第8讲：几个三角恒等式【九大题型】讲义-2025-2026学年下学期高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版必修第二册）

第8讲：几个三角恒等式 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　半角公式 sin ＝±，cos ＝±，tan ＝±＝＝. 知识点二　辅助角公式 辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋θ). 知识点三：常用结论 1．二倍角公式的变形公式 (1)1－cos α＝2sin2，1＋cos α＝2cos2.(升幂公式) (2)1±sin α＝2.(升幂公式) (3)sin2α＝，cos2α＝， tan2α＝.(降幂公式) 2．半角正切公式的有理化 tan ＝＝. 知识点四：和差化积 1. sinα±sinβ = 2sin[(α+β)/2]cos[(α−β)/2]（和正前，差余前） 2. cosα+cosβ = 2cos[(α+β)/2]cos[(α−β)/2]（余加余，余并肩） 3. cosα−cosβ = −2sin[(α+β)/2]sin[(α−β)/2]（余减余，负正弦） 知识点五：积化和差 1. sinαcosβ = 1/2[sin(α+β)±sin(α−β)]（sincos和差） 2. cosαcosβ = 1/2[cos(α+β)+cos(α−β)]（coscos和） 3. sinαsinβ = −1/2[cos(α+β)−cos(α−β)]（sinsin负差） 【题型归纳】 题型一：降幂公式的化简求值问题 【例1】．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式化原式为，根据结合，解出，再由降幂公式求出即可求解. 【详解】， 因为，即，， 解得，又，， 所以. 故选：A． 【举一反三】 1．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）已知角满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用降幂扩角公式及和差角的余弦公式求解. 【详解】角满足， 则 . 故选：D 2．（23-24高一下·广东茂名·期中）已知，则__________. 【答案】/ 【分析】先根据平方关系求出，再利用降幂公式和二倍角的正弦公式即可得解. 【详解】， . 故答案为：. 3．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是方程的两个实根，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由题意把两根代入方程得两个式子，再结合韦达定理联立两个式子化简变形即可. 【详解】是方程的两个实根， ， ①， ②， ①式②式得：， 即， ，即，得. 故选：. 题型二：辅助角公式的应用 【例2】．（2026高一下·全国·专题练习）已知函数． (1)求； (2)若，，求角． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）化简，再代入求解即可； （2）根据列出关于的等式求解即可． 【详解】（1） ， 所以． （2）由，得，整理得， 由，得， 所以，即． 【举一反三】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）将下列各式化为的形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用辅助角公式化简； （2）利用两角和的正弦公式和辅助角公式求解. 【详解】（1） ． （2） ． 2．（25-26高一上·湖南常德·期末）设当时，函数取得最大值，则_____. 【答案】/ 【分析】利用辅助角公式，结合辅助角的函数值即求解. 【详解】由， 其中， 当时，函数取得最大值， 则，即， 则， 故答案为： 3．（25-26高一上·广东惠州·期末）已知函数 (1)讨论在上的单调性； (2)若，求的值. 【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）利用辅助角公式得到，求出的单调递增区间和单调递减区间，与取交集即可得到答案； （2）由题意求出，利用同角三角函数关系结合的范围求出，再根据两角差的余弦公式即可求解. 【详解】（1）， 当时，， 则当时，即时，函数单调递减， 当时，即时，函数单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）因为， 所以， 又，则，则 则， 故 . 题型三：积化和差、和差化积 【例3】．（24-25高一下·全国·课堂例题）把下列各式化成和或差的形式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦的积化和差公式即可求解， （2）根据余弦的积化和差公式即可求解. 【详解】（1）原式. （2）原式 【举一反三】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】由积化和差公式可求解（1）（2），由和差化积公式可求解（3） 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1） ． （2） ． （3） ． 3．（2024高一下·江苏·专题练习）证明下列恒等式. (1); (2). 【详解】（1） ； （2） . 题型四：三角恒等式变换中的给角求值、问题 【例4】．（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先将进行变形，再利用三角函数中辅助角公式、二倍角的正弦公式化简计算即可． 【分析】. 故选：D. 【举一反三】 1．（24-25高一下·江苏苏州·月考）求值：______． 【答案】1 【分析】根据同角三角函数的基本关系及降幂公式、诱导公式求解. 【详解】 ， 故答案为：1 2．（2025高三·全国·专题练习）（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】先利用二倍角的余弦公式化简，再将化为，利用两角和与差的正弦公式可求三角函数式的值 【详解】 . 故选：A. 3．（2025高三上·安徽六安·专题练习）=（    ） A．16 B．32 C． D． 【答案】B 【分析】利用互余关系通分，再利用平方关系消元，利用正弦、余弦二倍角公式降次，最后利用积化和差公式变形化简即可. 【详解】由 故选：B 题型五：三角恒等式变换中的给值求值问题 【例5】．（25-26高一上·浙江温州·期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】整理可得，设，，可得，分类讨论是否为0，结合倍角公式运算求解. 【详解】因为，即， 整理可得，即， 设，，则， 可得，即， （1）若，即，则， 可得， 则，即， 所以； （2）若，则， 若，则，此时不存在，不合题意； 若，则，此时不存在，不合题意； 综上所述：. 故选：D. 【举一反三】 1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角的基本关系可得，结合角之间的关系，利用倍角公式可得答案. 【详解】因为，所以， 整理为，则， 所以. 故选：D 2．（25-26高三上·河南郑州·月考）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角恒等变换结合同角的三角函数和二倍角公式计算即可. 【详解】由，结合，解得：， 所以， 当时，， 此时， 当时，， 此时， 综上，， 故选：A 3．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两角和的余弦公式和辅助角公式得到，由倍角公式和诱导公式得到. 【详解】， 所以，， ， 故选：D. 题型六：三角恒等式变换中的给值求角问题 【例6】．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知、，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和的正切公式可求出的值，可得出的取值范围，并求出的取值范围，即可得出的取值范围，利用二倍角的正切公式以及两角差的正切公式求出的值，即可得出的值. 【详解】因为，， 所以， 又因为、，所以，， 则，，所以， 因为， 所以，故. 故选：B. 【举一反三】 1．（25-26高一上·湖南郴州·期末）已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两角差的余弦公式，结合同角三角函数关系式进行求解即可. 【详解】因为都是锐角， 所以，又因为， 所以， ， 因此 ， 因为是锐角， 所以. 故选：B 2．（24-25高三下·重庆·月考）设是方程的两根，且，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】利用韦达定理求出，再利用两角和的正切公式求出，即可得解. 【详解】因为是方程的两根， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 则， 所以. 故选：B. 3．（24-25高一上·福建福州·期末）若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式，以及两角差的正切公式，以及结合角的范围，诱导公式，即可求解. 【详解】， 因为，所以， 所以，得. 故选：D 题型七：三角恒等式变换中证明 【例7】．（24-25高一下·辽宁·期中）已知，且，证明： (1)； (2). 【详解】（1）因为，所以， 两边同时除以，得，即. （2）因为，所以， 所以， 所以， 所以. 【举一反三】 1．（21-22高一·全国·课后作业）已知，求证：． 【详解】证明：因为，所以， 于是， 因为 ， 所以，， 同理可得， 所以，从而，所以． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）证明下列等式成立． (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）； （2）； （3）. 3．（23-24高一下·四川凉山·期末）（1）①借助两角和差公式证明： . ②在中，求证:.   （2）若，，求的值. 【详解】（1）①，， 即. ②在中，，则， 即，结合①结论， 又， ， 又，即. （2）同①有 ， 又，， ①，②， ②①式得， 即. 题型八：三角恒等式的实际应用 【例8】．（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转到，过、分别作于，于． (1)建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示、两点的坐标； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1)建系见解析，点，点 (2) 【分析】（1）以所在直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，利用三角函数的定义、诱导公式可得出点、的坐标； （2）利用三角恒等变换化简四边形的面积关于的表达式，结合的取值范围以及正弦型函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】（1）如图，以所在直线为轴，为原点建立平面直角坐标系， ，圆的半径为， 点坐标为，点的坐标为， 坐标为． （2），， 四边形的面积 ，     当时，即时，， 四边形的面积的最大值为． 【举一反三】 1．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，已知扇形的半径为，面积为，是扇形弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形（点、在半径上，点在半径上）. (1)求弧的长. (2)记，当取何值时，矩形的面积最大?并求出这个最大面积. 【答案】(1) (2)，最大面积为. 【分析】（1）根据扇形的面积公式可求出的值，再利用扇形的弧长公式可求得弧的长； （2）将、用的表达式加以表示，并结合三角恒等变换化简得出矩形面积的表达式，再利用正弦型函数的基本性质可求得矩形面积的最大值. 【详解】（1）由已知得，解得，则弧的长为. （2）在中，，，在中，， 所以，. 设矩形的面积为， 则 . 由，得， 所以当，即时，. 故当时，矩形的面积最大，最大面积为. 2．（24-25高一上·云南昆明·期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，矩形的面积为． (1)求； (2)求的最大值及此时的值； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)，； (3) 【分析】（1）求出、、关于的表达式，利用三角恒等变换化简函数的表达式即可，并写出该函数的定义域； （2）由可求出的取值范围，由正弦型函数的基本性质可求得的最大值及其对应的值； （3）由可求出的取值范围，由可得出，可得出的取值范围，解之即可. 【详解】（1）根据题意可知，，， 所以， 整理得 . 即. （2）由（1）知， 所以，显然时，，此时. （3）由，可得， 因为，所以，解得， 即不等式的解集为. 3．（24-25高一上·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，锐角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O交于点P，过P作圆O的切线交x轴的正半轴于，交y轴的正半轴于 (1)用表示的面积，并求其最小值； (2)当变化时，的周长是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由. 【答案】(1)，，1 (2)有， 【分析】（1）由题意可得：，，则直线MN的方程为，然后求解即可； （2）由题意可得：的周长为，然后结合三角函数最值的求法求解． 【详解】（1）由题意可得：，， 则直线MN的方程为， 则，，则，， 又，则时， 的面积取最小值1； （2）由题意可得：的周长为， 令， 则，则的周长为， 即当变化时，的周长有最小值，且最小值为 题型九：三角恒等式的化简问题 【例9】．（25-26高一下·四川泸州·开学考试）已知函数． (1)化简； (2)已知，都是锐角，，，求的值． 【详解】（1）由题意，根据诱导公式得： 函数有意义则定义域满足分母不为零，即，定义域满足. （2）因为锐角，已知，所以， 因为，都是锐角，所以， 又因为，所以在第二象限， 即，所以. 所以， 将数据代入得：. 【举一反三】 1．（25-26高一下·全国·单元测试）已知函数． (1)求函数的单调递减区间． (2)若，求的最大值和最小值． (3)若是第一象限角，求的值． 【答案】(1) (2)；． (3) 【分析】（1）化简，，令，解不等式即可求解； （2）先求的范围，再利用整体法即可求出最大值和最小值； （3）由题可得，，利用结合两角和的正弦公式求解即可. 【详解】（1） 令， 解得， 的单调减区间是． （2），， 当，即时，； 当，即时，． （3）是第一象限角， 即 ， 2．（25-26高一上·安徽芜湖·月考）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)若，且，求的值； (3)若函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） ，的最小正周期． （2）由可得，令，解得， 易知函数的图象在上关于直线对称， 因为且，所以， 则. （3）由（1）可知， 设． 在上有且仅有两个零点， ∴方程在时有且仅有两个实根， 由，得或， ∴方程的正根从小到大排列分别是， ，解得， ∴实数的取值范围为． 3．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数，. (1)求函数的最小正周期和单调增区间； (2)当时，求的值域； (3)已知，是函数在上的两个零点，且，求及的值. 【答案】(1)，.(2)(3)， 【详解】（1） ， ∴的最小正周期为， 令，， 解得，. 函数的单调递增区间为，. （2）当时，， 所以，所以. 所以的值域为； （3）由（1）可知， ， ∴， 当时，， 因为，是函数在上的两个零点， 则， ，且， 所以， 又因为， 所以， . 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高一上·河南周口·期末）（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由正余弦二倍角公式及两角差的正弦公式转化为特殊角进行化简，进而求解. 【详解】 . 故选：B. 2．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用积化和差公式得到，代入求值即可. 【详解】， 由积化和差得， 即， 故，解得. 故选：C 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用辅助角公式和两角和的正弦公式求解. 【详解】 . 故选：C 4．（25-26高一下·全国·单元测试）函数在上的最小值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】利用辅助角公式合成一个余弦型函数，然后利用余弦型函数在定区间上的最值的求法可得答案. 【详解】， 当时，， 故当时，函数取最小值， 最小值为． 故选：A 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据半角公式及角的范围求解即可. 【详解】由半角公式可知，， 又， 所以，所以. 故选：B 6．（25-26高三上·福建漳州·期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】换元法表示，再 由二倍角公式计算可得. 【详解】令，，， ， 由题可知，， 所以. 故选：C. 7．（24-25高一下·云南楚雄·月考）下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角和与差的正余弦公式，正切公式化简比较逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，因，故不能恒成立，即A错误； 对于B，因，故不能恒成立，即B错误； 对于C，因，则有在其有意义的条件下恒成立，故C正确； 对于D，因，，则 故，即不能恒成立，故D错误. 故选：C. 二、多选题 8．（25-26高一上·湖北荆州·期末）下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用三角恒等变换公式化简计算可得； 【详解】对于A，，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，， 所以，即， 又，所以，故C错误； 对于D， ，故D正确； 故选：ABD 9．（25-26高一下·全国·课后作业）下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据和差化积公式判断A，B，利用积化和差公式判断C，D. 【详解】因为，所以，所以A正确； 因为，所以，所以B错误； 因为，所以，所以C正确； 因为，所以，所以D错误. 故选：AC. 10．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先由同角三角函数关系可得，再结合诱导公式及和差角公式，及二倍角公式计算可得. 【详解】由，，再由同角三角函数基本关系式得. 由诱导公式，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：AC 11．（25-26高一上·全国·课后作业）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于选项A，利用两角和的正切公式判断；对于选项B，先利用诱导公式将转化为，再根据两角差的正弦公式求解；对于选项C，方法一利用二倍角的正弦公式化简即可，方法二多次运用积化和差公式，结合和差化积与特殊角的三角函数值求解；对于选项D，先通分，再根据二倍角公式和辅助角公式化简. 【详解】对于选项A，因为， 所以， 所以，A错误. 对于选项B，因为， 所以，B    正确. 对于选项C，方法一： . 方法二： ，C正确. 对于选项D，，D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，则____________. 【答案】 【分析】利用已知条件判断的范围，再利用半角公式即可求出. 【详解】因为，，则， 则由半角公式，得. 故答案为：. 13．（2026高一下·全国·专题练习）若函数，则的最大值为______. 【答案】 【分析】由切化弦结合辅助角公式化简函数解析式得到，进而可求解. 【详解】 ， 又， 的最大值为. 故答案为： 14．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，，，，则的值为_____________． 【答案】/ 【分析】根据角的范围，以及同角三角函数关系，求出和，进而根据两角差的正弦公式，求出结果. 【详解】因为，，所以． 因为，，所以， 又因为，所以， 于是， 即，由于，故． 答案：. 15．（25-26高一下·全国·课堂例题）求值： （1）____________； （2）____________． 【答案】 / 【分析】 （1）根据二倍角公式与和差化积公式化简计算即可；（2）根据积化和差公式计算即可. 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 故答案为：； 四、解答题 16．（25-26高一下·云南玉溪·开学考试）已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的关系，先求，，再由余弦的差角公式计算； （2）根据三角恒等变形结合同角三角函数的关系可求，进而求即可求． 【详解】（1）由题可得，，， ∴，， 又 ． （2）． 由，则， 由，则， ∴，， 又，，则， ∴， 而， 故． 17．（25-26高一下·四川眉山·开学考试）已知函数的最大值为. (1)求函数的最小正周期和常数的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)求使成立的的取值集合. 【答案】(1)最小正周期为；.(2)(3). 【详解】（1）， 此时函数的最小正周期， 因为的最大值为，且函数的最大值为，所以， 解得. （2）由（1）可知， 由， 解得， 所以函数的单调递减区间为. （3）由，得， 即，所以， 解得， 因此，满足的的取值集合为. 18．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知函数． (1)若，求的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)已知函数在区间上的值域为，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由题意， 若，则， 则. （2）由（1）得， 令， 解得，即的单调递减区间为. （3）因为，所以， 因为的值域为， 所以，解得，则实数的取值范围为. 19．（25-26高一上·浙江杭州·期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，矩形的面积为. (1)求的值域； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）根据题意可知，，， 所以， 整理得 即， ，则， 所以，则. 所以的值域为 （2）由，可得， 因为，所以，解得， 即不等式的解集为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲：几个三角恒等式 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　半角公式 sin ＝±，cos ＝±，tan ＝±＝＝. 知识点二　辅助角公式 辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋θ). 知识点三：常用结论 1．二倍角公式的变形公式 (1)1－cos α＝2sin2，1＋cos α＝2cos2.(升幂公式) (2)1±sin α＝2.(升幂公式) (3)sin2α＝，cos2α＝， tan2α＝.(降幂公式) 2．半角正切公式的有理化 tan ＝＝. 知识点四：和差化积 1. sinα±sinβ = 2sin[(α+β)/2]cos[(α−β)/2]（和正前，差余前） 2. cosα+cosβ = 2cos[(α+β)/2]cos[(α−β)/2]（余加余，余并肩） 3. cosα−cosβ = −2sin[(α+β)/2]sin[(α−β)/2]（余减余，负正弦） 知识点五：积化和差 1. sinαcosβ = 1/2[sin(α+β)±sin(α−β)]（sincos和差） 2. cosαcosβ = 1/2[cos(α+β)+cos(α−β)]（coscos和） 3. sinαsinβ = −1/2[cos(α+β)−cos(α−β)]（sinsin负差） 【题型归纳】 题型一：降幂公式的化简求值问题 【例1】．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）已知角满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广东茂名·期中）已知，则__________. 3．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是方程的两个实根，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型二：辅助角公式的应用 【例2】．（2026高一下·全国·专题练习）已知函数． (1)求； (2)若，，求角． 【举一反三】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）将下列各式化为的形式： (1)； (2)． 2．（25-26高一上·湖南常德·期末）设当时，函数取得最大值，则_____. 3．（25-26高一上·广东惠州·期末）已知函数 (1)讨论在上的单调性； (2)若，求的值. 题型三：积化和差、和差化积 【例3】．（24-25高一下·全国·课堂例题）把下列各式化成和或差的形式： (1)； (2). 【举一反三】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 3．（2024高一下·江苏·专题练习）证明下列恒等式. (1); (2). 题型四：三角恒等式变换中的给角求值、问题 【例4】．（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25高一下·江苏苏州·月考）求值：______． 2．（2025高三·全国·专题练习）（   ） A． B． C． D．2 3．（2025高三上·安徽六安·专题练习）=（    ） A．16 B．32 C． D． 题型五：三角恒等式变换中的给值求值问题 【例5】．（25-26高一上·浙江温州·期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）若，则（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河南郑州·月考）已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型六：三角恒等式变换中的给值求角问题 【例6】．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知、，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（25-26高一上·湖南郴州·期末）已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·重庆·月考）设是方程的两根，且，则（    ） A． B． C．或 D． 3．（24-25高一上·福建福州·期末）若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型七：三角恒等式变换中证明 【例7】．（24-25高一下·辽宁·期中）已知，且，证明： (1)； (2). 【举一反三】 1．（21-22高一·全国·课后作业）已知，求证：． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）证明下列等式成立． (1)； (2)； (3)． 3．（23-24高一下·四川凉山·期末）（1）①借助两角和差公式证明： . ②在中，求证:.   （2）若，，求的值. 题型八：三角恒等式的实际应用 【例8】．（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转到，过、分别作于，于． (1)建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示、两点的坐标； (2)求四边形面积的最大值． 【举一反三】 1．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，已知扇形的半径为，面积为，是扇形弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形（点、在半径上，点在半径上）. (1)求弧的长. (2)记，当取何值时，矩形的面积最大?并求出这个最大面积. 2．（24-25高一上·云南昆明·期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，矩形的面积为． (1)求； (2)求的最大值及此时的值； (3)若，求的取值范围． 3．（24-25高一上·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，锐角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O交于点P，过P作圆O的切线交x轴的正半轴于，交y轴的正半轴于 (1)用表示的面积，并求其最小值； (2)当变化时，的周长是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由. 题型九：三角恒等式的化简问题 【例9】．（25-26高一下·四川泸州·开学考试）已知函数． (1)化简； (2)已知，都是锐角，，，求的值． 【举一反三】 1．（25-26高一下·全国·单元测试）已知函数． (1)求函数的单调递减区间． (2)若，求的最大值和最小值． (3)若是第一象限角，求的值． 2．（25-26高一上·安徽芜湖·月考）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)若，且，求的值； (3)若函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围． 3．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数，. (1)求函数的最小正周期和单调增区间； (2)当时，求的值域； (3)已知，是函数在上的两个零点，且，求及的值. 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高一上·河南周口·期末）（   ） A． B． C． D．1 2．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·全国·单元测试）函数在上的最小值为（   ） A． B． C． D．0 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·福建漳州·期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·云南楚雄·月考）下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高一上·湖北荆州·期末）下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一下·全国·课后作业）下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·全国·课后作业）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，则____________. 13．（2026高一下·全国·专题练习）若函数，则的最大值为______. 14．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，，，，则的值为_____________． 15．（25-26高一下·全国·课堂例题）求值： （1）____________； （2）____________． 四、解答题 16．（25-26高一下·云南玉溪·开学考试）已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 17．（25-26高一下·四川眉山·开学考试）已知函数的最大值为. (1)求函数的最小正周期和常数的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)求使成立的的取值集合. 18．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知函数． (1)若，求的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)已知函数在区间上的值域为，求实数的取值范围． 19．（25-26高一上·浙江杭州·期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，矩形的面积为. (1)求的值域； (2)若，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $