第7讲：二倍角的三角函数【四大题型】讲义-2025-2026学年高一下学期数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版必修第二册）

第7讲：二倍角的三角函数 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点：二倍角的正弦、余弦、正切公式 【题型归纳】 题型一：二倍角的正弦公式 【例1】．（24-25高一下·江苏盐城·月考）已知，则______ 【答案】/ 【分析】在等式两边平方，结合二倍角的正弦公式可求得的值. 【详解】在等式两边平方得， 解得. 故答案为：. 【举一反三】 1．（25-26高一上·江苏南通·期末）设角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数定义与二倍角公式求解即可. 【详解】角的终边经过点,, 所以，， 所以. 故选：C 2．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知，则_________. 【答案】 【分析】由和差公式得，再由平方关系可求得，再由倍角公式即可求解. 【详解】由得，即， 又，所以，. 故答案为： 3．（2023·云南大理·模拟预测）在中，若，则________． 【答案】/0.96 【详解】，因为，所以. 故答案为： 题型二：二倍角的余弦公式 【例2】．（24-25高一下·重庆江北·月考）已知，则______. 【答案】/ 【分析】根据余弦函数的二倍角公式，可得答案. 【详解】. 故答案为：. 【举一反三】 1．（24-25高一下·江苏南京·期中）若，，则的值是_____． 【答案】 【分析】根据正弦的二倍角公式计算可得，再由半角公式计算并结合角的范围可得结果. 【详解】由可得， 又，所以，因此可得； 又，所以， 因此，易知， 即. 故答案为： 2．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知，则__________. 【答案】/ 【分析】利用三角恒等变换化简得出的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】因为， 所以，. 故答案为：. 3．（24-25高三下·安徽·月考）已知，则________. 【答案】 【分析】利用正弦函数的和角公式以及辅助角公式，整理化简等式，再利用诱导公式以及余弦的二倍角公式，可得答案. 【详解】因为，即， 所以. 故答案为： 题型三：二倍角的正切公式 【例3】．（24-25高一下·江苏南京·月考）已知，则_________. 【答案】 【分析】由题意求出，再根据二倍角的正切公式即可得解. 【详解】由，得, 故. 故答案为： 【举一反三】 1．（23-24高一下·江苏连云港·月考）已知，则的值为__________. 【答案】/ 【分析】利用正余弦的齐次式法求得，再利用正切的倍角公式即可得解. 【详解】因为，等式左边分子、分母同时除以得， ，解得， 所以. 故答案为：. 2．（23-24高三上·海南海口·月考）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则_________． 【答案】 【详解】由正切函数的定义可得，借助正切函数的二倍角公式计算即可得. 【点睛】由角终边经过点，故，则. 故答案为：. 3．（22-23高一下·江苏扬州·月考）已知，，且，则________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示，结合二倍角的正切、和角的正切公式求解作答. 【详解】因为，，且，则，即， 于是， 所以. 故答案为： 题型四：二倍角公式的综合应用 【例4】．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)-8 (2) 【详解】（1）因为，， 所以． 因为， ， 所以． 另解：因为，，所以． 因为， 所以． （2）因为，，所以． 所以． 【举一反三】 1．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知 (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据同角的三角函数关系可求出，利用二倍角公式即可求得答案； （2）利用二倍角正切公式以及两角和的正切公式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，故， 故； （2）由于，且，则， 结合，可得， 结合（1）可得， 而， 故， 由于，故. 2．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知 (1)求证：. (2)若. ①求； ②若，且，求. 【详解】（1）依题意， ， 所以. （2）①由（1）得，，解得， 所以. ②由及①，得，则，解得， 而，于是， 即，而，且函数在上单调递增， 所以，即. 3．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，均为锐角，且，． (1)求和值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）依题意可得，，则， 又，则，所以， 又，所以． （2）结合（1）可得， 又，，则，所以． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏常州·期末）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为角的终边经过点，， 所以. 2．（25-26高一上·江苏·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式，将逐步转化到，利用倍角公式即可求解. 【详解】 ， 故选：A. 3．（25-26高三上·重庆·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】应用诱导公式及二倍角余弦公式求得，再结合充分、必要性的定义确定条件间的关系. 【详解】由，则， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4．（2025·广西·模拟预测）四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中较小的锐角为，那么（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直角三角形的两条直角边，然后求出，最后根据二倍角的余弦公式求出结果. 【详解】由题意可知，小正方形的边长为1，大正方形的边长为. 设直角三角形的长直角边为，则短直角边为， 根据勾股定理得，化简得， 解得或（舍去）. 所以，所以. 故选：A. 5．（24-25高一下·江苏南京·月考）若（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用倍角公式结合区间内三角函数的符号，化简得，，据此即可求解. 【详解】， 因为，所以， 所以， 因为， 原式=. 故答案为：A. 6．（24-25高一下·江苏南京·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二倍角公式及和差角公式化简得解. 【详解】 . 故选：A. 二、多选题 7．（25-26高一上·江苏常州·期末）下列等式不成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据两角和余弦和正切公式分别判断AC，再根据二倍角的正弦和余弦公式分别判断BD. 【详解】对于A，，故A不成立； 对于B，，故B不成立； 对于C，，故C成立； 对于D，，故D不成立. 8．（25-26高一上·江苏南通·期末）下列各式中运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用二倍角公式即可验证A，利用诱导公式和余弦的和差公式即可验证B，将利用和差公式即可验证C，利用辅助角公式和诱导公式即可验证D. 【详解】由，故选项A错误； 由，故选项B正确； 由 ，故选项C正确； 由 ，故选项D正确； 故选：BCD 9．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据同角三角函数关系式，结合已知条件，可求得的值，并确定其符号，从而确定的范围，判断A；求出的值，结合诱导公式判断B；由二倍角的余弦公式求得，判断C；根据，判断D. 【详解】由，得. 所以. 因为，所以. 所以，所以. 所以. 所以，，. 所以A，B，D正确，C错误. 故选：ABD. 10．（24-25高一下·江苏连云港·期中）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用二倍角公式判断A、C，根据两角差的正切公式判断B，利用辅助角公式判断D. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确. 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：BD 11．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】首先求出，由及两角和的余弦公式求出即可判断A，再由二倍角公式判断C，求出，即可判断B、D. 【详解】因为，所以，又， 所以， 所以 ，故A正确； 所以，故C错误； 因为，，所以， 所以，故B正确； ，故D正确. 故选：ABD 12．（24-25高一下·江苏南京·期中）下列四个等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对A，，利用两角和的正切公式化简求解；对B，利用二倍角余弦公式求解；对C，先化切为弦转化为齐次分式，再利用二倍角正弦公式求解即可；对D，通分，再利用两角差的正弦公式化简计算即可得答案. 【详解】，A正确； ，В错误； ，故С正确； ，D正确， 故选：ACD. 三、填空题 13．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知，则______． 【答案】/ 【分析】令，即，，代入利用二倍角公式即可求解. 【详解】令，即，， ， 故答案为：. 14．（2025·江苏·模拟预测）已知，，则_______． 【答案】 【分析】以为整体，根据同角三角关系求，结合倍角公式可得，再结合诱导公式运算求解. 【详解】因为，则，且， 可得， ， 则， 所以. 故答案为：. 15．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知，则______. 【答案】/0.28 【分析】逆用两角差的余弦公式求出的值，再利用二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】∵， ∴. 故答案为：. 16．（24-25高一下·江苏南通·月考）计算:______ 【答案】 【分析】，结合正弦和差公式，二倍角公式及同角三角函数关系化简，得到答案. 【详解】 ， 所以原式. 故答案为： 17．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知，则________. 【答案】/ 【分析】先利用两角和差的正弦公式化简得出，再利用诱导公式和倍角公式化简得出即可求出. 【详解】因为， 即， 所以 . 故答案为：. 18．（24-25高一下·江苏南京·期中）若是第一象限角，且，则的值为_________． 【答案】 【分析】由同角三角函数关系及倍角公式即可求解. 【详解】因为，又是第一象限角，易得， 原式， 故答案为： 四、解答题 19．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，即可求出，，再代入计算可得； （2）首先求出，即可求出，从而求出，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， ， 所以. （2）因为， 所以， 所以， 所以； 因为，所以， 又，所以， 所以，所以. 20．（25-26高一上·江苏无锡·月考）计算 (1)已知，求的值； (2)已知，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，根据平方公式和二倍角公式求出的值； （2）由，利用平方关系结合题意求得的值． 【详解】（1）由， 得， 解得，则； （2）由，得： ． 21.（24-25高一下·江苏南通·期末）已知，． (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据和差角公式化简可得，结合同角三角函数的基本关系可得结果. （2）根据同角三角函数的基本关系、二倍角公式及两角差的正弦公式可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 化简得， 因为，所以， 所以，即，故. （2）由，得，且， 所以. 因为，所以， 由得， 所以， 所以. 22．（24-25高一下·北京·期中）已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用同角公式及二倍角的正切公式求解； （2）根据给定的等式求出，再利用二倍角公式及差角的余弦公式求解即可. 【详解】（1）由，，得，， 所以. （2）由，，得， 又，解得，故， ， 所以. 23．（2025高一上·江苏·专题练习）已知、是方程的两个实数根. (1)求实数的值； (2)求的值； (3)若，求的值. 【答案】(1)；(2)； (3). 【详解】（1）因为、是方程的两个实数根， 由韦达定理得，由，则， 所以. （2）. （3）因为，所以 ， 所以， 因为 ，所以，，， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲：二倍角的三角函数 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点：二倍角的正弦、余弦、正切公式 【题型归纳】 题型一：二倍角的正弦公式 【例1】．（24-25高一下·江苏盐城·月考）已知，则______ 【举一反三】 1．（25-26高一上·江苏南通·期末）设角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知，则_________. 3．（2023·云南大理·模拟预测）在中，若，则________． 题型二：二倍角的余弦公式 【例2】．（24-25高一下·重庆江北·月考）已知，则______. 【举一反三】 1．（24-25高一下·江苏南京·期中）若，，则的值是_____． 2．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知，则__________. 3．（24-25高三下·安徽·月考）已知，则________. 题型三：二倍角的正切公式 【例3】．（24-25高一下·江苏南京·月考）已知，则_________. 【举一反三】 1．（23-24高一下·江苏连云港·月考）已知，则的值为__________. 2．（23-24高三上·海南海口·月考）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则_________． 3．（22-23高一下·江苏扬州·月考）已知，，且，则________. 题型四：二倍角公式的综合应用 【例4】．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【举一反三】 1．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知 (1)求的值； (2)求的值. 2．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知 (1)求证：. (2)若. ①求； ②若，且，求. 3．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，均为锐角，且，． (1)求和值； (2)求的值． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏常州·期末）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·重庆·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2025·广西·模拟预测）四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中较小的锐角为，那么（   ）    A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏南京·月考）若（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江苏南京·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高一上·江苏常州·期末）下列等式不成立的有（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·江苏南通·期末）下列各式中运算正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知，则（　　） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·江苏连云港·期中）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·江苏南京·期中）下列四个等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 13．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知，则______． 14．（2025·江苏·模拟预测）已知，，则_______． 15．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知，则______. 16．（24-25高一下·江苏南通·月考）计算:______ 17．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知，则________. 18．（24-25高一下·江苏南京·期中）若是第一象限角，且，则的值为_________． 四、解答题 19．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知. (1)求的值； (2)若，求的值. 20．（25-26高一上·江苏无锡·月考）计算 (1)已知，求的值； (2)已知，求的值. 21.（24-25高一下·江苏南通·期末）已知，． (1)求； (2)若，求的值． 22．（24-25高一下·北京·期中）已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 23．（2025高一上·江苏·专题练习）已知、是方程的两个实数根. (1)求实数的值； (2)求的值； (3)若，求的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $