10.3 几个三角恒等式 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

10.3 几个三角恒等式 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、单项选择题 1 在△ABC中，若sin A sin B＝cos2，则△ABC的形状为(　　) A．等边三角形 B.等腰三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 2 若sin α＋sin β＝(cos β－cos α)，且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β的值为(　　) A.－ B.－ C. D. 3 (2025辽宁期中)已知α是第四象限角，若cos α＝，则tan 等于(　　) A. B.－ C. D.－ 4 (2025上海月考)若α∈[0，2π]，且＋＝sin －cos ，则α的取值范围是(　　) A.[0，π] B. C.[π，2π] D. 5 (2025福州期末)若α，β∈，且tan α＝，则下列结论中正确的是(　　) A.2α－β＝ B.2α＋β＝ C.2α－β＝ D.2α＋β＝ 6 (2025昭通期末)已知tan θ＝，θ∈，则等于(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题 7 已知0<θ<，若sin 2θ＝m，cos 2θ＝n，且m≠n，则下列选项中与tan 恒相等的有(　　) A. B. C. D. 8 下列关系式中，正确的是(　　) A.sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcos θ B.cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ C.sin 3θ－sin 5θ＝－cos 4θcos θ D.sin θsin α＝[cos (θ－α)－cos (θ＋α)] 三、填空题 9 若θ是第四象限角，且25cos2θ＋cosθ－24＝0，则sin2＝________． 10若cos α＝－，α是第三象限角，则的值为________． 11 (2025南充期末)在三角恒等变换中，积化和差实际上就是把sin (α＋β)与sin (α－β)，cos (α＋β)与cos (α－β)相加或相减而变形得到的；和差化积实际上就是一种角的变换，如：sin α＋sin β＝sin ＋sin (－)＝2sin cos .如果角θ与γ满足cos θ－cos γ＝－，sin θ－sin γ＝，那么cos (θ＋γ)＝________． 四、解答题 12 (1) 已知cos θ＝－，且<θ<π，求 tan 的值； (2) 已知＝－5，求3cos 2θ＋4sin 2θ的值． 13 (2025徐州月考)已知3π<θ<4π，求证：＝－cos . 参 考 答 案 1.B　由题意，得[cos (A－B)－cos (A＋B)]＝(1＋cos C).又A＋B＝π－C，所以cos (A－B)－cos (π－C)＝1＋cos C，所以cos (A－B)＝1.又－π<A－B<π，所以A－B＝0，所以A＝B，故△ABC为等腰三角形． 2.D　由题意，得2sin cos ＝×2sin sin ，且0<<π，－<<，所以sin >0，所以tan ＝，所以α－β＝. 3.D　因为α是第四象限角，且cos α＝，所以sin α＝－＝－，所以tan ＝＝＝－. 4.C　由题意，结合半角公式cos ＝±和sin ＝±，得＋＝－cos ＋sin .又∈[0，π]，所以∈，所以α∈[π，2π]. 5.D　由题意，得tan α＝＝＝tan (－)，因为α，β∈，所以－∈，所以α＝π＋－，即2α＋β＝. 6.A　＝＝＝2cos .由θ∈，解得又∈，cos ＝＝，所以原式＝2cos ＝. 7.AD　tan ＝＝.因为＝＝＝，故A正确；因为＝＝＝，故D正确．故选AD. 8.AD　由sin 5θ＝sin (4θ＋θ)＝sin 4θcos θ＋cos 4θsin θ，sin 3θ＝sin (4θ－θ)＝sin 4θcos θ－cos 4θsin θ，cos 5θ＝cos (4θ＋θ)＝cos 4θcos θ－sin 4θsin θ，cos 3θ＝cos (4θ－θ)＝cos 4θcos θ＋sin 4θsin θ，得sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcos θ，故A正确；cos 3θ－cos 5θ＝2sin 4θsin θ，故B错误；sin 3θ－sin 5θ＝－2cos 4θsin θ，故C错误；－[cos (θ＋α)－cos (θ－α)]＝－[(cos θcos α－sin θsin α)－(cos θcos α＋sin θsin α)]＝－(－2sin θsin α)＝sin θsin α，故D正确．故选AD. 9.　由25cos2θ＋cosθ－24＝0，解得cos θ＝或cos θ＝－1.因为θ是第四象限角，所以cos θ＝，所以sin2＝＝. 10.－　因为α为第三象限角，所以为第二或第四象限角，所以tan ＝－＝－3，所以＝－. 11.　由cos θ－cos γ＝cos －cos (－)＝－2sin sin ＝－，得sin sin ＝.由sin θ－sin γ＝sin (＋)－sin (－)＝2cos sin ＝，得cos sin ＝，所以tan ＝，故cos (θ＋γ)＝＝＝. 12．(1) 因为<θ<π， 所以<<，所以tan >0. 因为cos θ＝＝－， 解得tan2＝4，所以tan＝2. (2) 因为＝－5， 所以＝－5，所以tan θ＝2. 又cos 2θ＝＝－， sin2θ＝＝， 所以3cos2θ＋4sin 2θ＝－＋＝. 13.因为3π<θ<4π，所以<<2π，<<π， 所以cos ＝，cos ＝－， 所以左边＝＝＝＝－cos ＝右边， 所以等式成立． 学科网（北京）股份有限公司 $