精品解析：陕西省西安高级中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

2025-2026西安高级中学高2023级高三上学期期中考试 数学学科试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定集合的元素个数，利用集合真子集个数公式可得结果. 【详解】因为， 即集合的元素个数为，故的真子集个数为. 故选：A. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法结合共轭复数的定义可得结果. 【详解】因为，因此复数的共轭复数是. 故选：A. 3. 设向量，则（    ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示以及充分条件、必要条件的定义逐项判断即可. 【详解】对A，当时，则，所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对C，当时，，故，所以，即充分性成立，故C正确； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 4. 已知函数，且，则（ ） A. -12 B. -4 C. 2 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由得出相应的式子，从而可求出的值． 【详解】由 得 故 =-12 故选：A 5. 学校组织学生参加劳动基地实践活动，将名学生分配到整地做畦、作物移栽和藤架搭建个项目进行劳动技能训练，每名学生只分配到个项目，每个项目至少分配名学生，则不同的分配方案共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】将四名学生分为三组，再将这三组学生分配给三个项目即可，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】将四名学生分为三组，每组人数分别为、、，再将这三组学生分配给三个项目即可， 所以，不同的分配方案种数为种. 故选：B. 6. 已知点，若圆上存在点，使得为坐标原点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点，由得，即点在以为圆心，半径为的圆上，又点在圆上，得圆与圆有公共点，利用圆心距与半径的关系即可求解. 【详解】设点，又，由， 所以，化简得， 所以点在以为圆心，半径为的圆上， 又点在圆上， 所以圆与圆有公共点， 所以，即， 所以，即， 又，，所以的解集为， 由， 所以， 故选：B. 7. 记方程①：，方程②：，方程③：，其中，，是正实数．当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是 A. 方程①有实根，且②有实根 B. 方程①有实根，且②无实根 C. 方程①无实根，且②有实根 D. 方程①无实根，且②无实根 【答案】B 【解析】 【详解】当方程①有实根，且②无实根时，，从而即方程③：无实根，选B.而A,D由于不等式方向不一致，不可推；C推出③有实根 考点：不等式性质 8. 已知函数，，（其中为自然对数的底数）.若存在实数，使得，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由存在实数，使得可转化为，构造函数，研究函数的单调性，再分离参数即可得解. 【详解】因为存在实数，使得， 所以，即， 令，则， 函数在R上单调递增，， 即的最小值， 令，， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 时，函数取得极小值即最小值， ， . 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 已知随机变量，则下列等式正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义逐一判断即可得解． 【详解】因为随机变量， 则正态分布曲线关于对称， 因为， 则由正态分布曲线的对称性可得：，即，故A正确； 又， 由于，所以，故B不正确，C正确； ，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知抛物线：的焦点为，，为上不同的两点，为坐标原点，若，则（ ） A. 焦点的坐标为或 B. C. 直线交直线：于点，则 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】抛物线基本性质判断A选项，根据向量关系判断B选项，直线与抛物线的位置关系判断C选项，根据向量数量积判断D选项. 【详解】抛物线，其中，即， 所以焦点的坐标为，不存在的情况，选项A错误； 设，由，则， 根据向量关系可得：， 因为在抛物线上，所以， 由，代入得，又，所以，即， 结合，代入得，解得，则， 根据抛物线的焦点弦长公式可得：，选项B错误； 直线的方程：，斜率，方程为， 当时，，即点坐标为， 由，则，所以， 又因为直线，，所以横坐标分别为和，纵坐标相等，均为 因此平行于轴，而垂直于轴，故，选项C正确；  ，数量积， 由，则， 由，且，则， 所以，选项D正确. 故选：CD. 11. 设为正实数，为实数，已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若函数的最大值为2，则 B. 若对于任意的，都有成立，则 C. 当时，若在区间上单调递增，则的取值范围是 D. 当时，若对于任意的，函数在区间上至少有两个零点，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：根据正弦函数的有界性分析判断；对B：利用函数的周期的定义分析判断；对C：以为整体，结合正弦函数的单调性分析判断；对D：以为整体，结合正弦函数的性质分析判断. 【详解】A选项，由题意，则，A正确； B选项，若，则的周期为， 设的最小正周期为，则， 解得，B错误； C选项，当时， ∵，则， 若在区间上单调递增，则， 解得，C正确； 选项，由题意可得，对，在上至少两个零点， ∵，则， 若对，在上至少两个零点，则，解得，D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：求解函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质问题的三种意识 (1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式． (2)整体意识：类比y＝sinx的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”，采用整体代入求解． ①令ωx＋φ＝kπ＋ (k∈Z)，可求得对称轴方程． ②令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标． ③将ωx＋φ看作整体，可求得y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，注意ω的符号． (3)讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A>0，A<0. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求值：__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用余弦二倍角公式即可求解. 【详解】. 故答案为： 13. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用椭圆和双曲线的定义，在焦点三角形利用余弦定理得到，再用基本不等式求解. 【详解】不妨设为第一象限的点，为左焦点， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为， 则根据椭圆及双曲线的定义可得， ，所以，， ，在△中，， 由余弦定理得， 化简得，即． 所以，从而， 当且仅当，且，即，时等号成立． 故答案为： 14. 如图，等腰所在平面为，，，点，分别为，的中点，点为的中点.平面内经过点的直线将分成两部分，把点所在的部分沿直线翻折，使点到达点（平面）.若点在平面内的射影恰好在翻折前的线段上，则线段的长度的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】当与CD重合时，=0，由题意得为直角三角形， 且斜边为定值，所以要求最大值，只需GH最小，GH最小值为， 所以. 故答案为：． 【点睛】折叠问题最重要的是找到折叠之前与折叠之后不变量，这是两个图形的桥梁，再结合新图形的新特征处理． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在上单调递增. （1）求的取值范围； （2）若，求的单调递增区间； （3）若，求的最小正周期. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合正切函数的单调性求解出的取值范围即可； （2）利用正切函数的单调区间求解出要求的函数的单调区间即可； （3）结合小问（1）求解出的最小正周期即可. 【小问1详解】 当，， 因为在上单调递增， 所以，所以， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 若， 由，，解得，， 所以的单调递增区间为：. 【小问3详解】 若，则，得 则，，解得，， 又因为，所以， 的最小正周期为. 16. 如图，梯形中，，过分别作，，垂足分别，，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体 ，如图． 1若，证明：平面； 2若，，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】 【分析】1由正方形的性质推导出，结合，可得平面，由此，再由，能证明平面；2过作交于点，以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，可得，利用向量垂直数量积为零求出平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式能求出结果． 【详解】1由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在图2中，， 由已知得，，平面 又平面BDE，， 又，，平面 2在图2中，，，，即面DEFC， 梯形DEFC中，过点D作交CF于点M，连接CE， 由题意得，，由勾股定理可得，则，， 过E作交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直， 以E为坐标原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， ． 设平面ACD的一个法向量为， 由得取得， 设，则m，，，得 设CP与平面ACD所成的角为， ． 所以 【点睛】本题主要考查线面垂直的证明，以及空间向量的应用，是中档题．空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 17. 某企业因技术升级，决定从2023年起实行新的绩效方案.方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查： 一个袋子中装有三个除颜色外完全相同的小球，其中1个黑球，2个白球.企业所有员工从袋子中有放回地随机摸两次球，每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式I回答问卷，否则按方式II回答问卷”. 方式I：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“”，否则画“”； 方式II：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“”，否则画“”. 当所有员工完成问卷调查后，统计画，画的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值.其中， （1）若该企业某部门有9名员工，用表示其中按方式I回答问卷的人数，求的数学期望； （2）若该企业的所有调查问卷中，画“”与画“”的比例为，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度. 【答案】（1）4 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意分析可得方式I回答问卷的人数，利用二项分布的期望的公式运算求解； （2）根据题意结合条件概率公式和全概率公式运算求解． 【小问1详解】 每次摸到白球的概率，摸到黑球的概率为， 每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率. 则该部门9名员工中按方式I回答问卷的人数， 所以的数学期望． 【小问2详解】 记事件为“按方式I回答问卷”，事件为“按方式II回答问卷”，事件为“在问卷中画○”． 由（1）知，，． ∵， 由全概率公式， 则，解得， 故根据调查问卷估计，该企业员工对新绩效方案的满意度为． 18. 设常数，在平面直角坐标系中，已知点，直线，曲线（，），与轴交于点、与交于点，、分别是曲线与线段上的动点. （1）用表示点到点的距离； （2）设，，线段中点在直线上，求的面积； （3）设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据抛物线性质，即可求出点到点的距离； （2）根据题意得到点的坐标，即可得到线段的中点的坐标，从而得到直线方程，再联立抛物线和直线方程即可得到点的坐标，进而即可求出的面积； （3）设，分和两种情况讨论，通过在矩形中，，，当，求出点的坐标，并判断是否在上；当时，要使得点在上，设，并代入以上条件计算，看是否能求出的值，进而即可得出结论. 【小问1详解】 由曲线的焦点线，准线为， 所以根据抛物线性质，点到点的距离. 【小问2详解】 当时，得，， 由，则，即， 所以线段的中点为， 又，所以直线方程为， 联立，整理得，解得，或（舍去）， 所以的面积. . 【小问3详解】 存在，已知，设，， ①若，则， 因为在矩形中，，， 所以，， 又不在曲线上，则此情况不成立； ②若，则PF的斜率， 因为在矩形中，，则，得， 所以直线QF为， 当时，Q点纵坐标，得， 所以，， 因为在矩形中，， 设，则， 所以，得到， 要使得点在上，则将代入， 得到，解得， 又，得，即. . 19. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求实数的值； （2）若方程有两个不同的解，且， ①求实数的范围，试比较与的大小关系，并说明理由； ②证明：. 【答案】（1） （2）①，，理由见解析；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求导得，求出切线方程，并联立曲线，根据判别式等于0即可得到答案； （2）①设，求出其最大值即可得到的范围，判断，等价证明，再通过合理变形和比值换元即可证明； ②由①知，再设，代入后再累加即可证明. 【小问1详解】 ，曲线在处的切线斜率为， 所以曲线在处的切线方程为． 由于切线与曲线只有一个公共点， 得有且只有一解， 所以， 解得． 【小问2详解】 ①令， 因为方程有两个不同的解，所以有两个不同的零点． ，当时，；当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以，所以． 一方面因为， 另一方面因为， 令，所以． 综上：． 判断： 下证：等价于． 因为，所以，所以， 要证：即证，即证：，因为，即证： ，令， 设，则， 所以，所以． ②由①可知：当时，， 令，所以． 所以， 将以上个不等式进行累加，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026西安高级中学高2023级高三上学期期中考试 数学学科试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 设向量，则（    ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件 4. 已知函数，且，则（ ） A. -12 B. -4 C. 2 D. 5 5. 学校组织学生参加劳动基地实践活动，将名学生分配到整地做畦、作物移栽和藤架搭建个项目进行劳动技能训练，每名学生只分配到个项目，每个项目至少分配名学生，则不同的分配方案共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 已知点，若圆上存在点，使得为坐标原点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 记方程①：，方程②：，方程③：，其中，，是正实数．当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是 A. 方程①有实根，且②有实根 B. 方程①有实根，且②无实根 C. 方程①无实根，且②有实根 D. 方程①无实根，且②无实根 8. 已知函数，，（其中为自然对数的底数）.若存在实数，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 已知随机变量，则下列等式正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 已知抛物线：的焦点为，，为上不同的两点，为坐标原点，若，则（ ） A. 焦点的坐标为或 B. C. 直线交直线：于点，则 D. 11. 设为正实数，为实数，已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若函数最大值为2，则 B. 若对于任意的，都有成立，则 C. 当时，若在区间上单调递增，则的取值范围是 D. 当时，若对于任意的，函数在区间上至少有两个零点，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 求值：__________. 13. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为__________． 14. 如图，等腰所在平面为，，，点，分别为，的中点，点为的中点.平面内经过点的直线将分成两部分，把点所在的部分沿直线翻折，使点到达点（平面）.若点在平面内的射影恰好在翻折前的线段上，则线段的长度的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在上单调递增. （1）求的取值范围； （2）若，求的单调递增区间； （3）若，求的最小正周期. 16. 如图，梯形中，，过分别作，，垂足分别，，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体 ，如图． 1若，证明：平面； 2若，，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长． 17. 某企业因技术升级，决定从2023年起实行新绩效方案.方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查： 一个袋子中装有三个除颜色外完全相同的小球，其中1个黑球，2个白球.企业所有员工从袋子中有放回地随机摸两次球，每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式I回答问卷，否则按方式II回答问卷”. 方式I：若第一次摸到是白球，则在问卷中画“”，否则画“”； 方式II：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“”，否则画“”. 当所有员工完成问卷调查后，统计画，画的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值.其中， （1）若该企业某部门有9名员工，用表示其中按方式I回答问卷的人数，求的数学期望； （2）若该企业的所有调查问卷中，画“”与画“”的比例为，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度. 18. 设常数，在平面直角坐标系中，已知点，直线，曲线（，），与轴交于点、与交于点，、分别是曲线与线段上的动点. （1）用表示点到点距离； （2）设，，线段的中点在直线上，求的面积； （3）设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由. 19. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求实数的值； （2）若方程有两个不同的解，且， ①求实数的范围，试比较与的大小关系，并说明理由； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $