精品解析：贵州省黔东南州2026届高三模拟统测数学试卷

黔东南州2026届高三模拟统测数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则 中的元素个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 2. 已知复数z满足，则复数z的实部和虚部分别是（ ） A. ，1 B. 2，1 C. ，i D. 2，i 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知抛物线C： 的焦点为F，点在抛物线C上，且，则（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 5. 一艘轮船从A处出发，沿着正东方向行驶到B处，再从B处向北偏西30°方向行驶千米到达C处，此时，C处在A处的东北方向，则A、C两处之间的距离是（ ） A. 30千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 6. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 将6名同学安排到三个公司实习，每名同学只去一个公司实习，至少安排1名同学去A公司实习，至少安排2名同学去B公司实习，至少安排2名同学去C公司实习，则不同的安排方法有（ ） A. 120种 B. 150种 C. 210种 D. 300种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线l：与圆C：，则（ ） A. 直线l过定点 B. 当时，直线l被圆C所截的弦长为 C. 当直线l与圆C相交时， D. 当直线l与圆C相切时， 10. 如图，这是某校写作兴趣小组25名同学暑假的课外阅读量（单位：本）的折线统计图，则（ ） A. 这25名同学暑假的课外阅读量的众数是4本 B. 这25名同学暑假的课外阅读量的中位数是5本 C. 这25名同学暑假的课外阅读量的平均数是4.4本 D. 这25名同学暑假的课外阅读量的第80百分位数是6本 11. 正四棱锥的外接球的球心为O，半径为R，，，过的中点E作球O的截面，则（ ） A. 直线与平面所成角的正切值为 B. 平面 与平面夹角的余弦值是 C. D. 截面的面积的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量满足，则与的夹角的余弦值为_____. 13. 已知双曲线C： （， ）上任意一点P到其两条渐近线的距离之积为，则双曲线C的离心率为_________. 14. 已知函数，若， ，则a的取值范围是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）求使成立的n的最小值. 16. 某厂质检员对该厂生产的零件进行质检.若第一次检测到某件零件不合格，则判断该零件不合格；若第一次检测到某件零件合格，则进行第二次检测，若第二次检测该零件也合格，则判断该零件合格，否则为不合格.若零件合格，则获利10元；若零件不合格，则亏损20元.已知每件该零件第一次检测合格的概率为，第二次检测合格的概率为，且每件零件是否合格相互独立. （1）求检测3件该零件，至少有2件合格的概率； （2）已知一箱中有4件该零件，记这箱零件总获利元，求的分布列与期望. 17. 如图，在三棱柱中，平面 平面，四边形是矩形， ，. （1）证明： 平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. （3）在线段上是否存在点D，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 已知椭圆C： （）的焦距与短轴长均为. （1）求椭圆C的标准方程. （2）已知直线：（ ）与椭圆C交于A，B两点，点A在x轴上方，过点B作斜率为的直线，交椭圆C于另一个点P. ①证明： . ②求面积的最大值. 19. 已知函数 . （1）当时，求曲线在点处的切线方程. （2）当时，证明：当时，. （3）若有两个零点，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黔东南州2026届高三模拟统测数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则 中的元素个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】因为集合，， 所以， 则 中有4个元素. 2. 已知复数z满足，则复数z的实部和虚部分别是（ ） A. ，1 B. 2，1 C. ，i D. 2，i 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算得到，其中为实部， 为虚部，据此求解. 【详解】由题意可得， 则复数z的实部和虚部分别是2，1. 故选：B. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，解得，则“”是“”的充分不必要条件. 4. 已知抛物线C： 的焦点为F，点在抛物线C上，且，则（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得抛物线的焦点为，准线方程为， 根据抛物线的定义可得，则 . 5. 一艘轮船从A处出发，沿着正东方向行驶到B处，再从B处向北偏西30°方向行驶千米到达C处，此时，C处在A处的东北方向，则A、C两处之间的距离是（ ） A. 30千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】B 【解析】 【详解】如图，由题意可知千米，，， 则由正弦定理知千米. 6. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得， 令，得，此时， 所以图象的对称中心是. 7. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可构造函数，将转化为的函数值间的大小比较，根据导数研究的单调性，进而可得关于的不等式，解不等式即可. 【详解】设，则. 因为，所以，即，所以在上单调递减. 不等式等价于不等式，即. 因为，所以，所以. 因为在上单调递减，所以，解得. 8. 将6名同学安排到 三个公司实习，每名同学只去一个公司实习，至少安排1名同学去A公司实习，至少安排2名同学去B公司实习，至少安排2名同学去C公司实习，则不同的安排方法有（ ） A. 120种 B. 150种 C. 210种 D. 300种 【答案】C 【解析】 【分析】分安排1名同学去A公司实习和安排2名同学去A公司实习，两类情况讨论求解即可. 【详解】安排1名同学去A公司实习，安排2名去B公司实习，3名去C公司实习， 则有种不同的安排方法； 安排1名同学去A公司实习，安排3名去B公司实习，2名去C公司实习， 则有种不同的安排方法； 安排2名同学去A公司实习，有种不同的安排方法. 故满足条件的不同安排方法有种. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线l：与圆C：，则（ ） A. 直线l过定点 B. 当时，直线l被圆C所截的弦长为 C. 当直线l与圆C相交时， D. 当直线l与圆C相切时， 【答案】ABD 【解析】 【详解】由直线l：可得，则直线l过定点，则A正确. 当时，直线l：，圆心C到直线l的距离， 则直线l被圆C所截的弦长为，B正确. 当直线l与圆C相交时，圆心C到直线l的距离，解得，C错误. 当直线l与圆C相切时，圆心C到直线l的距离，解得，D正确. 10. 如图，这是某校写作兴趣小组25名同学暑假的课外阅读量（单位：本）的折线统计图，则（ ） A. 这25名同学暑假的课外阅读量的众数是4本 B. 这25名同学暑假的课外阅读量的中位数是5本 C. 这25名同学暑假的课外阅读量的平均数是4.4本 D. 这25名同学暑假的课外阅读量的第80百分位数是6本 【答案】BCD 【解析】 【详解】由图可得课外阅读量为本的同学有人，为 本的同学有人，为本的同学有人， 为本的同学有 人，为本的同学有人，为本的同学有人，为本的同学有人， 对于A，这25名同学暑假的课外阅读量的众数是5本，A错误； 对于B，将课外阅读量按照从小到大排列，第个数为，中位数是5本，B正确； 对于C，平均数是本，C正确； 对于D，，将课外阅读量按照从小到大排列，第个数为，第个数为， 所以这25名同学暑假的课外阅读量的第80百分位数是6本，D正确. 11. 正四棱锥的外接球的球心为O，半径为R，，，过的中点E作球O的截面，则（ ） A. 直线与平面所成角的正切值为 B. 平面 与平面夹角的余弦值是 C. D. 截面的面积的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】作平面，则是直线与平面所成的角，在中求解判断A；取棱的中点F，连接，，，由正四棱锥的性质易证 是平面 与平面的夹角或其补角，求解判断B；根据题意得，求解判断C；连接，当截面垂直于时，截面的面积最小，求出半径，判断D. 【详解】如图，作平面，则H为线段的中点， 是直线与平面所成的角. 因为，，所以，， 所以，A正确. 取棱的中点F，连接，，. 由正棱锥的性质知点H在线段上，， 则. 由正四棱锥的性质易证 是平面 与平面的夹角或其补角， 则平面 与平面夹角的余弦值是，B错误. 因为，，所以O在正四棱锥外部，连接， 则，解得，C正确. 连接，当截面垂直于时，截面的面积最小. 因为， 所以截面的面积的最小值为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量满足，则与的夹角的余弦值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】将两边平方后可得，从而可求夹角的余弦值. 【详解】由可得， 因为为单位向量，故， 故， 故答案为： 【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 来求；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的等价条件是. 13. 已知双曲线C： （， ）上任意一点P到其两条渐近线的距离之积为，则双曲线C的离心率为_________. 【答案】或 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，结合点到直线距离公式求点到两渐近线的距离的积，由条件可得，化简方程可求，再结合离心率定义求结论. 【详解】设，因为点在双曲线上，所以. 由已知双曲线的渐近线的方程为， 所以点到双曲线的两条渐近线的距离之积为， 所以，即， 即，解得或， 故双曲线的离心率或. 14. 已知函数，若， ，则a的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】按照，，，分类解不等式，通过参变分离求最值即可求解. 【详解】当时，恒成立，此时 . 当时，由 ，得，所以恒成立，即 . 当时，由 ，得，即. 设（），则（）， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，则. 综上，a的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）求使成立的n的最小值. 【答案】（1）； （2）6. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前n项和公式计算基本量，进而可得； （2）直接由前n项和公式和通项公式得不等式，解不等式可得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，首项为， 由题意可得，化简得， 解得，，所以. 【小问2详解】 由（1）可知. 由，得，即， 即，解得或. 因为，所以n的最小值是6. 即使成立的n的最小值为6. 16. 某厂质检员对该厂生产的零件进行质检.若第一次检测到某件零件不合格，则判断该零件不合格；若第一次检测到某件零件合格，则进行第二次检测，若第二次检测该零件也合格，则判断该零件合格，否则为不合格.若零件合格，则获利10元；若零件不合格，则亏损20元.已知每件该零件第一次检测合格的概率为，第二次检测合格的概率为，且每件零件是否合格相互独立. （1）求检测3件该零件，至少有2件合格的概率； （2）已知一箱中有4件该零件，记这箱零件总获利元，求的分布列与期望. 【答案】（1）； （2） ，. 【解析】 【分析】（1）求出随机检测1件该零件合格的概率，利用独立事件的乘法求解； （2）求出的所有可能取值，分别求出的每个可能取值的概率，列出分布列，利用分布列求出期望. 【小问1详解】 由题意可得随机检测1件该零件合格的概率是， 则检测3件该零件，至少有2件合格的概率是. 【小问2详解】 由题意可知X的所有可能取值为， ，，10，40. ， ， ， ， ， 则X的分布列为 故. 17. 如图，在三棱柱中，平面 平面，四边形是矩形， ，. （1）证明： 平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. （3）在线段上是否存在点D，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 因为 ，，所以，所以. 因为平面 平面，且平面平面，平面， 所以 平面. 因为 平面，所以. 因为四边形是矩形，所以. 因为平面，平面，且 ，所以 平面； （2） ； （3） 存在， 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可得，然后由面面垂直性质可得 平面，据此可得，又由四边形是矩形可得，据此可完成证明； （2）由（1）可建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后由空间向量知识可得答案； （3）假设存在满足条件的点D，且（），使得直线与平面所成角的正弦值为，由（2）结合题设可得，据此可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，两两垂直，则以A为坐标原点， ，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为 ，，所以，，，，. 设平面的法向量为， 则，令，得. 易知平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为 ， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 假设存在满足条件的点D，且（）， 使得直线与平面所成角的正弦值为. 由（2）可知，，， 则. 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以. 解得，所以，即， 则存在满足条件的点D，此时. 18. 已知椭圆C： （）的焦距与短轴长均为. （1）求椭圆C的标准方程. （2）已知直线：（ ）与椭圆C交于A，B两点，点A在x轴上方，过点B作斜率为的直线，交椭圆C于另一个点P. ①证明： . ②求面积的最大值. 【答案】（1） ； （2）①解法一：联立方程，解得或. 因为点A在x轴上方，所以 ， ， 则直线的方程为 ，即. 又由，消去y化简得 ， 则，所以， 故点P的坐标为 .如图： ①证明：因为 ， ， 所以直线 的斜率， 所以 ，故 . 解法二：①设 ，则 .如图： 联立方程解得，所以. 又因A，P在椭圆上，所以，两式相减 ，， 又因为，所以，且 ， 所以，即 ，故 . ②. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质可得标准方程； （2）解法一：①直接用 证明两条直线垂直可得；②由三角形为直角三角形可得面积，再通过换元及根据对勾函数的性质可得面积的最大值；解法二：①利用点差法可得且 ，进而可得 ，从而可得 ；②先计算，再根据直线的倾斜角与直线 的倾斜角的差为 ，进而可得，所以三角形的面积 ，再通过换元及根据对勾函数的性质可得面积的最大值. 【小问1详解】 由题意可得，解得 ，， 所以椭圆C的标准方程是 . 【小问2详解】 ①略 解法一：②因为 ， ， 所以. 因为 ， ， 所以 . 因为 ，所以的面积. 设，由 ，得 ，当且仅当时，等号成立， 所以. 因为对勾函数在 上单调递增，所以， 故，当且仅当 即时等号成立， 所以面积的最大值为. 解法二：②设直线的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为，则 ， ， 因为是直角三角形， ， ， 所以 ， 设，由 ，得 ，当且仅当时，等号成立， 所以. 因为对勾函数在 上单调递增，所以， 故，当且仅当 即时等号成立， 所以面积的最大值为. 19. 已知函数 . （1）当时，求曲线在点处的切线方程. （2）当时，证明：当时，. （3）若有两个零点，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）设 ，则 . 显然 在 上恒成立，所以在上单调递减. 又 ，所以 在 上恒成立， 所以在上单调递增， 故 ，即当时， . （3） . 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，求出 和 ，利用点斜式写出切线方程； （2）设 ，利用导数得 在 上恒成立，从而可得函数的单调性和最值； （3）设 ，分情况： ，，和研究函数单调性和最值，从而得解. 【小问1详解】 当时， ，则 ， 从而 ， ， 故曲线 在点 处的切线方程为 ， 即 ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意可得 . 设 ，则 . ①若 ，显然 ，则 在上单调递增，即在上单调递增. 又 ，所以当时， ，当 时， ， 则在上单调递减，在 上单调递增， 又 ，所以只有一个零点，故 不符合题意. ②若，则当 时， ，当 时， ， 则在 上单调递减，在上单调递增. 又 ，所以 ，又 ， 所以存在唯一的 ，使得 . 当 时， ，当时， ， 则在 ， 上单调递增，在上单调递减. 又 ，所以 ，又当时， ， 所以恰有两个零点，则符合题意. ③若，则由（2）知 在R上恒成立，所以在上单调递增， 又 ，所以只有一个零点，则不符合题意. ④若，则当 时， ，当 时， ， 则在 上单调递减，在上单调递增. 又 ，所以 ，又 ， 所以存在唯一的 ，使得 . 当 时， ，当时， ， 则在，上单调递增，在 上单调递减. 又 ，所以 ，又当时， ， 所以恰有两个零点，则符合题意. 综上，a的取值范围为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $