精品解析：2026年中华人民共和国普通高等学校联合招收华侨港澳台学生秋季开学模拟考试数学试题

2026年中华人民共和国普通高等学校 联合招收华侨港澳台学生秋季开学模拟考试数学 命题单位：顺德华侨中学 一、单选题;本题共 10 小题，每小题 6 分，共 60 分. 1. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为（ ） A. B. C. D. 3. 设函数f（x）=+lnx ，则 （ ） A. x=为f(x)的极大值点 B. x=为f(x)的极小值点 C. x=2为 f(x)的极大值点 D. x=2为 f(x)的极小值点 4. 已知数列的前n项和为，若，（ ） A. 2 B. C. D. 5. 下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（ ） A. B. C. D. 6. 当直线与圆相交所得弦长最短时，m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知，均是非零向量，，，与的夹角为，则（ ）． A. B. C. D. 8. 现从含甲、乙在内的10名特种兵中选出4人去参加抢险，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 在棱长为2的正方体中，点到平面的距离是（ ） A. 1 B. C. D. 10. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题；本题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分. 11. 曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为________． 12. 在的展开式中，二项式系数的和为64，则展开式中项的系数是_____．（用数字作答） 13. 函数的最大值为__________． 14. 抛掷两个骰子，至少有一个点或点出现时，就说这次试验成功，则在次试验中，成功次数的期望是______________ 15. 已知正三棱台的上、下底面积分别为，且棱台侧面与下底面所成二面角的余弦值为，则棱台侧面的高为______． 三、解答题：本题共 4 小题，每小题 15 分，共 60 分. 16. 在等差数列中，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 17. 在中，已知. （1）若且，求的面积； （2）若求的取值范围. 18. 已知是椭圆的右顶点，且椭圆经过点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于，两点，且，求弦的长. 19. 已知函数，. （1）求的最值； （2）当时，恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中华人民共和国普通高等学校 联合招收华侨港澳台学生秋季开学模拟考试数学 命题单位：顺德华侨中学 一、单选题;本题共 10 小题，每小题 6 分，共 60 分. 1. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式得集合，然后由集合的包含关系得参数范围． 【详解】，又，， 所以， 故选：D． 2. 已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】复数满足，即， 化简可得， 所以复数的模为. 3. 设函数f（x）=+lnx ，则 （ ） A. x=为f(x)的极大值点 B. x=为f(x)的极小值点 C. x=2为 f(x)的极大值点 D. x=2为 f(x)的极小值点 【答案】D 【解析】 【详解】， 由得， 又函数定义域为， 当时，，递减， 当时，，递增， 因此是函数的极小值点．故选D． 考点：函数的极值． 4. 已知数列的前n项和为，若，（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用与的关系，可得数列为等比数列，利用等比数列的前项和的公式以及通项公式即可求解. 【详解】由， 当时，可得， 当时，， 两式作差可得：， 即， 数列是以为首项，为公比的等比数列， 则， 故选：C 【点睛】本题考查了与的关系、等比数列的定义、等比数列的通项公式以及等比数列的前项和的公式，属于基础题. 5. 下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的零点为方程的根，结合解析式判断函数的单调性，即可得答案. 【详解】对于A：因为，所以不存在零点，故A错误； 对于B：令 没有实数解，所以不存在零点，故B错误； 对于C：令，所以零点为1，又因为， 所以在为增函数，故C正确； 对于D：在单调递增，在单调递减，故D错误. 故选：C. 6. 当直线与圆相交所得弦长最短时，m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线过定点，求出圆的圆心和半径，当⊥时，直线与圆相交所得弦长最短，根据斜率得到方程，求出答案. 【详解】过定点， ，圆心为，半径为， 当⊥时，直线与圆相交所得弦长最短， 其中，故直线的斜率为1，故，解得. 故选：B 7. 已知，均是非零向量，，，与的夹角为，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 化简得：，解得，（舍去）. 8. 现从含甲、乙在内的10名特种兵中选出4人去参加抢险，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】记分别表示“甲被选中”和“乙被选中”，然后使用条件概率公式计算即可. 【详解】记分别表示“甲被选中”和“乙被选中”. 由于一共有10名特种兵，而要从中选出4名，故. 而从10名特种兵选出4名时，如果甲和乙被选中，则剩余2个被选中的人可从甲和乙之外的8名特种兵中任意选择2名， 故选取方式有种，从而. 故，A正确. 故选：A. 9. 在棱长为2的正方体中，点到平面的距离是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等体积法转化为点到平面的距离求解即可. 【详解】如图， 连接，因为平分， 所以点与点到平面的距离相等， 设点到平面的距离为， 因为， 所以， 即，解得， 故选：D. 10. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为双曲线（，）的离心率为， 所以，则， 所以，则， 所以双曲线的渐近线方程是. 二、填空题；本题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分. 11. 曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】求导，确定切线斜率，再结合垂直关系即可求解. 【详解】由，得， 所以在处的切线斜率为：4， 由垂直关系可得：， 所以. 12. 在的展开式中，二项式系数的和为64，则展开式中项的系数是_____．（用数字作答） 【答案】135 【解析】 【分析】根据二项式展开式的二项式系数之和可得，解出，结合通项公式计算即可求出的系数. 【详解】由题意，，则， 则的展开式的通项为，， 令，得， 所以展开式中项的系数是. 故答案为：135. 13. 函数的最大值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二倍角的正、余弦公式和辅助角公式可得，结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】， 当即即时， 取得最大值，且最大值为. 故答案为： 14. 抛掷两个骰子，至少有一个点或点出现时，就说这次试验成功，则在次试验中，成功次数的期望是______________ 【答案】## 【解析】 【分析】首先利用相互独立事件及对立事件的概率公式求出一次实验中成功的概率，则，根据二项分布的期望公式计算可得. 【详解】解：在一次实验中，成功的概率为，则， 所以次试验中，成功的次数的期望为； 故答案为：. 15. 已知正三棱台的上、下底面积分别为，且棱台侧面与下底面所成二面角的余弦值为，则棱台侧面的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，，分别取的中点，取分别为上、下底面的中心，得到侧面与下底面所成角为，列出方程，求得的长，即可求解. 【详解】如图所示，在正三棱台中， 因为正三棱台的上、下底面积分别为， 可得，解得，， 分别取的中点，连接， 取，，则分别为上、下底面的中心，连接， 过点作于点，过点作于点， 所以， 可得， 侧面与下底面所成角，即为， 在直角中，可得，解得， 所以故棱台侧面的高为． 故答案为：. 三、解答题：本题共 4 小题，每小题 15 分，共 60 分. 16. 在等差数列中，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式列方程组，求得首项和公差，即得答案. （2）由（1）可得的表达式，确定数列为等比数列，即可求得答案. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意可得，解得. 故. 【小问2详解】 由（1）可得，则，从而. 因为，所以是首项为2，公比为4的等比数列. 由等比数列的前项和公式可得. 17. 在中，已知. （1）若且，求的面积； （2）若求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合正弦定理、余弦定理和面积公式即可求解； （2）结合基本不等式求最值和三角形边的关系即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理得，又，从而， 由得， 从而， 所以的面积. 【小问2详解】 由， 又，当且仅当时取等号， 从而，所以， 又因为中，，从而， 所以的范围是. 18. 已知是椭圆的右顶点，且椭圆经过点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于，两点，且，求弦的长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆右顶点以及经过点的坐标解方程即可求得椭圆的方程； （2）联立直线和椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式直接计算即可得出结果. 【小问1详解】 由题意知， 代入点，即，解得， 可得椭圆的方程为； 【小问2详解】 联立与， 化简得， 可得， 由可得， 即解得， 所以， 可得， 即弦的长为. 19. 已知函数，. （1）求的最值； （2）当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）有最小值，无最大值 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数求出单调性，即可得出有最小值, 无最大值； （2）首先分为和，当时，先进行分离参数，设新函数为，求导可得出的单调性，即可得出有最小值为，即可得出的取值范围. 【小问1详解】 由题， 则时，时， 所以在上单调递减，在单调递增， 又时， 所以函数有最小值，无最大值； 【小问2详解】 当时恒成立，即恒成立， 显然时上述不等式恒成立， 当时，， ， 所以时，时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数有最小值为， 所以，即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $