精品解析：辽宁辽西重点高中2025-2026学年高二下学期开学联考数学试题

辽西重点高中2025~2026学年度下学期高二开学联考 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线与直线垂直，则实数a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据互相垂直两直线方程系数的关系进行求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以. 故选：C 2. “曲线表示椭圆”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先根据方程是椭圆得出或，再应用充分必要条件定义判断求解. 【详解】若曲线表示椭圆，有，可得或， “曲线表示椭圆”可以推出“”， “”不可以推出“曲线表示椭圆”， 可得“曲线表示椭圆”是“”的充分不必要条件. 故选:A. 3 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量共线的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为向量，，， 设，则， 所以. 故选：A 4. 设是等差数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得成等差数列，计算即可求得的值. 【详解】由是等差数列的前n项和，则成等差数列， 因，，所以，， 所以，所以，所以. 故选：A. 5. 已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出已知圆的圆心及半径，利用两圆相切建立等式，再利用圆锥曲线的定义求出轨迹方程. 【详解】设动圆圆心为，半径为， 圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，则点在圆内，由圆分别与圆外切，与圆内切， 得，整理得， 因此动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆， 长半轴长，半焦距，短半轴长， 所以所求轨迹方程为. 故选：B 6. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件存在如下关系：.2025贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小红同学想去影院看的．小红同学家附近有甲、乙两家影院，小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.3和0.7．如果她第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小红同学（ ） A. 第二天去甲影院的概率为0.54 B. 第二天去乙影院的概率为0.46 C. 已知小红第二天去了甲影院，那么她第一天去乙影院的概率为 D. 已知小红第二天去了乙影院，那么她第一天去甲影院的概率为 【答案】D 【解析】 【分析】设相应事件，对于AB：利用全概率公式和对立事件分析求解；对于CD：根据题意结合贝叶斯公式运算求解. 【详解】设：第一天去甲影院，：第二天去甲影院，则：第一天去乙影院，：第二天去乙影院， 可得，，，， A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确； 故选：D 7. 在正三棱柱中，，P是线段上的一动点，则点P到直线的距离的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量法求出，，，设（），求出，利用点到直线的距离公式求出点P到直线的距离. 【详解】以A为原点，AB，所在直线分别为x轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，所以，，，， 所以，，. 设（），则， 故点P到直线的距离 . 故选：A. 8. 已知椭圆的左焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与E交于M，N两点，若，则E的离心率为（ ） A 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】记右焦点为T，利用倍角公式求出，再在中利用余弦定理可得. 【详解】不妨设E的半焦距为c，记右焦点为T，易知，， 由定义知， 记，显然其为锐角，故由，解得，在中由余弦定理得 ， 于是，即， 可得离心率或. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的有（ ） A. 设，，是三个空间向量，则 B. 方程表示曲线，为实数，曲线不可能表示圆 C. 直线的斜截式方程可以表示平面内的所有直线 D. 点关于直线的对称点为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的运算律判断A；根据曲线方程表示圆求参数判断B；根据斜截式方程使用的情况判断C；根据点关于直线对称设对称点坐标，利用斜率与中点坐标关系列方程得关系即可判断D. 【详解】对于A，设，，是三个空间向量，则，故A正确； 对于B，曲线若表示圆，则，满足条件的不存在，故该曲线不可能表示一个圆，故B正确； 对于C，斜截式方程可以表示平面内斜率存在的直线，不能表示斜率不存在的直线，故C不正确； 对于D，设点关于直线的对称点为， 所以，解得：，故D不正确. 故选：AB. 10. 已知为坐标原点，点在直线上，是圆的两条切线，为切点，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 若圆上恰有三个点到的距离为，则 C. 若为等边三角形，则 D. 若，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出直线所过定点判断A；由圆到直线距离为求解判断B；利用圆的切线性质求解判断C；求出点的轨迹，再利用直线与圆有公共点求解判断D. 【详解】对于A，对任意实数，当时，恒有，因此直线恒过定点，A正确； 对于B，由圆上恰有三个点到的距离为，得，解得，B错误； 对于C，由为等边三角形，得，而，则，C正确； 对于D，由，得四边形是正方形，则， 点在以点为圆心，为半径的圆上，即直线与圆有公共点， 因此，解得或，D正确. 故选：ACD 11. 设随机事件A，B满足，，，则（ ） A. B. ，相互独立 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据事件的和与事件的关系可得，根据独立事件的定义即可判断A，B；利用条件概率公式计算即可判断C，D. 【详解】随机事件A，B满足，，， 又， 所以，又， 所以，相互独立，故A,B正确； ，故C不正确； 因为，所以，又因为，相互独立，则也相互独立， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作准线的垂线，垂足为，则的周长为，求出后可得所求的范围. 【详解】过点作准线的垂线，垂足为， 则的周长为， 由可得：，所以，故的周长的取值范围为. 故答案为： 13. 大润发超市的店员准备把待打折处理的两袋不同的蔬菜和两袋不同的水果摆上如图所示的货架，要求同类商品不摆在同一行也不摆在同一列，则共有______种不同的摆放方法.（用数字作答） A B C D E F 【答案】72 【解析】 【分析】首先在第一行放一袋蔬菜和一袋水果，再在第二行分类讨论放剩下的蔬菜和水果，最后利用分步计数原理即可得出结果. 【详解】因为要求同类商品不摆在同一行也不摆在同一列， 所以第一行只能放一袋蔬菜和一袋水果，共有种放法, 再在第二行分类讨论放剩下的蔬菜和水果， 第二袋蔬菜如果放在第一袋水果下方，则第二袋水果有2种放法， 如果第二袋蔬菜不放在第一袋水果下方，则第二袋水果有1种放法，共有3种情况， 因此共有种摆放方法. 故答案为：72. 14. 在正方体中，，P是棱的中点，E，F是矩形内的任意两点（包括边界），则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设正方体的中心为，连接，设，连接，由已知线面关系可证得平面，从而可得，，根据空间向量的数量积计算，从而可得其最小值. 【详解】设正方体的中心为，连接，设，连接， 因为正方体中，所以平面， 因为平面，， 又平面，所以平面， 因为P是棱的中点，正方体的中心为， 所以，则四边形为平行四边形，则， 故平面，由于平面， 则，， 所以， 因为，，所以， 因为，所以|，所以， 因为E，F是矩形内的任意两点，所以，当且仅当E，F为或的两端点时，等号成立， 则，即的最小值是. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知圆的方程为. （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于两点，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将圆的一般方程转化为标准方程即可求解； （2）根据圆心到直线的距离与半径和弦长之间的关系即可求解. 【小问1详解】 依题意，圆的方程可化为，所以，解得，所以实数的取值范围是； 【小问2详解】 由（1）知，圆心，半径为，所以圆心到直线的距离为； 所以，解得. 16. 某商场为了解顾客对某款坚果礼盒的满意程度，随机调研了200名购买过该款坚果礼盒的顾客，得到如下列联表. 性别 满意 不满意 合计 男性 40 40 80 女性 80 40 120 合计 120 80 200 （1）根据小概率值的独立性检验，分析顾客对该款坚果礼盒的满意度是否与性别有关联； （2）从样本中对该款坚果礼盒满意的顾客中随机抽取2人，求这2人至少有1名女性的概率 附：. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）与性别有关 （2） 【解析】 【分析】（1）提出零假设，结合所给卡方公式进行运算判断即可； （2）根据古典概型运算公式，结合组合的定义进行求解即可. 【小问1详解】 零假设为：顾客对该款坚果礼盒的满意度与性别无关. 经计算得， 依据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立， 即顾客对该款坚果礼盒的满意度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05. 【小问2详解】 （2）由题意，从样本中对该款坚果礼盒满意的顾客中随机抽取2人， 结合列联表可得，对该款坚果礼盒满意的顾客共120人，其中男性有40人，女性有80人， 抽取2人至少有1名女性的概率为. 17. 如图所示，四边形与均为菱形，，且. （1）求证：平面； （2）求面与面所成二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见详解. （2） 【解析】 【分析】（1）用线面垂直的判定定理证明即可； （2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，再代入公式即可求出. 小问1详解】 设与相交于点，连接，为菱形，， 连接，四边形为菱形且，为等边三角形， 又为中点， ， 又平面，平面，， 平面. 【小问2详解】 由（1）可知 ，又为中点，，， 又平面，平面，，平面， 两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，四边形为菱形且，， 为等边三角形，， 则 ， 设平面的法向量为， 则，令，则，得， 由图可知平面的法向量为， ， 故平面与平面所成二面角的余弦值为. 18. 已知数列的前项和为，且 （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）若，求的前项和； （3）是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有满足条件的正整数；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析，； （2）； （3）存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用前项和与第项的关系，结合等比数列定义推理证明，进而求出通项公式. （2）由（1）求出，再利用分组求和法及裂项相消法求和. （3）假定存在，利用不等式性质推理求解. 【小问1详解】 在数列中，，当时，， 两式相减得，即，则， 而，则，， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则，即， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知， ， 所以 . 【小问3详解】 假设存在正整数，使得， 由，得，则，又， 于是，则， 因此， 即，得， 所以存在正整数，使得成立. 19. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当直线的斜率为时，． （1）求抛物线的方程； （2）已知点，直线，分别交抛物线于，两点． ①求证：直线过定点； ②求与面积和的最小值． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②40 【解析】 【分析】（1）由抛物线的方程表示焦点为的坐标，由直线方程的点斜式表示直线的方程，再将直线方程与抛物线方程联立表示出过焦点的弦长，计算即可. （2）①设出直线的方程，与抛物线联立，用韦达定理找出坐标关系，表示出直线方程，即可求出定点. ②利用三角形面积公式结合二次函数的基本性质，即可求得与面积和的最小值． 【小问1详解】 抛物线,抛物线的焦点坐标为， 当直线的斜率为1时，直线的方程为， 联立，得：， 由，解得：， 抛物线的方程为． 【小问2详解】 ①证明：由题意，可设直线的方程为， 联立，得， 所以，， 设，，则直线方程为：， 如图所示， 联立，得：，， 同理： ，. 当直线的斜率存在时，， 直线的方程为：， 化简，得，即 令，则，直线过定点． 当直线的斜率不存在时，易知， 代入，得：， 直线的方程为：，直线过定点． 综上，直线过定点． ②由①知， ， ， 当且仅当时等号成立， 与面积和的最小值为40． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽西重点高中2025~2026学年度下学期高二开学联考 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线与直线垂直，则实数a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. “曲线表示椭圆”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. 5 D. 4. 设是等差数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件存在如下关系：.2025贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小红同学想去影院看的．小红同学家附近有甲、乙两家影院，小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.3和0.7．如果她第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小红同学（ ） A. 第二天去甲影院的概率为0.54 B. 第二天去乙影院的概率为0.46 C. 已知小红第二天去了甲影院，那么她第一天去乙影院的概率为 D. 已知小红第二天去了乙影院，那么她第一天去甲影院的概率为 7. 在正三棱柱中，，P是线段上的一动点，则点P到直线的距离的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆左焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与E交于M，N两点，若，则E的离心率为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的有（ ） A. 设，，是三个空间向量，则 B. 方程表示曲线，为实数，曲线不可能表示圆 C. 直线的斜截式方程可以表示平面内的所有直线 D. 点关于直线的对称点为 10. 已知为坐标原点，点在直线上，是圆的两条切线，为切点，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 若圆上恰有三个点到的距离为，则 C. 若为等边三角形，则 D. 若，则的取值范围是 11. 设随机事件A，B满足，，，则（ ） A. B. ，相互独立 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是_____． 13. 大润发超市的店员准备把待打折处理的两袋不同的蔬菜和两袋不同的水果摆上如图所示的货架，要求同类商品不摆在同一行也不摆在同一列，则共有______种不同的摆放方法.（用数字作答） A B C D E F 14. 在正方体中，，P是棱的中点，E，F是矩形内的任意两点（包括边界），则的最小值是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知圆的方程为. （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于两点，且，求的值. 16. 某商场为了解顾客对某款坚果礼盒的满意程度，随机调研了200名购买过该款坚果礼盒的顾客，得到如下列联表. 性别 满意 不满意 合计 男性 40 40 80 女性 80 40 120 合计 120 80 200 （1）根据小概率值的独立性检验，分析顾客对该款坚果礼盒的满意度是否与性别有关联； （2）从样本中对该款坚果礼盒满意的顾客中随机抽取2人，求这2人至少有1名女性的概率 附： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 17. 如图所示，四边形与均为菱形，，且. （1）求证：平面； （2）求面与面所成二面角余弦值. 18. 已知数列的前项和为，且 （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）若，求的前项和； （3）是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有满足条件正整数；若不存在，请说明理由. 19. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当直线的斜率为时，． （1）求抛物线的方程； （2）已知点，直线，分别交抛物线于，两点． ①求证：直线过定点； ②求与面积和最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $