6.2.3 6.2.4 第1课时 组合与组合数公式(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“组合与组合数公式”核心知识点，通过问题驱动梳理组合定义（与排列的区别）、组合数公式（乘积式、阶乘式及性质）及简单组合问题应用，形成从概念辨析到公式推导再到实际应用的递进式学习支架。 资料以实例辨析（如球队比赛、选班干部）引导学生理解组合与顺序无关的本质，通过推导组合数公式培养逻辑推理，结合应用题（如选培训人员）提升数学建模能力。课中助力教师系统授课，课后练习题与小结帮助学生巩固知识，查漏补缺。

第一课时　组合与组合数公式 课标要求 1.通过实例，理解组合的概念（数学抽象）. 2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式求值（逻辑推理、数学运算）. 3.会用组合知识解决一些简单的组合问题（数学运算、数学建模）. 知识点一｜组合的定义 问题1　从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题是排列问题吗？ 【知识梳理】 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素　　　　　　，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 　　提醒：排列与组合的区别与联系：共同点：两者都是从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素；不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关. 【例1】　判断下列问题是组合问题还是排列问题： （1）a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？ （2）a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？ （3）从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？ （4）从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？ 【规律方法】 判断一个问题是不是组合问题的方法技巧 （1）区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，与顺序有关即为排列问题，与顺序无关为组合问题； （2）写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然后按照“顺序后移法”或“树状图法”逐个将各个组合表示出来. 训练1　判断下列问题是组合问题还是排列问题： （1）设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？ （2）某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？ （3）2025年元旦期间，某班10名同学互送贺卡表达新年的祝福，贺卡共有多少张？ 知识点二｜组合数与组合数公式 问题2　（1）类比排列数，请写出组合数的概念. （2）我们前面学习了排列和组合的关系，请利用这种关系，用排列数表示组合数. 【知识梳理】 组合数定义 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的　　　　　　的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 符号表示 组合数公式 乘积式 ＝　　＝　　　　　　 阶乘式 ＝　　　　　 性质 ＝，＝＋ 备注 ①n，m∈N*，并且m≤n；②规定＝1 　　提醒：公式＝常用于n为具体数的题目，多用于组合数的计算；公式＝常用于n为字母的题目，多用于解不等式或证明恒等式. 角度1　化简与求值 【例2】　（链接教材P24例6）（1）计算：－·； （2）计算：＋； （3）若＝120，求n. 角度2　组合数的性质 【例3】　（1）＋＋＋…＋＝　　　　； （2）已知－＝，则n＝　　　　. 【规律方法】 利用组合数公式解方程、不等式的方法技巧 （1）化简：先用组合数的两个性质化简； （2）转化：利用计算公式将组合数的形式转化为常规的代数方程、不等式； （3）求解：解常规代数方程、不等式； （4）检验：注意由中的m∈N*，n∈N*，且n≥m确定m，n的范围，验证所得结果是否符合题意. 训练2　（1）＋＝　　　　； （2）证明：m＝n. 知识点三｜简单组合问题的应用 【例4】　在一次物理竞赛中，某学校有10人通过了初试，学校要从中选出4人参加县级培训.甲、乙二人必须参加，有多少种不同的选法？ 变式　本例条件中的“甲、乙二人必须参加”改为“甲、乙二人只能有1人参加”，有多少种不同的选法？ 【规律方法】 解简单的组合应用题的策略 （1）解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关； （2）要注意两个计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用. 　　提醒：在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏. 训练3　一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球. （1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ （2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ （3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 1.下列不是组合问题的是（　　） A.从1，2，3，4中选出2个构成的集合个数 B.五个队进行单循环比赛的比赛场次数 C.由1，2，3组成无重复数字的两位数 D.甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间距离均不相等，则车票票价的种数（假设票价只与距离有关） 2.把三张游园票分给10人中的3人，分法有（　　） A.种 B.种 C.种 D.30种 3.从10名大学毕业生中选3人担任村民委员会主任助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的选法种数为（　　） A.28 B.49 C.56 D.85 4.若＝，则n＝　　　　. 课堂小结 1.理清单 （1）组合与组合数的定义； （2）组合数的计算与证明； （3）组合数的简单应用. 2.应体会 利用组合数公式及性质解决化简与求值问题时应用了方程思想；利用组合数公式解决简单实际问题时，注意间接法的应用. 3.避易错 分不清“排列”还是“组合”. 提示：完成课后作业 第六章 6.2 6.2.3 6.2.4 第一课时 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.3　组合 6.2.4　组合数 第一课时　组合与组合数公式 【例1】　解：（1）单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题. （2）冠、亚军是有顺序的，是排列问题. （3）3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题. （4）3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题. 训练1　解：（1）因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题. （2）因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题；但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题. （3）甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺序有关，是排列问题. 【例2】　解：（1）原式＝－＝－7×6×5＝210－210＝0. （2）∵∴9.5≤n≤10.5. ∵n∈N*，∴n＝10， ∴＋＝＋＝＋＝＋31＝466. （3）∵＝120， ∴2n（2n－1）（2n－2）（2n－3）＝， 解得n＝3或n＝－1（舍去），∴n＝3. 【例3】　（1）7 315　（2）14　解析：（1）因为＝，所以＋＋＋…＋＝（＋）＋＋…＋＝（＋）＋＋…＋＝…＝＝＝7 315. （2）由－＝得＝＋，由组合数的性质，可得＝，故8＋7＝n＋1，解得n＝14. 训练2　（1）5 006　解析：＋＝＋×1＝＋＝56＋4 950＝5 006. （2）证明：m＝m· ＝ ＝n·＝n. 【例4】　解：甲、乙二人必须参加，则只需要从另外8人中选2人，是组合问题，共有＝28种不同的选法. 变式　解：甲、乙二人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙中选1人，有＝2种选法；再从另外8人中选3人，有种选法.共有＝112种不同的选法. 训练3　解：（1）从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是＝＝＝56. （2）从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是＝＝＝21. （3）由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是＝＝＝35. 随堂检测 1.C　只有选项C与元素的顺序有关，其余选项与顺序无关. 2.B　三张票没区别，从10人中选3人即可，即. 3.B　依题意，满足条件的选法种数为＋＝49. 4.3或5　解析：依题意n＝2n－3或n＋2n－3＝12.解得n＝3或n＝5.经验证知，满足题意. 6.2.3　组合 6.2.4　组合数 第一课时　组合与组合数公式 问题1　提示：从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，不同的选法有：甲乙、甲丙、乙丙，共3种.由于只需将选出的2名同学作为一组，不需要考虑顺序，故不是排列问题. 知识梳理 作为一组 问题2　（1）提示：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数. （2）提示：“从n个不同元素中取出m个元素的排列数”可以看作由以下两个步骤得到： 第1步，从n个不同元素中取出m个元素作为一组，设共有x种不同的取法； 第2步，将取出的m个元素作全排列，共有种不同的排法. 根据分步乘法计数原理，有＝x·，即x＝. 知识梳理 所有不同组合　　　　 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $