精品解析：陕西省宝鸡市宝鸡县杨家沟高中等校2026届高三上学期期中考试数学试题

高三年级考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. 1 B. 2 C. 7 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集结果及已知集合列方程求参数值，注意验证. 【详解】由，，， 所以，即，此时，，满足题设. 故选：D 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的模长公式，可求解，即可根据充分不必要条件的定义求解. 【详解】由得，故， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：B 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】逆用正切二倍角公式化简即可. 【详解】由正切二倍角公式可得. 故选：A. 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别化简值，利用指数函数单调性分析的范围，结合三角函数值的范围分析的范围，进而比较三者大小. 【详解】对于，因，故. ，由指数函数单调性，，故. ，因，函数在上单调递增， ，故，即. 综上，. 故选：B. 5. 在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得所以为奇函数，且，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为， 且， 所以为奇函数，则函数的图象关于原点对称， 当时，，且，所以， 故选：B. 6. 在等比数列中，，则公比（ ） A. 6 B. 3 C. 或6 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列性质知，结合题意可得，再解方程即可． 【详解】数列为等比数列，且， ，又， 所以，即， 解得或． 故选：C． 7. 若且，函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，在上单调递增， 所以， 解得. 故选：A 8. 已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造辅助函数，利用导数判断其单调性，将原不等式转化为辅助函数的不等式，结合单调性求解自变量的范围. 【详解】构造函数， 则， 由，得，故在上单调递减. 计算. 将变形为，即. 因单调递减，故，解得. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 定义：平面向量，满足.若，，，则（ ） A. B. ， C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，根据定义得到方程，求出；B选项，利用平面向量夹角余弦公式得到B正确；C选项，计算出，C正确；D选项，计算出，故，D错误. 【详解】A选项，，故，A错误； B选项，，B正确； C选项，，故，C正确； D选项，，故，D错误. 故选：BC 10. 函数的部分图象如图所示，把的图象向右平移个单位长度得到函数的图象．把图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 当时，对任意的恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦函数的图像、性质、变换进行逐项计算即可. 【详解】由图象可知，，， 解得，解得. 又函数过点，所以， 则，因为，所以. 所以函数，A正确； 根据函数的变换可知，B错误； ，因为，所以， 此时是单调递增的，C正确； 因为， 所以不等式变. 因为，所以，所以， 所以，所以要使得不等式恒成立，那么，D正确. 故选：ACD 11. 若定义在上的函数的图象存在对称中心，且该函数的最大值与最小值的差不大于2，则称该函数是上的完美函数.下列判断正确的是（ ） A. 是上的完美函数 B. 若是上的完美函数，则也是上的完美函数 C. 是上的完美函数 D. 存在，使得是上的完美函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A利用函数奇偶性找出对称中心，再利用基本不等式求最值结合定义即可得出，根据定义分析即可得出选项B，先判断奇偶性，然后利用函数导数判断函数单调性以及复合函数单调性，求出函数最值分析即可得出选项C，利用函数导数分析函数单调性从而求出最值作差得出的条件，然后验证对称性即可得出D选项. 【详解】对于A，令，则函数的定义域为，关于原点对称， 由，可知该函数为奇函数，对称中心为， 当时，，当且仅当时取到等号， 当时，，当且仅当时取到等号， 当时，，故最大值为，最小值为，两者的差为2，符合题意，故A正确； 对于B，若是上的完美函数，设其对称中心为，则的对称中心为， 因的最值的差为最值的差的2倍，若的最值的差为2，则最值的差为4，不满足定义，故B不正确； 对于C，关于原点对称，令， 由 ，即函数为奇函数，对称中心为， 令，则，当时，显然， 当时，，故在上单调递减， 又在定义域上单调递增，故在上单调递减， 所以， ， 则 因， 所以，满足题意，故C正确； 对于D，因，则， 因为，所以， 当时，，所以在上单调递减， 故， 当时，，所以在上单调递增， 故， 故的最值差为， 又 ，即函数关于点对称， 即存在满足题意，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的定义求出极限值. 【详解】函数，求导得， 所以. 故答案为：8 13. 若函数在上有最大值，则的最小正周期为___________，的取值范围为___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由最小正周期的计算公式及换元法和正弦函数的图象性质可得结果. 【详解】的最小正周期， 令，当时，， 由函数在上有最大值，可转化为在上有最大值， 只需满足，所以的取值范围为. 故答案为：；. 14. 若表示不大于的最大整数，曲线在点处的切线经过点，则___________，数列的前项和___________. 【答案】 ①. 42 ②. 【解析】 【分析】根据导数的几何意义及直线的点斜式方程求出切线方程，结合题意可得，根据的定义求出，再根据等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】因为，， 曲线在点处的切线方程为， 又因为切线过点， 所以，可得， 所以， 所以， . 故答案为：42；. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在锐角三角形中，角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，进而计算可求得，进而可求角的大小； （2）由余弦定理可得，可求得，进而可求面积. 【小问1详解】 由，可得，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 由（1）知，在三角形中，由余弦定理得， 又因为，所以， 又，所以，解得， 所以. 16. 已知正项等差数列满足，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）求的前项和； （3）设数列的前项和为，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式进行求解即可. （2）根据等差数列的前项和公式进行计算即可. （3）根据数列的性质分组求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则 解得或 依题意得，则，所以． 【小问2详解】 由（1）知，， 所以． 【小问3详解】 因为， 所以. 17. 已知定义在上的偶函数和奇函数满足． （1）求和的解析式． （2）设函数． （i）求值域； （ii）若，且不等式对任意恒成立，求的最小值． 【答案】（1），． （2）（i）；（ii）． 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程组，由此求得. （2）（i）利用构造函数法、换元法，结合二次函数的性质求得的值域. （ii）根据函数的单调性化简不等式，根据二次函数列不等式，由此求得的取值范围，进而求得的最小值. 【小问1详解】 根据题意可得， 对于①，以代替得，， 所以②， 由①+②得， 解得； 由①-②得， 解得， 【小问2详解】 （i）由题意得． 设函数，易得为增函数，所以， 令，则． 设函数，因为， 所以的值域为． （ii）由（i）可得，当时，， 则， 因为在上单调递增，在上单调递增， 由复合函数单调性可得在上单调递增， 所以等价于， 令，所以对任意的恒成立， 因为函数图象的开口向上且对称轴为直线， 所以， 即，解得， 因为，所以，即的最小值为． 18. 已知函数. （1）当时，求极值点的个数； （2）当时，求函数零点的个数. 【答案】（1）2 （2）4 【解析】 【分析】（1）二次求导，结合零点存在性定理得到存在，使得，从而求出极值点个数； （2）转化为两函数与的交点个数，令，，求导，得到其单调性和极值和最值情况，从而画出的大致图象，数形结合得到答案. 【小问1详解】 时，，， 则，令，则， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值，， 又，， 由零点存在性定理可知，存在，使得， 且为的变号零点，故极值点个数为2； 【小问2详解】 时，，， 的零点个数问题，即方程的解的个数问题， 又，可转化为的解的个数问题， 即两函数与的交点个数问题， 令，， 则，， 令，则，， 显然，恒成立，所以在上单调递增， 又，，所以在上存在唯一零点， 记为，则，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，， 又，，所以， 所以的大致图象如下： 所以与有4个交点， 即函数的零点个数为4. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，且对任意的恒成立，求的取值范围； （3）若，数列的前项和为，证明：． 【答案】（1）答案见解析； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求导得，再对分类讨论即可； （2）设，求导后再对进行分类讨论； （3）根据（2）得到结论对任意恒成立，再令，最利用累加法和裂项相消法即可得到证明. 【小问1详解】 由题意得的定义域为． 当时，在上单调递减； 当时，由，得，由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上可知，当时，上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 依题意可得当时，对任意恒成立． 令，则． ①当时，， 则，所以， 则在上单调递增，则，符合题意． ②当时，有两根， 因为且，所以， 所以由，即，得， 由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，则，则不符合题意． 故的取值范围是． 【小问3详解】 由（2）可得，当时，对任意恒成立， 即对任意恒成立． 令，则， 当时，，此时满足，即不等式成立． 当时，， 所以，， 以上累加得， 则，即． 综上可知，对所有的． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. 1 B. 2 C. 7 D. 4 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. （ ） A B. C. D. 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 5. 在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 在等比数列中，，则公比（ ） A. 6 B. 3 C. 或6 D. 或3 7. 若且，函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 定义：平面向量，满足.若，，，则（ ） A. B. ， C. D. 10. 函数的部分图象如图所示，把的图象向右平移个单位长度得到函数的图象．把图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 当时，对任意的恒成立 11. 若定义在上的函数的图象存在对称中心，且该函数的最大值与最小值的差不大于2，则称该函数是上的完美函数.下列判断正确的是（ ） A. 是上的完美函数 B. 若是上的完美函数，则也是上的完美函数 C. 是上的完美函数 D. 存在，使得是上的完美函数 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______． 13. 若函数在上有最大值，则的最小正周期为___________，的取值范围为___________. 14. 若表示不大于的最大整数，曲线在点处的切线经过点，则___________，数列的前项和___________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在锐角三角形中，角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，求的面积． 16 已知正项等差数列满足，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）求的前项和； （3）设数列的前项和为，求． 17. 已知定义在上偶函数和奇函数满足． （1）求和的解析式． （2）设函数． （i）求值域； （ii）若，且不等式对任意恒成立，求的最小值． 18. 已知函数. （1）当时，求极值点的个数； （2）当时，求函数零点个数. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，且对任意的恒成立，求的取值范围； （3）若，数列的前项和为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $