分段函数的图象即可，再结合图象，得到函数的最值，得到结果． 【详解】（1）解： ，， ∵， 即， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴x， 故答案为：x； （3）解：①∵， 结合图象可知，的图象过点， ∴， 解得， ∴， ∴， 图象如下： ②由①可知， 故答案为：； ③当时，即， 当时， ，即， ∴结合函数图象知，当，则x的取值范围是或， 故答案为：或； ④∵若当，即时，对应的函数图象的左支，解析式为， ∴y的最大值为，y的最小值为， 若y的最大值与最小值的差为， 则， 方程无解； 若当时，对应的函数图象的右支，解析式为， ∴y的最大值为m，y的最小值为， ∴， 方程无解； 当时，y的最小值为， 结合函数图象，y的最大值为或m， ∴或， 解得， 综上所述，． 学科网（北京）股份有限公司 $