专题7.2 复数的几何意义重难点题型讲义（1个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学下学期重难点专题提升精讲精练（人教A版必修第二册）

专题7.2 复数的几何意义重难点题型专训 （1个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 复数的坐标表示 题型二 在各象限内点对应复数的特征 题型三 根据复数的坐标写出对应的复数 题型四 根据复数对应坐标的特点求参数 题型五 求复数的模 题型六 由复数模求参数 题型七 与复数模相关的轨迹(图形)问题 拓展训练一 复数坐标的相关应用 拓展训练二 复数模的相关求值 知识点一： 复数的几何意义 1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 2、复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数， 原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 3、复数的模 （1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值 （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 【即时训练】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）复数和在复平面内的对应点关于（   ） A．实轴对称 B．一、三象限的角平分线对称 C．虚轴对称 D．二、四象限的角平分线对称 2．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知复数z为纯虚数，满足，则__________. 【经典例题一 复数的坐标表示】 【例1】（25-26高三上·广西柳州·月考）在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·江西吉安·期末）已知为虚数单位，复数，，是的共轭复数． (1)若是纯虚数，求； (2)在复平面内，复数，，对应的点分别是，若为直角三角形，求的值． 1．（24-25高三上·湖北武汉·月考）欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（多选）（24-25高一下·江苏南通·期中）在复平面内，，对应的复数分别为，，且，则可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二下·北京·竞赛）设复数满足，令，则的最大值是__________________. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，已知平行四边形的三个顶点对应的复数分别为0，，．求： (1)向量对应的复数； (2)向量对应的复数； (3)点对应的复数． 【经典例题二 在各象限内点对应复数的特征】 【例1】（25-26高一下·全国·课后作业）已知复数z＝x＋1＋(y－1)i(x，y∈R)在复平面内的对应点位于第二象限，则点(x，y)所构成的平面区域是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·广东·月考）已知是虚数单位，复数，. (1)当复数z为实数时，求m的值； (2)当复数z为纯虚数时，求m的值； (3)当复数z在复平面内对应的点在第三象限时，求m的取值范围. 1．（2024·北京·高考真题）当时，复数在平面上对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（多选）（24-25高一下·河北邢台·期末）若复数，则下列说法正确的是（    ） A．若为实数，则 B．若为纯虚数，则或 C．在复平面内对应的点不可能在第二象限 D．在复平面内对应的点不可能在第三象限 3．（24-25高二上·广东深圳·期末）复数在复平面上对应的点在第四象限，则实数的取值范围为________． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知复数满足，且所对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 【经典例题三 根据复数的坐标写出对应的复数】 【例1】（2025·河南开封·模拟预测）复数z在复平面内对应点的坐标为（－2，4），则（    ） A．3 B．4 C． D． 【例2】（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知复数（i为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点的坐标满足方程． (1)求实数a的值； (2)若向量与复数z对应，把绕原点按顺时针方向旋转90°，得到向量．求向量对应的复数（用代数形式表示）． 1．（24-25高二下·河南郑州·期末）已知复数z在复平面内对应的点的坐标为，则（    ） A．1 B．2 C． D．5 2．（24-25高一下·湖南永州·期中）在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·随堂练习）在复平面内，复数，对应的点分别为A，B，若为线段的中点，则点对应的复数是__________． 4．（2025高三·全国·专题练习）（1）已知，，，，为复平面的原点，试写出所表示的复数； （2）已知复数，在复平面内画出这些复数对应的向量； （3）在复平面内的长方形的四个顶点中，点对应的复数分别是， 求点D对应的复数． 【经典例题四 根据复数对应坐标的特点求参数】 【例1】（24-25高一下·福建宁德·月考）若（i是虚数单位，）对应的点在复平面内位于第四象限，则（    ） A． B． C． D．或 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）设复数，对应的点Z满足下列关系，求满足下列条件的实数． (1)点Z在第二象限； (2)点Z在直线上． 1．（2026高二·全国·专题练习）已知在复平面内对应的点在第四象限，则复数z的模的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·江西·月考）已知复数（其中是实数），则（    ） A．可能为实数 B．当时，为纯虚数 C．若，则 D．若在复平面内对应的点位于第一象限，则 3．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）已知复数（i是虚数单位），若z所对应的点在复平面的第二象限内，则实数m的取值范围为________. 4．（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数 (1)若是虚数，求m的取值范围． (2)若复平面内复数对应的点位于第四象限，求m的取值范围． (3)若，求的取值范围． 【经典例题五 求复数的模】 【例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，则（   ） A． B． C． D．不能确定 【例2】（2025高一·全国·专题练习）已知复数． (1)若复数在复平面上所对应的点在实轴的下方（不包含实轴），求的取值范围； (2)求的最小值． 1．（2026·湖南常德·一模）已知复数满足：，则（   ） A．1 B． C． D．2 2．（25-26高三上·海南海口·月考）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·上海徐汇·一模）设复数（其中为虚数单位），则__________． 4．（25-26高一·上海·课堂例题）若复数满足，求． 【经典例题六 由复数模求参数】 【例1】（2024·河北·模拟预测）若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）已知复数对应的向量为（为坐标原点），与实轴正方向的夹角为，且复数的模为2，求复数. 1．（2025·北京·高考真题）已知，且．若，则的最大值是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（多选）（24-25高三上·河北保定·月考）若复数的模为5，虚部为，则复数可以为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海·月考）已知，且是实数，则复数______. 4．（24-25高一下·上海·单元测试）已知复数，存在实数，使成立． （1）求证：； （2）若，求的取值范围． 【经典例题七 与复数模相关的轨迹(图形)问题】 【例1】（24-25高一下·河南许昌·期末）已知复数z满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（2024高一下·全国·专题练习）当复数满足下列条件时，复数在复平面内的对应点的集合是什么图形？ (1)； (2)． 1．（24-25高一下·广东湛江·期中）已知复数z在复平面内对应的点为Z，则满足的点的集合组成的图形的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·河南郑州·期末）设，在复平面内z对应的点为Z，则下列结论中满足条件的点Z的集合对应的图形正确的是（    ）． A．若，则点Z的集合是圆 B．若，则点Z的集合是两个圆所夹的圆环（包括边界） C．若，则点Z的集合是y轴所在的直线 D．若，则点Z的集合是一、三象限角平分线 3．（24-25高一下·江苏徐州·月考）当复数z满足时，则的最小值是__________. 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，求的最大值与最小值. 【拓展训练一 复数坐标的相关应用】 【例1】（24-25高一下·河南开封·月考）若复数在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，若复数对应的点，满足下列条件时，分别求实数m的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上. 1．（2025·河南郑州·模拟预测）已知在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一·全国·课后作业）复数对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·湖北·期中）在复平面内，若，，点C所对应的复数为___________. 4．（25-26高二·全国·课后作业）复数平面内表示复数的点分别满足下列条件： (1)位于第四象限； (2)位于第一象限或第三象限； (3)位于直线上．求实数的取值范围． 【拓展训练二 复数模的相关求值】 【例1】（24-25高一下·广西·月考）已知复数满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026高二·全国·课后作业）已知为复数，若在复平面上对应的点在第四象限的角平分线上，且. (1)求复数； (2)若复数满足，求的最小值. 1．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，且满足，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高一·江苏·课后作业）(多选)在复平面内，复数的对应点分别为A，B.已知，则等于（    ） A．4＋5i B．5＋4i C．3＋4i D．＋i 3．（24-25高一下·广东广州·期末）设，在复平面内，复数z所对应的点为Z，那么满足条件点Z的集合构成图形的面积为__________. 4．（24-25高二下·吉林松原·期中）已知复数，，（为虚数单位，）. （1）若复数为纯虚数，求的值； （2）若，求的值. 1．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在复平面内，向量对应的复数，绕点逆时针旋转后对应的复数为，则等于（    ）    A． B．3 C． D．4 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一下·河南·期中）已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·河北保定·期中）如图，复数z对应的向量为 ， 且|z-i|=5， 则向量在向量 上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C．(6.5) D． 5．（2026高三·全国·专题练习）已知虚数，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（2024·湖北荆州·三模）已知复数，则下列命题正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若为实数，则 C．若在复平面内对应的点在直线上，则 D．在复平面内对应的点不可能在第三象限 7．（多选）（24-25高一下·河北唐山·期中）已知在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 8．（多选）（2024·江西新余·模拟预测）若复数满足：，则的取值可以是：（     ）. A． B． C． D． 9．（多选）（24-25高一下·福建宁德·期中）满足及的复数可以是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）（24-25高一下·浙江台州·期中）下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（   ） A． B．复数的虚部为 C．复数z为实数的充要条件是 D．已知复数z满足，则复数z对应点的集合是以O为圆心，以2为半径的圆 11．（25-26高二上·上海·月考）在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则_________. 12．（24-25高一下·广东·月考）已知，那么z在复平面内对应的点位于第__________象限. 13．（24-25高二上·云南大理·开学考试）复数表示的点在复平面的第二象限内，则实数的取值范围是__________（用区间表示）. 14．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，，，则的最大值为______. 15．（24-25高一下·辽宁抚顺·期末）已知复数满足，则的最小值为______. 16．（25-26高一·湖南·课后作业）求实数取何值时，复数在复平面内对应的点； (1)位于第二象限； (2)位于第一或第三象限； (3)在直线上． 17．（24-25高一上·上海·课堂例题）求实数x分别取什么值时，复数在复平面内对应的点Z满足下列条件： (1)在第四象限； (2)在直线上. 18．（24-25高一上·上海·单元测试）已知复数z满足，求的取值范围. 19．（24-25高一下·浙江·期末）已知复数z满足，的虚部为2， （1）求复数z； （2）若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足，求的最大值和最小值． 20．（24-25高一上·上海·课堂例题）复数z满足，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.2 复数的几何意义重难点题型专训 （1个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 复数的坐标表示 题型二 在各象限内点对应复数的特征 题型三 根据复数的坐标写出对应的复数 题型四 根据复数对应坐标的特点求参数 题型五 求复数的模 题型六 由复数模求参数 题型七 与复数模相关的轨迹(图形)问题 拓展训练一 复数坐标的相关应用 拓展训练二 复数模的相关求值 知识点一： 复数的几何意义 1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 2、复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数， 原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 3、复数的模 （1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值 （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 【即时训练】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）复数和在复平面内的对应点关于（   ） A．实轴对称 B．一、三象限的角平分线对称 C．虚轴对称 D．二、四象限的角平分线对称 【答案】A 【分析】确定复数对应点的坐标，即可判断. 【详解】由复数的性质得对应的点为，对应的点为， 易知与两点在复平面内关于实轴对称. 故选：A． 2．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知复数z为纯虚数，满足，则__________. 【答案】 【分析】设，，根据模长得到，求出答案. 【详解】设，，因为，所以，故. 故答案为： 【经典例题一 复数的坐标表示】 【例1】（25-26高三上·广西柳州·月考）在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点的对称性得出复数对应点进而得出复数. 【详解】在复平面内，对应的点关于实轴对称点为，则. 故选：B. 【例2】（24-25高一下·江西吉安·期末）已知为虚数单位，复数，，是的共轭复数． (1)若是纯虚数，求； (2)在复平面内，复数，，对应的点分别是，若为直角三角形，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先求出复数的表达式，再利用纯虚数的条件列出表达式，即可求得结果. （2）因为为直角三角形，根据点的坐标可得，可得两个向量的数量积等于0，即可求得结果. 【详解】（1）． ∵为纯虚数， ∴，解得， ∴，． （2）复数，，是的共轭复数， 所以 则，，． ∵为直角三角形， ∴． ∴．即． 解得． 1．（24-25高三上·湖北武汉·月考）欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由题意得，得到复数在复平面内对应的点，即可作出解答. 【详解】由题意得，e2i＝cos 2＋isin 2， ∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)． ∵2∈， ∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)， ∴e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故选B. 【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题. 2．（多选）（24-25高一下·江苏南通·期中）在复平面内，，对应的复数分别为，，且，则可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题意，由向量的坐标运算即可得到，结合同角的平方关系即可求得，从而得到结果. 【详解】因为，，且， 即，所以， 即，又， 则或， 所以或. 故选：AC 3．（2024高二下·北京·竞赛）设复数满足，令，则的最大值是__________________. 【答案】 【分析】利用复数差的几何意义可求的最值. 【详解】因为，所以， ， 复数在复平面上所对应的点在以为圆心，为半径的圆上， 是以为圆心，为半径的圆上的点到两点间的距离， 到的距离为， 所以，的最大值为. 故答案为：. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，已知平行四边形的三个顶点对应的复数分别为0，，．求： (1)向量对应的复数； (2)向量对应的复数； (3)点对应的复数． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）由复数写出对应点的坐标，从而得相应向量的坐标，由向量运算的坐标表示计算出向量，然后再由坐标得出对应的复数； （2）由复数写出对应点的坐标，从而得相应向量的坐标，由向量运算的坐标表示计算出向量，然后再由坐标得出对应的复数； （3）由向量运算的坐标表示计算出向量，然后再由坐标得出对应的复数. 【详解】（1）复平面内平行四边形的三个顶点对应的复数分别为0，，， ∴向量对应的复数，向量对应的复数为． ， ∴向量对应的复数为． （2）， ∴向量对应的复数为． （3）， ∴向量对应的复数为， ∴点对应的复数为． 【经典例题二 在各象限内点对应复数的特征】 【例1】（25-26高一下·全国·课后作业）已知复数z＝x＋1＋(y－1)i(x，y∈R)在复平面内的对应点位于第二象限，则点(x，y)所构成的平面区域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由复数对应点所在象限确定的范围，进而得出点(x，y)所构成的平面区域. 【详解】由题意，得即，故点(x，y)所构成的平面区域为A项中的阴影部分． 故选：A. 【例2】（24-25高一下·广东·月考）已知是虚数单位，复数，. (1)当复数z为实数时，求m的值； (2)当复数z为纯虚数时，求m的值； (3)当复数z在复平面内对应的点在第三象限时，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据复数为实数的概念列方程求解即可； （2）根据复数为纯虚数的概念列方程求解即可； （3）根据复数的几何意义列不等式组求解即可. 【详解】（1）当z为实数时，有， 解得； （2）当z为纯虚数时，有， 解得. （3）当z在复平面内对应的点在第三象限时，有， 解得， 所以m的取值范围为. 1．（2024·北京·高考真题）当时，复数在平面上对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用的范围求出、的范围即可确定答案 【详解】，，点在第四象限． 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，关键是确定的正负来确定象限，属于基础题. 2．（多选）（24-25高一下·河北邢台·期末）若复数，则下列说法正确的是（    ） A．若为实数，则 B．若为纯虚数，则或 C．在复平面内对应的点不可能在第二象限 D．在复平面内对应的点不可能在第三象限 【答案】AD 【分析】根据复数的类型即可求解的值，即可判断AB，根据复数对应点所在象限的特征即可判断CD. 【详解】对于A，令，A正确； 对于B，或，当时，不是纯虚数，B错误； 对于C，当时，，所以在复平面内对应的点在第二象限，C错误； 对于D，由于，故在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D正确. 故选：AD 3．（24-25高二上·广东深圳·期末）复数在复平面上对应的点在第四象限，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据复数在复平面上对应的点在第四象限，列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】因为复数在复平面上对应的点在第四象限， 所以，即，所以， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）已知复数满足，且所对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】依题意，化简得，再根据所对应的点在第二象限，列不等式求解即可. 【详解】由，即， 由于对应的点在第二象限，，解得 又， ，即． 又． 【经典例题三 根据复数的坐标写出对应的复数】 【例1】（2025·河南开封·模拟预测）复数z在复平面内对应点的坐标为（－2，4），则（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先求得，然后求得. 【详解】因为复数z在复平面内对应点的坐标为（－2，4）． 则，所以．所以． 故选：C 【例2】（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知复数（i为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点的坐标满足方程． (1)求实数a的值； (2)若向量与复数z对应，把绕原点按顺时针方向旋转90°，得到向量．求向量对应的复数（用代数形式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）得到复数z在复平面内对应的点的坐标，代入方程后进行求解；（2）求出向量的坐标，得到其在复平面坐标系中的位置，及旋转后对应的的位置，求出对应的复数. 【详解】（1）因为复数， 所以复数z在复平面内对应的点的坐标为， 因为点满足方程， 所以， ∴ （2）∵向量与复数z对应， ∴， 则在第二象限角平分线上， 由题意可知，绕原点按顺时针方向旋转90°后得到， ∴ 1．（24-25高二下·河南郑州·期末）已知复数z在复平面内对应的点的坐标为，则（    ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】先由题给条件求得复数z，再利用复数模的定义去求 【详解】复数z在复平面内对应的点的坐标为， 则，则 故选：C 2．（24-25高一下·湖南永州·期中）在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义及对称性求解即可. 【详解】由题意知对应的点为， 对应的点为，． 故选：C. 3．（24-25高一下·全国·随堂练习）在复平面内，复数，对应的点分别为A，B，若为线段的中点，则点对应的复数是__________． 【答案】 【分析】写出复数所对应点的坐标，有中点坐标公式求出的坐标，则答案可求． 【详解】因为复数，对应的点分别为，． 且为线段的中点，所以． 则点对应的复数是． 故答案为：． 4．（2025高三·全国·专题练习）（1）已知，，，，为复平面的原点，试写出所表示的复数； （2）已知复数，在复平面内画出这些复数对应的向量； （3）在复平面内的长方形的四个顶点中，点对应的复数分别是， 求点D对应的复数． 【答案】（1）答案见解析；（2）图象见解析；（3） 【分析】（1）由复数的向量表示可得；（2）由复数的坐标表示可得；（3）设，由复数的向量和坐标表示计算可得. 【详解】（1）表示的复数为；表示的复数为；表示的复数为；表示的复数为． （2）设复数1对应的向量为，其中； 复数对应的向量为，其中； 复数对应的向量为，其中； 复数对应的向量为，其中． 如图所示： （3）记为复平面的原点，由题意得． 设，则，． 由题意知，，所以即 故点D对应的复数为． 【经典例题四 根据复数对应坐标的特点求参数】 【例1】（24-25高一下·福建宁德·月考）若（i是虚数单位，）对应的点在复平面内位于第四象限，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义确定其在复平面上的点的坐标，由象限列不等式即可得的取值范围. 【详解】复数对应的点为在复平面内位于第四象限 则，解得. 故选：C. 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）设复数，对应的点Z满足下列关系，求满足下列条件的实数． (1)点Z在第二象限； (2)点Z在直线上． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由实部小于0，虚部大于0，列出不等式求解即可； （2）由虚部等于2倍的实部，列出等式求解即可. 【详解】（1）因为的实部为，虚部为， 则点， 由题意可得： ，解得． 即的范围是 （2）因为点Z在上， 则有，即 解得即或． 1．（2026高二·全国·专题练习）已知在复平面内对应的点在第四象限，则复数z的模的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据在复平面内对应的点在第四象限，求出m的范围，再根据复数的模结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】解：因为在复平面内对应的点在第四象限， 所以，解得， ， 因为，所以，则， 所以复数z的模的取值范围是. 故选：A. 2．（多选）（24-25高一下·江西·月考）已知复数（其中是实数），则（    ） A．可能为实数 B．当时，为纯虚数 C．若，则 D．若在复平面内对应的点位于第一象限，则 【答案】BCD 【分析】根据复数的分类及对数的真数判断A，根据纯虚数的概念判断B，根据复数虚部求解判断C，根据复数的几何意义建立不等式判断D. 【详解】当时，无意义，故A错误； 当时，，为纯虚数，故B正确； 若，则得，故C正确； 若在复平面内对应的点位于第一象限，则得，故D正确. 故选：BCD. 3．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）已知复数（i是虚数单位），若z所对应的点在复平面的第二象限内，则实数m的取值范围为________. 【答案】/ 【分析】根据复数的几何意义列出不等式组，求解即可得到答案. 【详解】由题意，复数对应的点在第二象限，需满足： 解得且，故的取值范围为. 故答案为：. 4．（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数 (1)若是虚数，求m的取值范围． (2)若复平面内复数对应的点位于第四象限，求m的取值范围． (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据虚数可得虚部非零，从而可求范围； （2）根据点在第四象限可得实部为正，虚部为负，从而可得范围； （3）根据复数相等结合消参可得，由平方关系和正弦函数的性质可求参数的范围. 【详解】（1）由题意，要使是虚数，则，解得：. （2）由题意，要使点位于第四象限，则需满足，解得：. （3）由得， 由复数相等的定义知，必有， 因为，所以 故的取值范围为 【经典例题五 求复数的模】 【例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，则（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据复数的模长公式即可求解. 【详解】，． ，． 故选：B 【例2】（2025高一·全国·专题练习）已知复数． (1)若复数在复平面上所对应的点在实轴的下方（不包含实轴），求的取值范围； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的几何意义可得出关于实数的不等式，解之即可； （2）利用复数的模长公式结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】（1）因为复数在复平面内所对应的点在实轴下方， 所以，即，故的取值范围为. （2）因为， 所以当时，． 1．（2026·湖南常德·一模）已知复数满足：，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据方程求出复数，然后计算复数的模. 【详解】因为复数满足：， 所以，所以，解得. 所以. 故选：B. 2．（25-26高三上·海南海口·月考）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数模的公式求模. 【详解】因为 ，所以 ． 故选C． 3．（2025·上海徐汇·一模）设复数（其中为虚数单位），则__________． 【答案】 【分析】利用复数模的计算公式求解即可. 【详解】复数（其中为虚数单位），所以； 故答案为： 4．（25-26高一·上海·课堂例题）若复数满足，求． 【答案】或 【分析】设，根据复数模公式可得，解方程组即可求解. 【详解】设（）， ， , 解得或， 或. 【经典例题六 由复数模求参数】 【例1】（2024·河北·模拟预测）若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用复数模长的计算公式，得到，即可求解. 【详解】因为，所以，得到， 所以或，解得或， 故选：A. 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）已知复数对应的向量为（为坐标原点），与实轴正方向的夹角为，且复数的模为2，求复数. 【答案】或 【分析】设点的坐标为，再由复数的几何意义得到关于和的方程，即可求解. 【详解】由题意设点的坐标为（）， 因为，， 则，且， 解得：，， 即点的坐标为或， 所以或. 1．（2025·北京·高考真题）已知，且．若，则的最大值是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】设，得到，，计算得到，根据范围得到最值. 【详解】设，，故，，则， ， ，当时，有最大值为4. 故选：C 2．（多选）（24-25高三上·河北保定·月考）若复数的模为5，虚部为，则复数可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】设，，根据复数的虚部和模，可得求，写出复数即可 【详解】因为复数的虚部为，故设，， ∴，解得， ∴， 故选：CD 3．（25-26高二上·上海·月考）已知，且是实数，则复数______. 【答案】 【分析】根据题意设，再根据模长公式得到关于的方程，解出即可. 【详解】∵是实数，∴复数的虚部为，设，， ∵，∴，∴，∴. 故答案为：. 4．（24-25高一下·上海·单元测试）已知复数，存在实数，使成立． （1）求证：； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）由题知，根据复数相等，实部相同，虚部相同证得结论. （2）由知，，结合（1）中结论代入，求得a的范围. 【详解】（1）由题知， 则，易知， 则，代入得，化简得 （2）由知，，且， 则，解得 【经典例题七 与复数模相关的轨迹(图形)问题】 【例1】（24-25高一下·河南许昌·期末）已知复数z满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义求得正确答案. 【详解】设，对应点， 依题意，，表示与的距离为， 所以的轨迹是以为圆心，半径为的圆，如下图所示， ，表示到原点的距离的平方， 由图可知，其最小值为. 故选：A 【例2】（2024高一下·全国·专题练习）当复数满足下列条件时，复数在复平面内的对应点的集合是什么图形？ (1)； (2)． 【答案】(1)点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆 (2)以原点为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包含圆环的边界． 【分析】（1）根据复数的几何意义进行判断即可； （2）根据复数的几何意义进行判断即可. 【详解】（1）∵，∴， ∴满足的点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆． （2）不等式可化为不等式组 ∵满足不等式的点的集合是以原点为圆心， 以2为半径的圆外部， 满足不等式的点的集合是以原点为圆心， 以3为半径的圆的内部， ∴满足的点的集合是以原点为圆心， 分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包含圆环的边界． 1．（24-25高一下·广东湛江·期中）已知复数z在复平面内对应的点为Z，则满足的点的集合组成的图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的几何意义，结合圆的面积公式求解即可. 【详解】由题意可得，满足的点的集合组成的图形是以原点O为圆心，以2及3为半径的两个圆所夹的圆环， 则其面积为. 故选：B. 2．（多选）（24-25高一下·河南郑州·期末）设，在复平面内z对应的点为Z，则下列结论中满足条件的点Z的集合对应的图形正确的是（    ）． A．若，则点Z的集合是圆 B．若，则点Z的集合是两个圆所夹的圆环（包括边界） C．若，则点Z的集合是y轴所在的直线 D．若，则点Z的集合是一、三象限角平分线 【答案】ABC 【分析】根据各项复数模的关系式，确定对应点轨迹，即可得. 【详解】A：表示以原点为圆心，1为半径的圆，对； B：表示以原点为圆心，半径分别为1、2的两个圆所成圆环（含边界），对； C：表示到两点距离相等的点，即为轴所在直线，对； D：表示到两点距离相等的点，即为二、四象限的角平分线，错. 故选：ABC 3．（24-25高一下·江苏徐州·月考）当复数z满足时，则的最小值是__________. 【答案】 【分析】利用复数的模的几何意义求解. 【详解】复数z满足， 复数z到点的距离为1， 又的几何意义是复数z对应的点与的距离， 所求的最小值为：. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，求的最大值与最小值. 【答案】最小值为，最大值为. 【分析】利用复数模的几何意义即可求解. 【详解】设，则， 所以， 即表示的复数在圆心为，半径为的圆上， 因为， 所以， 所以表示圆上的点到点的距离， 因为点到圆心的距离为， 如图所示，圆上的点到点的距离最小值为， 最大值为. 【拓展训练一 复数坐标的相关应用】 【例1】（24-25高一下·河南开封·月考）若复数在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据复数的几何意义进行求解. 【详解】根据复数的几何意义，对应复平面的点是， 关于轴对称得到的点是，对应的复数是. 故选：B 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，若复数对应的点，满足下列条件时，分别求实数m的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上. 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4) 【分析】（1）由实部为0，列式即可解出答案； （2）由实部小于0，虚部大于0，列式即可解出答案； （3）由实部、虚部异号，列出不等式求解即可； （4）由实部等于虚部，列式即可解出答案. 【详解】（1）复数的实部为，虚部为． 由题意得， 解得或． （2）由题意，， ． （3）由题意，， 或． （4）由已知得，故． 1．（2025·河南郑州·模拟预测）已知在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据已知条件，结合复数的几何意义得出对应点的坐标，即可求出实数的取值范围. 【详解】将整理化简可得， 所以复数在复平面内对应的点坐标为， 由点位于第四象限可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 2．（25-26高一·全国·课后作业）复数对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定复数对应的点，根据其所在象限列出不等式组，即可求得答案. 【详解】复数点为，该点在第三象限， 则，解得， 故选：A. 3．（24-25高一下·湖北·期中）在复平面内，若，，点C所对应的复数为___________. 【答案】/ 【分析】设，由向量相等得出点的坐标，根据复数的几何意义可得答案. 【详解】由题意，设，则 由，则 ，解得，则点 所以点C所对应的复数为 故答案为： 4．（25-26高二·全国·课后作业）复数平面内表示复数的点分别满足下列条件： (1)位于第四象限； (2)位于第一象限或第三象限； (3)位于直线上．求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或或 (3) 【分析】（1）结合复数的几何意义与第四象限的点的特点计算即可得； （2）结合复数的几何意义与第一象限或第三象限的点的特点计算即可得； （3）由题意可得，计算即可得. 【详解】（1）由题意，复数在复平面内对应的点为． 当点位于第四象限时，则，即， 故或； （2）当点位于第一象限或第三象限时， 则， 即， 故或或． （3）当点位于直线上，则，解得． 【拓展训练二 复数模的相关求值】 【例1】（24-25高一下·广西·月考）已知复数满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义，结合圆的性质求出最大值. 【详解】依题意，表示复平面内复数对应的点在以点为圆心，为半径的圆上， 表示上述圆上的点到原点的距离，所以. 故选：D 【例2】（2026高二·全国·课后作业）已知为复数，若在复平面上对应的点在第四象限的角平分线上，且. (1)求复数； (2)若复数满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据模长即可得到结果； （2）设，根据复数的几何意义以及圆的几何性质，即可得到结果. 【详解】（1）依题意设，因为，∴， 则，又，所以，故； （2）由（1）知，设， 因为，所以，又， 故的最小值为原点到圆上的点距离的最小值，因为原点到点的距离为，圆的半径，原点在圆外， 所以的最小值即为. 1．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设复数，结合复数的模长运算和几何意义可得. 【详解】设复数，则， 所以， 所以在复平面上，表示到点的距离为1，即表示以为圆心，1为半径的圆， 故选：D． 2．（多选）（25-26高一·江苏·课后作业）(多选)在复平面内，复数的对应点分别为A，B.已知，则等于（    ） A．4＋5i B．5＋4i C．3＋4i D．＋i 【答案】BD 【分析】设，根据题设条件列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】设， 因为，可得， 解得或， 所以或. 故选：BD. 3．（24-25高一下·广东广州·期末）设，在复平面内，复数z所对应的点为Z，那么满足条件点Z的集合构成图形的面积为__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义确定图形，进而求出面积. 【详解】由，则在复平面内点Z构成的图形是以原点为圆心， 分别以1和为半径的两个圆构成的圆环， 所以所求面积为. 故答案为： 4．（24-25高二下·吉林松原·期中）已知复数，，（为虚数单位，）. （1）若复数为纯虚数，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）由复数为纯虚数，可得，从而可求出的值，进而可求出的值； （2）由，可得复数在直线上，所以，从而可求出的值，进而可得的值 【详解】解：（1）为纯虚数， ∴，解得， ∴，， ∴. （2）， ∵， ∴复数对应的点在直线上， 即，解得或. 当时，，； 当时，，. 1．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在复平面内，向量对应的复数，绕点逆时针旋转后对应的复数为，则等于（    ）    A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】利用复数的旋转性质建立方程，求解参数后得到新复数，再求模即可. 【详解】由题意可设（，）， 对应的向量为，对应的向量为， 由旋转性质得和模相等，且它们对应的向量垂直， 则，解得 ，， ，故C正确. 故选：C 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】运用复数模的定义进行求解即可. 【详解】. 故选：A 3．（24-25高一下·河南·期中）已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定所表示的图形，再分析的几何意义，最后结合图形求出的最大值． 【详解】设（），则． 已知，根据复数的模的计算公式可得． 等式两边同时平方可得， 这表示复平面上以点为圆心，半径的圆． 因为，所以，则， 它表示复平面上复数所对应的点与点之间的距离． 根据两点间距离公式，可得圆心与点之间的距离为： ． 因为表示点与点之间的距离，而点在以为圆心，半径为的圆上， 所以的最大值为圆心到点的距离加上圆的半径，即． 的最大值为． 故选：A． 4．（24-25高一上·河北保定·期中）如图，复数z对应的向量为 ， 且|z-i|=5， 则向量在向量 上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C．(6.5) D． 【答案】D 【分析】首先根据复数的几何意义设出复数，再根据复数模的公式，即可求解，再代入向量的投影公式，即可求解. 【详解】由题图可知，，则， 解得（舍去）， 所以，，则向量在向量上的投影向量为， 所以其坐标为． 故选：D 5．（2026高三·全国·专题练习）已知虚数，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的几何意义得到表示点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，再由表示圆上的点与原点连线的斜率，根据直线与圆的位置关系求解. 【详解】由复数的几何意义可知，表示点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 即如图， 表示圆上的点与原点连线的斜率， 当直线与圆相切时，分别取得最大值和最小值， 点为切点，点为圆心，，所以， 即，， 所以的取值范围是. 故选：A 6．（多选）（2024·湖北荆州·三模）已知复数，则下列命题正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若为实数，则 C．若在复平面内对应的点在直线上，则 D．在复平面内对应的点不可能在第三象限 【答案】BD 【分析】首先得到复数的实部与虚部，再根据复数的类型求出参数的值，即可判断A、B，根据复数的几何意义判断C、D. 【详解】复数的实部为，虚部为， 复数在复平面内对应的点的坐标为， 对于A：若为纯虚数，则，解得，故A错误； 对于B：若为实数，则，解得，则，故B正确； 对于C：若在复平面内对应的点在直线上， 所以，解得或，故C错误； 对于D：令，即，不等式组无解， 所以在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D正确. 故选：BD. 7．（多选）（24-25高一下·河北唐山·期中）已知在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】BC 【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解． 【详解】在复平面内对应的点位于第二象限， 则，解得， 结合选项可知，实数的值可以是0或1． 故选：BC． 8．（多选）（2024·江西新余·模拟预测）若复数满足：，则的取值可以是：（     ）. A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】设复数在复平面内对应的点为，分析可知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，结合复数的几何意义求的取值范围即可判断. 【详解】设复数在复平面内对应的点为， 因为复数满足：，即点到点的距离为2， 可知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 则，即，可知的取值范围为， 且，可知的取值范围为， 结合选项可知：ABC正确，D错误. 故选：ABC. 9．（多选）（24-25高一下·福建宁德·期中）满足及的复数可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据复数的模的运算公式，结合已知等式通过解方程组进行求解即可. 【详解】设，因为，所以， ， 解得：，代入中，得，所以， 故选：AB 10．（多选）（24-25高一下·浙江台州·期中）下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（   ） A． B．复数的虚部为 C．复数z为实数的充要条件是 D．已知复数z满足，则复数z对应点的集合是以O为圆心，以2为半径的圆 【答案】CD 【分析】由复数的相关概念即可判断A，由纯虚数的定义即可判断C，由复数的几何意义即可判断D. 【详解】对于A，不全是实数的两个复数不能比较大小，故A错误； 对于B，复数的虚部为，故B错误； 对于C，设，则， 若为实数，则，此时； 反之，若，即，则，为实数，故C正确； 对于D，设，由可得， 即，它表示以原点为圆心，半径为的圆，故D正确； 故选：CD 11．（25-26高二上·上海·月考）在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则_________. 【答案】 【分析】根据复数模长的几何意义，通过坐标计算即可求解. 【详解】复数z对应的点的坐标是， 则. 故答案为：. 12．（24-25高一下·广东·月考）已知，那么z在复平面内对应的点位于第__________象限. 【答案】二 【分析】由待定系数法求出，结合复数的几何意义即可得解. 【详解】设，a，，则， 所以，，所以，， 所以，所以z在复平面内对应的点的坐标为，在第二象限． 故答案为：二． 13．（24-25高二上·云南大理·开学考试）复数表示的点在复平面的第二象限内，则实数的取值范围是__________（用区间表示）. 【答案】 【分析】根据复平面上的点与复数实部、虚部关系列出不等式即可求解. 【详解】因为复数表示的点在复平面的第二象限内， 所以，解得，所以实数的取值范围是， 故答案为： 14．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，，，则的最大值为______. 【答案】7 【分析】由复数的模、几何意义将转换为关于的三角函数即可求解. 【详解】因为，所以设， 而，从而 ， 其中，等号成立当且仅当， 所以的最大值为7. 故答案为：7. 15．（24-25高一下·辽宁抚顺·期末）已知复数满足，则的最小值为______. 【答案】4 【分析】利用复数的几何意义，转化为圆外的点与圆上点的距离问题． 【详解】，即，由复数的几何意义知， 复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 而的几何意义是：复数对应的点与点的距离． 又，点在圆外， 所以的最小值为． 故答案为：4． 16．（25-26高一·湖南·课后作业）求实数取何值时，复数在复平面内对应的点； (1)位于第二象限； (2)位于第一或第三象限； (3)在直线上． 【答案】(1)或； (2)或或； (3)或. 【分析】（1）可得点的坐标为，然后可得，解出即可； （2）可得或，解出即可； （3）将点的坐标代入直线的方程求解即可. 【详解】（1）复数在复平面内对应的点的坐标为 若点位于第二象限，则，解得或 （2）若点位于第一或第三象限，则或 解得或或 （3）若点在直线上，则 解得或 17．（24-25高一上·上海·课堂例题）求实数x分别取什么值时，复数在复平面内对应的点Z满足下列条件： (1)在第四象限； (2)在直线上. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数对应象限列不等式组计算即可； （2）根据复数对应的点在直线上求参. 【详解】（1）当点Z在第四象限时，解得 即.所以当时，复数z在复平面内对应的点Z在第四象限. （2）当点Z在直线上时， ， 解得. 所以当时，复数z在复平面内对应的点Z在直线上. 18．（24-25高一上·上海·单元测试）已知复数z满足，求的取值范围. 【答案】. 【分析】设，则由，得，然后令，给此式平方化简答案. 【详解】设，则由，得， 令 ， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以， 所以，即， 因为，所以， 所以的取值范围为. 19．（24-25高一下·浙江·期末）已知复数z满足，的虚部为2， （1）求复数z； （2）若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足，求的最大值和最小值． 【答案】（1）或；（2）最大值，最小值. 【分析】（1）设，根据已知条件列出的方程组，求解出的值，则复数可求； （2）根据已知条件先确定出，然后根据确定出复数在复平面内对应点的轨迹为圆，由此求解出的最值. 【详解】（1）设，因为，所以， 又因为，的虚部为，所以， 所以，所以或， 所以或； （2）因为在复平面内所对应的点位于第一象限，所以， 设，因为，所以，所以， 所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以，. 【点睛】结论点睛：常见的复数与轨迹的结论： （1）：表示以为圆心，半径为的圆； （2）且：表示以为端点的线段； （3）且：表示以为焦点的椭圆； （4）且：表示以为焦点的双曲线. 20．（24-25高一上·上海·课堂例题）复数z满足，求的取值范围. 【答案】 【分析】由复数的几何意义得出表示以为圆心，为半径的圆，再由圆的对称性确定的取值范围. 【详解】解：表示以为圆心，为半径的圆， 表示圆上的点到原点的距离， 如图，从图中可直观地得到的最小值为， 的最大值为， ∴的取值范围是 学科网（北京）股份有限公司 $