专题6.5 排列组合 讲义（10类必考点）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版必修第三册

专题6.5 排列组合必考题型汇编 【知识梳理】 1 【考点1：排列数、组合数的计算与证明】 2 【考点2：元素（位置）有限制的排列问题】 5 【考点3： 相邻问题的排列问题】 7 【考点4： 不相邻排列问题】 8 【考点5：定序问题】 11 【考点6：至少（至多）的排列问题】 12 【考点7：环排问题】 16 【考点8：分组分配问题】 19 【考点9：x+y+z=n的整数解的个数】 22 【考点10：其他组合计数模型】 24 【知识梳理】 1．求解有限制条件排列问题的主要方法 直 接 法 分类法 选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数 分步法 选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数 捆绑法 相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中 除法 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素的全排列 间接法 对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法 2.两类含有附加条件的组合问题的解法 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． (2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解． 3．分组问题的求解策略 (1)对不同元素的分配问题． ①整体均分：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． ②部分均分：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． ③不等分组：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． (2)对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”． 4．组合问题中不定方程的解法的应用 (1)原理：不定方程的解 设n，m∈N*，n≥m≥1，不定方程x1＋x2＋x3＋…＋xm＝n的正整数解有多少组？ 把n分为n个1，n个1之间有n－1个空，从中选m－1个空放m－1个加号，所以有C种放法．一种放法就唯一对应不定方程x1＋x2＋x3＋…＋xm＝n的一组解．故此不定方程有C组解． (2)模型 5．排列与组合问题中容斥原理的应用 (1)原理 容斥原理设card(A)表示集合A的元素个数，则card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)；card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)． (2)模型 【考点1：排列数、组合数的计算与证明】 1．（25-26高二上·甘肃庆阳·期末）已知，则_______. 【答案】 【分析】根据排列数计算即可得到答案. 【详解】， 由题意得， 解得. 故答案为：. 2．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）（1）求的值； （2）解不等式. 【答案】（1）280；（2） 【分析】（1）根据排列数以及组合数公式计算，即得答案； （2）根据排列数公式，解不等式，即得答案. 【详解】（1）； （2）由，得， 化简得，解得.① 又，所以.② 由①②及，得， 即不等式的解集为. 3．（24-25高二下·宁夏吴忠·期中）求值（用数字表示） (1) (2) (3)已知，求 【答案】(1)64； (2)15； (3)7. 【分析】（1）根据排列数公式计算可得； （2）根据组合数公式计算可得； （3）根据排列数公式化简方程，解方程求. 【详解】（1）； （2）； （3）由，得，即， 所以，整理得， 所以. 4．（2026高二下·浙江台州·专题练习）（1）计算； （2）若，求m的值； （3）已知，求n的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用组合数公式化简计算； （2）直接由排列数公式计算； （3）根据组合数的公式直接化简求解. 【详解】（1）原式． （2）根据题意，若，则， 则有， 即，解得 （3）原方程可变形为，即， 即， 化简整理，得，解得或 (舍去)， 故． 5．（24-25高二下·江苏无锡·月考）（1）求值：； （2）解方程：； （3）解不等式：. 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】（1）直接利用排列数公式计算即可； （2）根据组合数的性质可得出关于的方程，解出的值，再结合题意检验即可； （3）根据排列数公式可得出关于的不等式，结合题意得出且，即可得出的取值. 【详解】（1）原式； （2）由可得或， 解方程，即，解得或， 解方程，即，解得或， 又因为、均为整数，且， 所以或符合要求，和均不符合要求. 故或； （3）由可得， 由题意可知且，整理可得，即， 解得，又因为且，所以. 【考点2：元素（位置）有限制的排列问题】 1．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）小明家过年贴窗花，要把马、到、成、功、春五个字贴成一排，则春字不在两端的贴法有（   ） A．96种 B．72种 C．60种 D．48种 【答案】B 【分析】根据题意，求得5个窗花的全排列，再求得春字在两端的种数，结合间接法，即可求解. 【详解】把5个窗花全排列有种情况，其中春字在两端的情况有种， 故春字不在两端的贴法有（种）． 2．（25-26高二下·全国·课后作业）要从,5个人中选出1名组长和1名副组长，但不能当副组长，则不同的选法种数是（   ） A．20 B．16 C．10 D．6 【答案】B 【分析】先考虑无限制条件的情况，再减去当副组长的情况，即可得答案. 【详解】不考虑限制条件有种选法， 若当副组长，有种选法， 故不当副组长，有（种）选法． 故选：B. 3．（山东青岛市2026届高三第一次适应性检测数学试题）某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（   ） A．35 B．36 C．42 D．50 【答案】D 【分析】以舱的人数为分类依据，将 5 人分配到 A、B、C 三个舱中，分别计算各类分组与排列的方法数，最后求和得到总安排数. 【详解】有四类不同的安排情形： ①甲单独在舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ②甲单独在舱，其余四人平均分成两组每组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ③舱安排人，其余三人分成两组，一组人，一组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ④舱安排人，其余二人分成两组，安排在舱， 有种不同的安排方法； 综上，不同的安排方法共有种. 【点睛】本题是分类加法计数原理 + 分组分配问题，核心方法是按特殊元素 或位置分类，结合均匀 或不均匀分组与排列计算. 4．（2026·湖南·模拟预测）某电竞战队从张不同地图中选择3张，按顺序用于场比赛，且每张地图最多使用一次．若第一场比赛不能使用地图“峡谷之巅”，则不同的选择方案共有__________种． 【答案】 【详解】考虑所有情况为种， 如果第一场选择“峡谷之巅”共有种， 那么第一场不选择“峡谷之巅”，则有种选法. 5．（贵州新高考协作体2025-2026学年高二下学期第一次月考（B）数学试题）现有甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者报名参加公益活动，在某星期的星期一到星期五每天安排1人参加公益活动，且每人只参加一天，甲要求不安排在星期一，戊要求不安排在星期五，则不同的安排方式共有__________种． 【答案】 【详解】若甲安排在星期五，则不同的安排方法有种， 若甲不安排在星期五，则不同的安排方法有种， 故不同的安排方法有种. 【考点3： 相邻问题的排列问题】 1．（2026·新疆·模拟预测）有5辆车停放在一排的5个相邻车位上，若甲车与乙车相邻停放，则不同停放方法的总数为（    ） A．24 B．48 C．72 D．120 【答案】B 【详解】将甲、乙视为一个“整体”（捆绑），甲、乙内部有2种排法（甲左乙右或乙左甲右）， 把“甲乙整体”与另外3辆车看成4个元素一起排列，有种排法， 所以总的停放方法是种. 2．（25-26高二上·江苏常州·期末）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】D 【分析】利用“元素相邻捆绑法”求解即可. 【详解】将甲和乙看作一个整体，有种方法， 将甲乙组成的整体与丙、丁、戊进行排列，则有种方法， 根据分步乘法计数原理可得不同的排列方式有：种． 3．（2026·浙江·模拟预测）《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著.书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有（    ） A．120种 B．240种 C．480种 D．600种 【答案】D 【分析】利用计数原理以及相邻问题捆绑法可得答案. 【详解】四大名著恰有3本相邻共有种插法； 4本相邻时共有种插法， 所以不同的插法共有600种， 故选：D. 4．（2026·山东滨州·一模）春节期间，某人计划去六个不同的景点游览，在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序有（    ） A．24 B．60 C．120 D．240 【答案】C 【分析】先利用捆绑法求出种类数，再利用倍缩法求出. 【详解】将捆绑看作一个整体，内部有种排列方式； 再将5个元素全排列有：， 故满足与相邻的排列共有种. 在所有排列中，在之前和在之后的排列数相等，各占总排列数的一半， 因此在之前，与相邻，不同的游览顺序有种. 5．（2026·辽宁·模拟预测）已知1、2、3、4、5、6、7、8八个数字组成一个八位数（各位数字不重复），满足任意相邻数字奇偶性不同，且5、6两个数字相邻，则这样的八位数有（   ）个. A．432 B．257 C．282 D．504 【答案】D 【分析】利用捆绑法和插空法来求个数即可. 【详解】第一步：把1、2、3、4、7、8奇偶数相间而排，共有种， 第二步：再把5、6两个数字一起插空，由于每一个空的旁边都是一奇一偶， 所以插入后奇数旁边放6，偶数旁边放5，则这7个空共有种排法， 根据分步计数乘法原理可得：这样的八位数有个， 故选：D. 【考点4： 不相邻排列问题】 1．（25-26高三下·河北沧州·月考）将1，1，2，2，3五张数字牌按顺序进行排列，其中相同的数字牌不相邻的排法总数为（    ） A．12 B．26 C．52 D．104 【答案】A 【分析】分类讨论数字1出现的位置，即可由分类加法以及排列求解. 【详解】第一张为1时; 若第五张为1，则仅有1种排法； 若第三张为1，有种排法. 若第四张为1，有种排法. 第二张为1时; 若第四张为1，则共种排法， 若第五张为1，有种排法， 第三张为1时，第五张为1，有种排法， 综上可得：总计12种排法. 2．（25-26高三上·吉林四平·期末）6个除颜色外完全相同的小球，其中红、黄、蓝各2个，把这6个小球排成一排，其中红色小球不相邻的排法有（   ）种 A．40 B．60 C．80 D．120 【答案】B 【分析】根据题意，先排黄、蓝4个小球，共有种，再把红球插入共有种，则共有种． 【详解】首先排黄、蓝各2个，共4个小球， 相当于4个位置中，选2个放黄球，另2个放蓝球，共有种， 放好4个小球后， 选2个空位插入2个红球，共有种， 综上，共有种． 故选：B． 3．（25-26高三下·山东·月考）小李的银行卡的六位密码由组成，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为_____． 【答案】 【分析】就是否相邻分类讨论并利用插空法可求不同的密码个数. 【详解】如果六位密码中相邻，则先排， 再利用插空法可得不同的密码个数为， 如果六位密码中不相邻，则先排，此时有个空挡， 这5个空挡中有3个空挡可以插入，故此时不同的密码个数为， 故不同密码的个数为. 4．（2026高三·全国·专题练习）某共享汽车停放点的停车位成一排且恰好全部空闲，假设最先来停放点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的排法与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的排法相等，则该停车点的车位数为________． 【答案】10 【分析】先设出车位总数，分别用插空法计算“都不相邻”和“恰有两辆相邻”的排法种数，再根据两者相等列出方程求解. 【详解】设停车位有个，这3辆共享汽车都不相邻相当于先将个停车位排好， 再将这3辆共享汽车插入到所成的个间隔中，故有种． 恰有2辆共享汽车相邻，可先把其中2辆捆绑在一起看作一个复合元素， 再和另一辆插入到将个停车位排好所成的个间隔中，故有种． 因为这3辆共享汽车都不相邻的排法与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的排法相等， 所以，解得． 故答案为：. 5．（2026·山西晋中·模拟预测）小明参加校园新春体能打卡，需完成9次打卡动作，其中有2次柔韧打卡，3次力量打卡，4次耐力打卡，同类的打卡难度不同，需从易到难依次进行，任意2次耐力打卡不能相邻，不同类的打卡可以穿插进行，则完成全部打卡的不同顺序共有__________种. 【答案】150 【分析】由题意可知先排非耐力打卡，再利用插空法排耐力打卡，即可得答案. 【详解】第一步：排非耐力打卡：非耐力共有次打卡，同类顺序固定， 只需从5个位置中选2个放柔韧打卡，剩余3个放力量打卡， 放法数为：； 第二步：插入耐力打卡：5个排好的打卡共形成6个空隙（含两端）， 要选4个空隙各插入1次耐力打卡（保证不相邻），且耐力顺序固定， 选法数为：， 第三步：根据分步乘法计数原理，总顺序数为：. 【考点5：定序问题】 1．（24-25高二下·河北·期中）个人并排站在一排，站在的右边，站在的右边，站在的右边，则不同的排法种数为______． 【答案】 【分析】根据排列问题中的定序问题缩倍法可求得结果. 【详解】个人并排站成一排共有：种排法 其中共有四个人定序，则所有排法种数为：种 本题正确结果： 【点睛】本题考查排列问题中的定序问题，明确个元素定序则用全排列除以是解决本题的关键. 2．（25-26高二上·山东德州·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为______． 【答案】30 【分析】根据排列中的定序问题的处理方法计算求解. 【详解】6位同学排成一排准备照相时，共有种排法， 如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有种排法. 故答案为：30 3．（24-25高二下·上海·月考）在一张节目单中原有7个节目已排好顺序，现要插入3个节目，并要求不改变原有7个节目前后相对顺序，则一共有______种不同的插法． 【答案】 【分析】利用倍缩法求解即可. 【详解】由题意，不同的插法共有种. 故答案为：. 4．（24-25高二下·湖南邵阳·月考）城步苗族自治县“六月六山歌节”是湖南省四大节庆品牌之一，至今已举办25届．假设在即将举办的第26届“六月六山歌节”中，组委会要在原定排好的10个“本土歌舞”节目中增加2个“歌王对唱”节目．若保持原来10个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为______． 【答案】132 【分析】共有12个节目，只需排好2个“歌王对唱”节目即可，根据排列数计算即可得出答案. 【详解】添加节目后，共有12个节目， 因为保持原来10个节目的相对顺序不变， 则只需排好2个“歌王对唱”节目即可， 所以，不同的排法种数为． 故答案为：. 5．（24-25高二下·上海·期末）将 的所有排列按如下方式排序： 首先比较从左至右第一个数的大小，较 大的排列在后； 若第一个数相同， 则比较第二个数的大小， 较大的排列在后， 依此类 推． 按这种排序方式，排列2，3，4，5，6，1的后一个排列是___________． 【答案】2,3,4,6,1,5 【分析】通过比较各个位数得出后一个排列. 【详解】根据题意，已知排列与后一个排列位置关系应当由最后两个数进行大小比较得来的，但是将后两个数比较所得排列为2,3,4,5,1,6， 根据规则，此排列应该为已知排列的前一个排列。 因此，应当从第四个数开始比较，前三个数相同，第四个数比5大，然后要保证第五个数尽量小.即2,3,4,6,1,5. 故答案为：2,3,4,6,1,5. 【考点6：至少（至多）的排列问题】 1．（25-26高二·全国·课堂例题）5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】由题意可知只要从8个不同的盒子中选出5个盒子即可，结合排列数即可得结果. 【详解】由于球不相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球， 所以取出5个盒子放不同的球，共有种不同的放法． 故选：A. 2．（24-25高二下·广东深圳·月考）设有编号为1，2，3，4，5的5个小球和编号为1，2，3，4，5的5个盒子，现将这5个小球放入5个盒子中．每个盒子内投入1个球，并且至多有1个球的编号与盒子的编号是相同的，则有（    ）投放方法 A．45种 B．53种 C．96种 D．89种 【答案】D 【分析】至多有1个球的编号与盒子的编号是相同的，可以分为两种情形：第一种，五个球的编号与盒子的编号全不同，第二种，恰有一球的编号与盒子编号相同，把两种情形的投放方法数求出，然后再根据分类计数原理相加即可. 【详解】由题意知，至多有1个球的编号与盒子的编号是相同的，可以分为两种情形：第一种，五个球的编号与盒子的编号全不同的放法有种， 第二种，恰有一球的编号与盒子编号相同的放法有， 所以至多有1个球的编号与盒子的编号是相同的投放方法有种. 故选：D. 3．（25-26高三上·河南许昌·期中）川剧变脸是运用在川剧艺术中塑造人物的一种特技，是揭示剧中人物内心思想感情的一种浪漫主义手法，王老师获得了川剧演出的7张连号的票，王老师自己留下了2张连号的票，其余的票赠送给4位朋友，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票连号，那么共有______种不同的分法.（用数字作答） 【答案】 【分析】先确定王老师留下2张连号票的情况，再对剩余5张连号票分给4位朋友，每人至少1张，至多分2张且两张票连号的情况进行分析，通过列举和组合的方法来计算不同分法的总数. 【详解】设这7张连号票编号为号，王老师留下2张连号票的情况有： 、、、、、，共6种情况， 若王老师留下，剩下3、4、5、6、7号票， 因为要分给4位朋友，每人至少1张，至多分2张且两张票连号，所以可以这样分： 把5张票分成4组，有、5、6、7；3、、6、7；3、4、、7； 34、5、这4种分法，此时有种不同的分法； 若王老师留下，剩下1、4、5、6、7号票， 因为要分给4位朋友，每人至少1张，至多分2张且两张票连号，所以可以这样分： 把5张票分成4组，有、1、6、7；1、、4、7；1、4、、5；这3种分法， 此时有种不同的分法； 若王老师留下，剩下1、2、5、6、7号票， 因为要分给4位朋友，每人至少1张，至多分2张且两张票连号，所以可以这样分： 把5张票分成4组，有、5、6、7；1、、2、7；1、2、、5；这3种分法， 此时有种不同的分法； 若王老师留下，剩下1、2、3、6、7号票， 因为要分给4位朋友，每人至少1张，至多分2张且两张票连号，所以可以这样分： 把5张票分成4组，有、3、6、7；1、、6、7；1、2、、3；这3种分法， 此时有种不同的分法； 若王老师留下，剩下1、2、3、4、7号票， 因为要分给4位朋友，每人至少1张，至多分2张且两张票连号，所以可以这样分： 把5张票分成4组，有、3、4、7；1、、4、7；1、2、、7；这3种分法， 此时有种不同的分法； 若王老师留下，剩下1、2、3、4、5号票， 因为要分给4位朋友，每人至少1张，至多分2张且两张票连号，所以可以这样分： 把5张票分成4组，有、3、4、5；1、、4、5；1、2、、5；1、2、3、； 这4种分法，此时有种不同的分法； 故共有种不同的分法. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查了分类加法原理和分组分配问题，解答此类问题的关键是分类时不重复不遗漏. 4．（25-26高三上·上海徐汇·期中）徐汇中学家长会期间，在汇学博物馆，汇学长廊，创新实验室的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有______． 【答案】 【分析】根据安排的人中有没有甲进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】若安排的人中没有甲，安排方法有种， 若安排的人中有甲，则先安排甲，然后再选两人来安排， 则安排的方法有种， 所以总的方法数有种. 故答案为： 5．（24-25高二下·江苏盐城·期中）某电影院要在一天的A、B、C、D、E五个不同的时段分别安排《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《误杀3》、《封神第二部：战火西岐》、《射雕英雄传：侠之大者》、《长空之王》等6部电影中的一部，每部电影在当天的五个时段中至多只安排一次，若A时段不安排《哪吒之魔童闹海》，E时段不安排《长空之王》，那么共有________种安排方式.（答案用数字表示） 【答案】 【分析】根据正难则反的思想，先求出不受限制条件下所有安排种数，然后排除三类不满足条件的所有安排种数即可得解. 【详解】在排片不受时段限制的条件下，总共有种安排方式， 不满足题意的安排方式： 第一类，A时段安排《哪吒之魔童闹海》且E时段不安排《长空之王》： 若五个时段都不安排《长空之王》，则有种安排方式；若安排《长空之王》，则有种安排方式；则该类共有种安排方式； 第二类，A时段不安排《哪吒之魔童闹海》且E时段安排《长空之王》： 若五个时段都不安排《哪吒之魔童闹海》，则有种安排方式；若安排《哪吒之魔童闹海》，则有种安排方式；则该类共有种安排方式； 第三类，A时段安排《哪吒之魔童闹海》且E时段安排《长空之王》：共有种安排方式， 综上，满足条件的安排方式共有：种， 故答案为： 【考点7：环排问题】 1．（24-25高三下·江西·开学考试）“圆排列”亦称“循环排列”“环排列”，最早出现在中国《易经》的四象八卦组合.当A，B，C三位同学围成一个圆时，其中一个排列“ABC”与该排列旋转一个或几个位置得到的排列“BCA”或“CAB”是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为__________.（用数字作答） 【答案】120 【分析】由条件中所举的3个人的“环排列”，确定“环排列”的公式，即可求解. 【详解】三位同学围成一个圆，“”“”或“”是同一排列，其中每一个圆排列可以拆成任意一位同学为首的直线排列3个.三位同学围成一个圆的排列总数为，由此可得六位同学围成一个圆的排列总数为. 故答案为： 2．（25-26高三上·黑龙江·月考）将1，2，3，4，5，6随机填入如图所示的三角形图形中的 6 个圈中，每个数恰好出现一次，则三角形三边上的数字之和均相等的概率为_____. 【答案】 【分析】三角形三边上的数字之和可能为，分类讨论，结合列举法、分类加法、分步乘法计数原理求解即可. 【详解】将1，2，3，4，5，6填入三角形图形中的6个圈中的填法共有6!种. 设每条边上的3个数之和为，则， ，所以，解得. ①当时，3个顶点所填的3个数只能为1，2，3， 如图（1）.此时共有填法种； ②当时，设3个顶点所填的3个数之和为， 则. 而，，， 则3个顶点所填的3个数只能为，或. 当3个顶点所填的3个数为时， 由于顶点分别填3，4的这条边上的3个数之和为10， 从而这条边中间只能填3，这与每个数恰出现一次矛盾，此时没有适合条件的填法， 同样道理，3个数为时也没有适合条件的填法，只能为1，3，5， 如图（2），此时共有填法种； ③当时，3个顶点所填的3个数应为2，4，6，此时共有填法种； ④当时，3个顶点所填的3个数应为4，5，6，此时共有填法种. 综上，满足条件的填法共有种，故所求的概率为. 图（1）              图（2） 【点睛】方法点睛：元素较少的排列组合问题可以考虑枚举法；特殊位置优先排，例如本题中，可以先考虑3个顶点的排法，再考虑剩余3个位置的排法. 3．（2026高三·全国·专题练习）颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？ 【答案】120 【分析】根据环状排列没有首尾之分，即可求解 【详解】由题意，圈没有首尾，则有种不同的钻石圈． 4．（2026高三·全国·专题练习）（1）将四粒相同的白色珠子，六粒相同的红色珠子及一粒黑色珠子放在桌上，摆成一圈有几种摆法？ （2）若用线穿成珠圈又有几种不同的穿法？ 【答案】（1）210；（2）110 【详解】（1）若将四粒一样的白珠子，六粒一样的红珠子，一粒黑珠子摆成一排成线排列，则有种摆法．但是摆成一圈以后，上述的每11个线排列，对应于同一种圆排列，因此所求圆排列数有：种摆法． （2）若将黑珠子看成是固定的，其余十粒珠子所作成的排列数为：（*） 在（*）式所表示的排列数之中，将图8与图9这类情况均作为两种不同排列计算的，但这仅是同一种穿珠方法的正反面而已，因此对应于一种穿法．    但是，如图10所示的情况：珠子是以通过黑色珠子的直径而对称排列的，由于正，反两面完全相同，在式中，只计算了一次，这种排法的总数是． 由此可知，将四粒白珠子，六粒红珠子，一粒黑珠子用线穿成珠圈，共有： （种）穿法． 5．（2026高三·全国·专题练习）把n粒不同颜色的珠子， (1)放在桌上摆成一圈，有几种不同的摆法？ (2)用线穿成珠圈，又有几种不同的穿法？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）把珠子放在桌上摆成一圈，有种摆法． （2）用线将粒珠子穿成珠圈，就可以翻过来看，如图所示，左图算珠圈正面，按逆时针方向看， 为；而右图是翻过来的反面，仍按逆时针方向看，为．若放在桌上则是两种不同摆法，却是同一种穿珠方法．由此可见，每两种摆法，对应于一种穿法．因此珠圈的穿法共有： （种）． 【反思】此例所述的问题就是排列组合中著名的穿珠问题． 【考点8：分组分配问题】 1．（2026·贵州黔东南·模拟预测）将6名同学安排到三个公司实习，每名同学只去一个公司实习，至少安排1名同学去A公司实习，至少安排2名同学去B公司实习，至少安排2名同学去C公司实习，则不同的安排方法有（   ） A．120种 B．150种 C．210种 D．300种 【答案】C 【分析】分安排1名同学去A公司实习和安排2名同学去A公司实习，两类情况讨论求解即可. 【详解】安排1名同学去A公司实习，安排2名去B公司实习，3名去C公司实习， 则有种不同的安排方法； 安排1名同学去A公司实习，安排3名去B公司实习，2名去C公司实习， 则有种不同的安排方法； 安排2名同学去A公司实习，有种不同的安排方法. 故满足条件的不同安排方法有种. 2．（25-26高三下·甘肃白银·月考）将1，2，3，…，10这10个数平均分成甲、乙两组，若乙组的第75百分位数恰为甲组的中位数的2倍，则不同的分组个数为（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】A 【分析】根据百分位数与中位数的定义，结合组合原理求解即可. 【详解】甲、乙两组各5个数，各按从小到大排列，甲组的中位数是甲组的第3个数，设为，乙组的第75百分位数是乙组的第4个数，设为. 由题意，，，故或， 当时，，该分组个数为（在1，2，3中选2个数，5，6，7中选1个数，9，10中选1个数，与组成甲组）， 当时，，则甲组的中位数为3，甲组必须包含1和2；乙组的第75百分位数为6，乙组必须有3个小于6的数，由于1, 2, 3均在甲组，乙组只有2个小于6的数（4,5），故此情况不成立． 综上，不同的分组个数为18． 故选：A. 3．（2026·山东烟台·一模）某学校派5名同学参加“市长杯”足球比赛中4个场次的志愿服务，每场比赛至少派1名同学，每名同学仅参加一个场次的志愿服务，则不同派法的种数为（   ） A．180 B．240 C．320 D．360 【答案】B 【分析】先求将名同学分成人数分别为的四组的方法数，再求将组同学分派到4个场次的方法数，根据分步乘法计数原理求结论. 【详解】符合要求的选派方法可分为两步完成， 第一步，将名同学分成人数分别为的四组，该步有种完成方法， 第二步，将组同学分派到4个场次，此步有种完成方法， 由分步乘法计数原理可得符合要求的派法种数为 4．（2026·河北衡水·一模）来自某校高二年级的4名男生和3名女生组成的7人团队参加数学建模竞赛.该竞赛包含方案设计、模型构建、编程实现、成果展示四个环节，分配规则如下：①每个环节至少安排1名选手，每人只参加1个环节；②方案设计环节人数多于模型构建环节人数；③编程实现环节至少安排2人，且至少有1名女生；④成果展示环节人数不超过方案设计环节人数.根据分配规则，该团队参赛的不同的人员分配方案共有______种. 【答案】1122 【分析】由规则②④可知环节三最多有3个人，分环节三有3个人、环节三有2个人两种情况，结合计数原理和组合知识解决. 【详解】为方便叙述，将“方案设计”、“模型构建”、“编程实现”、“成果展示”四个环节依次记为环节一、环节二、环节三、环节四， 由规则②④可知，环节一至少有2个人，环节一、环节二和环节四至少共有4个人，因此环节三最多有3个人. （1）当环节三有3个人时， 则有可能是3个女生，或者2个女生和1个男生，或者1个女生和2个男生， 则安排好环节三有种方案， 剩余4个人，环节一必然有2个人，环节二和环节四各有1个人， 则安排好环节一、环节二和环节四有种方案. 所以安排好四个环节共有种方案. （2）当环节三有2个人时，则有可能是2个女生，或者1个女生和1个男生， 则安排好环节三有种方案， 剩余5个人， 当环节一有2个人时，环节四有2个人，环节二有1个人，此时有种方案； 当环节一有3个人时，环节四有1个人，环节二有1个人，此时有种方案. 所以安排好四个环节共有种方案. 综上，满足条件的安排方案共有种. 5．（25-26高二下·全国·单元测试）把4位男售票员和4位女售票员平均分成4组，到4辆公共汽车里售票，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同的情况． (1)有几种不同的分配方法？ (2)每小组必须是一位男售票员和一位女售票员，有几种不同的分配方法？ (3)如果每组的售票员性别相同，有几种不同的分配方法？ 【答案】(1)2520 (2)576 (3)216 【分析】（1）按照分步乘法计数原理，依次给每辆车分配售票员即可； （2）按照分步乘法计数原理，分两步完成分配.先分配男售票员，共有种不同方法；再分配女售票员，也有种方法，相乘可得答案； （3）第一步将男售票员和女售票员分别平均分组，各有种不同分法，所以共有种分组方法，第二步分配到车，每一种分法都有种上车方法，相乘可得答案. 【详解】（1）男女合在一起共有8人，每个车上2人，可以分四个步骤完成， 先安排2人上第一辆车，共有种， 再安排第二辆车共有种， 再安排第三辆车共有种， 最后安排第四辆车共有种， 这样不同的分配方法有（种）． （2）要求男女各1人，因此先把男售票员安排上车，共有种不同方法； 再把女售票员安排上车，也有种方法. 由分步乘法计数原理，男女各1人的不同分配方法为（种）． （3）男女分别分组，4位男售票员平均分成两组，共有种不同分法， 4位女售票员平均分成两组，也有种不同分法， 这样分组方法就有（种）. 对于其中每一种分法又有种上车方法，因而不同的分配方法有216（种）． 【考点9：x+y+z=n的整数解的个数】 1．（25-26高二上·山东潍坊·月考）三元一次方程的正整数解的组数为（    ） A．21 B．28 C．35 D．42 【答案】A 【分析】“将三元一次方程的正整数解的组数”转变为“等价于将8个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法”，利用隔板法即可求得结果. 【详解】三元一次方程的正整数解的组数， 等价于将8个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法. 只需要在8个小球中间的7个空位中选取2个空位用隔板隔开即可， 则共有种分法， 即三元一次方程的正整数解的组数为21. 故选：A. 2．（24-25高二下·内蒙古·期末）方程的正整数解共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】C 【分析】转化为将21瓶相同的矿泉水分给5人，每人至少1瓶，利用隔板法求解即可. 【详解】原题等价于下面这个问题： 将21瓶相同的矿泉水分给5人，每人至少1瓶，有多少种不同的分法? 由隔板法可得，方程的正整数解共有组． 故选：C 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）关于x，y，z的方程（其中x，y，）的解共有______组． 【答案】21 【分析】本题可以转化为8个相同的球放入3个不同的盒子，每个盒子不空，利用隔板法结合组合数运算求解. 【详解】本题可以转化为8个相同的球放入3个不同的盒子，每个盒子不空， 则8个球有7个空，7个空中插入2个隔板，共有种不同选择， 所以原方程共有21组解. 故答案为：21. 4．（24-25高二下·黑龙江佳木斯·月考）若方程，其中，则方程的自然数解的个数为__________. 【答案】28 【分析】依据隔板法去求解即可. 【详解】已知方程，且， 则，其中均为自然数. 将其转化为， 其中为正整数. 运用隔板法将其转化为有9个1排成一列，利用2个隔板法将其分成3组， 第一组1的数目为，第二组1的数目为，第三组1的数目为，则. 2个隔板的放置方法共有种， 故方程的正整数解的个数为28. 即方程的自然数解的个数为28. 故答案为：28. 5．（2026高三·全国·专题练习）不定方程的正整数解有_____组，非负整数解有_____组. 【答案】 【分析】利用隔板法求解不定方程的解的组数. 【详解】第一空: 利用隔板法求解，不定方程的正整数解, 相当于将100个名额分配给50个班级，每班至少一人，也就是将100个名额分成50堆， 每堆至少一个名额，因此，把这100个名额排成一队，除去队前队后的空外， 有99个空，在这99个空中选49个空，插入49个板子，则把这100个名额分成了50堆，故有组，每一堆的名额数就是的数值，则不定方程的正整数解的组数为组； 第二空: 设， ，，， 不定方程的非负整数解 就是不定方程正整数解， 利用隔板法求解，不定方程的正整数解, 相当于将150个名额分配给50个班级，每班至少一人，也就是将150个名额分成50堆， 每堆至少一个名额.把这150个名额排成一队，除去队前队后的空外， 有149个空，在这149个空中选49个空，插入49个板子，则把这150个名额分成了50堆， 故有组，每一堆的名额数就是的数值， 则不定方程的非负整数解的组数为组. 故答案为：，. 【考点10：其他组合计数模型】 1．（24-25高二下·重庆·期中）如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则甲、乙两人相遇的概率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出甲、乙两人相遇的走法种数，利用古典概型的概率公式运算求解即可. 【详解】甲从M到达N处，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，则甲从M到达N处的方法有种； 同理，乙从N到达M处的方法有种； 甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇， 若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向上走，乙经过处，则乙的前三步必须向左走，两人在处相遇的走法种数为种； 若甲、乙两人在处相遇，甲到处，前三步有1步向右走，后三步只有2步向右走， 乙到处，前三步有1步向下走，后三步只有2步向下走， 所以，两人在处相遇的走法种数为种； 若甲、乙两人在处相遇，由对称性可得，走法种数为种； 若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向右走，乙经过处，则乙的前三步必须向下走，两人在处相遇的走法种数为种； 故甲、乙两人相遇的概率. 故选：B. 2．（2025·上海崇明·二模）已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数且时，称M为“间断整数集”．集合的所有子集中，是“间断整数集”的个数为__________． 【答案】968 【分析】根据子集中元素的个数分类，每一类都利用组合数计数，再剔除不满足定义的子集，最后根据分类加法计数原理求值即可. 【详解】由题意，满足“间断整数集”定义的子集至少有2个元素，至多有9个元素， 按子集中元素的个数分类， ①当元素个数为2时，不满足定义的子集有： ，共9个； 此时满足定义的子集有个， ②当元素个数为3时，不满足定义的子集有： ，共8个； 此时满足定义的子集有个， ③当元素个数为4时，不满足定义的子集有： ，共7个； 此时满足定义的子集有个， ④当元素个数为5时，不满足定义的子集有： ，共6个； 此时满足定义的子集有个， ⑤当元素个数为6时，不满足定义的子集有： ，共5个； 此时满足定义的子集有个， ⑥当元素个数为7时，不满足定义的子集有： ，共4个； 此时满足定义的子集有个， ⑦当元素个数为8时，不满足定义的子集有： ，共3个； 此时满足定义的子集有个， ⑧当元素个数为9时，不满足定义的子集有： ，共2个； 此时满足定义的子集有个， 综上所述，满足题意的子集共有个. 故答案为：968. 3．（2025·安徽安庆·二模）将3个1，3个2，3个3共9个数分别填入如图方格中，使得每行、每列的和都是3的倍数的概率为__________. 【答案】 【分析】古典概型求概率，先求所有情况共有种，而每行，每列的和为3的倍数有两种可能，即每行每列数字相同或1，2，3各一个，利用排列组合知识求出种类数即可. 【详解】将3个1，3个2，3个3共9个数填入一共有种方法. 每行，每列的和为3的倍数有两种可能： ①每行或每列的数字相同，有种方法， ②每行或每列的数字1，2，3各一个，有种方法. 所以每行，每列的和都是3的倍数的概率为. 故答案为：. 4．（2026高三·全国·专题练习）若三个正整数的位数之和为8，且组成的8个数码能排列为2，0，2，4，0，9，0，8，则称为“幸运数组”，例如是一个幸运数组．满足的幸运数组的个数为_____． 【答案】591 【分析】对幸运数组，，先分类，分是两位数，是三位数和是两位数，是四位数两类求解幸运数组的个数.再利用特殊元素（位置）优先法结合几率法求两类情况下幸运数组的个数，利用加法原理可得结果. 【详解】对于幸运数组 ，当时，分两类情形讨论． 情形1：是两位数，是三位数． 暂不考虑的大小关系，先在的非最高位(五个位置)中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2， 最后三个位置填写4，8，9，这样的填法数为．再考虑其中的大小关系， 由于不可能有，因此与的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组． 情形2：是两位数，是四位数． 暂不考虑的大小关系，类似于情形1，先在的非最高位(五个位置)中选三个位置填0， 剩下五个位置填2，2，4，8，9，这样的填法数为600．再考虑其中的大小关系． 若，则必有的四个数字是0，4，8，9的排列，且0不在首位，有种填法， 除这些填法外，与的填法各占一半，故有个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为． 故答案为：591 5．（2026高三·全国·专题练习）某种密码的传递常用手指敲击硬物传递声响的方式进行，三短（即连续敲击三下）表示“0”，三短一长（即连续敲击三下后短暂停顿再敲一下）表示“1”，若用手指敲击“三短”“三短”“三短一长”，则对方收到的密码指示为-“001”．现某人尝试用5个“0”和5个“1”传递密码，则每个“0”之前“1”的个数多于“0”的个数的概率为______． 【答案】 【分析】利用组合数求出传递密码的所有可能情况数，在应用图解点开始，每出现一个“1”则上升一节，每出现一个“0”则下降一节，进而标注出各节点对应的方法数，应用古典概型的概率求法求概率. 【详解】根据题意，用5个“0”和5个“1”传递密码，有（种）， 要满足“每个‘0’之前‘1’的个数多于‘0’的个数”，可以借助图形来解，    如图，从点开始，每出现一个“1”则上升一节，每出现一个“0”则下降一节， 因为总共有5个“0”和5个“1”， 所以最终一定会到达点，在虚线上方的方法都是符合题意的， 利用节点法计算，点到点有1种方法， 所以在点上方标“1”，到点有2种方法， 所以在点上方标“2”，依次标注到处为42， 因此符合题意的方法数为42， 因此，所求概率. 故答案为： 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.5 排列组合必考题型汇编 【知识梳理】 1 【考点1：排列数、组合数的计算与证明】 2 【考点2：元素（位置）有限制的排列问题】 3 【考点3： 相邻问题的排列问题】 4 【考点4： 不相邻排列问题】 4 【考点5：定序问题】 5 【考点6：至少（至多）的排列问题】 6 【考点7：环排问题】 6 【考点8：分组分配问题】 8 【考点9：x+y+z=n的整数解的个数】 9 【考点10：其他组合计数模型】 9 【知识梳理】 1．求解有限制条件排列问题的主要方法 直 接 法 分类法 选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数 分步法 选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数 捆绑法 相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中 除法 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素的全排列 间接法 对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法 2.两类含有附加条件的组合问题的解法 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． (2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解． 3．分组问题的求解策略 (1)对不同元素的分配问题． ①整体均分：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． ②部分均分：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． ③不等分组：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． (2)对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”． 4．组合问题中不定方程的解法的应用 (1)原理：不定方程的解 设n，m∈N*，n≥m≥1，不定方程x1＋x2＋x3＋…＋xm＝n的正整数解有多少组？ 把n分为n个1，n个1之间有n－1个空，从中选m－1个空放m－1个加号，所以有C种放法．一种放法就唯一对应不定方程x1＋x2＋x3＋…＋xm＝n的一组解．故此不定方程有C组解． (2)模型 5．排列与组合问题中容斥原理的应用 (1)原理 容斥原理设card(A)表示集合A的元素个数，则card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)；card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)． (2)模型 【考点1：排列数、组合数的计算与证明】 1．（25-26高二上·甘肃庆阳·期末）已知，则_______. 2．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）（1）求的值； （2）解不等式. 3．（24-25高二下·宁夏吴忠·期中）求值（用数字表示） (1) (2) (3)已知，求 4．（2026高二下·浙江台州·专题练习）（1）计算； （2）若，求m的值； （3）已知，求n的值． 5．（24-25高二下·江苏无锡·月考）（1）求值：； （2）解方程：； （3）解不等式：. 【考点2：元素（位置）有限制的排列问题】 1．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）小明家过年贴窗花，要把马、到、成、功、春五个字贴成一排，则春字不在两端的贴法有（   ） A．96种 B．72种 C．60种 D．48种 2．（25-26高二下·全国·课后作业）要从,5个人中选出1名组长和1名副组长，但不能当副组长，则不同的选法种数是（   ） A．20 B．16 C．10 D．6 3．（山东青岛市2026届高三第一次适应性检测数学试题）某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（   ） A．35 B．36 C．42 D．50 4．（2026·湖南·模拟预测）某电竞战队从张不同地图中选择3张，按顺序用于场比赛，且每张地图最多使用一次．若第一场比赛不能使用地图“峡谷之巅”，则不同的选择方案共有__________种． 5．（贵州新高考协作体2025-2026学年高二下学期第一次月考（B）数学试题）现有甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者报名参加公益活动，在某星期的星期一到星期五每天安排1人参加公益活动，且每人只参加一天，甲要求不安排在星期一，戊要求不安排在星期五，则不同的安排方式共有__________种． 【考点3： 相邻问题的排列问题】 1．（2026·新疆·模拟预测）有5辆车停放在一排的5个相邻车位上，若甲车与乙车相邻停放，则不同停放方法的总数为（    ） A．24 B．48 C．72 D．120 2．（25-26高二上·江苏常州·期末）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 3．（2026·浙江·模拟预测）《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著.书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有（    ） A．120种 B．240种 C．480种 D．600种 4．（2026·山东滨州·一模）春节期间，某人计划去六个不同的景点游览，在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序有（    ） A．24 B．60 C．120 D．240 5．（2026·辽宁·模拟预测）已知1、2、3、4、5、6、7、8八个数字组成一个八位数（各位数字不重复），满足任意相邻数字奇偶性不同，且5、6两个数字相邻，则这样的八位数有（   ）个. A．432 B．257 C．282 D．504 【考点4： 不相邻排列问题】 1．（25-26高三下·河北沧州·月考）将1，1，2，2，3五张数字牌按顺序进行排列，其中相同的数字牌不相邻的排法总数为（    ） A．12 B．26 C．52 D．104 2．（25-26高三上·吉林四平·期末）6个除颜色外完全相同的小球，其中红、黄、蓝各2个，把这6个小球排成一排，其中红色小球不相邻的排法有（   ）种 A．40 B．60 C．80 D．120 3．（25-26高三下·山东·月考）小李的银行卡的六位密码由组成，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为_____． 4．（2026高三·全国·专题练习）某共享汽车停放点的停车位成一排且恰好全部空闲，假设最先来停放点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的排法与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的排法相等，则该停车点的车位数为________． 5．（2026·山西晋中·模拟预测）小明参加校园新春体能打卡，需完成9次打卡动作，其中有2次柔韧打卡，3次力量打卡，4次耐力打卡，同类的打卡难度不同，需从易到难依次进行，任意2次耐力打卡不能相邻，不同类的打卡可以穿插进行，则完成全部打卡的不同顺序共有__________种. 【考点5：定序问题】 1．（24-25高二下·河北·期中）个人并排站在一排，站在的右边，站在的右边，站在的右边，则不同的排法种数为______． 2．（25-26高二上·山东德州·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为______． 3．（24-25高二下·上海·月考）在一张节目单中原有7个节目已排好顺序，现要插入3个节目，并要求不改变原有7个节目前后相对顺序，则一共有______种不同的插法． 4．（24-25高二下·湖南邵阳·月考）城步苗族自治县“六月六山歌节”是湖南省四大节庆品牌之一，至今已举办25届．假设在即将举办的第26届“六月六山歌节”中，组委会要在原定排好的10个“本土歌舞”节目中增加2个“歌王对唱”节目．若保持原来10个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为______． 5．（24-25高二下·上海·期末）将 的所有排列按如下方式排序： 首先比较从左至右第一个数的大小，较 大的排列在后； 若第一个数相同， 则比较第二个数的大小， 较大的排列在后， 依此类 推． 按这种排序方式，排列2，3，4，5，6，1的后一个排列是___________． 【考点6：至少（至多）的排列问题】 1．（25-26高二·全国·课堂例题）5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．（24-25高二下·广东深圳·月考）设有编号为1，2，3，4，5的5个小球和编号为1，2，3，4，5的5个盒子，现将这5个小球放入5个盒子中．每个盒子内投入1个球，并且至多有1个球的编号与盒子的编号是相同的，则有（    ）投放方法 A．45种 B．53种 C．96种 D．89种 3．（25-26高三上·河南许昌·期中）川剧变脸是运用在川剧艺术中塑造人物的一种特技，是揭示剧中人物内心思想感情的一种浪漫主义手法，王老师获得了川剧演出的7张连号的票，王老师自己留下了2张连号的票，其余的票赠送给4位朋友，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票连号，那么共有______种不同的分法.（用数字作答） 4．（25-26高三上·上海徐汇·期中）徐汇中学家长会期间，在汇学博物馆，汇学长廊，创新实验室的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有______． 5．（24-25高二下·江苏盐城·期中）某电影院要在一天的A、B、C、D、E五个不同的时段分别安排《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《误杀3》、《封神第二部：战火西岐》、《射雕英雄传：侠之大者》、《长空之王》等6部电影中的一部，每部电影在当天的五个时段中至多只安排一次，若A时段不安排《哪吒之魔童闹海》，E时段不安排《长空之王》，那么共有________种安排方式.（答案用数字表示） 【考点7：环排问题】 1．（24-25高三下·江西·开学考试）“圆排列”亦称“循环排列”“环排列”，最早出现在中国《易经》的四象八卦组合.当A，B，C三位同学围成一个圆时，其中一个排列“ABC”与该排列旋转一个或几个位置得到的排列“BCA”或“CAB”是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为__________.（用数字作答） 2．（25-26高三上·黑龙江·月考）将1，2，3，4，5，6随机填入如图所示的三角形图形中的 6 个圈中，每个数恰好出现一次，则三角形三边上的数字之和均相等的概率为_____. 3．（2026高三·全国·专题练习）颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？ 4．（2026高三·全国·专题练习）（1）将四粒相同的白色珠子，六粒相同的红色珠子及一粒黑色珠子放在桌上，摆成一圈有几种摆法？ （2）若用线穿成珠圈又有几种不同的穿法？ 5．（2026高三·全国·专题练习）把n粒不同颜色的珠子， (1)放在桌上摆成一圈，有几种不同的摆法？ (2)用线穿成珠圈，又有几种不同的穿法？ 【考点8：分组分配问题】 1．（2026·贵州黔东南·模拟预测）将6名同学安排到三个公司实习，每名同学只去一个公司实习，至少安排1名同学去A公司实习，至少安排2名同学去B公司实习，至少安排2名同学去C公司实习，则不同的安排方法有（   ） A．120种 B．150种 C．210种 D．300种 2．（25-26高三下·甘肃白银·月考）将1，2，3，…，10这10个数平均分成甲、乙两组，若乙组的第75百分位数恰为甲组的中位数的2倍，则不同的分组个数为（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 3．（2026·山东烟台·一模）某学校派5名同学参加“市长杯”足球比赛中4个场次的志愿服务，每场比赛至少派1名同学，每名同学仅参加一个场次的志愿服务，则不同派法的种数为（   ） A．180 B．240 C．320 D．360 4．（2026·河北衡水·一模）来自某校高二年级的4名男生和3名女生组成的7人团队参加数学建模竞赛.该竞赛包含方案设计、模型构建、编程实现、成果展示四个环节，分配规则如下：①每个环节至少安排1名选手，每人只参加1个环节；②方案设计环节人数多于模型构建环节人数；③编程实现环节至少安排2人，且至少有1名女生；④成果展示环节人数不超过方案设计环节人数.根据分配规则，该团队参赛的不同的人员分配方案共有______种. 5．（25-26高二下·全国·单元测试）把4位男售票员和4位女售票员平均分成4组，到4辆公共汽车里售票，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同的情况． (1)有几种不同的分配方法？ (2)每小组必须是一位男售票员和一位女售票员，有几种不同的分配方法？ (3)如果每组的售票员性别相同，有几种不同的分配方法？ 【考点9：x+y+z=n的整数解的个数】 1．（25-26高二上·山东潍坊·月考）三元一次方程的正整数解的组数为（    ） A．21 B．28 C．35 D．42 2．（24-25高二下·内蒙古·期末）方程的正整数解共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）关于x，y，z的方程（其中x，y，）的解共有______组． 4．（24-25高二下·黑龙江佳木斯·月考）若方程，其中，则方程的自然数解的个数为__________. 5．（2026高三·全国·专题练习）不定方程的正整数解有_____组，非负整数解有_____组. 【考点10：其他组合计数模型】 1．（24-25高二下·重庆·期中）如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则甲、乙两人相遇的概率为（   ）    A． B． C． D． 2．（2025·上海崇明·二模）已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数且时，称M为“间断整数集”．集合的所有子集中，是“间断整数集”的个数为__________． 3．（2025·安徽安庆·二模）将3个1，3个2，3个3共9个数分别填入如图方格中，使得每行、每列的和都是3的倍数的概率为__________. 4．（2026高三·全国·专题练习）若三个正整数的位数之和为8，且组成的8个数码能排列为2，0，2，4，0，9，0，8，则称为“幸运数组”，例如是一个幸运数组．满足的幸运数组的个数为_____． 5．（2026高三·全国·专题练习）某种密码的传递常用手指敲击硬物传递声响的方式进行，三短（即连续敲击三下）表示“0”，三短一长（即连续敲击三下后短暂停顿再敲一下）表示“1”，若用手指敲击“三短”“三短”“三短一长”，则对方收到的密码指示为-“001”．现某人尝试用5个“0”和5个“1”传递密码，则每个“0”之前“1”的个数多于“0”的个数的概率为______． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $