计算条件概率、条件概率性质的应用专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第二册

计算条件概率、条件概率性质的应用专项训练 计算条件概率、条件概率性质的应用专项训练 考点目录 计算条件概率 条件概率性质的应用 考点一 计算条件概率 例1．（2026·山东东营·一模）在2025年10月19日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往A、B、C三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则在甲被派去B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先求甲被派去服务站的方法数； 第一种情况：甲一个人去服务站，则有种； 第二种情况：甲和其中一人去服务站，则有种； 故甲被派去服务站的方法数共种； 再求甲乙被派去同一个服务站的方法数：有种； 故概率为. 例2．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）骰宝一般称为赌大小，是一种用骰子赌博的方式，规则为：玩家向庄家下注，每次下注前，庄家把三枚骰子放在有盖的器皿中摇晃，若三枚骰子点数一样，称为豹子，庄家直接获胜；其他情况中，点数和为4到10称为小，和为11到17称为大；玩家下注完毕打开器皿，玩家猜中大小即为玩家获胜，否则庄家获胜；在某局中玩家猜大，已知庄家获胜的条件下，三枚骰子点数最大的是5的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为已知庄家获胜，则点数为豹子或者小， 点数为豹子有6种情况； 点数和为4有，所有排列有3种情况； 点数和为5有，所有排列有种情况； 点数和为6有，所有排列有种情况； 点数和为7有的所有排列，有种； 点数和为8有，所有排列有种情况； 点数和为9有，所有排列有种情况； 点数和为10有，所有排列有种情况； 所以小有种情况； 其中三枚骰子点数最大的是5的情况有：，，，，，，，的所有排列共有种情况； 所以对应概率为. 例3．（25-26高三上·山东青岛·期末）随机将1，2，…，8这8个连续正整数分成A，B两组，每组4个数，记表示A组中最大的数与最小的数之和，表示B组中最大的数与最小的数之和．则______． 【答案】 【详解】1，2，…，8这个数中两个数和为9共有4种情况：， 不可能作为组中最大的数与最小的数，也不可能作为组中最大的数与最小的数， 故当4个不同的数中最大数与最小数和为时，最大数、最小数可为， 故，而且的概率为 故， 故答案为：. 例4．（25-26高二上·广西桂林·期末）某同学进行投篮练习，他第一次投篮命中的概率为，在第一次投篮命中的情况下，第二次投篮命中的概率为，则该同学连续两次投篮命中的概率为________. 【答案】 【详解】设“第一次投篮命中”为事件，“第二次投篮命中”为事件，则“连续两次投篮命中”为事件； 已知，， 根据条件概率公式，变形得， 代入数值计算：. 故答案为：. 例5．（24-25高二下·山西运城·月考）某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动． (1)在已知男生甲被选中的条件下，求女生乙被选中的概率； (2)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）从6名成员中挑选2名成员，共有15种情况， 记“男生甲被选中”为事件，事件所包含的基本事件数为5种，故． 记“女生乙被选中”为事件，则，故． （2）记“被选中的2人一男一女”为事件，则，“女生乙被选中”为事件，，故． 例6．（24-25高二下·广东潮州·月考）高二（1）班共有30名男生，20名女生，其中男生中共有8名共青团员，女生中共有10名共青团员． (1)从该班学生中任意抽取1人，其是女生的概率是多少？ (2)已知抽出的是女同学的条件下，该同学是共青团员的概率又是多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设“从该班学生中任意抽取1人，其是女生”为事件，则 （2）“该同学是共青团员”为事件，则. 变式1．（25-26高三下·河南·月考）在不透明的盒子中有大小、质地均相同的5个球，其中有2个红球，3个白球，若每次随机不放回地从盒子里拿出一个球，直到把球拿完，则在第四次拿到的是白球的条件下，第二次拿到的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设事件：第二次取红球，事件：第四次取白球， 则第四次抽到白球的概率， 再计算， 第一步，第二次拿到红球的概率为， 第二步，在第二次已经拿走一个红球的情况下，盒子还剩余3个白球，一个红球， 则此时第四次拿到白球的概率为， 所以第二次拿到红球且第四次拿到白球的概率， 由条件概率公式. 变式2．（24-25高三下·陕西西安·月考）多重完美数是其所有因数之和是其本身的整数倍.从以下6，9，12，28，45数中随机任取两个数，若取出的两个数中有多重完美数，其中一个不是多重完美数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】6的正因数：，由，得6是多重完美数； 9的正因数：，由，13不是9的整数倍，得9不是多重完美数； 12的正因数：，由，28不是12的整数倍，得12不是多重完美数； 28的正因数：，由，得28是多重完美数； 45的正因数：，由，78不是45的整数倍，得45不是多重完美数， 因此中多重完美数有2个，非多重完美数有3个， 从5个数中取2个，有多重完美数的取法数为，其中恰有一个不是多重完美数的取法数为， 所以取出的两个数中有多重完美数，其中一个不是多重完美数的概率为. 故选：B 变式3．（2026·福建泉州·一模）某学习小组由6名男生和4名女生组成，从中依次随机抽取2人参加知识竞赛，则在第一次抽到男生的条件下，第二次抽到女生的概率等于______. 【答案】 【详解】在第一次抽到男生的条件下，学习小组剩余9个人，其中男生5名，女生4名， 所以在第一次抽到男生的条件下，第二次取到女生的概率是. 变式4．（2026·陕西商洛·二模）两位游客准备分别从古汉台、拜将台、兴汉胜境、石门栈道风景区4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择古汉台”，事件“两位游客选择的景点不同”，则______． 【答案】 【详解】两位游客从4个景点中任选，每人有4种选择，总事件数：种． 事件的对立事件为“两位游客都不选择古汉台”，的事件数：种， 事件分为两种情况：甲选古汉台，乙选其余3个景点，3种； 乙选古汉台，甲选其余3个景点，3种； 共种事件， 所以． 变式5．（25-26高三上·江苏常州·期中）有10只不同的试验产品，其中有4只不合格品、6只合格品．现每次取1只测试，直到4只不合格品全部测出为止． (1)求最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现的不同情形种数； (2)已知最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，求第2次测得合格品的概率． 【答案】(1)576； (2). 【详解】（1）由最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，得第5次测得不合格品， 且前4次测得3只不合格品、1只合格品， 所以不同情形种数为. （2）记事件：最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，事件：第2次测得合格品， ，， 因此， 所以最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，第2次测得合格品的概率为. 变式6．（24-25高二下·江苏扬州·期中）某校学生文艺部有男生4人，女生2人 (1)若安排这6名同学站成一排照相，要求2名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ (2)若从中挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动， ①求男生甲被选中的概率； ②在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 【答案】(1)480 (2)， 【详解】（1）先将4名男生全排列，形成5个空，再从5个空中选出2个位置排列2名女生， 所以2名女生互不相邻得排法有种. （2）①设事件表示“男生甲被选中”，则. ②设事件表示“被选中的两人中必须一男一女”，事件表示“女生乙被选中”， 则，， 所以. 所以在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，女生乙被选中的概率为. 考点二 条件概率性质的应用 例1．（2026·江西赣州·一模·多选）设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】选项A，，， ， ， ，，故选项A正确； 选项B，，故选项B错误； 选项C，，故选项C正确； 选项D，，，，， ，故选项D错误. 故选：AC. 例2．（24-25高二下·河北沧州·期末·多选）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，若，，，则下列选项正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，由，，得，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确． 故选：ACD. 例3．（24-25高二下·四川广安·月考·多选）设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，， 解得，故A错误； 对于B，，解得， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D错误. 故选：AD． 变式1．（24-25高二下·浙江·月考·多选）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为，，，所以，所以，B选项正确； ，C选项错误； ，A选项正确； ，D选项正确； 故选：ABD. 变式2．（24-25高二下·河南商丘·期中·多选）设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，， 解得，故A错误； 对于B，，解得， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D错误. 故选：BC． 变式3．（2024·四川成都·模拟预测·多选）随机事件A，满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】A.，所以，， 所以，故A错误； B.，故B错误； C.，故C正确； D.，， 所以，，故D正确. 故选：CD 2 学科网（北京）股份有限公司 $计算条件概率、条件概率性质的应用专项训练 计算条件概率、条件概率性质的应用专项训练 考点目录 计算条件概率 条件概率性质的应用 考点一 计算条件概率 例1．（2026·山东东营·一模）在2025年10月19日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往A、B、C三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则在甲被派去B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）骰宝一般称为赌大小，是一种用骰子赌博的方式，规则为：玩家向庄家下注，每次下注前，庄家把三枚骰子放在有盖的器皿中摇晃，若三枚骰子点数一样，称为豹子，庄家直接获胜；其他情况中，点数和为4到10称为小，和为11到17称为大；玩家下注完毕打开器皿，玩家猜中大小即为玩家获胜，否则庄家获胜；在某局中玩家猜大，已知庄家获胜的条件下，三枚骰子点数最大的是5的概率为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·山东青岛·期末）随机将1，2，…，8这8个连续正整数分成A，B两组，每组4个数，记表示A组中最大的数与最小的数之和，表示B组中最大的数与最小的数之和．则______． 例4．（25-26高二上·广西桂林·期末）某同学进行投篮练习，他第一次投篮命中的概率为，在第一次投篮命中的情况下，第二次投篮命中的概率为，则该同学连续两次投篮命中的概率为________. 例5．（24-25高二下·山西运城·月考）某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动． (1)在已知男生甲被选中的条件下，求女生乙被选中的概率； (2)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 例6．（24-25高二下·广东潮州·月考）高二（1）班共有30名男生，20名女生，其中男生中共有8名共青团员，女生中共有10名共青团员． (1)从该班学生中任意抽取1人，其是女生的概率是多少？ (2)已知抽出的是女同学的条件下，该同学是共青团员的概率又是多少？ 变式1．（25-26高三下·河南·月考）在不透明的盒子中有大小、质地均相同的5个球，其中有2个红球，3个白球，若每次随机不放回地从盒子里拿出一个球，直到把球拿完，则在第四次拿到的是白球的条件下，第二次拿到的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高三下·陕西西安·月考）多重完美数是其所有因数之和是其本身的整数倍.从以下6，9，12，28，45数中随机任取两个数，若取出的两个数中有多重完美数，其中一个不是多重完美数的概率为（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026·福建泉州·一模）某学习小组由6名男生和4名女生组成，从中依次随机抽取2人参加知识竞赛，则在第一次抽到男生的条件下，第二次抽到女生的概率等于______. 变式4．（2026·陕西商洛·二模）两位游客准备分别从古汉台、拜将台、兴汉胜境、石门栈道风景区4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择古汉台”，事件“两位游客选择的景点不同”，则______． 变式5．（25-26高三上·江苏常州·期中）有10只不同的试验产品，其中有4只不合格品、6只合格品．现每次取1只测试，直到4只不合格品全部测出为止． (1)求最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现的不同情形种数； (2)已知最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，求第2次测得合格品的概率． 变式6．（24-25高二下·江苏扬州·期中）某校学生文艺部有男生4人，女生2人 (1)若安排这6名同学站成一排照相，要求2名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ (2)若从中挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动， ①求男生甲被选中的概率； ②在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 考点二 条件概率性质的应用 例1．（2026·江西赣州·一模·多选）设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25高二下·河北沧州·期末·多选）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，若，，，则下列选项正确的是（    ）． A． B． C． D． 例3．（24-25高二下·四川广安·月考·多选）设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则不正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25高二下·浙江·月考·多选）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高二下·河南商丘·期中·多选）设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（2024·四川成都·模拟预测·多选）随机事件A，满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $