精品解析：2026年陕西省咸阳市秦都区咸阳启迪中学 九年级中考第一次适应性训练数学试题

2025-2026学年第二学期九年级第一次适应性训练 数学试题 一、选择题（共8小题，共24分） 1. 绝对值的倒数是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 3. 如图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形．已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C D. 5. 已知正比例函数，则当时，函数的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 6. 面积为， 是的平分线， 于 P，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点在上，点为外一点，，，则的度数可能是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如下表： x 0 1 3 y 3 5 3 下列结论： （1）； （2）当时，y的值随x值的增大而减小； （3）3是方程的一个根； （4）当时，． 其中正确的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二．填空题（共6小题，共18分） 9. 求不等式的解集为______． 10. 已知在一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是______边形． 11. 如图1所示的中国结是我国特有的手工编织品，它象征着团结、吉祥、和谐．它是按照一定的规律编织而成的，如图2是其抽象出的平面图形，若其中第①个图形中共有9个小正方形，第②个图形中共有14个小正方形，第③个图形中共有19个小正方形，；则第⑨个图形小正方形的个数为______． 12. 为节约用电，某市实行“阶梯电价”，收费方法如下：每户每月用电量不超过240度的部分，每度电价0.6元；超过240度但不超过400度的部分，每度电价0.65元；超过400度的部分，每度电价0.9元．若该市某居民12月份共缴纳电费222元，则该居民12月份共用电______________度． 13. 如图，的面积为3，边AO在x轴上，点C在y轴上，点B、D在双曲线上，B、D两点的横坐标之比是1:3，则的面积是__________． 14. 如图，在矩形中，，，点是边上的一个动点，把沿折叠，点落在处，如果恰在矩形的对角线上，则的长为______． 三．解答题（12题共78分） 15. 计算：． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 解方程：． 18. 如图，在中，点 是边的中点，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．(不写作法，保留作图痕迹) 19. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，垂足分别为E，F．求证：． 20. 四大名著是中国文学史中的经典作品，也是世界宝贵的文化遗产之一，其中的人物和故事情节千古传诵．如图所示的四张卡片中，有一张正面印着《西游记》中人物肖像，一张正面印着《水浒传》中人物肖像，两张正面印着《三国演义》中人物肖像（依次记为A、B、C、D），这些卡片除正面不同外其余均相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． （1）从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到正面印有“诸葛亮”的概率是_______； （2）小明和小颖玩抽卡片游戏，规则如下：小明从这四张卡片中随机抽取一张，并记录卡片上的人物，不放回，小颖再随机抽取一张，并记录卡片上的人物，若他们抽到的两张卡片上对应的人物出自同一本名著，则小明胜，否则小颖胜，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平． 21. 《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间． 数学小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行实验探究．实验小组通过观察，每小时记录一次箭尺读数，得到下表： 供水时间x（小时） 箭尺读数y（厘米） （1）小组成员将以上数据整理并在平面直角坐标系中描点，观察各点的分布规律，发现它们在同一条直线上，请求出与之间的函数关系式； （2）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为厘米） 22. 暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． （1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； （2）求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 23. 随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．为了倡导“加强锻炼，健康生活”的理念，某校团委随机对本校部分学生进行了关于“参与绕城绿道骑行情况”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题 （1）本次调查总人数为_________人，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“骑行部分”对应的扇形圆心角的度数； （3）若该校共有3000名学生，请你估计该校“骑行全程”的学生人数． 24. 如图，在的边上取一点O，以O为圆心，为半径画，与边相切于点C，连接，平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 25. 掷实心球是中招体育考试抽选考项目，如图1是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． 分值（单位：分） 成绩（单位：米） 分值（单位：分） 成绩（单位：米） 100 8 95 7.2 90 6.4 85 6.25 80 61 75 5.95 70 5.8 65 565 60 5.5 55 5.35 （1）求抛物线的表达式； （2）根据中招体育考试评分标准（女生）如表1，投掷过程中，测量实心球从起点到落地点的水平距离与表1的分值对应，求该女生在此项考试中的得分； （3）在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩，当掷出点的高度至少达到多少时，可得满分100． 26. 【问题提出】 （1）如图1，在边长为6的等边中，点D在边上，，连接，则的面积为 ； 【问题探究】 （2）如图2，已知在边长为6的正方形中，点E在边上，点F在边上，且，若，求的面积； 【问题解决】 （3）如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中E、F分别在、边上（不与点B、C、D重合），且，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的？若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级第一次适应性训练 数学试题 一、选择题（共8小题，共24分） 1. 的绝对值的倒数是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，乘积为1的两个数互为倒数求解即可． 【详解】解：由题意得，的绝对值的倒数是 2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由三视图还原几何体，根据主视图得选项B中的几何体主视图是直角三角形，同时其左视图与俯视图都是长方形． 【详解】解：由四个选项知，主视图是直角三角形的只有选项B中的几何体，同理其左视图与俯视图都是长方形，符合题意． 3. 如图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形．已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的性质得，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式、同底数幂的乘法，熟练掌握各运算法则是解题的关键．根据合并同类项法则、幂的乘方与积的乘方法则、单项式乘单项式法则、同底数幂的乘法法则逐项计算判断即可． 【详解】解：∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ，选项A正确； ∵ 积的乘方等于乘方的积， ，选项B错误； ∵ 合并同类项，系数相加，字母部分不变， ，选项C错误； ∵ 幂的乘方，底数不变，指数相乘， ，选项D错误． 故选：A． 5. 已知正比例函数，则当时，函数的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性是解答此题的关键．根据正比例函数的性质，当比例系数时，函数值随的增大而增大．因此，在区间内，函数的最大值出现在的最大值处． 【详解】解：∵时，函数y随x的增大而增大， ∴当时，取得最大值，， 故选：D． 6. 面积为， 是的平分线， 于 P，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积，全等三角形的判定与性质；延长交于点D，可证明，则，从而可转化得到，即可解答． 【详解】解：延长交于点D， ∵ 是的平分线， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴（）． 故选B． 7. 如图，点在上，点为外一点，，，则的度数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令交于点，连接、，如图所示，先判断是等腰直角三角形，得到，从而得到，再由圆周角定理得到，最后由外角性质确定，结合四个选项中的角度判断即可得到答案． 【详解】解：令交于点，连接、，如图所示： ，， ， 是等腰直角三角形，则， ， ， ， ， 是的一个外角， ， 即， 综合四个选项中的角度，只有满足要求， 故选：D． 【点睛】本题考查圆中求角度，涉及圆的基本性质、勾股定理的逆定理、圆周角定理、三角形外角性质等知识，熟记相关几何性质是解决问题的关键． 8. 二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如下表： x 0 1 3 y 3 5 3 下列结论： （1）； （2）当时，y的值随x值的增大而减小； （3）3是方程的一个根； （4）当时，． 其中正确的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，由时，，所以，时，，所以，结合时，，可得，即（1）正确；再利用表格中数据可得对称轴为，即可判断（2）；根据时，，得，将3代入即可判断（3）；分别求得和时，的值与0等关系即可判断． 详解】解：（1）由图表中数据可得出：时，， 所以二次函数开口向下，； 又时，， 所以， 所以，故（1）正确； （2）∵二次函数开口向下，且对称轴为， 则当时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误； （3）∵时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵时，， ∴3是方程的一个根，故（3）正确； （4）∵时，，得， ∴时，， ∵时，，且函数有最大值， ∴当时，，故（4）正确． 故选：B． 二．填空题（共6小题，共18分） 9. 求不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】先去分母，不等式两边同乘，然后移项，合并同类项，再系数化为运算即可． 【详解】解： ． 10. 已知在一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是______边形． 【答案】六 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的内角和公式，多边形外角和定理是解题的关键． 根据题意，设这个多边形的边数为，由多边形的内角和公式和多边形的外角和定理，可得，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意，得， 解得：，即这个多边形是六边形． 故答案为：六． 11. 如图1所示的中国结是我国特有的手工编织品，它象征着团结、吉祥、和谐．它是按照一定的规律编织而成的，如图2是其抽象出的平面图形，若其中第①个图形中共有9个小正方形，第②个图形中共有14个小正方形，第③个图形中共有19个小正方形，；则第⑨个图形小正方形的个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形可知第个图形共有个小正方形，由此计算即可得出结果． 【详解】解：第①个图形中共有个小正方形； 第②个图形共有个小正方形； 第③个图形共有个小正方形； ； 第个图形共有个小正方形； 当时，， 则第⑨个图形小正方形的个数为：． 12. 为节约用电，某市实行“阶梯电价”，收费方法如下：每户每月用电量不超过240度的部分，每度电价0.6元；超过240度但不超过400度的部分，每度电价0.65元；超过400度的部分，每度电价0.9元．若该市某居民12月份共缴纳电费222元，则该居民12月份共用电______________度． 【答案】 360 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．先判断出该居民家今年12月份的用电量是多于240度而少于400度，再设该居民家12月份的用电量为x，根据题意列出一元一次方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴该居民家今年12月份的用电量是多于240度而少于400度， 设该居民家12月份的用电量为x，则 ， 解得：． 该居民家12月份用电360度． 故答案为：360． 13. 如图，的面积为3，边AO在x轴上，点C在y轴上，点B、D在双曲线上，B、D两点的横坐标之比是1:3，则的面积是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用▱AOBC的面积为3，得到△OBC的面积为，求得双曲线的解析式为，设B(a，)，D(3a，)，利用面积公式即可求解． 【详解】解：∵▱AOBC的面积为3， ∴△OBC的面积为， ∴， ∴双曲线的解析式为， ∵点B、D在双曲线上，且B、D两点的横坐标之比是1:3， ∴设B(a，)，D(3a，)， ∴△OBE和 △ODF的面积都为， 过点B、D分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义及三角形的面积，求得的值是解题的关键． 14. 如图，在矩形中，，，点是边上的一个动点，把沿折叠，点落在处，如果恰在矩形的对角线上，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，解决本题的关键是综合运用矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识．先根据勾股定理求出，由相似三角形的性质求得，由三角形相似的判定定理证得，根据相似三角形的性质求得． 【详解】解：连接， 四边形是矩形，，， ，，， ∴， 由翻折的性质得：垂直平分， ，， ， ， ，， ， ∴，即， ， ． 故答案：． 三．解答题（12题共78分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【解析】 【分析】先利用平方差公式以及完全平方公式对整式进行化简，再代数求值即可． 【详解】解： 将代入上式得， 原式． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】先去分母化为一元一次方程，然后解一元一次方程，再检验即可． 【详解】解： ， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 18. 如图，在中，点 是边的中点，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．(不写作法，保留作图痕迹) 【答案】作图见解析 【解析】 【分析】作线段的垂直平分线交于点，连接即可． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线交于点，连接， ∴， ∴， ∴， 则点即为所作． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，考查了基本作图（作线段垂直平分线），垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的定义及性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 19. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，垂足分别为E，F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解决问题的关键． 根据矩形的性质求出，根据推出即可证得结论． 【详解】证明：四边形是矩形， ． ，， ．． ， ， ． 20. 四大名著是中国文学史中的经典作品，也是世界宝贵的文化遗产之一，其中的人物和故事情节千古传诵．如图所示的四张卡片中，有一张正面印着《西游记》中人物肖像，一张正面印着《水浒传》中人物肖像，两张正面印着《三国演义》中人物肖像（依次记为A、B、C、D），这些卡片除正面不同外其余均相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． （1）从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到正面印有“诸葛亮”的概率是_______； （2）小明和小颖玩抽卡片游戏，规则如下：小明从这四张卡片中随机抽取一张，并记录卡片上的人物，不放回，小颖再随机抽取一张，并记录卡片上的人物，若他们抽到的两张卡片上对应的人物出自同一本名著，则小明胜，否则小颖胜，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平． 【答案】（1） （2）游戏不公平，见解析 【解析】 【分析】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了概率公式． （1）直接利用概率公式求解； （2）先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出抽到的两张卡片上对应的人物出自同一本名著的结果数，接着利用概率公式计算出小明胜的概率和小颖胜的概率，然后比较两概率的大小即可判断这个游戏是否公平． 【小问1详解】 解：从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到正面印有“诸葛亮”的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：只有C、D出自同一本名著， 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片上对应的人物出自同一本名著的结果数为2， 所以小明胜的概率， 所以小颖胜的概率， 因为， 所以这个游戏不公平． 21. 《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间． 数学小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行实验探究．实验小组通过观察，每小时记录一次箭尺读数，得到下表： 供水时间x（小时） 箭尺读数y（厘米） （1）小组成员将以上数据整理并在平面直角坐标系中描点，观察各点的分布规律，发现它们在同一条直线上，请求出与之间的函数关系式； （2）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为厘米） 【答案】（1） （2）下午点 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的表达式是解题的关键． （）用待定系数法求解即可； （）把代入（）中所求解析式，求出x值即可求解． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式， 由，得， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 则， ∴下午点． 22. 暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． （1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； （2）求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用---坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于，根据正弦的定义求出； （2）过点作于，根据矩形的性质求出，进而求出，再根据正弦的定义计算即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于， 在中，，m， 则m， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为； 【小问2详解】 解：如图，过点作于， 则四边形矩形， ， ， ， 在中，， 则， 答： 缆车的行驶路线的长约为． 23. 随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．为了倡导“加强锻炼，健康生活”的理念，某校团委随机对本校部分学生进行了关于“参与绕城绿道骑行情况”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题 （1）本次调查总人数为_________人，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“骑行部分”对应的扇形圆心角的度数； （3）若该校共有3000名学生，请你估计该校“骑行全程”的学生人数． 【答案】（1）200，见解析 （2） （3）人 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图和扇形统计图，理解统计图并能根据统计图中的数据计算相应的数量是解决本题的关键． （1）根据没有骑行的人数以及它对应的百分比求解即可； （2）先求出“骑行部分”所占百分比，根据百分比求扇形圆心角度数即可； （3）先求出“骑行全程”所占的百分比再推广到全校求解即可． 【小问1详解】 解：（人）． ∴本次调查的学生人数为200人． 补全条形统计图，如图所示： 故答案为：200； 【小问2详解】 解：， ∴扇形统计图中“骑行部分”所占扇形圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：（人）， ∴估计该校“骑行全程”的学生人数约为人． 24. 如图，在的边上取一点O，以O为圆心，为半径画，与边相切于点C，连接，平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过点O作于点D，，由切线的性质可得，由证得，可得，由切线的判定可得结论； （2）由锐角三角函数可得，由勾股定理可求，设的半径为r，再由勾股定理列方程可求解． 【小问1详解】 证明：过点O作于点D， 则， ∵与边相切于点C， ∴，即， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是半径， ∵， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：在中，， ∵ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的半径为r，则 在中，， ∵， ∴， ∴ ∴的半径为 【点睛】本题是考查了切线的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，熟记切线的判定定理及锐角三角函数是解本题的关键． 25. 掷实心球是中招体育考试的抽选考项目，如图1是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． 分值（单位：分） 成绩（单位：米） 分值（单位：分） 成绩（单位：米） 100 8 95 7.2 90 6.4 85 6.25 80 6.1 75 5.95 70 5.8 65 5.65 60 5.5 55 5.35 （1）求抛物线的表达式； （2）根据中招体育考试评分标准（女生）如表1，投掷过程中，测量实心球从起点到落地点的水平距离与表1的分值对应，求该女生在此项考试中的得分； （3）在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩，当掷出点的高度至少达到多少时，可得满分100． 【答案】（1） （2）该女生在此项考试中的得分在分和分之间． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意设出关于的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可； （3）由题可设，把代入解析式即可求出，令即可求解． 【小问1详解】 解：由题可知，抛物线的顶点坐标为， 设关于的函数表达式为： 把代入得：， 解得： ∴关于的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：由题意得，当时， ， 解得，（舍去） ∴该女生在此项考试中的得分在分和分之间． 【小问3详解】 解：由题可设， 把代入得， ∴， ∴， 将代入得， ， 则当掷出点的高度至少达到时，可得满分100． 26. 【问题提出】 （1）如图1，在边长为6的等边中，点D在边上，，连接，则的面积为 ； 【问题探究】 （2）如图2，已知在边长为6的正方形中，点E在边上，点F在边上，且，若，求的面积； 【问题解决】 （3）如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中E、F分别在、边上（不与点B、C、D重合），且，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的？若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）15 （3）存在一个面积最小的，其最小面积为 【解析】 【分析】如图所示，过点A作于E，利用等边三角形的性质得到，，再利用勾股定理得到，即可利用求出答案； 如图所示，延长到G使得，连接，证明（SAS），得到，，再证明（SAS），得到，，则； 把绕点A顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到,则，；过点E作于M，作于N，则四边形是矩形，则，解直角三角形得到，进而得到，即，则当的面积最小时，的面积最小；如图所示，作的外接圆，圆心为O，连接，，，过点O作于H，设，由圆周角定理得到，则，推出，由于，则当最小时，的面积最小，故当A、O、H三点共线时，有最小值，最小值为，则，即存在一个面积最小的，其最小值为． 【详解】解：（1）如图1所示，过点A作于E，     ∵是边长为6的等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）如图2所示，延长到G使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴（SAS）， ∴，， 又∵， ∴； （3）存在一个面积最小的；理由如下： 把绕点A顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到， ∴， ∵， ∴， 过点E作于M，作于N，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当的面积最小时，的面积最小； 如图3所示，作的外接圆，圆心为O，连接，，，过点O作于H，设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当r最小时，的面积最小， ∵， ∴， ∴， ∴当A、O、H三点共线时，r有最小值，最小值为， ∴， ∴存在一个面积最小的，其最小值为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，解直角三角形，正方形的性质，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，通过作辅助线构造直角三角形，全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $