精品解析：2025年陕西省咸阳市秦都区启迪中学九年级中考一模数学试题

2024-2025学年度第二学期九年级第一次适应性训练 本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），全卷共6页，总分120分，考试时间120择分钟． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值．负数的绝对值等于它的相反数，据此即可求得答案． 【详解】解：的绝对值是2025， 故选：A． 2. 如图所示的正六棱柱，其俯视图是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从上面看，看到的图形是一个正六边形，即看到的图形如下： ， 故选：C． 3. 如图，点在直线上，．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意易得，，进而问题可求解． 【详解】解：∵点在直线上，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义，熟练掌握垂直的定义及邻补角的定义是解题的关键． 4. 已知单项式与的积为，那么、的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】按照单项式乘单项式计算单项式与的积，再根据单项式与的积为，即可求得答案． 【详解】解：∵，单项式与的积为， ∴，， 故选：B 【点睛】此题考查了单项式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5. 已知点和点均在一次函数（k为常数，且）的图像上，若，则的值不可能是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据，不妨设，则可得到，即随着的增大而减小，进而得到，即，即可得出结果． 【详解】解：∵点和点均在一次函数（k为常数，且）的图像上，且， 不妨设，则：， ∴随着的增大而减小， ∴， ∴； 故的值不可能是4； 故答案为：A 6. 下列图象中，可以表示一次函数与正比例函数（k，b为常数，且）的图象不可能的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，根据正比例函数的性质和一次函数的图象，可以得到的正负和、的正负，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】A、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项A不可能，符合题意； B、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项B可能，不符合题意； C、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项C可能，不符合题意； D、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项D可能，不符合题意； 故选：A． 7. 如图，中，平分，，于，，则的长为（ ） A. 8 B. 10 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理， 角平分线的性质，三线合一定理，过点D作于E，则由角平分线的性质可得，由三线合一定理得到，利用勾股定理求出，则． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选：C． 8. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，根据二次函数与y轴交于y轴的正半轴得到，根据对称轴计算公式得到，即，则在x轴正半轴上；由二次函数顶点在第二象限，得到当时，，再由二次函数与x轴无交点，得到，则点在第二象限，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数与y轴交于y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴在x轴正半轴上； ∵二次函数顶点在第二象限， ∴当时，， ∵二次函数与x轴无交点， ∴， ∴点在第二象限， ∴经过点和点的直线一定经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 写出一个绝对值小于 的负整数是_________________．(写出符合条件的一个即可) 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题估算无理数的范围，先推导，继而得到x可取或或，从而得解．会推导无理数介于哪两个整数之间是解题的关键． 【详解】∵ ∴， 设这个负整数是x， ∵这个负整数的绝对值小于 ， ∴， ∴x可取或或， 故答案为：(答案不唯一) 10. 因式分解x3－9x=__________． 【答案】x（x+3）（x－3） 【解析】 【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解． 【详解】解：x3－9x， =x（x2－9）， =x（x+3）（x－3）． 【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底． 11. 如图，PA，PB是圆O的切线，切点为A、B，∠P＝50°，点C是圆O上异于A，B的点，则∠ACB等于_____． 【答案】65°或115°． 【解析】 【分析】连接OA，OB，进而求出∠AOB=130°，再分两种情况：当C在优弧AB上，当C在劣弧AB上，理由圆周角定理和圆内接四边形的性质，即可得出结论． 【详解】解：如图，连接OA、OB， ∵PA、PB分别切⊙O于点A、B， 则∠OAP＝∠OBP＝90°； 在四边形APBO中，∠P＝50°， ∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠P﹣∠OBP＝360°﹣50°﹣90°﹣90°＝130° ①当点C在优弧AB上时，∠ACB＝∠AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）， ∴∠ACB＝65°； 当点C在劣弧AB上时，记作C'， 由①知，∠ACB＝65°， ∵四边形ACBC'是⊙O的内接四边形， ∴∠AC'B＝180°﹣∠ACB＝180°﹣65°＝115°， 故答案为：65°或115°． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，求出∠AOB是解本题的关键． 12. 已知点A(−2，m)在一个反比例函数的图象上，点A′与点A关于y轴对称．若点A′在正比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为_______． 【答案】y= 【解析】 【分析】根据点A与点A′关于y轴对称，得到A′(2，m)，由点A′在正比例函数的图象上，求得m的值，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵点A与点A′关于y轴对称，且A(−2，m)， ∴A′(2，m)， ∵点A′在正比例函数的图象上， ∴m=×2， 解得：m=1， ∴A(−2，1)， 设这个反比例函数的表达式为y=， ∵A(−2，1) 在这个反比例函数的图象上， ∴k=-2×1=-2， ∴这个反比例函数的表达式为y=， 故答案为：y=． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出m的值． 13. 如图，在菱形中，，，点和点分别为对角线和边上的动点（不与端点重合），连接，，当是直角三角形时，的长为______． 【答案】4或5##5或4 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，正切，勾股定理．分类讨论是解题的关键． 如图，过点C作的延长线于，由菱形，可得，，，则，，设，则，由勾股定理得，，可求得，，，则，，由题意知，当是直角三角形时，分，两种情况利用计算求解即可． 【详解】解：如图，过点C作的延长线于， ∵菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴设，则， 由勾股定理得，， 解得，， ∴，，， ∴， ∴， 由题意知，当是直角三角形时，分，两种情况求解； ①当时， ∵， ∴，即， 解得，，； ②当时， ∵， ∴，即， 解得，； 综上所述，的长为4或5， 故答案为：4或5． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊三角函数值、零次幂及二次根式运算可直接进行求解． 【详解】解：原式=． 【点睛】本题主要考查特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算是解题的关键． 15. 已知，求代数式的值． 【答案】1 【解析】 【分析】先对代数式进行化简，然后再利用整体思想进行求解即可． 【详解】解： = =， ∵， ∴， 代入原式得：原式=． 【点睛】本题主要考查整式的乘法运算及完全平方公式，熟练掌握利用整体思想进行整式的化简求值是解题的关键． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解答此题的关键．先去分母，方程两边同乘以，将分式方程化为整式方程，求解并检验即可； 【详解】 解：方程两边同乘以，得：， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 17. 如图，已知是的一个外角．请用尺规作图法，求作射线，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】作的角平分线即可． 【详解】解：如图，射线即为所求作． 【点睛】本题考查了角平分线、三角形外角的性质、平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 18. 如图，在中，，D是的中点，，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定以及性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由等腰三角形三线合一的性质得出，有平行线的性质得出，结合已知条件可得出，即可证明四边形是矩形． （2）由（1）可知四边形是矩形．由矩形的性质得出，，，由已知条件可得出，由勾股定理求出，最后根据等面积法可得出，即可求出． 【小问1详解】 证明：∵， D是BC的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 由（1）可知四边形是矩形． ∴，，， ∵D是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴ 即， ∴． 19. 某数学小组做摸球实验，在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的白球和红球共5个，将球搅拌均匀后从袋子中随机摸出一个球，记录球的颜色再放回袋中，重复多次试验，经统计发现摸到红球的频率大约为． （1）用频率估计概率，估计袋子中红球的个数为______________； （2）从袋子中随机摸出一个球，记录颜色后，再从剩余的球中随机摸出一个球，记录颜色．利用（1）中结果，用树状图或列表的方法，求两次摸出的球恰好都是红球的概率． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，树状图法或列表法求解概率： （1）根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到红球的概率大约为，据此利用概率计算公式求出红球的个数即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两次摸出的球恰好都是红球的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵重复多次试验，经统计发现摸到红球的频率大约为．， ∴摸到红球的概率大约为， ∴估计袋子中红球的个数为， 故答案为：3； 【小问2详解】 解：设用A、B、C表示3个红球，用D、E表示两个白球，列表如下： 由表格可知，一共有20种等可能性的结果数，其中两次摸出的球恰好都是红球的结果数有6种， ∴两次摸出的球恰好都是红球的概率为． 20. 某生物学习小组正在研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况．当他们尝试施用某种药物时，发现会对，两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验数据统计发现，药物施用量()与，植物的生长高度()，()的关系如图所示． （1）请分别求植物、植物生长高度与药物施用量的函数关系式； （2）请求出两种植物生长高度相同时，药物的施用量()为多少？ 【答案】（1）；； （2）两种植物生长高度相同时，药物的施用量为； 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，利用待定系数法求出，关于x的关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出两直线的交点横坐标即可得到答案． 【小问1详解】 解：设，， 把代入中得：， ∴， ∴； 把代入中得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：联立， 解得， ∴两种植物生长高度相同时，药物的施用量为； 21. 新学期，小华和小明被选为升旗手，为了更好地完成升旗任务，他俩想利用测倾器和阳光下的影子来测量学校旗杆的高度．如图所示，旗杆直立于旗台上的点处，他们的测量方法是：首先，在阳光下，小华站在旗杆影子的顶端处，此时，量得小华的影长，小华身高；然后，在旗杆影子上的点处，安装测倾器，测得旗杆顶端的仰角为，量得，，旗台高．已知在测量过程中，点在同一水平直线上，点在同一条直线上，均垂直于．求旗杆的高度．（参考数据：） 【答案】旗杆的高度为 【解析】 【分析】本题考查测高，涉及三角函数测高、利用太阳光测高、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，设，在中，解直角三角形得到，从而求出相关线段长，再根据，由相似列式求解即可得到答案，掌握测高题型及解法是解决问题的关键． 【详解】解：过作，如图所示： 设，则， ， ， 在中，，解得， ，即， 在太阳光下，，则， ，解得， 答：旗杆的高度为． 22. 多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受广大消费者的喜爱，某品牌早餐机的进价为240元/台，商店以320元/台的价格出售，“五一”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于的价格降价出售，则该早餐机每台最多可降价多少元？[利润率（售价进价）进价）] 【答案】该早餐机每台最多可降价32元 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设该早餐机每台降价元，根据计划以利润率不低于的价格降价出售，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：设该早餐机每台降价元，由题意，得： ， 解得：； ∴该早餐机每台最多可降价32元． 23. 环球网消息称：近年来的电动自行车火灾事故都是充电时发生的，超过一半的电动自行车火灾发生在夜间充电的过程中．为了规避风险，某校政教处对学生进行规范充电培训活动，并对培训效果按10分制进行检测评分．为了解这次培训的效果，现从各年级随机抽取男、女生各10名的检测成绩作为样本进行整理，并绘制成如下不完整的统计图表： 抽取的10名女生检测成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 人数 1 2 3 注：10名女生检测成绩的中位数为8.5分． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）样本中男生检测成绩为10分的学生数是_____，众数为______分； （2）女生检测成绩表中的______，______； （3）已知该校有男生545人，女生360人，若认定检测成绩不低于9分为“优秀”，估计全校检测成绩达到“优秀”的人数． 【答案】（1）2，8 （2）2，2 （3）398人 【解析】 【分析】本题考查统计图表，扇形统计图，利用样本估计总体，从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用样本容量乘以10分的学生数所占的百分比，求出男生检测成绩为10分的学生数，百分比最大的分数为众数，求解即可； （2）根据中位数的定义结合题意求出即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ∵8分的人数所占的百分比最大，即8分的人数最多， ∴众数为8分； 故答案为：2，8； 【小问2详解】 ∵中位数为第5个和第6个数据的平均数，且中位数为8.5分 ∴数据从小到大排列后，第5个是8分，第6个是9分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2，2； 【小问3详解】 （人）， 答：估计全校检测成绩达到“优秀”的人数为398人． 24. 如图，在 中， ，以为直径的交于点D，点E是线段的中点，连接并延长交的延长线于点 F． （1）求证：直线是的切线； （2）若的半径为 ，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，利用圆周角定理推出为直角三角形．利用直角三角形性质得到，利用等腰三角形性质得到．，再利用等量代换得到，即可证明直线是的切线； （2）利用解直角三角形得到，证明，利用相似三角形性质得到，设，则，在中，，，利用勾股定理建立等式求解，即可解题． 【小问1详解】 证明：连接，， 为的直径， ， 为直角三角形． 在中，E为的中点， ， ． ， ． ， 即于 D， 为的半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：，， ． ， 的半径为， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 设，则， 在中，，，， ， 解得，（舍去） ． 【点睛】本题考查相似三角形判定及性质，勾股定理，切线的判定，圆周角定理，直角三角形性质，三角函数的计算，掌握圆的基础知识是解题的关键． 25. 综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，是第一象限抛物线上的一个动点，若点的横坐标为，连接，，，． （1）求，，三点的坐标，并求直线的函数表达式； （2）当四边形的面积有最大值时，求出的值． 【答案】（1），，，直线的解析式为； （2）m的值为2； 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积等知识，运用了数形结合思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）分别令和即可求出，，三点坐标，然后利用待定系数法即可求出直线的函数表达式； （2）过作轴的垂线交于，设，则，根据题意表示出四边形的面积，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 令，得， 解得或， ∴，， 令，得， ∴； 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过作轴的垂线交于， 设，则， ∴四边形的面积 ， ∵， ∴当时，四边形的面积最大， ∴当四边形的面积最大时，的值为； 26. 课本再现 （1）如图（）所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区，提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使，到它的距离之和最短？请确定奶站的位置并说明理由； 类比思考： （2）如图（），，点在内且，为上一点，为上一点，求周长的最小值； 拓展应用： （3）如图（），四边形是某市一休闲广场，其中，，，，点，，，分别在，，，上，且，现小明从点出发，沿四边形走一圈回到点处，求小明行走的最短路程． 【答案】（1）见解析； （2）周长的最小值是；（3）小明行走的最短路程是． 【解析】 【分析】（1）如图中，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，此时的值最小，根据三角形的三边关系可说明理由； （2）如图中，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于，于，此时的周长最小，将周长问题转化为线段长度的问题解答即可； （3）如图，根据中作图可知：当点共线时，四边形的周长最小，根据勾股定理和含角的直角三角形的性质即可解答， 【详解】解如图，奶站应建在点处，才能使，到它的距离之和最短； 理由是∶在街道上任取一点异于点的点，连接，，， ∵点与关于直线对称， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴． 中，． ∴， 奶站应建在点处，才能使，到它的距离之和最短； 如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于，于，此时的周长最小， 连接， 由对称得∶，，， ∵， ∴ ∴ ∴的周长， 即周长的最小值是； 如图，分别作点关于，的对称点，分别作点，于的对称点，延长，交于点，过点作，过点作于点， ∴，， ∴四边形的周长 ∴当点，共线时，四边形的周长最小， ∵， ∴， 中，，， ∵． ∴， 在中，，． ∵， ∴， 中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴． 由勾股定理得∶； 即小明行走的最短路程是． 【点睛】此题是四边形的综合题，考查了轴对称的最短路径问题，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，掌握轴对称的最短路径问题正确作图是解答此类题目的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期九年级第一次适应性训练 本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），全卷共6页，总分120分，考试时间120择分钟． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 如图所示的正六棱柱，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点在直线上，．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 已知单项式与的积为，那么、的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知点和点均在一次函数（k为常数，且）的图像上，若，则的值不可能是（ ） A 4 B. C. 2 D. 6. 下列图象中，可以表示一次函数与正比例函数（k，b为常数，且）的图象不可能的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，中，平分，，于，，则长为（ ） A. 8 B. 10 C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 写出一个绝对值小于 的负整数是_________________．(写出符合条件的一个即可) 10. 因式分解x3－9x=__________． 11. 如图，PA，PB是圆O的切线，切点为A、B，∠P＝50°，点C是圆O上异于A，B的点，则∠ACB等于_____． 12. 已知点A(−2，m)在一个反比例函数的图象上，点A′与点A关于y轴对称．若点A′在正比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为_______． 13. 如图，在菱形中，，，点和点分别为对角线和边上的动点（不与端点重合），连接，，当是直角三角形时，的长为______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14 计算：． 15. 已知，求代数式的值． 16 解方程：． 17. 如图，已知是的一个外角．请用尺规作图法，求作射线，使．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在中，，D是的中点，，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 19. 某数学小组做摸球实验，在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的白球和红球共5个，将球搅拌均匀后从袋子中随机摸出一个球，记录球的颜色再放回袋中，重复多次试验，经统计发现摸到红球的频率大约为． （1）用频率估计概率，估计袋子中红球的个数为______________； （2）从袋子中随机摸出一个球，记录颜色后，再从剩余的球中随机摸出一个球，记录颜色．利用（1）中结果，用树状图或列表的方法，求两次摸出的球恰好都是红球的概率． 20. 某生物学习小组正在研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况．当他们尝试施用某种药物时，发现会对，两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验数据统计发现，药物施用量()与，植物的生长高度()，()的关系如图所示． （1）请分别求植物、植物生长高度与药物施用量的函数关系式； （2）请求出两种植物生长高度相同时，药物的施用量()为多少？ 21. 新学期，小华和小明被选为升旗手，为了更好地完成升旗任务，他俩想利用测倾器和阳光下的影子来测量学校旗杆的高度．如图所示，旗杆直立于旗台上的点处，他们的测量方法是：首先，在阳光下，小华站在旗杆影子的顶端处，此时，量得小华的影长，小华身高；然后，在旗杆影子上的点处，安装测倾器，测得旗杆顶端的仰角为，量得，，旗台高．已知在测量过程中，点在同一水平直线上，点在同一条直线上，均垂直于．求旗杆的高度．（参考数据：） 22. 多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受广大消费者的喜爱，某品牌早餐机的进价为240元/台，商店以320元/台的价格出售，“五一”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于的价格降价出售，则该早餐机每台最多可降价多少元？[利润率（售价进价）进价）] 23. 环球网消息称：近年来的电动自行车火灾事故都是充电时发生的，超过一半的电动自行车火灾发生在夜间充电的过程中．为了规避风险，某校政教处对学生进行规范充电培训活动，并对培训效果按10分制进行检测评分．为了解这次培训的效果，现从各年级随机抽取男、女生各10名的检测成绩作为样本进行整理，并绘制成如下不完整的统计图表： 抽取的10名女生检测成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 人数 1 2 3 注：10名女生检测成绩的中位数为8.5分． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）样本中男生检测成绩为10分的学生数是_____，众数为______分； （2）女生检测成绩表中______，______； （3）已知该校有男生545人，女生360人，若认定检测成绩不低于9分为“优秀”，估计全校检测成绩达到“优秀”的人数． 24. 如图，在 中， ，以为直径的交于点D，点E是线段的中点，连接并延长交的延长线于点 F． （1）求证：直线是的切线； （2）若的半径为 ，求的长． 25. 综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，是第一象限抛物线上的一个动点，若点的横坐标为，连接，，，． （1）求，，三点的坐标，并求直线的函数表达式； （2）当四边形的面积有最大值时，求出的值． 26. 课本再现 （1）如图（）所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区，提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使，到它的距离之和最短？请确定奶站的位置并说明理由； 类比思考： （2）如图（），，点在内且，为上一点，为上一点，求周长的最小值； 拓展应用： （3）如图（），四边形是某市一休闲广场，其中，，，，点，，，分别在，，，上，且，现小明从点出发，沿四边形走一圈回到点处，求小明行走的最短路程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $