专题2.1 一元二次方程和它的解重难点题型专训（5个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

本讲义聚焦一元二次方程的定义、一般形式及解（根）三大核心知识点，通过即时训练、经典例题搭建学习支架，从概念辨析到参数求解再到解的估算，形成递进式知识脉络。 资料以6大基础题型+2大拓展训练分层设计，结合“换根法”等方法培养抽象能力与推理意识，融入物理情境题提升应用意识。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生自我检测、查漏补缺。

专题2.1 一元二次方程和它的解重难点题型专训 （3个知识点+6大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 一元二次方程的定义 题型二 由一元二次方程的定义求参数 题型三 判断是否是一元二次方程的解 题型四 由一元二次方程的解求参数 题型五 一元二次方程的解的估算 题型六 化成一元二次方程的一般式 拓展题型一 一元二次方程定义与解 拓展题型二 一元二次方程相关求参数问题 知识点一：一元二次方程的定义 1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 例如：=2，，，，均不是一元二次方程. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·湖南永州·期末）方程中，，，是一元二次方程有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 知识点二：一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式是()，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时,得(). 【即时训练】 1.（24-25八年级下·山东潍坊·期末）下列四个方程①x2﹣9=0；②（2x+1）（2x﹣1）=0；③x2=0；④=1中，不是一元二次方程的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 2.（24-25八年级下·广西梧州·期中）下列各式中，不是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 知识点三：一元二次方程的解（根） 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若，是一元二次方程()的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：()，(). 【即时训练】 1．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025八年级下·全国·专题练习）写出一个关于的一元二次方程，使其二次项系数为1，有一根为2，则这个方程可以是________． 【经典例题一 一元二次方程的定义】 【例1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·上海松江·期末）写出满足条件的一元二次方程，使这个方程的二次项系数是1，常数项是6，其中一个根是，满足条件的方程是______． 1．（25-26八年级下·全国·期中）下列方程中，一元二次方程有（    ）． ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）是关于x的一元二次方程，则m的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·湖南邵阳·期中）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么_____． 4．（25-26八年级下·全国·单元测试）方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 【经典例题二 由一元二次方程的定义求参数】 【例1】（25-26八年级下·云南保山·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·四川成都·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 1．（22-23八年级下·云南昭通·期末）方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河南新乡·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则实数m的值为（   ） A．3 B． C． D．9 3．（25-26八年级下·天津滨海新区·月考）若关于x的方程是一元二次方程，则______． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）若方程是关于的一元二次方程，求的值． 【经典例题三 判断是否是一元二次方程的解】 【例1】（25-26八年级下·全国·单元测试）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【例2】（25-26八年级下·山东德州·月考）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程的两根之和为______． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的两条一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为， 乙同学：若方程有公共解，则公共解为，， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 2．（25-26八年级下·山西晋中·期中）下表是某同学求代数式（为常数，且）的值的情况．根据表格中的数据，可知关于的一元二次方程的一个根为（   ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 0 3 8 15 ．．． A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24八年级下·山东青岛·月考）在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 4．（25-26八年级下·全国·期末）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 【经典例题四 由一元二次方程的解求参数】 【例1】（25-26八年级下·江西·开学考试）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（   ） A． B．0 C． D．1 【例2】（25-26八年级下·福建泉州·期末）若一元二次方程的一个根是，则的值是______． 1．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如果一元二次方程满足，那么，我们称这个方程为“凤凰方程”，已知是“凤凰”方程且有一个解为，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D． 2．（25-26八年级下·广东佛山·月考）若是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江西南昌·月考）在一个物理实验中，有一个电路的电阻变化规律可以用方程来描述，其中表示电阻值（单位：欧姆）．若是该方程的一个根，现在要计算一个与该电阻相关的电学量的值（该电学量的单位是焦耳），求这个值是____________． 4．（25-26八年级下·北京·开学考试）已知是方程的一个根，求代数式的值． 【经典例题五 一元二次方程的解的估算】 【例1】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）根据下面表格中列出来的数据，你猜想方程有一个根大约是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·甘肃张掖·开学考试）在估算一元二次方程的根时，小晗列表如表： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 由此可估算方程的一个根x的范围是______． 1．（22-23八年级下·山东青岛·月考）输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表： 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 3.44 9.21 分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山西太原·月考）我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（　　） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·安徽宿州·月考）根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解x的取值范围是________． 4．（23-24八年级下·山西吕梁·月考）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【经典例题六 化成一元二次方程的一般式】 【例1】（24-25八年级下·全国·单元测试）将方程化成一元二次方程的一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·全国·周测）一元二次方程化为一般形式时的常数项是____________． 1．（25-26八年级下·河南平顶山·期末）一元二次方程的一次项系数为（    ） A． B． C．2 D． 2．（25-26八年级下·广东广州·期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（    ） A．1，，3 B．1，5， C．，5，3 D．，， 3．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)关于x的方程． 【拓展训练一 一元二次方程定义与解】 【例1】（25-26八年级下·山东德州·期末）若是方程的一个根，则的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 【例2】（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程： 的解是_______． 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 1．（25-26八年级下·福建福州·月考）已知实数，满足，（），则的值是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）两个关于的一元二次方程与，其中是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·四川内江·月考）已知m，n是方程的两根，则＝________． 4．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）请阅读下面材料：对于一个一元二次方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．具体解题过程如下：设所求方程的根为，则，有，把代入已知方程，有即，整理得．这种方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式且二次项系数是正整数） (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．则所求方程为________； (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．则所求方程为________； (3)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大． 【拓展训练二 一元二次方程相关求参数问题】 【例1】（25-26八年级下·重庆·月考）若是关于的方程的解，则的值是（    ） A．2020 B．2022 C．2021 D．2024 【例2】（22-23八年级下·山东青岛·月考）若关于的一元二次方程 有一根为0，则的值为______． 1．（24-25八年级下·福建福州·月考）定义：由，构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，是关于的方程的根，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）设关于x的一元二次方程的两根为，记，则的值为（   ） A．0 B．2024 C．2025 D．2026 3．（24-25八年级下·北京西城·阶段练习）关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 4．（2026·江苏南通·模拟预测）计算： (1)计算：． (2)解不等式组并把解集在如图所示的数轴上表示出来． (3)已知关于x的一元二次方程有一根是，求m的值． (4)先化简然后从，0，1，2中选一个合适的数的值代入求值． 1．（25-26八年级下·浙江杭州·开学考试）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广东湛江·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m应满足的条件是（　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·甘肃张掖·期末）若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 5．（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）若m是方程的一个根，则的值为（   ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 6．（25-26八年级下·福建泉州·期末）若关于的方程（）有一个实数根为，则方程（）必有实数根为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）若为一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·江苏南通·期末）根据下列表格中的对应值，判断关于的方程（）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·云南昭通·期末）一元二次方程化成一般形式，它的一次项系数与常数项的和为（    ） A． B．1 C． D．4 10．（25-26八年级下·河南南阳·月考）已知a是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D．2024 11．（25-26八年级下·陕西西安·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 12．（25-26八年级下·重庆南岸·期中）若是方程的一个根，则______． 13.（25-26八年级下·广西崇左·月考）先化简，再求值：，其中a是方程的解． 14．（25-26八年级下·广西崇左·月考）关于x的二次三项式，满足下表中的对应关系：则一元二次方程的两个整数根是_____________． x … 0 1 2 4 5 … … 16 7 7 16 … 15．（25-26八年级下·北京·月考）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为________． 16．（24-25八年级下·全国·随堂练习）若关于x的方程是一元二次方程，求m的值． 17． （25-26八年级下·北京海淀·期中）已知是方程的一个根，求代数式的值． 18． （25-26八年级下·广东广州·期中）定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为 （填序号）． (2)已知关于x的一元二次方程）是“黄金方程”，求代数式的最小值． 19．（25-26八年级下·福建泉州·月考）关于的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式．现列表探究的变形： 变形 回答下列问题： (1)表格中t的值为______； (2)观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为______； (3)记的两个变形为和，求的值． 20．（25-26八年级下·山西长治·期中）阅读与思考 下面是小康同学的学习笔记的部分内容，请你认真阅读，并完成相应的任务． “相似系”一元二次方程 【概念理解】在一元二次方程中，当时，我们把这样的一元二次方程称为“相似系”一元二次方程．例如，一元二次方程就是“相似系”一元二次方程． 【问题1】若关于的一元二次方程是“相似系”一元二次方程，则▲． 【问题2】若关于的方程为“相似系”一元二次方程，且它的一个根为，求出的值． 解：方程为“相似系”一元二次方程， ， …… 任务： (1)问题1中，“▲”应填写_____． (2)补全问题2中剩余部分的解答过程． (3)已知（）的三边分别是，，，且关于的方程为“相似系”一元二次方程．求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 一元二次方程和它的解重难点题型专训 （3个知识点+6大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 一元二次方程的定义 题型二 由一元二次方程的定义求参数 题型三 判断是否是一元二次方程的解 题型四 由一元二次方程的解求参数 题型五 一元二次方程的解的估算 题型六 化成一元二次方程的一般式 拓展题型一 一元二次方程定义与解 拓展题型二 一元二次方程相关求参数问题 知识点一：一元二次方程的定义 1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 例如：=2，，，，均不是一元二次方程. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·湖南永州·期末）方程中，，，是一元二次方程有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，即只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式方程，逐个判断每个方程是否符合即可． 【详解】解：1．对于方程 ∵整理为一般式为，满足只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程 ∴是一元二次方程． 2．对于方程 ∵整理为一般式为，满足只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程 ∴是一元二次方程． 3．对于方程 ∵展开整理得，化简为，满足只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程 ∴是一元二次方程． 4．对于方程 ∵展开整理得，移项合并同类项得，未知数最高次数为1 ∴不是一元二次方程． 综上，是一元二次方程的有3个． 故选：C． 2．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且． 解得． 故答案为：． 知识点二：一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式是()，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时,得(). 【即时训练】 1.（24-25八年级下·山东潍坊·期末）下列四个方程①x2﹣9=0；②（2x+1）（2x﹣1）=0；③x2=0；④=1中，不是一元二次方程的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【详解】试题分析：根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 解：①x2﹣9=0是一元二次方程； ②（2x+1）（2x﹣1）=0是一元二次方程； ③x2=0是一元二次方程； ④=1不是一元二次方程； 故选D． 2.（24-25八年级下·广西梧州·期中）下列各式中，不是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A．是一元二次方程，故选项不符合题意； B．是二元一次方程，故选项符合题意； C．是一元二次方程，故选项不符合题意； D．是一元二次方程，故选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 知识点三：一元二次方程的解（根） 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若，是一元二次方程()的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：()，(). 【即时训练】 1．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键．根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵一元二次方程，，，满足，， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是，． 故选：D． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）写出一个关于的一元二次方程，使其二次项系数为1，有一根为2，则这个方程可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的解，根据一元二次方程二次项系数为1和有一根为2的条件，通过设另一根为1，利用因式分解构造方程即可． 【详解】解：由于二次项系数为1，且有一根为，可设另一根为， 则方程为，展开得， 取，得， 故答案为：（答案不唯一）． 【经典例题一 一元二次方程的定义】 【例1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的三个判定条件：只含有一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，逐一判断选项即可． 【详解】A选项，原方程整理为，同时满足三个条件，是一元二次方程． B选项，方程分母中含有未知数，不是整式方程，不满足条件，排除． C选项，原方程展开整理得，含有两个未知数，不满足条件，排除． D选项，未知数的最高次数为3，不满足条件，排除． 【例2】（25-26八年级下·上海松江·期末）写出满足条件的一元二次方程，使这个方程的二次项系数是1，常数项是6，其中一个根是，满足条件的方程是______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，构造一元二次方程，根据一元二次方程的一般形式 ，设方程为，代入已知根求解的值． 【详解】解：设一元二次方程为， 将根代入方程， 得，即， 整理得， 解得 ， 故方程为． 故答案为：． 1．（25-26八年级下·全国·期中）下列方程中，一元二次方程有（    ）． ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的概念，掌握好一元二次方程的定义与注意点是解题关键． 判断一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数、未知数的最高次数为2、方程为整式方程（分母不含未知数），逐一检查每个方程是否符合条件． 【详解】解： ① ：未明确，若则不是二次方程，故不满足； ② ：分母含未知数，不是整式方程，故不满足； ③ ：展开得 ，最高次数为3，故不满足； ④ ：分母含未知数，不是整式方程，故不满足； ⑤ ：含两个未知数x和y，故不满足； ⑥ ：展开得 ，最高次数为4，故不满足； ⑦ ：满足一元二次方程条件，故满足； ⑧ ：满足一元二次方程条件，故满足． ∴ 只有⑦和⑧是一元二次方程，共2个． 故选：C． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）是关于x的一元二次方程，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得到，求解即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， 解得：， 故选：A． 3．（25-26八年级下·湖南邵阳·期中）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据“同族二次方程”的定义，两个方程具有相同的和，因此将第二个方程化为与第一个方程相同的形式，通过比较系数求解和的值即可． 【详解】解：由第一个方程得，． 第二个方程应等价于． 展开右边：． 比较系数：一次项系数：，常数项：． 由常数项得，代入一次项系数得，解得． 因此． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·全国·单元测试）方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元一次方程的定义，掌握其定义是解决此题的关键． （1）只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求出的值即可； （2）只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：方程是一元二次方程， ， ； （2）解：当时，原方程为，是一元一次方程，符合题意； 当时， 方程， ， ； 综上所述，或． 【经典例题二 由一元二次方程的定义求参数】 【例1】（25-26八年级下·云南保山·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题关键，根据二次项系数非零列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴， 故选：A． 【例2】（25-26八年级下·四川成都·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义可得且，解之即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 1．（22-23八年级下·云南昭通·期末）方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为零． 根据一元二次方程的定义，x的最高次数为2且二次项系数不为0，因此需满足且． 【详解】∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，即，解得或. 又∵二次项系数， ∴， ∴． 故选：D． 2．（25-26八年级下·河南新乡·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则实数m的值为（   ） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查“一元二次方程的定义”，掌握一元二次方程的特征求出参数的值，并排除会令二次项系数为0的值是解题关键． 根据一元二次方程的定义，要求方程中未知数的最高次数为2且二次项系数不为零，解出m的值即可． 【详解】∵ 方程 是一元二次方程， ∴ 的最高次数 ， 解得 ，， 又∵ 二次项系数 ， 当 时，，不符合要求； 当 时，，符合要求， ∴ 实数 的值为 ． 故选：B． 3．（25-26八年级下·天津滨海新区·月考）若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般式为．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0． 【详解】解：由一元二次方程的定义，得且． 解方程，得． 即． 当时，，不符合二次项系数不为0的条件； 当时，，符合条件． 故答案为：1． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）若方程是关于的一元二次方程，求的值． 【答案】的值为2或3或4 【分析】本题考查了一元二次方程的定义的应用，能理解一元二次方程的定义是解此题的关键． 分三种情况讨论，求出的值即可． 【详解】解：分以下三种情况讨论： ①当时，方程是一元二次方程，解得；此时方程化为，二次项系数为，符合题意； ②当时，方程是一元二次方程，解得；此时方程化为，二次项系数为，符合题意； ③当时，即，此时方程的二次项系数为，符合题意． 综上所述，的值为或或． 【经典例题三 判断是否是一元二次方程的解】 【例1】（25-26八年级下·全国·单元测试）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，通过变形将所求方程转化为与已知方程形式一致的式子，利用已知方程的解来求解新方程的根是解题关键． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵关于x的一元二次方程有一根为， ∴ ∴． ∴一元二次方程必有一根为． 故选：C． 【例2】（25-26八年级下·山东德州·月考）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程的两根之和为______． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的解，通过观察表格数据，当取特定值时，表达式 的值等于6，这些x值即为方程 的根，再计算两根之和，即可作答． 【详解】解：由表格可知，当时，； 当时，， ∵， ∴ 故一元二次方程的两根为， 则， 故答案为：1 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的两条一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为， 乙同学：若方程有公共解，则公共解为，， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据方程的解的定义可知是的解，则有，因为，方程两边同时乘以，可得：，所以方程一定有一个解为，所以可知甲同学的观点正确；如果方程有公共解，则有，可得解为：或，即这两个方程的公共解是或中的一个． 【详解】解：是的解， 方程两边同时乘以， 可得：， 方程一定有一个解为， 故甲同学的观点正确； 方程有公共解， ， 整理得：， 方程的公共解为：或， 故乙同学的观点正确． 故选：C． 2．（25-26八年级下·山西晋中·期中）下表是某同学求代数式（为常数，且）的值的情况．根据表格中的数据，可知关于的一元二次方程的一个根为（   ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 0 3 8 15 ．．． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查代数式的值与方程的解，理解表格信息，掌握方程与解的关系是解题的关键． 通过表格数据，分析当x取不同值时，的值，代入方程观察方程是否成立，即可求解． 【详解】解：根据表格可知， A、当时，，可得，故不是方程的根，选项A不符合题意， B、当时，，可得，故是方程的根，选项B符合题意， C、当时，，可得，故不是方程的根，选项C不符合题意， D、当时，，可得，故不是方程的根，选项D不符合题意． 故选：B． 3．（23-24八年级下·山东青岛·月考）在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 【答案】 【详解】解：依题意，当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 所以这个方程的根为，． 4．（25-26八年级下·全国·期末）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查利用“换根法”求解一元二次方程相关的问题，通过设新方程的根与原方程的根的关系，进行化简和求值是解题的关键． （1）根据“换根法”，利用新方程的根与原方程的根之间的关系，代入原方程即可； （2）将方程进行变形为，利用换元法，假设，由此方程变形为，根据题意可知的根，故可求出的值，为方程的根． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，根据题意，是原方程根的相反数，因此， 即， 代入原方程， 得：， 则． （2）解：，； ∵， ∴移项得， ， 设，则方程变为， 故的根为和， 当时，，解得； 当时，，解得； 则方程的两个根是，． 【经典例题四 由一元二次方程的解求参数】 【例1】（25-26八年级下·江西·开学考试）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【详解】解：∵ 是一元二次方程的一个根， ∴ 将代入方程得 ， 整理得 ， 解得 ． 【例2】（25-26八年级下·福建泉州·期末）若一元二次方程的一个根是，则的值是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 整理得 解得． 1．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如果一元二次方程满足，那么，我们称这个方程为“凤凰方程”，已知是“凤凰”方程且有一个解为，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解． 根据凤凰方程的定义得，根据方程且有一个解为得，通过加减消元即可求解． 【详解】解：∵方程是凤凰方程， ∴． ∵是方程的解， ∴，即． 将两式相加：，得 ， ∴，即． 将两式相减：，得 ， ∴． 故且， 故选C． 2．（25-26八年级下·广东佛山·月考）若是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，解题关键是利用方程根的性质将整体代换为1进行计算． 利用一元二次方程根的定义，得到，然后整体代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， ． 故选：C． 3．（25-26八年级下·江西南昌·月考）在一个物理实验中，有一个电路的电阻变化规律可以用方程来描述，其中表示电阻值（单位：欧姆）．若是该方程的一个根，现在要计算一个与该电阻相关的电学量的值（该电学量的单位是焦耳），求这个值是____________． 【答案】2024 【分析】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意易得：，从而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：2024． 4．（25-26八年级下·北京·开学考试）已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】11 【分析】将代入方程中，得，再化简，得到，最后代入数值6，即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， ， ， ， ． 【经典例题五 一元二次方程的解的估算】 【例1】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）根据下面表格中列出来的数据，你猜想方程有一个根大约是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的近似解．观察表格数据，可得当时，的值为负，当时，的值为正，从而得到方程根在和之间，即可求解． 【详解】解：∵ 当时，； 当时，； ∴ 方程根在和之间． 故选：C 【例2】（25-26八年级下·甘肃张掖·开学考试）在估算一元二次方程的根时，小晗列表如表： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 由此可估算方程的一个根x的范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答． 【详解】解：由表可知， 当时，， 当时，， ∴方程的一个根x的范围是． 故答案为：． 1．（22-23八年级下·山东青岛·月考）输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表： 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 3.44 9.21 分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由表格可知， 当时，，即， 当时，，即， ∴时，． 2．（25-26八年级下·山西太原·月考）我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（　　） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查求一元二次方程的近似解，通过观察表格数据，找到使的值等于100的x的范围．当时，值为99.41小于100；当时，值为100.84大于100，因此解在1.1和1.2之间． 【详解】解：∵方程， ∴． 由表格： 当时，， 当时，， ∴在和之间，值从99.41增加到100.84，必然经过100， ∴方程的一个解在范围内． 故选：B． 3．（25-26八年级下·安徽宿州·月考）根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解x的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断有一个根满足． 【详解】解：∵时，， 时，， ∴，在内有一个解， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·山西吕梁·月考）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1），，，，（2） 【分析】 （1）第一步: 代入及, 可求出的值, 进而可得出;第二步: 根据及时, 的值，进而可得出； （2）由的结论, 可得出的值约为. 【详解】 解：（1）第一步: 当时, ， 当时, , ∴； 第二步: 当时,， 当时,， ∴ . 故答案为：，，，； （2）通过以上探索,的值约为. 【点睛】 本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是解题的关键. 【经典例题六 化成一元二次方程的一般式】 【例1】（24-25八年级下·全国·单元测试）将方程化成一元二次方程的一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，先利用完全平方公式展开方程左边，再通过移项将方程化为一元二次方程的一般形式（）即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴原方程可化为， 移项得， 合并常数项得， 故选：． 【例2】（25-26八年级下·全国·周测）一元二次方程化为一般形式时的常数项是____________． 【答案】 【分析】将方程左边展开，移项整理成一元二次方程的一般形式，即可得到常数项． 【详解】解：方程左边展开：， 原方程化为：， 移项得：， 合并同类项：， 所以一般形式为 ， 常数项为 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题关键是先展开、再移项合并，将方程整理为的标准形式，从而确定常数项． 1．（25-26八年级下·河南平顶山·期末）一元二次方程的一次项系数为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题关键． 将方程化为标准形式 ，即可识别一次项系数． 【详解】解：方程 移项，得 ， ∴ 一次项系数为， 故选：B． 2．（25-26八年级下·广东广州·期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（    ） A．1，，3 B．1，5， C．，5，3 D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．根据一元二次方程一般形式中二次项系数、一次项系数、常数项的定义进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为1，，3， 故选：A． 3．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；将方程化为一般形式，根据不含一次项的条件，令一次项系数为零，且二次项系数不为零，求解． 【详解】解：原方程化为一般形式：， 即， 由于不含一次项，则一次项系数，且二次项系数． 解，得． 由，得， 故． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)关于x的方程． 【答案】(1)，二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是0 (2)，二次项系数是，一次项系数是，常数项是 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本题的关键． （1）先去分母，再移项、合并同类项为，从而可得答案； （2）先移项，再合并同类项可得，从而可得答案． 【详解】（1） 解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是0； （2） 移项、合并同类项得：， 二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 【拓展训练一 一元二次方程定义与解】 【例1】（25-26八年级下·山东德州·期末）若是方程的一个根，则的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根，以及代数式求值，利用方程根的性质，将、表示出来，然后代入表达式化简计算，即可解题． 【详解】解：∵ a是方程的根， ∴，即， ∴， ∴． 故选：A． 【例2】（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程： 的解是_______． 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解题的关键是正确理解方程的解是使方程左右两边相等的x的值；先把一元二次方程变形，进而即可得到答案； 【详解】解：， 变形可得：， 根据表格可知∶当或时，， ∴的解为， 即的解是； 故答案为：． 1．（25-26八年级下·福建福州·月考）已知实数，满足，（），则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 设，则，进而得到，即是方程的根，进而得到是方程的根，由得到，根据可知，是方程的两个根，则或，排除，进而根据计算即可． 【详解】解：设，则， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴是方程的根， ∵， ∴是方程的根， ∵， ∴两边同时除以得， 即， ∵， ∴ ∵ ∴，是方程的两个根， ∵是方程的根， ∴或， 当时，，不成立； 当时， ． 故选：D． 2．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）两个关于的一元二次方程与，其中是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解及定义，由题意可得，进而由方程得，，又由是方程的一个根， 可得，即得，即可得是方租的一个根，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵是方程的一个根， ∴是方程的一个根， ∴， ∴， ∴是方程的一个根， 即是方程的一个根， 故选：． 3．（24-25八年级下·四川内江·月考）已知m，n是方程的两根，则＝________． 【答案】8 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，掌握一元二次方程的解是解题的关键． 根据，是一元二次方程的两个数根，可得，，则有，，然后代入求解即可． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根， ，， ，， ，， ． 故答案为：8． 4．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）请阅读下面材料：对于一个一元二次方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．具体解题过程如下：设所求方程的根为，则，有，把代入已知方程，有即，整理得．这种方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式且二次项系数是正整数） (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．则所求方程为________； (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．则所求方程为________； (3)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握“换根法”是解题的关键． （）仿照阅读材料方法解答即可； （）仿照阅读材料方法解答即可； （）仿照阅读材料方法解答即可； 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则， ∴， 把代入已知方程，得，即， 整理得，， 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则， ∴， 把代入已知方程，得，即， 整理得，， 故答案为：； （3）解：设所求方程的根为，则， ∴， 把代入已知方程，得， 整理得，， ∴所求方程为． 【拓展训练二 一元二次方程相关求参数问题】 【例1】（25-26八年级下·重庆·月考）若是关于的方程的解，则的值是（    ） A．2020 B．2022 C．2021 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，注意整体思想的运用． 将 代入方程，求出 的值，再整体代入所求表达式计算． 【详解】解：是方程的解， ， ． ． 故选： B． 【例2】（22-23八年级下·山东青岛·月考）若关于的一元二次方程 有一根为0，则的值为______． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程的定义得到，再利用方程的解的定义，将代入已知方程，列出关于的方程，求解后结合二次项系数不为0的条件确定的值； 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一根为0， ∴将代入方程得： ， 即， 因式分解得， 解得或， 又∵一元二次方程的二次项系数不能为0，即，得， ∴的值为2． 1．（24-25八年级下·福建福州·月考）定义：由，构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，是关于的方程的根，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题在新定义的基础上，考查了解二元一次方程组，一元二次方程的解，求代数式的值等知识，解决问题的关键是利用降次的方法化简代数式．先由定义求得，的值，进而知道是的根，可知，那么有，那么，那么，进而得出结果． 【详解】解：由题意得，， ， 是关于的方程的根， 是方程的根， ， ， ， ； 故选：A． 2．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）设关于x的一元二次方程的两根为，记，则的值为（   ） A．0 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念．根据一元二次方程根的定义可知，。将的表达式代入，将式子重新组合为含有和的形式，即可求得其值为0． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ∴ ． 故选：A． 3．（24-25八年级下·北京西城·阶段练习）关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是正确计算常数项为0的值，利用一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得， 故选：B． 4．（2026·江苏南通·模拟预测）计算： (1)计算：． (2)解不等式组并把解集在如图所示的数轴上表示出来． (3)已知关于x的一元二次方程有一根是，求m的值． (4)先化简然后从，0，1，2中选一个合适的数的值代入求值． 【答案】(1) (2)，数轴见解析 (3) (4)；当时，原式 【分析】（1）将代入，再依次计算乘方，绝对值，化简二次根式，最后进行加减运算； （2）先求出每个不等式的解集，再取其公共部分，即可得到不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可； （3）将代入解方程即可计算m的值； （4）先通分进行分式加减法，再进行分式乘除法进行化简，然后从，0，1，2中选一个使得原分式有意义（分母不为0）的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组的解集是，， 解集在数轴上表示如下： （3）解：将代入， 得，， 解得，； （4）解： ， ，， ，， 当时， 原式． 1．（25-26八年级下·浙江杭州·开学考试）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2． 【详解】选项A，整理后为，是一元一次方程，不符合要求； 选项B，，是整式方程，只含一个未知数x，未知数最高次数为2，符合一元二次方程的定义； 选项C，分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合要求； 选项D，含有两个未知数x和y，是二元一次方程，不符合要求． 2．（25-26八年级下·广东湛江·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m应满足的条件是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程要求二次项系数不为零，由此计算即可得出结果，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 故选：C． 3．（25-26八年级下·甘肃张掖·期末）若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程得，即可解答．解题的关键是掌握方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：∵， 又把代入方程中得：， ∴这个方程必有一个根是． 故选：D． 4．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的解一元二次方程，从表格中直接读取代数式的值为时对应的值，即为方程的根． 【详解】解：当时，代数式的值为；当时，代数式的值也为， 方程的根为或． 故选：C． 5．（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）若m是方程的一个根，则的值为（   ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握方程的根能使方程左右两边相等是解题的关键．利用方程的根的定义，将根代入方程得到关于的等式，再对所求式子进行变形，代入计算． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即． ∴ 故选：C． 6．（25-26八年级下·福建泉州·期末）若关于的方程（）有一个实数根为，则方程（）必有实数根为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，关键是利用方程根的定义进行转化；可先将已知方程的根代入原方程，再通过代数变形推导，找到满足第二个方程的根. 【详解】解：∵ 关于的方程有一个实数根为， ∴ 将代入方程得： ， 整理得：， 将上式两边同时除以，得： ， 变形为：， 对比方程，可知当时，方程成立， ∴ 方程必有实数根为． 故答案选：B． 7．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）若为一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及代数式的化简求值，熟练掌握方程根的定义并对代数式进行合理变形是解题的关键． 利用一元二次方程的根的定义，得出的值，再对所求分式进行化简，通过变形求出分母的值，进而得出分式的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∴，则， ∴ ， ∴． 故选：． 8．（24-25八年级下·江苏南通·期末）根据下列表格中的对应值，判断关于的方程（）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似解．观察表，根据x的取值变化范围进行分析． 【详解】解：∵ 当 时，； 当时，， ∴ 方程的一个解在之间． 故选：C． 9．（25-26八年级下·云南昭通·期末）一元二次方程化成一般形式，它的一次项系数与常数项的和为（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题的关键．将方程化为一般形式后，识别系数并求和． 【详解】解：原方程：， 移项得：， ，，， ， 故选：A． 10．（25-26八年级下·河南南阳·月考）已知a是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D．2024 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，整体代入法求代数式的值，掌握一元二次方程根的概念是关键；由题意得，则有，，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：D． 11．（25-26八年级下·陕西西安·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，得到且，求解即可． 此题考查了一元二次方程的概念，只含有一个未知数并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的概念是解题的关键． 【详解】解：由题意，得且． 解， 得或， ∴或． ∵， ∴， 因此． 12．（25-26八年级下·重庆南岸·期中）若是方程的一个根，则______． 【答案】9 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，理解一元二次方程的根的定义是解题的关键． 将代入方程得到关于m的方程，变形后整体代入求出代数式的值即可． 【详解】 m是方程的一个根，， ， 将代入得 ． 故答案为：9． 13.（25-26八年级下·广西崇左·月考）先化简，再求值：，其中a是方程的解． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、一元二次方程的解等知识点，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简可得，再根据一元二次方程的解可得，即，然后整体代入代数式求值即可． 【详解】解： ； ∵a是方程的解， ∴，即． ∴原式． 14．（25-26八年级下·广西崇左·月考）关于x的二次三项式，满足下表中的对应关系：则一元二次方程的两个整数根是_____________． x … 0 1 2 4 5 … … 16 7 7 16 … 【答案】3； 【分析】本题考查的是一元二次方程的特殊解法，根据表格中的数据可知当时，，当时，，因此方程在和之间有一个整数根 ．同理，当时，，当时，．方程在和之间有一个整数根，根据两根互为相反数，这两个整数根分别为和 ． 【详解】解：由表格数据可知， 当和时，； 当和时，； 当和时，； 当和时，． ∴方程的两个根互为相反数 ． ∵当时，；当时，， ∴在范围内存在的一个根 ． ∵根为整数， ∴该根为 ． 同理，当时，；当时，， 故在范围内存在的一个根，且为整数 ． 综上，一元二次方程的两个整数根为3和 ． 故答案为3和． 15．（25-26八年级下·北京·月考）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，列出条件求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且． 由，得． 但，即． 故． 故答案为：． 16．（24-25八年级下·全国·随堂练习）若关于x的方程是一元二次方程，求m的值． 【答案】3 【分析】此题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程即为一元二次方程，根据定义列方程求出答案 【详解】解：由一元二次方程的定义可知， 由①得． 由②得， 所以． 17．（25-26八年级下·北京海淀·期中）已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】7 【分析】本题考查了一元二次方程的根，根据一元二次方程根的定义可得出，然后把化简为，最后把整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴ ∴ ． 18．（25-26八年级下·广东广州·期中）定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为 （填序号）． (2)已知关于x的一元二次方程）是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)①③ (2)4 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由一元二次方程的解求参数，的最值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据黄金方程的意义，对3个方程逐一验证即可； （2）先根据黄金方程的意义，得出，代入后，配方求出最小值． 【详解】（1）解：， 移项，得， ，，， 所以， 所以是黄金方程； ，可化为， ，，， 所以， 所以不是黄金方程； ， ，，， 所以， 所以是黄金方程， 综上所述，①③是黄金方程， 故答案为：①③； （2）解：∵关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”， ∴由黄金方程的定义 ， 可知， x = − 1 是黄金方程的一个根， ∵关于x的一元二次方程是“黄金方程”， ∴是方程的根， ∴， ∴， ∴ 当时，有最小值4． 此时 ，符合题意． 19．（25-26八年级下·福建泉州·月考）关于的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式．现列表探究的变形： 变形 回答下列问题： (1)表格中t的值为______； (2)观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为______； (3)记的两个变形为和，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，得出为一次项系数的相反数是解此题的关键． （1）将展开后合并同类项即可得解； （2）将展开后合并同类项即可得解； （3）将展开后合并同类项可求得，， 然后利用完全平方公式建立方程，可解得的值，同理可得，的值，最后代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 是由变形得到的， ， ， 故的值为； （2）解：，，，， 猜想，证明如下： ， ， ， 是由变形得到的， ， 故m与n满足的等量关系为； （3）解：， ， ， 是由变形得到的， ，， ， ， 同理可得，，， ， ， ． 故的值为． 20．（25-26八年级下·山西长治·期中）阅读与思考 下面是小康同学的学习笔记的部分内容，请你认真阅读，并完成相应的任务． “相似系”一元二次方程 【概念理解】在一元二次方程中，当时，我们把这样的一元二次方程称为“相似系”一元二次方程．例如，一元二次方程就是“相似系”一元二次方程． 【问题1】若关于的一元二次方程是“相似系”一元二次方程，则▲． 【问题2】若关于的方程为“相似系”一元二次方程，且它的一个根为，求出的值． 解：方程为“相似系”一元二次方程， ， …… 任务： (1)问题1中，“▲”应填写_____． (2)补全问题2中剩余部分的解答过程． (3)已知（）的三边分别是，，，且关于的方程为“相似系”一元二次方程．求证：． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、等边对等角、勾股定理，解决本题的关键是根据“相似系”一元二次方程的定义找到方程系数之间的关系． （1）根据“相似系”一元二次方程的定义求出即可； （2）根据关于的方程为“相似系”一元二次方程，且它的一个根为，可得：，，从而可得：，解方程求出即可； （3）根据方程为“相似系”一元二次方程，可得，根据勾股定理可知，从而可得：，利用完全平方公式分解因式可得：，根据等边对等角可证结论成立． 【详解】（1）解：一元二次方程是“相似系”一元二次方程， 由题意可知， 解得：； （2）解：是方程的一个根， ，， ， 整理得：， 解得：，， 的值为或； （3）证明：方程为“相似系”一元二次方程， ， 在中， 由勾股定理得， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $