2026年九年级中考数学二轮专题复习十三：正方形的判定与性质综合训练

2025一2026学年九年级中考数学二轮专题复习十三：正方形的判定与性质综合训练 一、选择题 1.如图，E,F,G,H分别为正方形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点，且 1 AE=BF=CG=DH=3AB’则图中S:SE方m的值为（） H D M E P G F A B c D. 2.如图，两个全等的等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDA有公共斜边AC,且四边形ABCD的 面积为36，△ABE为等边三角形，点E在四边形ABCD内，在AC上有一点P,使 PD+PE的和最小，则这个最小值为() D A.5 B.6 C.7 D.8 3.如图，点E是正方形ABCD的中心（对角线的交点），以点E为直角顶点作R△EFG, Rt△EFG的两直角边EF,EG分别交BC,DC于点M,N,若正方形ABCD的边长为 8,则重叠部分四边形EMCN的面积为() A D E G A.6 B.9 C.12 D.16 4.如图，E为正方形ABCD内一点，∠CEB=90°，CE=5,CB=13,将Rt△CBE绕点 C按顺时针方向旋转9O°，得到△CDF.延长BE交DF于点H,则DH的长为() D B A.7 B.7.5 C.8 D.9 5.如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=45,点E为对角线AC上一点，连接DE. 过点E作EF⊥DE,交BC延长线于点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.在 下列结论中：①矩形DEFG是正方形：②2CE+CG=V5MD:③CG平分∠DCF:④ CE=CF.其中正确的结论有() D A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④ 二、填空题 t△ABC ∠BAC=90°，AB=AC,DBC 6.在等腰 中， 是BC的中点，E是1D的中点，过点A 作AF∥BC交BE的延长线于点F. A D (1)证明：四边形ADCF是正方形： ②若B=+5,求正方形4DC 的面积 7.如图，在正方形ABCD中，G、E、F是正方形边上的点，连接BE、GF,BE与GF交 于点M,MB=ME,∠MGD+∠MED=180°. G E B (I)求证：BE=FG: ②连接EF、BF、BG、GE， PORS 、 的中点P、Q、R、S,试说明四边形是什么特殊的四边 形 8.如图，正方形ABCD的一边CD在直线I上，直线PD交直线I于点D,∠PDA=45°，点 F在直线l上，连接BF,过点F作EF⊥BF交直线PD于点E. 图1 图2 图3 (I)如图1，当点F为线段CD的中点时，判断BF与EF的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点F在线段CD上运动时，判断(1)中的数量关系是否依然成立，并说明理 由； ③)活P=5ED,连接E,E交正方形BCD-边于点M,直接写出am∠MBC 的值. 9.如图，正方形ABCD中，G是BC延长线上的一点，E是线段BG上的一点，CP平分 ∠DCG,连接AE、PE,AE=PE. D G B G B 图1 图2 备用图 (I)如图1，当E在边BC上时，求证AE⊥PE (2)如图2，当E在边BC延长线上时，连接AP交CD延长线于点F,连接EF,请直接写出 DF、BE、EF之间的数量关系 ③)在(2)的条件下，当CD=3DF,PF=4iD时，求EF的长. 10.如图，Rt△CEF中，∠C=90°，EA、FA为△CEF的外角平分线，过点A分别作直线 CE,CF的垂线，B,D为垂足. F (I)∠EAF= 。(直接写出结果不写解答过程)： (2)①求证：四边形ABCD是正方形： ②若BE=EC=4,求DF的长， POR ∠QPR=45° (3)借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若锐角三角形 中， 一条 高是PH 它的长度为6， QH=2 HR ，直接写出“的长度， I1.如图L,已知正方形1BCD E,F,G,H 的边长为3，点 分别在正方形的四条边上，且满 足BE=CF=DG=AH=1,顺次连接点E,F,G,H围成四边形EFGH,连接EG. 图1 图2 图3 (1)求四边形EFGH的对角线EG的长. (2)将四边形EFGH绕点E旋转一周，在旋转过程中，分别解答下列问题. AF ①如图2，当点G落在CE的延长线上时，连接AF,BH,求BH的值： ②如图3，已知点O是EG的中点，连接DO,DF,当∠CDO最小时，记此时DF的长为 m:当∠CDO最大时，记此时DF的长为n.直接写出m-n的值. ABCD 4,C 12.如图，将矩形 放置在平面直角坐标系中，点B与原点重合，点分别在y轴 和x轴上，顶点Da,)的坐标a,b 满足V0-4+仍-4=0 B (O) (1)求证：四边形ABCD为正方形： (2)若点E为线段BC边上的动点，连接AE,过E点作EF⊥AE,且AE=EF,连接 CF,∠DCF的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由； (3)连接AF,当AF=8时，直接写出BE的长. 13.四边形ABCD AB=3,E 为正方形， 为对角线1C上一点，连接DE,过点E作 EF⊥DE,交射线BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG. G E B B (备用图) (1)AC的长为 ∠ACB= 度： (2)如图，当点F在线段BC的延长线上时， ①求证：矩形DEFG是正方形： ②若CG=25,求正方形DEFG 的边长： (3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是35°时，请直接写出∠EFC的度数. 14.如图，在正方形ABCD中，AB=4,点E是AC上的一点，连结DE.过点E作 EF⊥ED,交AB于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接AG. E A B (I)求证：矩形DEFG是正方形： (2)若F恰为AB的中点，请求出AE的长. I5.如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E,EF⊥AD于点F,DG⊥AE于 点G,DG与EF交于点O. B E (I)求证：四边形ABEF是正方形： (2)若AD=AE,求证：AB=AG: (3)在(2)的条件下，已知AB=1,求OG的长. 参考答案 一、选择题 1.D 2.B 3.D 4.A 5.A 二、解答题 6.【详解】(1)解：证明：：AF∥BC, ∴.∠AFE=∠DBE E是AD的中点， .AE =DE, 又，∠BED=∠FEA, 在△FAE和△BDE中， [∠AFE=∠DBE ∠BED=∠FEA AE=DE ∴.△FAE≌△BDE(AAS) :AF =BD :D是BC的中点， :BD=DC .AF DC, 又：AF∥BC ∴.四边形ADCF是平行四边形， ,∠BAC=90°，AB=AC,D是BC的中点， 在RAR4C中，AD=DC=)BC,DLPC 2 ∴.平行四边形ADCF是正方形： (2)解：”AB=AC,AB=4V2 ..AC=AB=4V2 AD=DC,AD⊥DC 由(1)知， 在Rt△ACD中， AD=CD= -AC=4 2 S正方形CF=AD2=16 7.【详解】(1)证明：如图，过点G作GH1BC于点H,则∠GHF=90°， :四边形ABCD是正方形， :AD/∥BC,∠ABC=∠C=90°，AB=BC, .AB=GH,∠DGF=∠HFG, .BC=GH :∠MGD+∠MED=180°，∠MED+∠BEC=180°， .∴.∠MGD=∠BEC G .∴.∠BEC=∠HFG D 在△BCE和△GHF中， [∠BCE=∠HGF=90° ∠BEC=∠HFG M BC=GH BL H ∴aBCE≌AGHF(AAS :.BE FG: (2)解：由(1)可知，△BCE≌aGHF, G ∴.BE=FG,∠CBE=∠HGF, .∠HGF+∠GFH=90° :∠CBE+∠GFH=90°， ∠BMF=90°， .BE⊥FG, 如图，连接EF、BF、BG、GE的中点P、Q、R、S, ∴.PO OR RS PS S分别是△BEF、△BFG、△BEG△EFG 的中位线， .P OR-FG.PS-FG,PQ BE DS/FG 2 .P OR-PS-FG 四边形PQRS是平行四边形， BE=FG,BE⊥FG, .PQ=RS=QR=PS,P⊥PS, .四边形PORS是正方形. 8.【详解】(I)解：BF=EF,理由如下： 如图，取BC的中点G,连接FG, :四边形ABCD是正方形， BC=CD,∠BCD=∠ADC=90° ,点F为线段CD的中点，点G为BC的中点， BG=CG-BC-CD=CF-DF, ∴.∠CGF=∠CFG=45°， .∠BGF=135°， .∠PDA=45°， ∴.∠FDE=∠PDA+∠ADC=135°， ∴.∠BGF=∠FDE :∠BCD=90°，EF⊥BF, .∠GBF+∠BFC=90°，∠DFE+∠BFC=90°， .∠GBF=∠DFE, 在△GBF和△DFE中 I∠BGF=∠FDE BG=FD ∠GBF=∠DFE' :aGBF≌ADFE(ASA) .BF=EF」 (2)解：BF=EF依然成立，理由如下： 如图，在BC上截取一点G,使得CG=CF,连接FG, ,四边形ABCD是正方形， 、BC=CD,∠BCD=∠ADC=90° ∴BC-CG=CD-CF,即BG=FD, 又CG=CF,∠BCD=90°， .∠CGF=∠CFG=45°， .∠BGF=135°， .∠PDA=45° ∴.∠FDE=∠PDA+∠ADC=135°， ∴.∠BGF=∠FDE, :∠BCD=90°，EF⊥BF, ∴.∠GBF+∠BFC=90°，∠DFE+∠BFC=90°」 ∴.∠GBF=∠DFE, 在△GBF和△DFE中， I∠BGF=∠FDE BG=FD ∠GBF=∠DFE' :.△GBF≌aDFE(ASA .BF=EF (3)解：①如图，当点F在CD上时，过点E作EH⊥AD于 点H,作EG⊥CD,交CD延长线于点G, ∴，四边形DGEH是矩形，Rt△DEH是等腰直角三角形， .DH=EH M 矩形DGEH是正方形， E ∴.DH=EH=EG=DG, 由上己证：BF=EF, G 设DH=EH=EG=DG=(x>0O,则 ED=VDH2+EH2=√2x BF=5ED EF=BF=10x BE=BF2+EF2=25x FG=EF2-EG2-3x 在△BCF和△FGE中， ∠CBF=∠GFE ∠BCF=∠FGE=90° BF=FE :△BCF≌aFGE(AAS ∴.BC=FG=3x, ,四边形ABCD是正方形， AD=AB=BC=3x,AD∥BCBA⊥AD .∠AMB=∠MBC,AB∥EH,AH=AD-DH=2x, ∴.△EHM∽△BAM, HM EH x 1 ·AM=BA3x3' --, 3 an∠MBC=tan∠AMB=4B=3x=2 AM 3 ②如图，当点F在DC延长线上时，延长BC至点N,使得CN=CF,过点E作EG⊥CD 于点G,连接FV,BD :四边形ABCD是正方形，