精品解析：辽宁沈阳市一二六中学和平湾校区2025-2026学年下学期九年级学情自测数学试题

数学 （满分100分，时间70分钟） 一．选择题（共10小题，每题3分） 1. 如图，空心圆柱的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题考查了几何体的三视图，熟练掌握基本几何体的三视图是解题的关键． 找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的棱都应表现在左视图中． 【详解】解：圆柱的左视图是矩形，里面有两条用虚线， 故选：C． 2. 在2025年五一假期期间，辽宁省文化和旅游厅推出“沐春寻芳 悠游辽宁”2025春游辽宁消费季活动．据大数据测算，5天假期，辽宁省累计接待游客超33000000人次，将数据“33000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法—表示较大的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：B． 3. 下列数学符号既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】轴对称图形是沿一条直线折叠后，直线两旁部分能完全重合的图形，中心对称图形是绕某点旋转后能与原图形重合的图形，依据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一判断各选项即可求解． 【详解】A选项既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． B选项是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． C选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． D选项是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A.，计算错误. B .，计算错误. C .，计算错误. D .，计算正确. 5. 为增强学生健康饮食意识，某中学计划开展“营养健康伴成长，合理膳食筑未来”主题教育活动，从3名志愿者（2名男生，1名女生）中随机抽取2人担任活动宣讲员，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了列举法求概率，列举出所有等可能结果数是解题的关键． 通过列举所有可能抽取结果数和恰好抽取1名男生和1名女生，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：∵从3人（2男1女）中随机抽取2人，所有可能结果为：（男1，男2）、（男1，女）、（男2，女），共3种．其中恰好1男1女的结果为：（男1，女）、（男2，女），共2种． ∴恰好是1名男生和1名女生的概率是． 故选D． 6. 如图，，点在上，交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质，得到，根据直角三角形的性质，得，解答即可． 本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 7. 如图，在矩形中，，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线分别交，于点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接，由题意知，，，是线段的垂直平分线，，设，则，在中，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意知，，，是线段的垂直平分线， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，，即，解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 8. 如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是(　　) A msin35° B. mcos35° C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据锐角三角函数定义可得sinA=，所以BC=,故选A. 考点：锐角三角函数定义. 9. 某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，设平均每次降价的百分率为，根据“原来每件售价为150元，连续两次降价，商品每件售价为96元”等信息进行列式，即可作答． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， ∵原来每件售价为150元，连续两次降价，商品每件售价为96元， ∴， 故选：D． 10. 已知抛物线如图所示，那么下列各式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系．根据对称轴和函数图像判断a、b、c的符号是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断a的大小，由抛物线与y轴的交点判断c的大小，根据对称轴与x轴交点情况、抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：A． ∵抛物线开口向上， ∴， ∴A成立，不符合题意； B． ∵抛物线的对称轴，，， ∴， ∴B不成立，符合题意； C． ∵抛物线交y轴负半轴， ∴， ∴C成立，不符合题意； D． 由图象知：当时，， ∴D成立，不符合题意． 故选：B． 二．填空题（共5小题，每题3分） 11. 若代数式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式和二次根式和分式有意义的条件；根据分式和二次根式的定有意义的条件列出不等式，即可得到答案． 【详解】解：代数式有意义的的取值范围是， 解得：， 故答案为：． 12. 某射击小组20人某次射击训练的成绩如图所示，则这次射击成绩的中位数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数．根据中位数的定义解答即可． 【详解】解：把20人的射击成绩从小到大排列为5，5，6，6，6，7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，位于正中间的两个数分别为7和8， ∴这次射击成绩的中位数是． 故答案为： 13. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，O在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D，测得，则树高_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据题意可得，然后由相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：和均为直角， ， ， ， ，，， ． 故答案为：8． 14. 如图，是正五边形的外接圆，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理和正五边形的性质．由正五边形的性质得出，然后根据圆周角定理即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵是正五边形， ∴， ∴ 故答案为：． 15. 如图，已知点与点分别在反比例函数与的图像上，且，则的值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴，过点作轴，根据值的几何意义得，，证明，根据相似三角形的性质可得的值． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点与点分别在反比例函数与的图像上， ∴，， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∵， ∴． 【点睛】相似三角形的面积比等于相似比的平方；反比例系数的几何意义主要体现在与坐标轴围成的矩形的面积为，而三角形的面积为． 三．解答题 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】 (1) (2) 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值计算，二次根式，零次幂，分式的混合运算， （1）分别算出二次根式，特殊角的三角函数值，零次幂，绝对值，再根据实数的混合运算法则计算即可； （2）根据分式的性质化简即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 小明进行铅球专业训练，教练员尝试用数学模型来研究铅球的运动情况，从而做出指导．如图是小明在某次比赛前训练时，铅球行进高度（米）与水平距离（米）之间的函数图象，铅球经过的路径可以看作抛物线．铅球在距离地面米的处出手，在距离出手点水平距离米处（即米）达到最高点，这次训练的成绩是米． （1）求这次训练中铅球经过路径的函数表达式； （2）求这次训练中，铅球距离地面的最大高度为多少米？ 【答案】（1）铅球经过路径的函数表达式为 （2）铅球距离地面最大高度为米 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，，抛物线对称直线为，铅球的落点的坐标为，运用待定系数法即可求解； （2）将二次函数一般式化为顶点式即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得到，，抛物线对称轴为直线，铅球的落点的坐标为， 设铅球经过路径的函数表达式为， ∴， 解得，， ∴铅球经过路径的函数表达式为； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴二次函数图象开口向下，当时，取得最大值，最大值为米， ∴铅球距离地面的最大高度为米． 18. 如图，在中，，是中线，平分交于点．点在边上，以点为圆心的经过、两点，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析； （2）； 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、圆的基本性质和圆中不规则图形面积的计算； （1）连接，根据等腰三角形性质可得，结合角平分线的定义可知，则，根据等腰三角形三线合一的性质可得，据此结合切线的判定定理即可证明； （2）由，，可求的度数，再根据三角形的面积公式和扇形的面积公式计算得到即可； 【小问1详解】 如图所示，连接， 平分交于点， ， 又， ， ， 又，是中线， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 ， ， 由（1）可知， ， ，， ，， 又，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ． 19. 如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则___________度，线段与线段的位置关系是___________； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，，探究线段与线段数量关系为___________，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，直接写出的长． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1），根据菱形的性质说明为等边三角形，再根据等边三角形的性质得出答案； （2），把绕点B顺时针旋转得到，可得为等边三角形，进而得出，再结合已知条件说明，然后根据含直角三角形的性质得出答案； （3），分两种情况：当点P在线段上时，记与交于点H，先根据旋转的性质说明，可得，再设，则，进而求出，然后将数值代入求出，接下来证明，得出，同时代入数值可得答案；当点P在线段上时，延长交于点H，同理说明，可得，再设，进而得出，然后求出，同理可得，由相似三角形的性质得，则此题可解． 【详解】解：（1）∵四边形为菱形， ∴． ∵， ∴为等边三角形． ∵点P与线段的中点O重合， ∴； （2）解：． 理由：如图，把绕点B顺时针旋转得到， ∴， ∴为等边三角形， ∴． ∵点E在线段上，且， ∴,， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中， ∴； （3）如图所示，当点P在线段上时，记与交于点H， 由旋转得． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则， ∴． ∵， ∴， 解得． ∵， ∴， ∴． ∵，为等边三角形， ∴， 解得； 如图，当点P在线段上时，延长交交于点H， 同理可得， ∴， ∴， ∴． 设，而，则， ∴， ∴． ∵， ∴． 同理，， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∴， 解得； 综上所述，的长为或． 20. 如图①，直线与抛物线：交于点，点． （1）求抛物线的表达式； （2）点为直线下方的抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为，则点坐标为（___________，___________）（用含的代数式表示），点坐标为（___________，___________）（用含的代数式表示） （3）如图②，点，连接，将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线，当时，当抛物线与直线只有1个交点时，直接写出的取值范围 【答案】（1） （2）； （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象性质、数形结合的思想方法的运用是解题的关键． （1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）先利用待定系数法求出直线解析式，进而求出点C的坐标，根据轴得到点D的纵坐标为，进而求出点D的坐标； （3）先求出直线解析式，再求出直线在时的两点和的坐标，根据平移的性质得到的解析式，根据图象求出抛物线与直线只有1个交点时，的取值范围． 【小问1详解】 解：将点，点代入得： 解得 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将点，点代入得： ， 解得， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点C的坐标为， 轴， 点D的纵坐标为， 点D在直线上， 将点D的纵坐标为代入得： ， 解得， 点D的坐标为； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 将点，点代入得： 解得， 直线的解析式为， 当时，，直线对应点为， 当时，，直线对应点为， 将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线， 则的解析式为， 当抛物线经过点时，抛物线与线段有一个公共点， 则， 解得， 当抛物线经过点时，抛物线与线段有两个公共点， 则， 解得， 当抛物线与直线有唯一公共点时， ， 整理得， ， 解得， 当时，当抛物线与直线只有1个交点时，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 （满分100分，时间70分钟） 一．选择题（共10小题，每题3分） 1. 如图，空心圆柱的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 在2025年五一假期期间，辽宁省文化和旅游厅推出“沐春寻芳 悠游辽宁”2025春游辽宁消费季活动．据大数据测算，5天假期，辽宁省累计接待游客超33000000人次，将数据“33000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列数学符号既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 5. 为增强学生健康饮食意识，某中学计划开展“营养健康伴成长，合理膳食筑未来”主题教育活动，从3名志愿者（2名男生，1名女生）中随机抽取2人担任活动宣讲员，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，，点在上，交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线分别交，于点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是(　　) A. msin35° B. mcos35° C. D. 9. 某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线如图所示，那么下列各式中不成立是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，每题3分） 11. 若代数式有意义，则x的取值范围是________． 12. 某射击小组20人某次射击训练的成绩如图所示，则这次射击成绩的中位数是__________． 13. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，O在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D，测得，则树高_____． 14. 如图，是正五边形的外接圆，则______． 15. 如图，已知点与点分别在反比例函数与的图像上，且，则的值为___________ 三．解答题 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 小明进行铅球专业训练，教练员尝试用数学模型来研究铅球运动情况，从而做出指导．如图是小明在某次比赛前训练时，铅球行进高度（米）与水平距离（米）之间的函数图象，铅球经过的路径可以看作抛物线．铅球在距离地面米的处出手，在距离出手点水平距离米处（即米）达到最高点，这次训练的成绩是米． （1）求这次训练中铅球经过路径函数表达式； （2）求这次训练中，铅球距离地面的最大高度为多少米？ 18. 如图，在中，，是中线，平分交于点．点在边上，以点为圆心的经过、两点，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 19. 如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则___________度，线段与线段的位置关系是___________； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，，探究线段与线段数量关系为___________，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，直接写出的长． 20. 如图①，直线与抛物线：交于点，点． （1）求抛物线的表达式； （2）点为直线下方的抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为，则点坐标为（___________，___________）（用含的代数式表示），点坐标为（___________，___________）（用含的代数式表示） （3）如图②，点，连接，将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线，当时，当抛物线与直线只有1个交点时，直接写出的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $