第七章 复数重难点检测卷 -2025-2026学年高一数学下学期重难点专题提升精讲精练（人教A版必修第二册）

该高中数学复数单元复习讲义通过知识框架图系统梳理复数知识体系，整合实部虚部、纯虚数等概念，复数四则运算及乘方规则，复平面、模与辐角等几何意义，并用对比表格区分实数与纯虚数的判定条件，清晰呈现重难点内在联系。 讲义亮点在于“概念-运算-几何”三维练习设计，如单选第4题求复数模的最小值，结合几何直观培养数学思维中的运算能力，解答题15题通过正方形顶点问题强化复平面应用，发展数学眼光中的空间观念。基础题夯实概念，综合题提升应用，支持教师实施分层教学，助力学生自主复习与能力提升。

第七章 复数重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2024·宁夏银川·一模）已知复数表示纯虚数，则（    ） A．1 B． C．1或 D．2 【答案】B 【分析】根据题意结合复数的相关概念列式求解即可. 【详解】因为， 若复数表示纯虚数，则，解得. 故选：B. 2．（25-26高三上·安徽·月考）若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据复数为纯虚数得出相应的等式，解出即可. 【详解】因为复数为纯虚数， 所以，即， 所以， 故选：C. 3．（2025·河北秦皇岛·三模）下列关于复数的说法，正确的是（   ） A．复数的任何偶数次幂都不小于零 B．若实数，则是纯虚数 C．在复平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数 D．若复数满足，则均为实数 【答案】D 【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可看求解. 【详解】对于A中，由虚数单位，可得A错误； 对于B中，若，那么，所以B错误； 对于C中，虚轴上的点对应复数，所以C错误； 对于D中，若复数满足，虚数不能比较大小，则均为实数，D正确. 故选：D. 4．（2025·山东·模拟预测）若复数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】B 【分析】首先根据复数减法的模的几何意义求点的轨迹，再根据点与圆的位置关系求最值. 【详解】设，则， 又表示点与原点的距离，故的最小值为. 故选：B 5．（2025·全国·模拟预测）设是复数且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数模的几何意义，结合图象，即可求解. 【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离， 由图可知，. 故选：C 6．（25-26高三上·山东聊城·期末）若复数满足，则的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的运算求得复数，可求复数的虚部. 【详解】由，得，所以， 所以，所以，所以的虚部为. 故选：A. 7．（25-26高一下·全国·单元测试）已知，，i为虚数单位，且两复数的乘积的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的乘法运算求出，有乘积的实部和虚部为相等的正数，列出的等式，解出的值． 【详解】因为 ， 所以，即． 经检验，能使， 所以满足题意． 故选：D. 8．（25-26高一下·全国·单元测试）若（i为虚数单位），则使的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将复数的三角形式代入方程中，进一步解三角方程，即可得到的值. 【详解】因为，所以， 所以， 所以，所以，当时，． 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（2025·陕西咸阳·一模）已知复数，，则（   ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】应用特殊值判断A、D；由判断B；若，且，得，分类讨论判断C. 【详解】对于A、D：当时，，但，故A错误； 又，故D错误； 对于B：由，可得，故B正确； 对于C：设，且， 由，可得，则， 若，则或；若，则， 当，则， 当，则， 当，，则， 综上，，故D正确. 故选：BC. 10．（25-26高一下·全国·课后作业）下列说法中，错误的是（    ） A．两个复数不能比较大小 B．在复数集内，的平方根是 C．是虚数的一个充要条件是 D．若是两个相等的实数，则是纯虚数 【答案】ACD 【分析】ACD选项，可举出反例，B选项，可根据得到B正确. 【详解】A选项，当两个复数的虚部为0时，两个复数为实数，可以比较大小，A错误； B选项，在复数集内，，故的平方根是，B正确； C选项，不妨设，此时为实数，则，满足，故C错误； D选项，不妨设，，不是纯虚数，D错误. 故选：ACD 11．（2025高一·全国·专题练习）下列各角可以作为复数的辐角的是（　  　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】求得辐角主值，进而逐项判断即可. 【详解】∵，，， ∴辐角主值，故可以作为复数的辐角的是，. ∴当时，； 当时，； 当时，； 故选：AB. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（25-26高三上·天津河北·期末）在复平面内，对应的点位于第________象限. 【答案】四 【分析】根据复数的乘法运算，求出复数的实部和虚部，再根据复数与复平面内点的对应关系，判断结果. 【详解】由题意得，复数在复平面内的对应点的坐标为，该点在第四象限. 故答案为：四. 13．（2025·上海杨浦·二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用复数模的几何意义求出最小值. 【详解】在复平面内，表示复数对应的点与复数对应点的距离为1， 因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 表示点到原点的距离，所以的最小值为. 故答案为： 14．（2026高二上·云南·学业考试）已知为虚数单位，设复数，，则复数的实部为_____. 【答案】3 【分析】利用复数的加法运算和复数的定义求解. 【详解】因为复数，， 所以复数， 所以复数的实部为3， 故答案为：3 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知复数，，，它们在复平面上的对应点分别是正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 【答案】 【详解】设第四个顶点对应的复数为，如图. 则， . ， ，解得，故点对应的复数为. 16．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知复数，根据下列条件求实数的值． (1)是实数； (2)是纯虚数； (3)在复平面内对应的点在第二象限． 【答案】(1)1或2 (2) (3) 【分析】（1）根据题意得，根据复数的概念列式即可求解； （2）根据复数的概念列式即可求解； （3）根据复数的几何意义列式即可求解. 【详解】（1）由题意 ， 若是实数，则，解得或 （2）若是纯虚数，则，解得； （3）若在复平面内对应的点在第二象限，则，解得. 17．（24-25高一下·河南商丘·期末）设，复数． (1)若为纯虚数，求实数a的值； (2)若复数是关于x的方程的一个根，求的值． 【答案】(1)或． (2)1或-1 【分析】（1）根据复数的乘法和虚数的概念进行求解即可. （2）将复数代入方程中得到关于的等式，然后可求得，进而求出结果. 【详解】（1）由题意知， 又为纯虚数，所以，解得或． （2）因为复数是关于的方程的一个根， 所以，整理得， 所以，解得，或， 所以，或． 18．（25-26高二上·湖南·开学考试）已知复数． (1)求； (2)求的最小值； (3)若的实部大于，求的取值范围． 【答案】(1)2 (2)1 (3) 【分析】（1）结合题意求出，再利用共轭复数的定义得到，最后得到即可. （2）利用复数的减法得到，再结合复数的模长公式求解模长，最后利用完全平方式的性质求解最小值即可. （3）利用复数的乘法运算求出，再结合题意建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】（1）因为，所以， 解得，则， 故. （2）因为， 所以， 由复数的模长公式得， 而，得到，即， 故当时，原式取得最小值． （3）因为， 所以， 而的实部大于，则，解得， 故的取值范围为． 19．（24-25高一下·福建泉州·月考）计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）直接利用复数的四则运算求解； （3）利用复数的三角运算求解. 【详解】（1）； （2） ； （3） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 复数重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2024·宁夏银川·一模）已知复数表示纯虚数，则（    ） A．1 B． C．1或 D．2 2．（25-26高三上·安徽·月考）若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2025·河北秦皇岛·三模）下列关于复数的说法，正确的是（   ） A．复数的任何偶数次幂都不小于零 B．若实数，则是纯虚数 C．在复平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数 D．若复数满足，则均为实数 4．（2025·山东·模拟预测）若复数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．7 5．（2025·全国·模拟预测）设是复数且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 6．（25-26高三上·山东聊城·期末）若复数满足，则的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 7．（25-26高一下·全国·单元测试）已知，，i为虚数单位，且两复数的乘积的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·全国·单元测试）若（i为虚数单位），则使的值可能是（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（2025·陕西咸阳·一模）已知复数，，则（   ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（25-26高一下·全国·课后作业）下列说法中，错误的是（    ） A．两个复数不能比较大小 B．在复数集内，的平方根是 C．是虚数的一个充要条件是 D．若是两个相等的实数，则是纯虚数 11．（2025高一·全国·专题练习）下列各角可以作为复数的辐角的是（　  　） A． B． C． D． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（25-26高三上·天津河北·期末）在复平面内，对应的点位于第________象限. 13．（2025·上海杨浦·二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为__________. 14．（2026高二上·云南·学业考试）已知为虚数单位，设复数，，则复数的实部为_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知复数，，，它们在复平面上的对应点分别是正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 16．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知复数，根据下列条件求实数的值． (1)是实数； (2)是纯虚数； (3)在复平面内对应的点在第二象限． 17．（24-25高一下·河南商丘·期末）设，复数． (1)若为纯虚数，求实数a的值； (2)若复数是关于x的方程的一个根，求的值． 18．（25-26高二上·湖南·开学考试）已知复数． (1)求； (2)求的最小值； (3)若的实部大于，求的取值范围． 19．（24-25高一下·福建泉州·月考）计算： (1)； (2)； (3) 学科网（北京）股份有限公司 $