两个计数原理、数字排列问题、涂色问题 专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第二册

两个计数原理、数字排列问题、涂色问题专项训练 两个计数原理、数字排列问题、涂色问题专项训练 考点目录 两个计数原理 数字排列问题 涂色问题 考点一 两个计数原理 例1．（2026·陕西西安·一模）现要从6名学生中选4名代表班级参加学校接力赛，其中已经确定甲参加且跑第1棒或第4棒，乙和丙2人只能跑第2，3棒，丁不能跑第1棒.那么合适的选择方法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若甲跑第1棒，剩余3棒需要从5人中选3人安排，分为三种情况： 乙，丙均不参加，此时有种安排方案； 乙，丙有且仅有一人参加，此时有种安排方案； 乙，丙均参加，此时有种安排方案； 若甲跑第4棒，第1棒只能从去除乙，丙，丁后的2人中选择，第2,3棒从剩余的4人中安排即可，此时有种安排方案； 由分类计数原理可得，共有种安排方案. 故选：B 例2．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、2部文艺片、2部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（   ） A．12 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【详解】由分类加法计数原理，得不同的选法种数为. 故选：D 例3．（24-25高二下·重庆渝中·月考）某校举办元旦晚会，有2个语言类节目和4个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有 种排法（数字作答）. 【答案】 【详解】依题意，完成这件事共分两步完成， 第一步：从4个歌唱节目中选2个排在一头一尾有种排法； 第二步：剩下的2个语言类节目和2个唱歌节目共4个节目在中间4个位置全排有种排法， 由分步乘法计数原理得一共种排法． 故答案为：. 例4．（25-26高三上·河北衡水·期末）如果一个四位数的各位数字之和为9，则称A是一个“好数”，则“好数”的个数为 . 【答案】 【详解】设这个四位数的各位数字从最高位到最低位依次是， 则，均为整数， 设，，，， ，，， 对于方程 可将其看作是把个相同的元素分成组，每组元素个数分别对应的值， 为了使用隔板法，我们可以想象在个元素和个隔板的排列中， 隔板将元素分成组，总共有个位置，从中选个位置放隔板， 其余位置放元素，其组合数为. 故答案为：. 变式1．（25-26高二上·贵州遵义·期末）遵义市为弘扬长征精神，计划将5本不同的《红色遵义》宣传册分给甲、乙、丙三个志愿者小屋．若要求每个志愿者小屋至少得到1本，则不同的分配方法共有（    ） A．150种 B．180种 C．240种 D．300种 【答案】A 【详解】第一步：分组 将5本不同的宣传册分成3组，每组至少1本，有以下2种情况： ①3－1－1型：分组数为（种）； ②2－2－1型：分组数为（种） 合计：（种）． 第二步：分配 将分好的3组宣传册分配给甲、乙、丙三个志愿者小屋，分配方式有（种）． 根据分步乘法计数原理，得不同的分配方法共有（种）． 故选：A． 变式2．（2026·山东·一模）现把7名同学分为三个学习小组，若其中的一个小组有3人，其余两个小组各有2人，则所有不同分组方法的种数是（    ） A．210 B．175 C．105 D．70 【答案】C 【详解】由题意可以分三步计算： 1. 第一步：从7名同学中选3人组成第一组，选法数为：； 2. 第二步：从剩下的4人中选2人组成第二组，选法数为：； 3. 第三步：剩下的2人自动组成第三组，选法数为：； 因为后两个小组人数都是2人，它们之间没有顺序，所以要除以来消除重复， 即总的分组方法有. 故选：C 变式3．（2026·河北·一模）截至2025年10月28日，国际乒联公布的最新世界排名，男单前5名中有2名中国运动员，3名外国运动员，女单前5名均为中国运动员．若从这10人中随机选取4人进行技术分析，则这4人中至少有一名外国运动员，且男运动员不少于女运动员的所有不同情况有 种． 【答案】145 【详解】若这4人中有4名男运动员，则不同的选取情况共有种； 若这4人中有3名男运动员，1名女运动员，则不同的选取情况共有种， 若这4人中有2名男运动员，2名女运动员，则不同的选取情况有种， 故满足条件的所有不同情况共有种. 故答案为：145 变式4．（25-26高三上·安徽宣城·期末）现将位民警派往甲，乙，丙，丁4个学校进行“反校园欺凌”普法宣讲，每人只到1个学校，每个学校只去1人.已知民警不能去甲学校，两位民警不能去乙学校，则不同的分派方法共有 种（用数字作答）. 【答案】10 【详解】若民警去乙学校，则不同的分派方法有种， 若民警不去乙学校，则不同的分派方法有种， 综上，不同的分派方法共有种. 故答案为：10. 考点二 数字排列问题 例1．（2026·辽宁大连·模拟预测）一个五位数任意相邻两位所组成的两位数(包括00，0X)均是4的倍数，这样的五位数有（    ）个. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若五位数的形式是20×××，40×××，60×××，80×××时， 此时百位的数字可以是0,4,8中的任何一个，十位和个位数字也是0,4,8中的任何一个， 故此时共有种情况， 若五位数的形式是12×××，16×××，24×××，28×××，32×××，36×××，44×××，48×××，52×××，56×××，64×××，68×××，72×××，76×××，84×××，88×××，92×××,96×××时， 此时百位的数字可以是0,4,8中的任何一个，十位和个位数字也是0,4,8中的任何一个， 故此时共有种情况， 综上可得：符合条件的五位数共有个， 故选：A 例2．（25-26高二上·江西赣州·月考）我们称各个数位上的数字之和为6的三位数为“lucky”数，例如105和213，则所有的“lucky”数有（　　） A．48个 B．30个 C．21个 D．18个 【答案】C 【详解】当首位数字为1时，后两位相加为5，“lucky”数分别是105，150，114，141，123，132共6个； 当首位数字为2时，后两位相加为4，“lucky”数分别是204，240，213，231，222，共5个； 当首位数字为3时，后两位相加为3，“lucky”数分别是303，330，312，321，共4个； 当首位数字为4时，后两位相加为2，“lucky”数分别是402，420，411，共3个； 当首位数字为5时，后两位相加为1，“lucky”数分别是501，510，共2个； 当首位数字为6时，后两位相加为0，“lucky”数分别是600，共1个； 由分类计数原理得，共有个. 故选：C. 例3．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中·多选）下列说法正确的是（    ） A．用这6个数字，可以排成1080个可重复数字的四位数 B．用这6个数字，可以排成300个无重复数字的四位数 C．用这6个数字，可以排成144个无重复数字的四位奇数 D．用这6个数字，可以排成144个无重复数字的四位偶数 【答案】ABC 【详解】对于A，第一步，千位可以为，有5种排法， 第二步，百、十、个位有种排法， 所以可以排成个可重复数字的四位数，故A正确； 对于B，第一步，千位可以为，有5种排法； 第二步，百、十、个位有种排法， 所以可以排成个无重复数字的四位数，故B正确； 对于C，第一步，个位可以为，有3种排法； 第二步，千位有除个位和0以外的4种排法， 第三步，百、十位有种排法， 所以可以排成个无重复数字的四位奇数，故C正确； 对于D，第一种情况：当个位为0时，千､百､十位有种排法， 第二种情况：第一步，个位可以为2，4，有2种排法； 第二步，千位有除个位和0以外的4种排法， 第三步，百、十位有种排法，共有种排法， 综上所述，可以排成个无重复数字的四位偶数，故D错误. 故选：ABC. 例4．（25-26高三上·重庆·月考）从 0，1，2，3，4，5 中取出三个不同数字组成一个三位数，且这个三位数能被 15 整除，则这样的三位数有 个. 【答案】 【详解】（1）当末位数为0时，剩余数字从中选取两个不同数字作为前两位， 数字和等于前两位数字之和（因末位为0），必须能被3整除。 满足和能被3整除的配对有：， 满足能被15整除的三位数有：120，210，150，510，240，420，450，540共8个三位数； （2）当末位数为5时，剩余数字从中选取两个不同数字作为前两位，且首位不能为0， 数字和等于前两位数字之和加5，必须能被3整除， 满足和能被3整除的配对有：， 满足能被15整除的三位数有105，405，135，315，345，435共6个三位数； 综上：满足能被15整除的三位数一共有个. 故答案为：14 例5．（2025·上海嘉定·一模）、、、、是1、2、3、4、5的全排列，如果对任意的，和中至少有一个大于，则满足要求的排列的总数为 . 【答案】 【详解】因为没有比大的数，所以只能排在第一位或者第五位， 当排在第一位时，若排在第二位，此时排列可以是，，，，共种情况； 当排在第一位时，若排在第二位，此时没有比大的数，故只能排在第五位， 此时排列可以是，，共种情况； 当排在第一位时，若排在第二位，此时没有比大的数，故只能排在第五位， 此时排列可以是，共种情况； 当排在第一位时，若排在第二位，此时没有比大的数，故只能排在第五位， 此时排列可以是，共种情况； 由上可知，当排在第一位时，共有种情况， 同理可得，当排在第五位时，也有种情况满足条件， 综上所述，共有种排列满足条件， 故答案为：. 例6．（24-25高二下·天津河西·月考）用0,1,2,3,4,5这六个数字， (1)可以组成多少个数字不重复的三位数. (2)可以组成多少个数字允许重复的三位数. (3)可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数. (4)可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数. (5)可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数. 【答案】(1)100 (2)180 (3)48 (4)131 (5)175 【详解】（1）若组成的数字为数字不重复的三位数，则首位数字不为零，个位和十位的数字无限制， 所以，数字不重复的三位数个数为. （2）若组成的数字为数字允许重复的三位数，则首位数字不为零，个位和十位的数字无限制， 所以，数字允许重复的三位数的个数为个. （3）分3步： 先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法； 再选百位数字有4种选法； 十位数字也有4种选法； 由分步计数原理知所求三位数共有个 （4）若组成的数字为数字不重复的小于1000的自然数，分以下三种讨论： ①数字为个位数，共6个； ②数字为两位数，则首位不能为零，个位无限制，共个； 数字为三位数，共有100个. 综上所述，数字不重复的小于1000的自然数个数为个. （5）分4类： 千位数字为3或4时，后面三个数位上可随便选择，此时共有个； 千位数字为5，百位数字为0,1,2,3之一时，共有个； 千位数字为5，百位数字是4，十位数字为0,1之一时，共有个； ④也满足条件； 故所求四位数共有个. 变式1．（24-25高二下·河南商丘·期末）从1，2，4，5，7，8这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于7000的奇数个数是（    ）． A．24 B．36 C．60 D．120 【答案】C 【详解】因为组成的四位数大于7000，所以千位上的数字只能是7或8． 因为组成的四位数是奇数，所以个位上的数字只能是1，5或7． 若千位上的数字是7，则个位上的数字只能是1或5， 故符合题意的四位数有； 若千位数字是8，则个位上的数字是1，5成7，故符合题意的四位数有（个）． 综上，符合题意的四位数共有（个）． 故选：C． 变式2．（24-25高二下·山东威海·期末）用0，1，2，3，4可组成无重复数字的三位奇数的个数为（   ） A．48 B．36 C．24 D．18 【答案】D 【详解】用0，1，2，3，4可组成无重复数字的三位奇数个位数字有2种情况，首位数字有3种情况，十位数字有3种情况， 所以三位奇数的个数为种情况. 故选：D. 变式3．（25-26高二上·河南·月考·多选）用数字，，，，组成数字，下列说法正确的有（   ） A．可以组成个没有重复数字的三位数 B．可以组成个没有重复数字的四位奇数 C．可以组成个小于且没有重复数字的三位偶数 D．可以组成个没有重复数字且十位上的数字最大的三位数 【答案】BCD 【详解】对于A，百位上的数字有种选择，十位上的数字有种选择，个位上的数字有种选择， 由分步乘法计数原理，可以组成个没有重复数字的三位数，故A错误； 对于B，因为是奇数，所以个位上的数字有，，，共种选择， 千位上的数字有种选择，百位上的数字有种选择，十位上的数字有种选择， 由分步乘法计数原理，可以组成个没有重复数字的四位奇数，故B正确； 对于C，因为是偶数，所以个位上的数字有，，共种选择， 若个位上的数字是，因为组成的数小于，所以百位上的数字有，，，共种选择，十位上的数字有种选择， 由分步乘法计数原理，可以组成个小于且没有重复数字的三位偶数， 若个位上的数字是，因为组成的数小于，所以百位上的数字有，，共种选择，十位上的数字有种选择， 由分步乘法计数原理，可以组成个小于且没有重复数字的三位偶数． 由分类加法计数原理，可以组成个小于且没有重复数字的三位偶数，故C正确； 因为十位上的数字最大，所以十位上的数字可以是，，， 当十位上的数字是时，若个位上的数字是，则百位上的数字有种选择， 若个位上的数字不是，则个位上的数字有种选择，百位上的数字有种选择， 所以可以组成个符合要求的三位数； 当十位上的数字是时，个位和百位都有种选择，所以可以组成个符合要求的三位数， 当十位上的数字是时，符合要求的三位数只有，共个， 综上，可以组成个没有重复数字且十位上的数字最大的三位数，故D正确； 故选：BCD． 变式4．（25-26高三上·浙江·月考）用1，2，3三个数字的全体或部分构造四位数，但不允许有两个2相邻出现，则这样的四位数有 个.（用数字作答） 【答案】60 【详解】若四位数中没有2，共有个， 若四位数中有1个2，共有个， 若四位数中有2个2，共有个， 因此共有60个. 故答案为：60 变式5．（24-25高二下·广东广州·期末）用0，1，2，3这4个数字，可组成 个没有重复数字的三位数（用数字作答） 【答案】18 【详解】组成的数是三位数，故百位不能是， 百位有种选择； 百位选了一个数字后，十位还有种选择； 百位和十位各选了一个数字后，个位还有种选择； 一共可以组成没有重复数字的三位数有：（个） 故答案：. 变式6．（24-25高二下·江苏南京·月考）用0，1，2，3，…，9这十个数字． (1)可组成多少个三位数？ (2)可组成多少个无重复数字的三位数？ (3)可组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？ 【答案】(1)900； (2)648； (3)379 【详解】（1）要确定一个三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，百位不能为0，有9种选法； 第二步，确定十位数，有10种选法；第三步，确定个位数，有10种选法， 根据分步乘法计数原理，共有个. （2）要确定一个无重复数字的三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，有9种选法； 第二步，确定十位数，有9种选法；第三步，确定个位数，有8种选法， 根据分步乘法计数原理，无重复数字的三位数共有个． （3）作用题意，小于500且没有重复数字的自然数分为以下三类： 第一类，满足条件的一位自然数：有10个， 第二类，满足条件的两位自然数：有个， 第三类，满足条件的三位自然数： 第一步，确定百位数，百位数字可取1，2，3，4，有4种选法； 第二步，确定十位数，有9种选法； 第三步，确定个位数，有8种选法，根据分步乘法计数原理，有个， 所以小于500且没有重复数字的自然数共有（个）. 考点三 涂色问题 例1．（24-25高二下·四川达州·月考）某社区广场有一个如图所示的花坛，花坛有四个区域，现有5种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能种植同一种花卉，中间圆圈区域不种植花卉，则该花坛的花卉种植方案共有（    ） A．210种 B．420种 C．180种 D．260种 【答案】D 【详解】当区域1与区域3种植同一种花卉时，先种1、3，再种2、4， 由分步乘法计数原理可知，该花坛种植方案共有种； 当区域1与区域3不种植同一种花卉时，先种1、3，再种2、4， 由分步乘法计数原理可知，该花坛种植方案共有种. 故该花坛的花卉种植方案共有种. 故选：D 例2．（24-25高二下·湖南·月考）给图中五个区域染色，有4种不同的颜色可供选择，要求有公共边的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（   ） A．216种 B．192种 C．180种 D．168种 【答案】D 【详解】先对染色，有种方法，若2和3同色，则不同的染色方法有72种； 若2和3不同色，则不同的染色方法有种． 综上所述，不同的染色方法有种． 故选：D. 例3．（24-25高二下·安徽池州·期中）如图，现要用5种不同的颜色给池州市4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，且青阳与东至不能使用同一种颜色，共有（    ）种不同的着色方法. A．180 B．120 C．60 D．240 【答案】B 【详解】给青阳着色有5种不同的方法，给贵池着色有4种不同的方法，给石台着色有3种不同的方法，因为青阳与东至不能使用同一种颜色，故给东至着色有2种不同的方法， 故由分步乘法计数原理有. 故选：B. 例4．（24-25高二下·广东广州·期中）如图，对、、、、五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有 种. 【答案】 【详解】先涂区域，有种选择，再涂区域，有种选择， 接下涂、区域，若、区域颜色相同，则区域有种选择； 若、区域颜色不同，则区域有种选择，区域有种选择； 最后涂区域，有种选择， 由分类加法和分步乘法计数原理可知，不同的涂色方法种数为种. 故答案为：. 例5．（24-25高二下·天津滨海新区·月考）如图，圆的两条弦把圆分成4个部分，用5种不同的颜色给这4个部分涂色，每个部分涂1种颜色，任何相邻（有公共边）的两个部分涂不同的颜色，那么共有 种不同的涂色方法． 【答案】260 【详解】第一步给涂色，有5种方法； 第二步给涂色，有4种方法； 第三步给和涂色，分2类：当与的颜色相同时，涂色方法为种； 当与颜色不同时，涂色方法有种，故共有种. 由分步计数原理，总共方法数为种. 故答案为：260. 例6．（24-25高二下·江苏南京·月考）如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有 种． 【答案】420 【详解】先布置中心区域A共有5种方法，从B开始沿逆时针方向进行布置四周的区域， 则B有4种布置方法，C有3种布置方法． 如果D与B选用同一种菊花，则E有3种布置方法； 如果D与B选用不同种类菊花，则D有2种布置方法，E有2种布置方法． 按照分步乘法与分类加法计数原理， 则全部的布置方法有（种）. 故选：420． 变式1．（24-25高二下·河北沧州·期中）对图中个区域涂色，有种不同的颜色可供选择（不一定每种颜色都使用），要求每个区域涂种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【详解】先涂区域，有种选择，再涂区域、、、，各有种选择， 故不同的涂色方法有种. 故选：B. 变式2．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现用4种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有多少种（      ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分4步进行分析： ①，对于区域，有4种颜色可选； ②，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选； ③，对于区域，与、区域相邻，有2种颜色可选； ④，对于区域、，若与颜色相同，区域有2种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有1种颜色可选，区域有1种颜色可选， 则区域、有种选择， 则不同的涂色方案有种. 故选：A 变式3．（24-25高二下·山东·期中）现有6种不同的颜色给图中的四块区域涂色，若每个区域涂一种颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（   ） A．400种 B．460种 C．480种 D．496种 【答案】C 【详解】当使用4种颜色时，不同的涂法有种方法； 当使用3种颜色时，不同的涂法有种方法； 所以不同的涂法共有种. 故选：C. 变式4．（25-26高二上·江西景德镇·期末）在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成，，，四个区域，现有牡丹、芍药、月季三种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有 种. 【答案】18 【详解】区域种同一种花，不同的种植方法有：； 区域种不同的花，不同的种植方法有：； 由分类加法计数原理可得，共有18种方法. 故答案为：18 变式5．（24-25高二下·福建厦门·月考）如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，…，8.现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有 种． 【答案】630 【详解】涂色问题  根据题意，只需确定区域1，2，3，4的颜色，即可确定整个伞面的涂色情况． 先涂区域1，有6种选择，再涂区域2，有5种选择， 当区域3与区域1涂的颜色不同时，区域3有4种选择，剩下的区域4有4种选择； 当区域3与区域1涂的颜色相同时，剩下的区域4有5种选择． 故不同的涂色方案有（种）． 故答案为：630. 变式6．（24-25高二下·安徽·月考）某学校为培养学生的动手能力、合作能力和环保意识，在新的学期建立了一块劳动基地（形状如图），并进行花卉种植活动．现有4种不同的花卉，在基地的5个区域种植，只要求相邻区域种植不同的花卉，则不同的种植方法共有 种． 【答案】72 【详解】依题意可按照的顺序分为5步进行种植， 则区域1，2，3各有4种、3种、2种不同的花卉供选择， 若区域4与区域2种植相同的花卉，则区域4有一种选择，区域5有2种； 若区域4与区域2种植不同的花卉，则区域4有一种选择，区域5有1种； 再由分类分步计数原理计算可得. 故答案为：72 2 学科网（北京）股份有限公司 $两个计数原理、数字排列问题、涂色问题专项训练 两个计数原理、数字排列问题、涂色问题专项训练 考点目录 两个计数原理 数字排列问题 涂色问题 考点一 两个计数原理 例1．（2026·陕西西安·一模）现要从6名学生中选4名代表班级参加学校接力赛，其中已经确定甲参加且跑第1棒或第4棒，乙和丙2人只能跑第2，3棒，丁不能跑第1棒.那么合适的选择方法种数为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、2部文艺片、2部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（   ） A．12 B．9 C．8 D．7 例3．（24-25高二下·重庆渝中·月考）某校举办元旦晚会，有2个语言类节目和4个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有 种排法（数字作答）. 例4．（25-26高三上·河北衡水·期末）如果一个四位数的各位数字之和为9，则称A是一个“好数”，则“好数”的个数为 . 变式1．（25-26高二上·贵州遵义·期末）遵义市为弘扬长征精神，计划将5本不同的《红色遵义》宣传册分给甲、乙、丙三个志愿者小屋．若要求每个志愿者小屋至少得到1本，则不同的分配方法共有（    ） A．150种 B．180种 C．240种 D．300种 变式2．（2026·山东·一模）现把7名同学分为三个学习小组，若其中的一个小组有3人，其余两个小组各有2人，则所有不同分组方法的种数是（    ） A．210 B．175 C．105 D．70 变式3．（2026·河北·一模）截至2025年10月28日，国际乒联公布的最新世界排名，男单前5名中有2名中国运动员，3名外国运动员，女单前5名均为中国运动员．若从这10人中随机选取4人进行技术分析，则这4人中至少有一名外国运动员，且男运动员不少于女运动员的所有不同情况有 种． 变式4．（25-26高三上·安徽宣城·期末）现将位民警派往甲，乙，丙，丁4个学校进行“反校园欺凌”普法宣讲，每人只到1个学校，每个学校只去1人.已知民警不能去甲学校，两位民警不能去乙学校，则不同的分派方法共有 种（用数字作答）. 考点二 数字排列问题 例1．（2026·辽宁大连·模拟预测）一个五位数任意相邻两位所组成的两位数(包括00，0X)均是4的倍数，这样的五位数有（    ）个. A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·江西赣州·月考）我们称各个数位上的数字之和为6的三位数为“lucky”数，例如105和213，则所有的“lucky”数有（　　） A．48个 B．30个 C．21个 D．18个 例3．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中·多选）下列说法正确的是（    ） A．用这6个数字，可以排成1080个可重复数字的四位数 B．用这6个数字，可以排成300个无重复数字的四位数 C．用这6个数字，可以排成144个无重复数字的四位奇数 D．用这6个数字，可以排成144个无重复数字的四位偶数 例4．（25-26高三上·重庆·月考）从 0，1，2，3，4，5 中取出三个不同数字组成一个三位数，且这个三位数能被 15 整除，则这样的三位数有 个. 例5．（2025·上海嘉定·一模）、、、、是1、2、3、4、5的全排列，如果对任意的，和中至少有一个大于，则满足要求的排列的总数为 . 例6．（24-25高二下·天津河西·月考）用0,1,2,3,4,5这六个数字， (1)可以组成多少个数字不重复的三位数. (2)可以组成多少个数字允许重复的三位数. (3)可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数. (4)可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数. (5)可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数. 变式1．（24-25高二下·河南商丘·期末）从1，2，4，5，7，8这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于7000的奇数个数是（    ）． A．24 B．36 C．60 D．120 变式2．（24-25高二下·山东威海·期末）用0，1，2，3，4可组成无重复数字的三位奇数的个数为（   ） A．48 B．36 C．24 D．18 变式3．（25-26高二上·河南·月考·多选）用数字，，，，组成数字，下列说法正确的有（   ） A．可以组成个没有重复数字的三位数 B．可以组成个没有重复数字的四位奇数 C．可以组成个小于且没有重复数字的三位偶数 D．可以组成个没有重复数字且十位上的数字最大的三位数 变式4．（25-26高三上·浙江·月考）用1，2，3三个数字的全体或部分构造四位数，但不允许有两个2相邻出现，则这样的四位数有 个.（用数字作答） 变式5．（24-25高二下·广东广州·期末）用0，1，2，3这4个数字，可组成 个没有重复数字的三位数（用数字作答） 变式6．（24-25高二下·江苏南京·月考）用0，1，2，3，…，9这十个数字． (1)可组成多少个三位数？ (2)可组成多少个无重复数字的三位数？ (3)可组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？ 考点三 涂色问题 例1．（24-25高二下·四川达州·月考）某社区广场有一个如图所示的花坛，花坛有四个区域，现有5种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能种植同一种花卉，中间圆圈区域不种植花卉，则该花坛的花卉种植方案共有（    ） A．210种 B．420种 C．180种 D．260种 例2．（24-25高二下·湖南·月考）给图中五个区域染色，有4种不同的颜色可供选择，要求有公共边的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（   ） A．216种 B．192种 C．180种 D．168种 例3．（24-25高二下·安徽池州·期中）如图，现要用5种不同的颜色给池州市4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，且青阳与东至不能使用同一种颜色，共有（    ）种不同的着色方法. A．180 B．120 C．60 D．240 例4．（24-25高二下·广东广州·期中）如图，对、、、、五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有 种. 例5．（24-25高二下·天津滨海新区·月考）如图，圆的两条弦把圆分成4个部分，用5种不同的颜色给这4个部分涂色，每个部分涂1种颜色，任何相邻（有公共边）的两个部分涂不同的颜色，那么共有 种不同的涂色方法． 例6．（24-25高二下·江苏南京·月考）如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有 种． 变式1．（24-25高二下·河北沧州·期中）对图中个区域涂色，有种不同的颜色可供选择（不一定每种颜色都使用），要求每个区域涂种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 变式2．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现用4种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有多少种（      ）    A． B． C． D． 变式3．（24-25高二下·山东·期中）现有6种不同的颜色给图中的四块区域涂色，若每个区域涂一种颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（   ） A．400种 B．460种 C．480种 D．496种 变式4．（25-26高二上·江西景德镇·期末）在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成，，，四个区域，现有牡丹、芍药、月季三种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有 种. 变式5．（24-25高二下·福建厦门·月考）如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，…，8.现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有 种． 变式6．（24-25高二下·安徽·月考）某学校为培养学生的动手能力、合作能力和环保意识，在新的学期建立了一块劳动基地（形状如图），并进行花卉种植活动．现有4种不同的花卉，在基地的5个区域种植，只要求相邻区域种植不同的花卉，则不同的种植方法共有 种． 2 学科网（北京）股份有限公司 $