统计与概率：全概率公式与贝叶斯公式、全概率公式与数列综合 专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第二册

统计与概率：全概率公式与贝叶斯公式、全概率公式与数列综合专项训练 统计与概率：全概率公式与贝叶斯公式、全概率公式与数列综合专项训练 考点目录 全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式与数列综合 考点一 全概率公式与贝叶斯公式 例1．（25-26高二上·陕西汉中·期末）某智能安防系统依据工作日、周末、法定节假日三种模式调整传感器使用策略．三种时段的时间占比为．在工作日，系统使用摄像头、红外传感器的概率分别为和：在周末，使用红外传感器、声音传感器的概率分别为和；在法定节假日，使用摄像头、声音传感器的概率分别为和．三种传感器在无入侵时误报警的概率分别为：摄像头，红外传感器，声音传感器．假设系统在任何时刻只使用一种传感器，则在随机时刻该系统发生误报警的概率为（   ） A．0.01 B．0.02 C．0.03 D．0.04 例2．（25-26高二上·广西桂林·期末）学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛，他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为0.4、0.3、0.3，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.6、0.4、0.5，则该生获得冠军的概率为（   ） A．0.67 B．0.58 C．0.51 D．0.37 例3．（24-25高二下·云南昭通·期末·多选）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”，则（    ） A． B． C． D． 例4．（24-25高二下·贵州遵义·期末·多选）甲、乙两人在商场参与抽奖活动，已知6张奖券中有2张是中奖的，首先由甲抽一张，不放回，然后由乙抽一张，则下列正确的是（   ） A．甲中奖的概率为 B．乙中奖的概率为 C．甲、乙都中奖的概率为 D．甲不中奖乙中奖的概率为 例5．（25-26高二上·上海静安·期末）某批产品来自两条生产线，生产线占，次品率为；生产线占，次品率为． 现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自生产线的概率是 ． 例6．（25-26高二上·上海·期末）袋中装有大小与质地相同的 4 个红球与 8 个白球，从中依次摸两个球，规则如下：先从袋中任取一个球，若该球是红球，则放回袋中，进行下一次摸球；若该球是白球，则不放回，直接进行下一次摸球，则在第二次摸到白球的条件下，第一次摸到白球的概率为 . 例7．（25-26高二上·上海徐汇·期末）周五放学后，老师和老师相约去体育馆打羽毛球切磋球技.两人决定采用羽毛球旧赛制进行一场复古局.旧制规则如下：只有发球方赢得当前回合才能得1分并继续发球；若发球方输掉该回合，则双方均不得分，且下一回合交换发球权（即改为由对方发球）. (1)两人刚开始热身，体力充沛，发球极其凶猛.假设在热身局中，无论谁发球，发球方输掉该回合的概率均为.若第一回合由老师发球，求第二回合比赛有人得分的概率； (2)临近饭点，两人决定用一场“一分定胜负”的比赛来决定今晚谁请晚饭：谁先赢得1分，谁就获胜；输的一方请客.假设两人水平接近，在任一回合中，发球方赢得该回合的概率均为.若第一回合由老师发球，求老师获胜的概率.并据此从概率角度分析：旧赛制对于发球方和接发球方是否公平？ 例8．（25-26高二上·山东东营·期末）某次社会实践活动中，甲乙两个班的同学共同对社区居民进行民意调查，参加活动的甲乙两班的人数之比为，其中甲班中男生占，乙班中男生占． (1)求居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是男生的概率； (2)从甲班中抽取名同学（含甲同学），分别安排在三个社区进行民意调查，每个社区至少一名同学，每名同学只能到一个社区． ①求共有多少种不同的安排方法； ②求甲同学不安排在社区的概率． 变式1．（25-26高一上·江西景德镇·期末）一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球2个，白球4个，现从中不放回地依次随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·陕西渭南·月考）某医院有现场和在线两种挂号方式，其中现场挂号的比例为，通过调查问卷，得知的现场挂号患者对医院的服务满意，的在线挂号患者对医院的服务满意，随机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·云南大理·二模·多选）已知甲盒中有2个白球和4个红球，乙盒中有3个白球和2个红球．先从甲盒随机取出一球放入乙盒，设“从甲盒取出的球是白球”为事件，“从甲盒取出的球是红球”为事件；再从乙盒中随机取出一球，设“从乙盒取出的球是白球”为事件，“从乙盒取出的球是红球”为事件，下列说法正确的是（   ） A．，是互斥事件 B．，是独立事件 C． D． 变式4．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末·多选）已知编号分别为1，2的两个盒子中，1号盒内装有两个1号球、一个2号球；2号盒内装有一个1号球、两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（   ） A．若将6个相同的小球放入这两个盒子内，允许有空盒子，则不同的放法有7种 B．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 C．两次都取到1号球的概率要比两次都取到2号球的概率更大 D．第二次抽到2号球的概率为 变式5．（25-26高二上·江西赣州·期末）赣南脐橙是江西赣南的特色农产品，某学习小组结合赣南脐橙的等级区分设计了如下概率问题进行研究：甲、乙两个筐中各装有5个大小均匀的赣南脐橙，其中甲筐中有3个特级脐橙、2个一级脐橙，乙筐中有4个特级脐橙、1个一级脐橙．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲筐中随机抽出1个脐橙；如果点数大于等于5，从乙筐中随机抽出1个脐橙，则抽到的是特级脐橙的概率是 ． 变式6．（25-26高三上·浙江宁波·期末）甲、乙两人进行乒乓球练习，设甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，且各局练习的胜负相互独立.现进行局练习，规定胜局多者获胜，记“局练习甲获胜”的概率为，则 .（用数字作答） 变式7．（25-26高二上·广东汕尾·期末）汕尾文旅文创展区有8件不同的特色纪念品，其中5件是甲子贝雕书签，3件是捷胜泥塑挂件．现从中不放回依次随机取出2件作为文旅伴手礼． (1)求第二次取到捷胜泥塑挂件的概率； (2)求至少取到1件捷胜泥塑挂件的概率． 变式8．（25-26高二上·北京·期末）甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球． (1)若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率是___________． (2)若从甲袋中随机取2个，求所取的2个球中至少有一个红球的概率； (3)若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率． 考点二 全概率公式与数列综合 例1．（24-25高二下·陕西西安·月考）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会.已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第次摸球抽中奖品的概率为． (1)求的值； (2)探究数列的通项公式，并求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程． 例2．（25-26高三上·广东广州·月考）某商场拟在周末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：该游戏进行10轮，若在10轮游戏中，参与者获胜5次就送2000元礼券，并且游戏结束：否则继续游戏，直至10轮结束．已知该游戏第一次获胜的概率是，若上一次获胜则下一次获胜的概率也是，若上一次失败则下一次成功的概率是．记消费者甲第次获胜的概率为，数列的前项和，且的实际意义为前次游戏中平均获胜的次数． (1)求消费者甲第2次获胜的概率； (2)证明：为等比数列；并估计要获得礼券，平均至少要玩几轮游戏才可能获奖． 例3．（2025·云南·模拟预测）在足球训练中，甲、乙、丙三人进行传球训练．每次传球按以下规则转移：当球在甲脚下时，他有的概率继续控球（不传给别人），的概率传给乙；当球在乙脚下时，他有的概率回传给甲，的概率传给丙；当球在丙脚下时，他有的概率传给甲，的概率传给乙．初始时球在甲处，每次传球是相互独立的． (1)求两次传球后球在乙处的概率，以及三次传球后球在丙处的概率； (2)记次传球后，球在甲处的概率为，在乙处的概率为． （i）证明：数列是等比数列； （ii）求和的通项公式． 变式1．（24-25高三上·广西·月考）甲、乙两个口袋都装有3个小球（1个黑球和2个白球）.现从甲、乙口袋中各取1个小球交换放入另外一个口袋（即甲口袋中的小球放入乙口袋，乙口袋中的小球放入甲口袋），交换小球次后，甲口袋中恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为. (1)求，； (2)求，； (3)求数列的通项公式，并证明. 变式2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”．南方的小土豆们纷纷北上体验东北最美的冬天，这个冬天火的不只是东北的美食、东北人的热情，还有东北的洗浴中心，拥挤程度堪比春运，南方游客直接拉着行李箱进入．东北某城市洗浴中心花式宠“且”，为给顾客更好的体验，推出了和两个套餐服务，顾客可自由选择和两个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该洗浴中心在App平台10天销售优惠券情况． 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量（千张） 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 0.4 经计算可得：，，． (1)因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求关于的经验回归方程（结果中的数值用分数表示）； (2)若购买优惠券的顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，并且套餐可以用一张优惠券，套餐可以用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为张的概率为，求； (3)记（2）中所得概率的值构成数列． ①求的最值； ②数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，，（是一个确定的实数），则称数列收敛于．根据数列收敛的定义证明数列收敛． 参考公式：，． 变式3．（2025·辽宁大连·模拟预测）某公园有两条散步路线，分别记为路线和路线．公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和．已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为． (1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为． （ⅰ）请写出与的递推关系； （ⅱ）证明：数列为等比数列． 2 学科网（北京）股份有限公司 $统计与概率：全概率公式与贝叶斯公式、全概率公式与数列综合专项训练 统计与概率：全概率公式与贝叶斯公式、全概率公式与数列综合专项训练 考点目录 全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式与数列综合 考点一 全概率公式与贝叶斯公式 例1．（25-26高二上·陕西汉中·期末）某智能安防系统依据工作日、周末、法定节假日三种模式调整传感器使用策略．三种时段的时间占比为．在工作日，系统使用摄像头、红外传感器的概率分别为和：在周末，使用红外传感器、声音传感器的概率分别为和；在法定节假日，使用摄像头、声音传感器的概率分别为和．三种传感器在无入侵时误报警的概率分别为：摄像头，红外传感器，声音传感器．假设系统在任何时刻只使用一种传感器，则在随机时刻该系统发生误报警的概率为（   ） A．0.01 B．0.02 C．0.03 D．0.04 【答案】B 【详解】因为工作日、周末、法定节假日三种模式的时间占比分别为， 又由题知，工作日使用摄像头、红外传感器的概率分别为和，且两者误报警的概率均为， 所以工作日误报警的概率为， 周末使用红外传感器、声音传感器的概率分别为和，且两者误报警的概率均为， 所以周末误报警的概率为， 法定节假日使用摄像头、声音传感器的概率分别为和，且两者误报警的概率均为， 所以法定节假日误报警的概率为， 由全概率公式可知，系统发生误报警的概率为， 故选：B. 例2．（25-26高二上·广西桂林·期末）学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛，他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为0.4、0.3、0.3，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.6、0.4、0.5，则该生获得冠军的概率为（   ） A．0.67 B．0.58 C．0.51 D．0.37 【答案】C 【详解】设“参加羽毛球比赛”，“参加乒乓球比赛”，“参加跳绳比赛”， 则. 设“获得冠军”，则. 由全概率公式 . 故选：C. 例3．（24-25高二下·云南昭通·期末·多选）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为第1，2，3台车床加工的零件数的比为，所以，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D正确. 故选：ABD 例4．（24-25高二下·贵州遵义·期末·多选）甲、乙两人在商场参与抽奖活动，已知6张奖券中有2张是中奖的，首先由甲抽一张，不放回，然后由乙抽一张，则下列正确的是（   ） A．甲中奖的概率为 B．乙中奖的概率为 C．甲、乙都中奖的概率为 D．甲不中奖乙中奖的概率为 【答案】BD 【详解】设甲中奖的事件为，乙中奖的事件为， 对于A，甲中奖的概率为，A错误； 对于B，，， ，B正确； 对于C，由选项B，得，C错误； 对于D，由选项B，得，D正确. 故选：BD 例5．（25-26高二上·上海静安·期末）某批产品来自两条生产线，生产线占，次品率为；生产线占，次品率为． 现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自生产线的概率是 ． 【答案】 【详解】设“抽到的产品来自生产线”，“抽到的产品来自生产线”，“抽到的产品是次品”，则， ． 故答案为： 例6．（25-26高二上·上海·期末）袋中装有大小与质地相同的 4 个红球与 8 个白球，从中依次摸两个球，规则如下：先从袋中任取一个球，若该球是红球，则放回袋中，进行下一次摸球；若该球是白球，则不放回，直接进行下一次摸球，则在第二次摸到白球的条件下，第一次摸到白球的概率为 . 【答案】 【详解】设事件为第一次取到白球，事件表示第二次取到白球，则为第一次取到红球， 则，，，， 所以. 所以 故答案为： 例7．（25-26高二上·上海徐汇·期末）周五放学后，老师和老师相约去体育馆打羽毛球切磋球技.两人决定采用羽毛球旧赛制进行一场复古局.旧制规则如下：只有发球方赢得当前回合才能得1分并继续发球；若发球方输掉该回合，则双方均不得分，且下一回合交换发球权（即改为由对方发球）. (1)两人刚开始热身，体力充沛，发球极其凶猛.假设在热身局中，无论谁发球，发球方输掉该回合的概率均为.若第一回合由老师发球，求第二回合比赛有人得分的概率； (2)临近饭点，两人决定用一场“一分定胜负”的比赛来决定今晚谁请晚饭：谁先赢得1分，谁就获胜；输的一方请客.假设两人水平接近，在任一回合中，发球方赢得该回合的概率均为.若第一回合由老师发球，求老师获胜的概率.并据此从概率角度分析：旧赛制对于发球方和接发球方是否公平？ 【答案】(1) (2)，旧赛制不公平 【详解】（1）设事件表示第一回合老师赢球，事件表示第二回合老师赢球， 事件表示第二回合比赛有运动员得分，它包括两个事件： 一个事件：第一回合老师赢球，第二回合老师赢球； 另一个事件：第一回合老师输球，第二回合老师赢球； 则， 即第二回合比赛有运动员得分的概率为. （2）设老师先发球，记事件表示第i回合老师赢球， 记事件表示老师先得第一分， 则， 则， 所以，第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率大于， 则比赛双方运动员实力相当的情况下，先发球者更大概率占据心理上的优势，所以旧赛制不公平. 例8．（25-26高二上·山东东营·期末）某次社会实践活动中，甲乙两个班的同学共同对社区居民进行民意调查，参加活动的甲乙两班的人数之比为，其中甲班中男生占，乙班中男生占． (1)求居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是男生的概率； (2)从甲班中抽取名同学（含甲同学），分别安排在三个社区进行民意调查，每个社区至少一名同学，每名同学只能到一个社区． ①求共有多少种不同的安排方法； ②求甲同学不安排在社区的概率． 【答案】(1) (2)①② 【详解】（1）设事件表示“调查的同学恰好是男生”，事件“调查的同学来自甲班”，事件“调查的同学来自乙班”， ，， ，， 由全概率公式得： . （2）①把名同学分成三组，分组方式： 型：, 型：， 分组总数： 再分配到三个社区的安排方法数：. ②由已知甲同学安排在社区，剩余人自由的安排在三个社区安排方法共有种， 其中：甲同学安排在社区，其余人全安排到，社区安排方法有种， 甲同学安排在社区，其余人全安排到，社区安排方法有种， 甲同学安排在社区，其余人全安排到社区安排方法有种， 甲同学安排在社区且每个社区至少一人的安排方法有种， 甲不安排在社区的概率. 变式1．（25-26高一上·江西景德镇·期末）一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球2个，白球4个，现从中不放回地依次随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】第二次摸出的球是红球的事件有两种情况： 第一次摸到白球，第二次摸到红球的概率为 第一次摸到红球，第二次摸到红球的概率为 则第二次摸出的球是红球的概率为. 故选： 变式2．（25-26高二上·陕西渭南·月考）某医院有现场和在线两种挂号方式，其中现场挂号的比例为，通过调查问卷，得知的现场挂号患者对医院的服务满意，的在线挂号患者对医院的服务满意，随机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设事件A：该医院的患者现场挂号，事件B：该医院的患者对医院的服务满意， 则事件：该医院的患者在线挂号，且，，, 由全概率公式可知. 故选：A 变式3．（2026·云南大理·二模·多选）已知甲盒中有2个白球和4个红球，乙盒中有3个白球和2个红球．先从甲盒随机取出一球放入乙盒，设“从甲盒取出的球是白球”为事件，“从甲盒取出的球是红球”为事件；再从乙盒中随机取出一球，设“从乙盒取出的球是白球”为事件，“从乙盒取出的球是红球”为事件，下列说法正确的是（   ） A．，是互斥事件 B．，是独立事件 C． D． 【答案】AC 【详解】由题可知，，，，， ，， 因为，不可能同时发生，故，是互斥事件，故A正确； ，故D错误； ， 则，故，不是独立事件，故B错误； ，故C正确． 故选：AC 变式4．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末·多选）已知编号分别为1，2的两个盒子中，1号盒内装有两个1号球、一个2号球；2号盒内装有一个1号球、两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（   ） A．若将6个相同的小球放入这两个盒子内，允许有空盒子，则不同的放法有7种 B．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 C．两次都取到1号球的概率要比两次都取到2号球的概率更大 D．第二次抽到2号球的概率为 【答案】AC 【详解】若将6个相同的小球放入这两个盒子内，允许有空盒子，则不同的放法有种，故A正确； 在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为，故B错误； 两次都取到1号球的概率为， 两次都取到2号球的概率为，又 所以两次都取到1号球的概率要比两次都取到2号球的概率更大，故C正确； 第二次抽到2号球的概率为，故D错误. 故选：AC. 变式5．（25-26高二上·江西赣州·期末）赣南脐橙是江西赣南的特色农产品，某学习小组结合赣南脐橙的等级区分设计了如下概率问题进行研究：甲、乙两个筐中各装有5个大小均匀的赣南脐橙，其中甲筐中有3个特级脐橙、2个一级脐橙，乙筐中有4个特级脐橙、1个一级脐橙．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲筐中随机抽出1个脐橙；如果点数大于等于5，从乙筐中随机抽出1个脐橙，则抽到的是特级脐橙的概率是 ． 【答案】 【详解】设事件：抽到的是特级脐橙，事件：掷骰子点数小于等于4（从甲筐中抽）；事件：掷骰子点数大于等于5（从乙筐中抽）， 则，甲筐中特级脐橙的概率为，乙筐中特级脐橙的概率为. 所以，. 故答案为：. 变式6．（25-26高三上·浙江宁波·期末）甲、乙两人进行乒乓球练习，设甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，且各局练习的胜负相互独立.现进行局练习，规定胜局多者获胜，记“局练习甲获胜”的概率为，则 .（用数字作答） 【答案】 【详解】记“局练习中甲获胜场”的概率为，，故. 由全概率公式， 所以 . 故答案为： 变式7．（25-26高二上·广东汕尾·期末）汕尾文旅文创展区有8件不同的特色纪念品，其中5件是甲子贝雕书签，3件是捷胜泥塑挂件．现从中不放回依次随机取出2件作为文旅伴手礼． (1)求第二次取到捷胜泥塑挂件的概率； (2)求至少取到1件捷胜泥塑挂件的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）方法1：从8件纪念品中依次不放回取出2个，共有（种）等可能的结果， 记事件“第一次取到捷胜泥塑挂件”，事件“第二次取到捷胜泥塑挂件”， 则，且AB与互斥．           由图可知，        所以， 所以第二次取到捷胜泥塑挂件的概率为． 方法2：第二次取到捷胜泥塑挂件，有两种情况： 情况1：第一次取到甲子贝雕书签，第二次取到捷胜泥塑挂件，记其概率为，     有；           情况2：第一次取到捷胜泥塑挂件，第二次取到捷胜泥塑挂件，记其概率为，     有；                 第二次取到捷胜泥塑挂件的总概率为． （2）方法1：记“至少取到1件捷胜泥塑挂件”，则“两次都没有取到捷胜泥塑挂件”，    则， 所以，           所以，          因此至少取到1件捷胜泥塑挂件的概率为．          方法2：设取到2件甲子贝雕书签的概率为，则，    则至少取到1件捷胜泥塑挂件的概率为． 变式8．（25-26高二上·北京·期末）甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球． (1)若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率是___________． (2)若从甲袋中随机取2个，求所取的2个球中至少有一个红球的概率； (3)若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：设事件“第1次取到白球”， “第2次取到红球”， 因为甲袋装有2个红球，3个白球，从中连续抽取2次，每次取1个球， 基本事件的总数为种取法， 则，，可得， 所以在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率为. （2）解：因为甲袋装有2个红球，3个白球，从甲袋中随机取2个， 可得基本事件的总数为种取法， 设事件“所取的2个球中至少有一个红球”，则“所取的2个球中全是白球” 则，可得， 所以所取的2个球中至少有一个红球的概率. （3）解：设事件“取到的2个球中恰有1个红球”，事件“从甲袋中取到红球”， 事件“从甲袋中取到白球”， 从甲袋中取球，因为甲袋装有2个红球，3个白球，可得， 若从甲袋中取到红球放入乙袋，此时乙袋中有2个红球和2个白球， 则从乙袋中取2个球，恰有1个红球的概率为； 若从甲袋中取出白球放入乙袋，此时乙袋中有1个红球和3个白球， 则从乙袋中取2个球，恰有1个红球的概率为， 根据全概率公式，可得， 所以取到的2个球中恰有1个红球的概率为. 考点二 全概率公式与数列综合 例1．（24-25高二下·陕西西安·月考）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会.已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第次摸球抽中奖品的概率为． (1)求的值； (2)探究数列的通项公式，并求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程． 【答案】(1)， (2)，第二次，证明见解析 【详解】（1）记该顾客第次摸球抽中奖品为事件，依题意，，． . （2）因为， 所以， 所以， 所以， 又因为，则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故． 证明：当n为奇数时，， 当n为偶数时，，则随着n的增大而减小， 所以，． 综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大. 例2．（25-26高三上·广东广州·月考）某商场拟在周末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：该游戏进行10轮，若在10轮游戏中，参与者获胜5次就送2000元礼券，并且游戏结束：否则继续游戏，直至10轮结束．已知该游戏第一次获胜的概率是，若上一次获胜则下一次获胜的概率也是，若上一次失败则下一次成功的概率是．记消费者甲第次获胜的概率为，数列的前项和，且的实际意义为前次游戏中平均获胜的次数． (1)求消费者甲第2次获胜的概率； (2)证明：为等比数列；并估计要获得礼券，平均至少要玩几轮游戏才可能获奖． 【答案】(1) (2)详见解析 【详解】（1） （2） , , , 为等比数列, 且公比为；. , 因为单调递增， 当n为奇数时， ，所以得获奖至少要玩9轮. 当n为偶数时，，得奖至少要玩10轮， 所以平均至少要玩9轮才可能获奖. 例3．（2025·云南·模拟预测）在足球训练中，甲、乙、丙三人进行传球训练．每次传球按以下规则转移：当球在甲脚下时，他有的概率继续控球（不传给别人），的概率传给乙；当球在乙脚下时，他有的概率回传给甲，的概率传给丙；当球在丙脚下时，他有的概率传给甲，的概率传给乙．初始时球在甲处，每次传球是相互独立的． (1)求两次传球后球在乙处的概率，以及三次传球后球在丙处的概率； (2)记次传球后，球在甲处的概率为，在乙处的概率为． （i）证明：数列是等比数列； （ii）求和的通项公式． 【答案】(1); (2)（i）证明见解析；（ii）； 【详解】（1）两次传球后球在乙处：只有“甲→甲→乙”这一种情况.第一次甲传给甲概率是，第二次甲传给乙概率是，分步用乘法，所以概率为. 三次传球后球在丙处：只有“甲→甲→乙→丙”这一种情况.第一次甲传给甲概率，第二次甲传给乙概率，第三次乙传给丙概率，分步用乘法，概率为. （2）（i）表示次传球后球在乙处的概率，它有两种情况： 第次球在甲处，第次甲传给乙，概率为； 第次球在丙处，第次丙传给乙，概率为. 所以. 则. 又，. 所以数列是以为首项，为公比的等比数列.   （i i）由（i）可知，所以. 因为， 则， 所以，符合上式， 所以. 变式1．（24-25高三上·广西·月考）甲、乙两个口袋都装有3个小球（1个黑球和2个白球）.现从甲、乙口袋中各取1个小球交换放入另外一个口袋（即甲口袋中的小球放入乙口袋，乙口袋中的小球放入甲口袋），交换小球次后，甲口袋中恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为. (1)求，； (2)求，； (3)求数列的通项公式，并证明. 【答案】(1)， (2)， (3)，证明见解析 【详解】（1）第1次换球后甲口袋中有2个黑球，即从甲口袋取出的为白球且从乙口袋取出的为黑球，则. 第1次换球后甲口袋中有1个黑球，即从甲、乙口袋取出的同为白球或同为黑球，得. （2）若第2次换球后甲口袋中有2个黑球， 则当第1次换球后甲口袋中有1个黑球时，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球， 当第1次换球后甲口袋中有2个黑球时，第2次甲、乙口袋同取白球， 所以. 若第2次换球后甲口袋中有1个黑球， 则当第1次换球后甲口袋中有0个黑球时，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球， 当第1次换球后甲口袋中有1个黑球时，第2次甲、乙口袋同取白球或同取黑球， 当第1次换球后甲口袋中有2个黑球时，第2次甲口袋取黑球且乙口袋取白球， 所以. （3）第次换球后，甲口袋中的黑球个数为1的情形有： ①若第次换球后甲口袋中有2个黑球，则第次甲口袋取黑球且乙口袋取白球； ②若第次换球后甲口袋中有1个黑球，则第次甲、乙口袋同取黑球或同取白球； ③若第次换球后甲口袋中有0个黑球，则第次甲口袋取白球且乙口袋取黑球. 所以. 设， 则，则，得. 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列 所以，即 所以 . 变式2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”．南方的小土豆们纷纷北上体验东北最美的冬天，这个冬天火的不只是东北的美食、东北人的热情，还有东北的洗浴中心，拥挤程度堪比春运，南方游客直接拉着行李箱进入．东北某城市洗浴中心花式宠“且”，为给顾客更好的体验，推出了和两个套餐服务，顾客可自由选择和两个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该洗浴中心在App平台10天销售优惠券情况． 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量（千张） 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 0.4 经计算可得：，，． (1)因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求关于的经验回归方程（结果中的数值用分数表示）； (2)若购买优惠券的顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，并且套餐可以用一张优惠券，套餐可以用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为张的概率为，求； (3)记（2）中所得概率的值构成数列． ①求的最值； ②数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，，（是一个确定的实数），则称数列收敛于．根据数列收敛的定义证明数列收敛． 参考公式：，． 【答案】(1) (2) (3)①最大值为，最小值为；②证明见解析 【详解】（1）剔除第10天数据的， ， ，， 所以， 故，所以． （2）由题意可知， 其中， 所以， 又， 所以是首项为的常数列，故， 所以，又， 所以是以首项为，公比为的等比数列， 故，即. （3）①当为偶数时，单调递减，最大值为； 当为奇数时，单调递增，最小值为； 综上：数列的最大值为，最小值为. ②证明：对任意总存在正整数，（其中表示取整函数）， 当时，， 所以数列收敛. 变式3．（2025·辽宁大连·模拟预测）某公园有两条散步路线，分别记为路线和路线．公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和．已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为． (1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为． （ⅰ）请写出与的递推关系； （ⅱ）证明：数列为等比数列． 【答案】(1)分布列见解析， (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）记附近居民第天选择路线分别为事件， 则由题可知，， ，， ， 则由全概率公式可知居民第二天选择路线散步的概率． 记第二天选择路线散步的人数为，则， 则，， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 故的数学期望． （2）（ⅰ）当第天选择路线时，第天选择路线的概率； 当第天选择路线时，第天选择路线的概率， 故有． （ⅱ）由（ⅰ）知，设， 解得，则，由（1）知， 故数列是首项为，公比为的等比数列. 2 学科网（北京）股份有限公司 $