7.1 复数的概念重难点题型讲义（3个知识点+6大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学下学期重难点专题提升精讲精练（人教A版必修第二册）

专题7.1 复数的概念重难点题型专训 （3个知识点+6大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 复数的基本概念 题型二 求复数的实部与虚部 题型三 根据相等条件求参数 题型四 复数的相等 题型五 复数的分类及辨析 题型六 已知复数的类型求参数 拓展训练一 复数的相关求值 知识点一： 复数的有关概念 1、定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是，虚部是. 2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． 3、表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)． 4、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 【注意】复数概念说明： （1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i. （2）复数的实部是a，虚部是实数b而非bi. （3）复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 【即时训练】 1．（24-25高一下·湖北·月考）已知为虚数单位，复数的虚部与实部互为相反数，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由复数虚部，实部定义可得答案. 【详解】由题，，则． 故选：B 2．（24-25高二下·湖北·期中）我们定义“”为：对于任意两个复数，，当且仅当“”或“，且”时，.按上述定义的关系“”，若复数z满足则______（写出一个符合题意的复数即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】设复数，根据复数的新定义列出方程组，即可求解. 【详解】由对于，，当且仅当“”或“，且”时，， 设复数，要使得， 则满足，且， 例如，此时，满足. 故答案：（答案不唯一） 知识点二： 复数的分类 对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是实数； （2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； （3）当b≠0时，叫做虚数； （4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：. 【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 【即时训练】 1．（24-25高一下·上海浦东新·期中）下列命题一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则是纯虚数 D．若且，则且 【答案】D 【分析】根据复数的概念和性质逐项进行检验即可判断. 【详解】对于，当时，，故选项错误； 对于，当时，，但并不相等，故选项错误； 对于，若，则并不是纯虚数，故选项错误； 对于，因为且，所以为正实数，则且，故选项正确， 故选：. 2．（25-26高一·全国·课后作业）已知复数，当实数m取_________时，复数是实数，当实数m取_________时，复数是纯虚数， 【答案】 2 0 【分析】根据复数的有关概念求解. 【详解】复数， 当，即时，复数为实数． 当，且时，即时，复数为纯虚数． 故答案为：2，0 【点睛】本题主要考查复数的有关概念，属于基础题. 知识点三： 复数相等 在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)， 我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d. 【即时训练】 1．（24-25高一下·河南郑州·期中）若实数x，y满足，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由条件结合复数相等的定义求，再求即可. 【详解】因为，所以，，故，故C正确. 故选：C. 2．（24-25高一下·福建莆田·期中）定义运算，如果（是虚数单位），那么实数的值为________ 【答案】 【分析】利用定义运算可得，再利用复数相等的概念即可求出. 【详解】由题意可得，， 则， 所以，解得， 故. 故答案为： 【经典例题一 复数的基本概念】 【例1】（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】由题意得，解方程即可 【详解】因为的实部与虚部相等， 所以，解得， 故选：C. 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）已知复数z1＝4－m2＋（m－2）i，z2＝λ＋2sin θ＋（cos θ－2）i（其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）. (1)若z1为纯虚数，求实数m的值； (2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围. 【答案】(1)-2； (2)[2，6] 【分析】（1）z1为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，解得参数值； （2）由z1＝z2，实部、虚部分别相等，求得关于的函数表达式，根据的范围求得参数取值范围. 【详解】（1）由z1为纯虚数， 则解得m＝－2. （2）由z1＝z2，得 ∴λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3. ∵－1≤sin θ≤1， ∴当sin θ＝1时，λmin＝2， 当sin θ＝－1时，λmax＝6， ∴实数λ的取值范围是[2，6]. 1．（2024高一·全国·专题练习）下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】B 【分析】根据虚数单位的性质判断①，根据虚数不能比较大小判断②④，举反例判断③. 【详解】对于①，因为，所以，故①正确； 对于②，两个虚数不能比较大小，故②错误； 对于③，当，时，成立，故③错误；④正确. 故选：B 2．（多选）（24-25高二下·江苏南京·期中）“虚数”这个词是世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数.人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题，像这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解.引进虚数概念以后，代数方程的求解问题才得以解决.设是方程的根，则（    ） A． B． C．是该方程的根 D．是该方程的根 【答案】ABD 【分析】根据每个选项的描述进行判断，即可得出结果. 【详解】解：对于A选项，由于是方程的根，则， 而，故，选项A正确； 对于B选项，由虚根成对定理可知，也是方程的根，故，选项B正确； 对于C，且，故不是该方程的根，选项C错误； 对于D，，而，代入方程得，， 是该方程的根，即是该方程的根，选项D正确. 故选：ABD. 3．（24-25高一下·青海西宁·期中）已知为虚数单位，实数满足，则______． 【答案】6 【分析】根据复数为实数的条件，解不等式即可求解. 【详解】由题意，即，解得. 故答案为：6 4．（24-25高二下·江苏苏州·期中）设复数，且，. （1）求复数的模； （2）求复数实部的取值范围； （3）设，求证：为纯虚数. 【答案】（1）1；（2）；（3）见解析 【详解】分析：（1）由，由得，从而虚部为0，得，进而可得解； （2）由（1）知，从而求范围即可； （3）化简，由（1）知，则，从而得证. 详解：（1）， 由得， 则， 由，解得， 所以， （2）由（1）知，所以， 即复数的实部的取值范围是. （3） ， 由（1）知，则， 应为，所以为纯虚数. 【经典例题二 求复数的实部与虚部】 【例1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）的虚部为（　　） A．i B．5i C．1 D．-5 【答案】C 【分析】根据复数乘法运算结合虚部定义求解. 【详解】由于，则的虚部为； 故选：C 【例2】（25-26高一·湖南·课后作业）求以下复数的实部和虚部： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)实部为，虚部为； (2)实部为，虚部为； (3)实部为，虚部为； (4)实部为，虚部为； 【分析】根据复数的概念一一判断即可； 【详解】（1）解：复数的实部为，虚部为； （2）解：复数，所以实部为，虚部为； （3）解：复数的实部为，虚部为； （4）解：复数的实部为，虚部为； 1．（2025·福建福州·模拟预测）欧拉公式由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数，虚数单位与三角函数，联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数，则z的虚部为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由欧拉公式化简复数z，再由复数的定义即可得出答案. 【详解】因为， 因为，所以z的虚部为. 故选：D. 2．（多选）（24-25高一下·安徽安庆·月考）下列命题不正确的是（    ） A．复数不可能是纯虚数 B．若复数，则当且仅当时，为虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若，则复数为纯虚数 【答案】ABC 【分析】根据复数的分类条件，逐项判断即可. 【详解】对于A，当，时，复数为纯虚数，故A错误； 对于B，当，时，，为虚数，故B错误； 对于C，当时，为实数，故C错误； 对于D，当时，，为纯虚数，故D正确. 故选：ABC. 3．（24-25高二下·上海闵行·月考）若复数的实部与虚部之和为0，则b的值为________． 【答案】 【分析】结合题意，由复数的实部与虚部求解可得. 【详解】由题意可得实部为2，则. 故答案为：. 4．（24-25高二下·上海金山·月考）已知复数满足， （1）求复数；（2）若复数是实系数一元二次方程的一个根，求的值. 【答案】（1）（2） 【详解】试题分析：（1）根据复数模的定义以及复数相等条件得方程组，解方程组可得复数（2）根据实系数一元二次方程虚数根特点可得为方程两根，利用韦达定理可求b,c，即得的值 试题解析：解：设，     【经典例题三 根据相等条件求参数】 【例1】（25-26高一·全国·课后作业）下列命题中正确的是（    ）． A．； B．； C．若x，，则的充要条件是； D．若，则． 【答案】A 【分析】根据复数的运算法则即可判断结果． 【详解】，故A    正确； ，故B错误； 若x，，若有；若有； 故是的充分不必要条件，C错误； 若，取则，故D错 故选：A 【例2】（24-25高一下·全国·课堂例题）求满足下列条件的实数x，y的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3)，或 (4) 【分析】（1）根据实部与虚部对应关系解方程即可 （2）令实部为0且虚部为0解方程即可； （3）根据实部与虚部对应关系解方程即可； （4）令实部为0且虚部为0解方程即可. 【详解】（1）由，可得 （2）由，可得 （3）由，可得，或 （4）由，可得 1．（24-25高一下·上海虹口·期末）已知，则下列说法中与“是纯虚数”不等价的是（    ） A． B． C．且 D．或，且 【答案】A 【分析】利用复数的基本概念依次判断即可. 【详解】对于选项A，设，R , 由可知，，即， 但是不能说明一定不等于零，所以不能说明是纯虚数； 对于选项B，设，R , 由可知，即，，所以可知是纯虚数； 对于选项C，复数实部为，虚部不等于，所以可知是纯虚数； 对于选项D，设，R , 由可知，，则， 又因为，所以，同理且，可知，，所以可知是纯虚数； 故选：A. 2．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）已知i为虚数单位,下列命题中正确的是 A．若x,,则的充要条件是 B．是纯虚数 C．若,则 D．当时,复数是纯虚数 【答案】BD 【解析】选项A：取,满足方程，所以错误；选项B：,恒成立，所以正确；选项C：取,,，所以错误；选项D：代入 ，验证结果是纯虚数，所以正确. 【详解】取,,则, 但不满足,故A错误； ,恒成立,所以是纯虚数, 故B正确； 取,,则,但不成立,故C错误; 时，复数是纯虚数, 故D正确. 故选:BD. 【点睛】本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）若，则____________，____________． 【答案】 3 【分析】由复数的定义可知，实部和虚部都为0，则复数为0，联立方程求解即可 【详解】，，解得. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数（且），是实数，且，求z的实部的取值范围. 【答案】. 【分析】利用已知复数的类型建立方程，结合给定条件求解参数范围即可. 【详解】因为为实数，所以， 所以，，所以， 因为，所以. 因为，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以，可解得. 即z的实部的取值范围为. 【经典例题四 复数的相等】 【例1】（25-26高三上·河南·月考）设为虚数单位，若，则（    ） A．-1 B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据复数相等的性质列等式运算即可. 【详解】由题得解得所以. 故选：. 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）（1）若，求实数x，y的值； （2）已知成立，求实数a的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）根据复数相等的充要条件列方程组求解即可； （2）先化简整理复数，然后根据复数为0的充要条件列方程组求解即可． 【详解】（1）由复数相等的充要条件，得，解得； （2）因为，， 所以， 可得，解得，或， 所以． 1．（24-25高三下·上海杨浦·月考）已知复数和复数．“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】两个复数相等的条件是实部相等和虚部相等，以及充分必要条件的成立条件即可判断. 【详解】充分性：当时，若，则，所以充分性不成立； 必要性：当时，则且，所以必要性成立， 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B 2．（多选）（2024高一·全国·专题练习）若，，且，则的值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据复数相等的充要条件得到方程组，解得、即可. 【详解】因为，，且， 所以，解得或， 所以或. 故选：AC 3．（24-25高一下·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组有实数解，则实数a，b的值分别为_________． 【答案】1，2 【分析】根据复数相等列方程组计算求参即可. 【详解】设是方程组的实数解．由已知及复数相等， 得由①②得 代入③④得所以实数a，b的值分别为1，2． 故答案为：. 4．（24-25高一下·河南洛阳·月考）（1）解方程； （2）已知是方程的一个根，求实数的值. 【答案】（1）或；（2）. 【分析】（1）设出，带入等式，再利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部.列出方程组即可解出答案. （2）将带入，化简后再利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部.列出方程组即可解出答案. 【详解】（1）设， 由，得， 所以 当时，； 当时，. 所以或. （2）因为是方程的一个根， 所以， 整理，得， 即 解得. 【经典例题五 复数的分类及辨析】 【例1】（25-26高二上·河南·开学考试）在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据纯虚数的定义判断即可. 【详解】，是纯虚数；，，是实数；是虚数，但不是纯虚数； 综上，纯虚数的个数为2. 故选：C. 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）已知：复数，其中x∈R.求证：复数不可能是纯虚数. 【答案】证明见解析. 【分析】假设复数z是纯虚数，可得，解之即可得到结果. 【详解】假设复数z是纯虚数， 则有, 由得x2－3x－3＝1，解得x＝－1或x＝4. 当x＝－1时，log2(x－3)无意义； 当x＝4时，log2(x－3)＝0，这与log2(x－3)0矛盾，故假设不成立， 所以复数z不可能是纯虚数. 1．（2024高一下·江苏·专题练习）对于复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．i的平方等于1 【答案】C 【分析】根据纯虚数定义、复数相等的定义，结合虚数单位的性质、复数的分类逐一判断即可. 【详解】A：当时，显然是实数，因此本选项说法不正确； B：，因此本选项说法不正确； C：，，因此本选项说法正确； D：由虚数单位的定义可知：，因此本选项说法不正确， 故选：C 2．（多选）（24-25高一下·江苏泰州·期中）对于复数，则下列结论中错误的是（   ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．若，则不是复数 【答案】ABD 【分析】A.由判断；B.由复数的实部和虚部判断；C.复数的分类判断；D.由复数的分类判断. 【详解】A.当时，为实数，故错误； B.若，则，故错误； C.若，则为实数，故正确； D.若，则是实数，故错误； 故选：ABD 3．（25-26高一下·全国·课后作业）给出下列复数：①，②，③，④，⑤；其中表示实数的有（填上序号）_____________． 【答案】②③④ 【分析】根据复数分类中实数的特征逐一判断即可. 【详解】①为纯虚数不是实数； ②为无理数是实数； ③为实数； ④为实数； ⑤为一般虚数不是实数． 故答案为：②③④ 4．（24-25高一下·天津河东·期中）当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？ （1）复数实数； （2）复数纯虚数； （3）复平面内，复数对应的点位于直线上. 【答案】（1）或；（2）；（3）或. 【解析】（1）由虚部为0，求解值； （2）由实部为0且虚部不为0，列式求解值； （3）由实部与虚部的和为0，列式求解值． 【详解】解：由题可知，复数， （1）当为实数时，则虚部为0， 由，解得：或； （2）当纯虚数时，实部为0且虚部不为0， 由，解得：； （3）当对应的点位于直线上时，则， 即：实部与虚部的和为0， 由，解得：或． 【经典例题六 已知复数的类型求参数】 【例1】（25-26高二上·江苏扬州·期末）已知复数是纯虚数，则实数的值为（   ）． A．0或2 B．0 C．1或2 D．1 【答案】B 【分析】根据纯虚数的定义列出等式，然后计算即可. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得. 故选：B. 【例2】（24-25高一下·四川自贡·期末）复数z满足 (1)若复数z为实数，求m的值； (2)若复数z为纯虚数，求m的值； (3)设复数，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由复数z为实数，则虚部为0可解； （2）由复数z为纯虚数，则实部为0，且虚部不为0； （3）由复数相等的条件，可得，然后利用二次函数性质求值域即可. 【详解】（1）复数z为实数，所以. （2）复数z为纯虚数， 所以，解得. （3）， ， 即， 又，所以时，，时，， 所以的取值范围为. 1．（25-26高三上·山东潍坊·月考）已知复数为纯虚数，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据纯虚数的定义求解即可. 【详解】由题意，知，因为复数为纯虚数，所以，所以， 故选：C 2．（多选）（2024高一·全国·专题练习）若为虚数单位)为实数，则的值可能为（    ） A．0 B．1 C．－1 D．2或－2 【答案】BC 【分析】根据复数为实数列方程求解. 【详解】若为虚数单位)为实数， 则，所以. 故选：BC 3．（25-26高一下·全国·课后作业）从集合中任取两个互不相等的数，，组成复数，其中虚数有______个. 【答案】36 【解析】若复数为虚数，则，分两种情况讨论即得解. 【详解】从集合中任取两个互不相等的数，，组成复数，当时，对应的有6个值；当取1,2,3,4,5,6时，对应的只有5个值.所以虚数有（个）.故答案为:36. 【点睛】本题考查了虚数的定义，考查了学生概念理解，数学运算，分类讨论的能力，属于基础题. 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）复数，当实数m取什么值时， (1)是实数； (2)是虚数； (3)是纯虚数． 【答案】(1)或 (2)且且 (3) 【分析】（1）根据复数是实数，列出方程，解方程即可得解； （2）根据复数是虚数，列出方程，解方程即可得出答案； （3）根据复数是纯虚数，列出方程，解方程即可得出答案. 【详解】（1）因为复数为实数，所以，即或， 所以或时，复数为实数. （2）因为为虚数，则，解得且且， 所以且且时，复数为纯虚数. （3）因为为纯虚数，则，解得， 所以时，复数为纯虚数. 【拓展训练一 复数的相关求值】 【例1】（2024·浙江温州·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【答案】B 【分析】根据复数的概念及充分、必要条件的定义判定即可. 【详解】易知，所以不满足充分性，而，满足必要性. 故选：B 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）分别求满足下列条件的实数x，y的值． (1) ； (2). 【答案】(1)； (2)x＝3. 【分析】（1）（2）利用复数相等或复数等于0直接列式计算作答. 【详解】（1）因x，y∈R，，则有，解得， 所以. （2）因x∈R，，于是得，解得， 所以. 1．（24-25高一下·北京·期末）若复数是虚数，则实数取值的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数是虚数的条件为虚部不为零，列式求得结果，选出答案. 【详解】由复数是虚数， 所以，所以实数取值的集合是， 故选：C. 2．（多选）（24-25高三上·江苏扬州·月考）数学家们在探寻自然对数底与圆周率之间的联系时，发现了如下公式： （1） （2） （3） 以下命题，正确的是（    ） A．（为虚数单位） B．（为虚数单位） C．（为虚数单位） D．（为虚数单位） 【答案】AB 【分析】根据题意得，即，再令即可得答案. 【详解】解：根据题意，， ， 所以（为虚数单位），故A选项正确，C选项错误； 当时，，所以（为虚数单位），故B选项正确，D选项错误； 故选：AB 3．（2025高一·全国·专题练习）定义运算，如果，则的值为____． 【答案】 【分析】由题意以及复数相等，建立方程组，可得答案. 【详解】由定义运算，得， 故有. 因为x，y为实数，所以有，得，得. 所以. 故答案为： 4．（24-25高二下·河南周口·月考）已知m∈R，复数z＝，当m为何值时： （1）z∈R； （2）z是虚数； （3）z是纯虚数. 【答案】（1）或；（2）且且；（3）或. 【分析】（1）解=0，，即可得解； （2）虚部不为0，则该复数为虚数，则，即可得解； （3）复数是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，根据，，即可得解. 【详解】（1）z∈R，所以=0，， ， 所以，当或时，z∈R； （2）z是虚数，则，， 当且且时，z是虚数； （3）z是纯虚数，，，， 所以或时，z是纯虚数. 1．（25-26高一下·全国·课后作业）下列四种说法正确的是（    ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【答案】B 【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可看求解. 【详解】对于A中，若，那么，所以A错误； 对于B中，由复数的概念，可得实数是复数，所以B正确； 对于C中，若且时，复数，所以C不正确； 对于D中，由虚数单位，可得D错误. 故选：B. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）设集合{复数}，{实数}，{纯虚数}，若全集，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举反例判断选项AB，根据集合的关系，结合集合的运算性质判断CD. 【详解】复数，但，所以，选项A错误； 复数，但，所以，选项B错误； ，选项C错误， ，选项D正确； 故选：D. 3．（2025·陕西西安·一模）若复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C．-2 D．2 【答案】D 【分析】根据的幂次运算法则对化简，根据虚部定义确定的虚部. 【详解】 ， 则的虚部是2. 故选：D 4．（2025·湖南岳阳·模拟预测）已知为虚数单位，为实数，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由复数相等可列出方程组求解. 【详解】由题意， 所以，解得，所以. 故选：D. 5．（24-25高一下·上海宝山·月考）如果两个复数的实部互为相反数，虚部相等，那么这两个复数互为“共胚复数”.已知与互为“共胚复数”.其中为虚数单位，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．3 【答案】B 【分析】利用复数的除法，结合给定的定义列式求解. 【详解】，依题意，，解得， 所以. 故选：B 6．（多选）（24-25高一下·四川达州·期中）下列四种说法不正确的是（ ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【答案】ACD 【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可求解. 【详解】对A，当时，则是实数，故A错误； 对B，根据复数定义可知，故B正确； 对C，，那么是实数，故C错误； 对D，根据虚数，故D错误. 故选：ACD 7．（多选）（24-25高一下·河北唐山·期中）下列命题中错误的有（    ） A．若，则的充要条件是 B．纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集 C．，若，则 D．若实数与对应，则实数集与复数集一一对应 【答案】ABCD 【分析】根据复数的相关定义判断AB，举反例判断C，利用对应关系，以及复数集合的定义，即可判断D. 【详解】A.因为，所以的充要条件不是，故A不正确； B.纯虚数集相对于复数集的补集是实数集合和虚数集中的非纯虚数集，故B不正确； C.因为，若，则不一定相等，比如，，满足，此时不相等，故C不正确； D. 因为规定实数与复数对应，所以复数却没有实数与之对应，所以只有纯虚数和有原象，因此不满足实数集与复数集一一对应，故D不正确. 故选：ABCD 8．（多选）（25-26高一·全国·课后作业）（多选）若，且，则等于（    ） A．4 B． C．2 D．0 【答案】AD 【分析】根据，列方程组求解即可. 【详解】因为，且， 所以，解得或， 所以或0． 故选：AD 9．（多选）（25-26高一·全国·课后作业）下列命题不正确的是（    ） A．复数不可能是纯虚数 B．若，则复数为纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 【答案】ACD 【分析】根据复数的概念逐项判断即可. 【详解】选项A中，当，时，复数是纯虚数，错误； 选项B中，时，为纯虚数，正确； 选项C中，若是纯虚数，则，即， 所以，错误； 选项D中，没有给出是实数，当时， 也是虚数，错误. 故选：ACD 10．（多选）（24-25高一下·黑龙江鸡西·期中）若复数，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】依题意可得与均为实数，即可判断. 【详解】因为虚数不能比较大小，若复数， 则说明与均为实数，所以且. 故选：AC 11．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知i是虚数单位，则_______ 【答案】0 【分析】根据的运算公式，即可求解. 【详解】. 故答案为：0 12．（24-25高一下·上海浦东新·月考）已知复数 （为虚数单位），则___________. 【答案】3 【分析】根据，确定其实部和虚部，即可求得答案. 【详解】由复数，可知其实部和虚部分别为1和 , 故， 故答案为：3 13．（24-25高一下·新疆·期中）已知，则______． 【答案】1 【分析】由复数分类的定义可知，实部和虚部都为0，则复数为0，联立方程求解即可． 【详解】由，得，解得． 故答案为：1． 14．（2025高一·全国·专题练习）已知复数为纯虚数，则实数_____． 【答案】0 【详解】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解． 【解答】复数为纯虚数，所以，解得． 故答案为：0 15．（25-26高三上·上海·月考）设是虚数单位，若是纯虚数，则实数________． 【答案】 【分析】根据已知复数是纯虚数列式计算求解. 【详解】设是虚数单位，若是纯虚数，则实数，且不是0， 则． 故答案为：. 16．（24-25高二下·福建福州·期中）设z1＝2x+1+（x2﹣3x+2）i，z2＝x2﹣2+（x2+x﹣6）i（x∈R）． （1）若z1是纯虚数，求实数x的取值范围； （2）若z1＞z2，求实数x的取值范围． 【答案】(1) ; (2) . 【分析】(1)由纯虚数的概念可得，进而可求出取值范围. (2)由题意知均为实数，从而可求出实数x的取值范围. 【详解】解：(1)由题意知， ，解得且，即. (2)由题意知，均为实数，即 ，解得， 即，满足，则. 【点睛】本题考查了虚数的概念，属于基础题. 17．（24-25高二下·河南郑州·期中）已知复数，且． （Ⅰ）求复数； （Ⅱ）若是实数，求实数的值． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【分析】（Ⅰ）根据复数相等列方程组，解得（Ⅱ）先化复数为代数形式，再根据复数为实数列式，解得实数的值． 【详解】解： （Ⅰ）由题意解之得． 所以为所求   （Ⅱ）由（Ⅰ）得， 是实数，，即为所求． 【点睛】本题考查复数相等以及复数概念，考查基本分析求解能力，属中档题 18．（24-25高一下·广东清远·期末）已知复数，求当实数为何值时； (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)为虚数． 【答案】(1) (2)或 (3)且 【分析】（1）根据复数为实数的条件，列方程和不等式组m的值； （2）根据复数为纯虚数的条件，列方程和不等式求m的值； （3）根据复数为虚数的条件，列不等式组求m的值即可. 【详解】（1）当且时，复数为实数，解得， 所以时，复数为实数； （2）当且且时，复数为纯虚数， 解得或， 所以或时，复数为纯虚数； （3）当且时，复数为虚数，解得且， 所以且时，复数为虚数. 19．（24-25高一下·湖南·期中）已知复数，. (1)若为实数，求； (2)若为虚数，求的取值范围； (3)若为纯虚数，求. 【答案】(1)或5 (2)且 (3) 【分析】（1）由复数是实数，得到，即可求解； （2）由复数是虚数，得到，即可求解； （3）由复数是纯虚数，列出方程组，再用模长公式即可求解 【详解】（1）由题意得 得或5 （2）由题意得 得且 （3）由题意得 得故，所以,所以． 20．（24-25高一下·广西·月考）已知复数，，其中是虚数单位，． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据纯虚数的定义即可列关系求解， （2）利用复数相等的充要条件，建立方程，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为为纯虚数，所以，解得． （2）由，得． 因此． 因为， 所以当时，；当时，， 故的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.1 复数的概念重难点题型专训 （3个知识点+6大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 复数的基本概念 题型二 求复数的实部与虚部 题型三 根据相等条件求参数 题型四 复数的相等 题型五 复数的分类及辨析 题型六 已知复数的类型求参数 拓展训练一 复数的相关求值 知识点一： 复数的有关概念 1、定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是，虚部是. 2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． 3、表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)． 4、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 【注意】复数概念说明： （1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i. （2）复数的实部是a，虚部是实数b而非bi. （3）复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 【即时训练】 1．（24-25高一下·湖北·月考）已知为虚数单位，复数的虚部与实部互为相反数，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25高二下·湖北·期中）我们定义“”为：对于任意两个复数，，当且仅当“”或“，且”时，.按上述定义的关系“”，若复数z满足则______（写出一个符合题意的复数即可） 知识点二： 复数的分类 对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是实数； （2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； （3）当b≠0时，叫做虚数； （4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：. 【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 【即时训练】 1．（24-25高一下·上海浦东新·期中）下列命题一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则是纯虚数 D．若且，则且 2．（25-26高一·全国·课后作业）已知复数，当实数m取_________时，复数是实数，当实数m取_________时，复数是纯虚数， 知识点三： 复数相等 在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)， 我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d. 【即时训练】 1．（24-25高一下·河南郑州·期中）若实数x，y满足，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 2．（24-25高一下·福建莆田·期中）定义运算，如果（是虚数单位），那么实数的值为________ 【经典例题一 复数的基本概念】 【例1】（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）已知复数z1＝4－m2＋（m－2）i，z2＝λ＋2sin θ＋（cos θ－2）i（其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）. (1)若z1为纯虚数，求实数m的值； (2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围. 1．（2024高一·全国·专题练习）下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 2．（多选）（24-25高二下·江苏南京·期中）“虚数”这个词是世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数.人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题，像这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解.引进虚数概念以后，代数方程的求解问题才得以解决.设是方程的根，则（    ） A． B． C．是该方程的根 D．是该方程的根 3．（24-25高一下·青海西宁·期中）已知为虚数单位，实数满足，则______． 4．（24-25高二下·江苏苏州·期中）设复数，且，. （1）求复数的模； （2）求复数实部的取值范围； （3）设，求证：为纯虚数. 【经典例题二 求复数的实部与虚部】 【例1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）的虚部为（　　） A．i B．5i C．1 D．-5 【例2】（25-26高一·湖南·课后作业）求以下复数的实部和虚部： (1)； (2)； (3)； (4)． 1．（2025·福建福州·模拟预测）欧拉公式由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数，虚数单位与三角函数，联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数，则z的虚部为（    ） A． B．1 C． D． 2．（多选）（24-25高一下·安徽安庆·月考）下列命题不正确的是（    ） A．复数不可能是纯虚数 B．若复数，则当且仅当时，为虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若，则复数为纯虚数 3．（24-25高二下·上海闵行·月考）若复数的实部与虚部之和为0，则b的值为________． 4．（24-25高二下·上海金山·月考）已知复数满足， （1）求复数；（2）若复数是实系数一元二次方程的一个根，求的值. 【经典例题三 根据相等条件求参数】 【例1】（25-26高一·全国·课后作业）下列命题中正确的是（    ）． A．； B．； C．若x，，则的充要条件是； D．若，则． 【例2】（24-25高一下·全国·课堂例题）求满足下列条件的实数x，y的值： (1)； (2)； (3)； (4). 1．（24-25高一下·上海虹口·期末）已知，则下列说法中与“是纯虚数”不等价的是（    ） A． B． C．且 D．或，且 2．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）已知i为虚数单位,下列命题中正确的是 A．若x,,则的充要条件是 B．是纯虚数 C．若,则 D．当时,复数是纯虚数 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）若，则____________，____________． 4．（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数（且），是实数，且，求z的实部的取值范围. 【经典例题四 复数的相等】 【例1】（25-26高三上·河南·月考）设为虚数单位，若，则（    ） A．-1 B． C． D．1 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）（1）若，求实数x，y的值； （2）已知成立，求实数a的值． 1．（24-25高三下·上海杨浦·月考）已知复数和复数．“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 2．（多选）（2024高一·全国·专题练习）若，，且，则的值可能是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组有实数解，则实数a，b的值分别为_________． 4．（24-25高一下·河南洛阳·月考）（1）解方程； （2）已知是方程的一个根，求实数的值. 【经典例题五 复数的分类及辨析】 【例1】（25-26高二上·河南·开学考试）在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）已知：复数，其中x∈R.求证：复数不可能是纯虚数. 1．（2024高一下·江苏·专题练习）对于复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．i的平方等于1 2．（多选）（24-25高一下·江苏泰州·期中）对于复数，则下列结论中错误的是（   ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．若，则不是复数 3．（25-26高一下·全国·课后作业）给出下列复数：①，②，③，④，⑤；其中表示实数的有（填上序号）_____________． 4．（24-25高一下·天津河东·期中）当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？ （1）复数实数； （2）复数纯虚数； （3）复平面内，复数对应的点位于直线上. 【经典例题六 已知复数的类型求参数】 【例1】（25-26高二上·江苏扬州·期末）已知复数是纯虚数，则实数的值为（   ）． A．0或2 B．0 C．1或2 D．1 【例2】（24-25高一下·四川自贡·期末）复数z满足 (1)若复数z为实数，求m的值； (2)若复数z为纯虚数，求m的值； (3)设复数，若，求的取值范围． 1．（25-26高三上·山东潍坊·月考）已知复数为纯虚数，且，则实数（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2024高一·全国·专题练习）若为虚数单位)为实数，则的值可能为（    ） A．0 B．1 C．－1 D．2或－2 3．（25-26高一下·全国·课后作业）从集合中任取两个互不相等的数，，组成复数，其中虚数有______个. 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）复数，当实数m取什么值时， (1)是实数； (2)是虚数； (3)是纯虚数． 【拓展训练一 复数的相关求值】 【例1】（2024·浙江温州·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）分别求满足下列条件的实数x，y的值． (1) ； (2). 1．（24-25高一下·北京·期末）若复数是虚数，则实数取值的集合是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高三上·江苏扬州·月考）数学家们在探寻自然对数底与圆周率之间的联系时，发现了如下公式： （1） （2） （3） 以下命题，正确的是（    ） A．（为虚数单位） B．（为虚数单位） C．（为虚数单位） D．（为虚数单位） 3．（2025高一·全国·专题练习）定义运算，如果，则的值为____． 4．（24-25高二下·河南周口·月考）已知m∈R，复数z＝，当m为何值时： （1）z∈R； （2）z是虚数； （3）z是纯虚数. 1．（25-26高一下·全国·课后作业）下列四种说法正确的是（    ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）设集合{复数}，{实数}，{纯虚数}，若全集，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西西安·一模）若复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C．-2 D．2 4．（2025·湖南岳阳·模拟预测）已知为虚数单位，为实数，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（24-25高一下·上海宝山·月考）如果两个复数的实部互为相反数，虚部相等，那么这两个复数互为“共胚复数”.已知与互为“共胚复数”.其中为虚数单位，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．3 6．（多选）（24-25高一下·四川达州·期中）下列四种说法不正确的是（ ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 7．（多选）（24-25高一下·河北唐山·期中）下列命题中错误的有（    ） A．若，则的充要条件是 B．纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集 C．，若，则 D．若实数与对应，则实数集与复数集一一对应 8．（多选）（25-26高一·全国·课后作业）（多选）若，且，则等于（    ） A．4 B． C．2 D．0 9．（多选）（25-26高一·全国·课后作业）下列命题不正确的是（    ） A．复数不可能是纯虚数 B．若，则复数为纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 10．（多选）（24-25高一下·黑龙江鸡西·期中）若复数，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知i是虚数单位，则_______ 12．（24-25高一下·上海浦东新·月考）已知复数 （为虚数单位），则___________. 13．（24-25高一下·新疆·期中）已知，则______． 14．（2025高一·全国·专题练习）已知复数为纯虚数，则实数_____． 15．（25-26高三上·上海·月考）设是虚数单位，若是纯虚数，则实数________． 16．（24-25高二下·福建福州·期中）设z1＝2x+1+（x2﹣3x+2）i，z2＝x2﹣2+（x2+x﹣6）i（x∈R）． （1）若z1是纯虚数，求实数x的取值范围； （2）若z1＞z2，求实数x的取值范围． 17．（24-25高二下·河南郑州·期中）已知复数，且． （Ⅰ）求复数； （Ⅱ）若是实数，求实数的值． 18．（24-25高一下·广东清远·期末）已知复数，求当实数为何值时； (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)为虚数． 19．（24-25高一下·湖南·期中）已知复数，. (1)若为实数，求； (2)若为虚数，求的取值范围； (3)若为纯虚数，求. 20．（24-25高一下·广西·月考）已知复数，，其中是虚数单位，． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $