精品解析：陕西省铜川市2026届高三模拟预测（二）数学试题

铜川市2026届模拟预测（二）数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名，准考证号，座位号填写在本试卷上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效．作答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本题8共小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 已知集合，，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，，故， 又因为，故. 2. 将棱长为1的正方体的六个面的中点相连接可以得到一个八面体，则这个八面体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 该八面体由正四棱锥和正四棱锥组成. 结合正方体的特征易知，四边形为正方形，且边长， 所以四边形的面积为. 正四棱锥和正四棱锥的高均为正方体边长的一半，即. 所以这个八面体的体积为. 3. 若向量，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，可得坐标，根据数量积的坐标公式，代入求解，即可得答案. 【详解】由题意，， 因为，所以， 则，解得. 4. 已知函数的定义域为，，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 函数是奇函数 D. 函数是偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】令求出可判断A，令可得，利用等差数列的求和公式求和后可判断B，求出后令，结合B中分析可得，据此可判断CD的正误. 【详解】对于A，令，则，故，故A错误； 对于B，令，则， 所以，故为等差数列，首项为零，公差为， 故，故B错误； 对于C，因为，，故， 故，同理， 在中令， 则，由B的分析可得， 所以，所以， 所以，所以， 所以函数是奇函数，故C正确； 对于D，由C的分析可得即， 故函数是奇函数，故D错误. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出函数的定义域和奇偶性，再根据指定区间函数值的符号即可求出结果. 【详解】， ，则，即定义域为， 设，则， 故为偶函数，图象关于轴对称，排除BC， 当时，，，，，排除A， 所以选项D正确. 6. 已知双曲线，是过右焦点且垂直于轴的弦，若点，到该双曲线的同一条渐近线的距离之和为2，则其离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的坐标，渐近线的方程，再根据点到直线的距离公式列方程解得半焦距，进而可求得离心率. 【详解】由双曲线的方程知渐近线方程为， 设，因为是过右焦点且垂直于轴的弦，所以， 过分别作渐近线，即的垂线，垂足分别为，如图： 则. 又点，到该双曲线的同一条渐近线的距离之和为2， 所以，即，整理得. 将代入上式得，解得，所以， 所以离心率. 7. 已知等比数列与等差数列，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助等比数列与等差数列性质计算可得、，再计算余弦即可得解. 【详解】设等比数列的公比为， 由，得，则， 设等差数列的公差为， 由，得，则， 所以． 8. 耀州中学的225名同学与王益中学的256名同学一起春游，将两所中学的学生混合在一起，随机组合，重新组织队伍，要求每队人数相同且队伍数量尽可能少，那么耀州中学的沉香和王益中学的李飞出现在同一个队伍的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出一起春游的总人数的最大真因数，从而找到每队人数最多的分队方式，再计算两人分到同一队的概率. 【详解】耀州中学、王益中学共有名同学一起春游， 要求每队人数相同且队伍数量尽可能少，即求的最大真因数， 因为，所以每队37人，共13队， 沉香被分到某队后，李飞需占据该队伍剩余的36个名额之一， 所以两个人出现在同一个队伍的概率为，即为. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分） 9. 已知抛物线的焦点为．准线为，过点作斜率为的直线与抛物线交于两点，过的中点作轴的垂线和抛物线相交于点，和准线相交于点．则（） A. 准线的方程为 B. 抛物线过点的切线与所在直线平行 C. D. 存在值，使得的面积值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，将抛物线方程化为标准形式，根据抛物线的性质求准线方程即可判断，对于B，设直线方程为，，联立方程组可得，，求点的坐标，再结合导数的几何意义求切线斜率即可判断，对于C，利用点的坐标求可得结论，对于D，利用表示三角形面积，列方程求可得结论. 【详解】对于选项A，抛物线化为标准形式， 设抛物线的焦点到准线的距离为， 则，故，因此焦点，准线，A错误， 对于选项B，设直线方程为， 联立，消得， 方程的判别式， 设，由根与系数的关系可得：，， 中点的坐标为：，，即， 过作轴垂线，得，， 对求导得，点横坐标为，切线斜率为，和直线斜率相等，因此切线与平行，选项B正确， 对于选项C，三点横坐标相同，距离为纵坐标差的绝对值：， 所以，选项C正确， 对于选项D，的面积， 令，得， 化简可得，所以存在，选项D正确. 10. 已知数列的首项，且满足，下列说法正确的有（ ） A. B. 数列为等差数列 C. 数列的前项和大于4 D. 数列为单调递减数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】代入计算可判断A；根据等差数列定义计算可判断B；根据裂项相消法计算可判断C；根据作商法计算可判断D. 【详解】因为，所以， 对于A，由题意可得，因为， 所以，故A正确； 对于B，由等差数列定义可知，数列是以为首项，为公差的等差数列，故B正确； 对于C，由B可知，，， 则， 设数列的前项和为， 则 ， 所以数列的前项和小于4，故C错误； 对于D，因为，所以， 因为， 所以，则数列为单调递减数列，故D正确. 11. 将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若是偶函数，则（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上的所有零点之和为，则的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】先由平移变换得，再是偶函数，得，进而可得及，再结合三角恒等变换得，根据正弦函数的性质可判断BC选项，对D，将函数的零点转化为函数与图象在上的交点的横坐标，进而转化为函数在与交点的横坐标，从而可判断结果. 【详解】因为函数的图象向左平移后得到函数的图象， 所以，又因为偶函数， 所以，得，即， 再由，所以，所以A错误； 对于B，因为，所以， 所以函数的图象关于点对称，B正确； 对于C，因为， 所以 ， 因为，所以，函数在单调递增，C正确； 对于D，因为， 所以函数在上零点，转化为函数与图象在上的交点的横坐标， 令，所以函数在有两条对称轴和，如图： 当时，函数与有两个交点，且关于对称， 即，所以，得. 当时，函数与有3个交点，， ，所以，得. 所以函数在上的所有零点之和为，则，D错误. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 假设为正整数，如果存在一个完全平方数，使得在十进制下这个完全平方数的各位数字之和为，那么就记作好数，（比如7就是一个好数，因为25的各位数字之和为7）那么在中共存在好数的个数是___________ 【答案】897 【解析】 【分析】完全平方数数字的和与平方数本身模9同余的可能余数为，好数必须满足，在中，统计满足上述条件的个数即可. 【详解】一个完全平方数的各位数字之和与这个数本身模9同余，即, 完全平方数模9结果只能是， 对于，取（如），的各位数字之和为， 可以覆盖所有的倍数； 对于，取，，各位数字之和为， 再结合可以构造出形式的数； 对于，取（，数字和7），（，数字和）， （，数字和），再结合可以扩展到形式的数； 对于，取（，数字和7），（，数字和）， （，数字和），同样可以扩展到. 综上，在范围内，所有满足的数， 都存在对应的完全平方数，其各位数字之和为. 好数必须满足， 模9余0的数：9，18，，2016，共个， 模9余1的数：1，10，，2017，共个， 模9余4的数：4，13，，2011，共个， 模9余7的数：7，16，，2014，共个， 所以在中共存在好数的个数为个. 故答案为：. 13. 在三角形中，角所对的边分别为．若，且三角形的周长为，则该三角形面积的最大值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理角化边可得或，当时，利用表示三角形的周长并利用基本不等式求面积的最大值，当时，利用三角形的面积公式结合导数求面积的最大值即可. 【详解】因为， 所以由余弦定理可得， 即，解得或， 又因为， 当时，， 由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立，解得， 所以该三角形面积，此时； 当时，设，，则， 由三角形的性质可得，解得， 由海伦公式可得， 令， 所以， 令解得（舍去），或， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以， 所以， 因为， 所以，即； 综上该三角形面积的最大值， 故答案为： 14. 我们把经过同一点且半径相等的圆称为共点等圆.在平面上过同一点有个共点等圆，其中任何两个圆都有两个不同的交点，但任何三个圆除点外无其他公共点，记这个共点等圆共有个交点，若，则__________. 【答案】21 【解析】 【详解】过同一点有个等圆，当增加第个圆时， 第个圆与前个圆各有一个除外的交点， 因此递推关系为：， 当时，三个等圆过同一点， 每两个圆有个交点，但是公共点， 所以除外，每两个圆有个交点， 三个圆中两两组合的数量为， 因此， 由递推关系式可得： ， ， ， 将这些式子累加得： ， 所以， 又因为，所以，整理得：， 因式分解得：，解得：或， 又， 所以. 四、解答题：（本题共5小题，共77分；15题13分；16-17题15分；18-19题17分；解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤） 15. 记为等差数列的前项和.已知且. （1）求的通项公式； （2）设函数，，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据前项和的定义，以及等差数列的性质，转化为的方程组，即可求解； （2）根据等比数列的求和公式，以及导数公式求得，再利用错位相减法求和. 【小问1详解】 设数列的公差为，由可知 ，则 又，令可得 联立解得，，则 【小问2详解】 当，时， ，当，时，成立， 所以 ，则， 16. 在中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且． （1）若，求的大小； （2）设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度. 【答案】（1）； （2）2 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得到，根据，结合三角形面积公式建立关于的方程，再结合余弦定理求解； （2）同（1）建立关于的方程，再结合基本不等式求解最值，进而根据等腰三角形性质求解即可. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得. 因为的角平分线交于点，所以， 由，得， 则， 即，所以. 在中，由余弦定理得， 即； 【小问2详解】 由，得， 得， 化简得，即， 所以，即， 当且仅当时等号成立，取得最小值，面积取得最小值， 此时为等腰三角形，为中点，则既是中线也是角平分线. 即重合，故. 17. 小明和小红参加班级数学老师组织的游戏，游戏共2轮，每轮的规则如下：每轮开始时，小明和小红手中各有两张牌，一张是王牌，一张是鬼牌，每人每次独立地随机取出1张牌相互交换，交换3次后该轮结束.2轮进行完游戏结束． （1）记每轮游戏在交换1次后，小明手里王牌的张数为，求的分布列及数学期望； （2）定义事件为“至少有1轮结束后，小明手里的两张牌种类相同”．求事件的概率 （3）若游戏改为仅进行1轮，交换次数变为变量．若老师规定：若最终小明手里两张牌相同，则小明获胜并获得奖金100元；若不同，则小红获胜并获得奖金100元．为了使游戏公平（即双方期望收益相等），交换次数应满足什么条件？ 【答案】（1） 0 1 2 数学期望为1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据离散型随机变量的分布列和数学期望计算即可. （2）根据独立重复事件的概率计算公式计算即可. （3）求出交换次后小明手中两张牌种类相同的概率，根据题意列方程求解即可. 【小问1详解】 交换1次后，随机变量的所有可能取值为0，1，2. ，，. 所以随机变量的分布列为 0 1 2 随机变量的期望 【小问2详解】 设表示交换次后小明手中两张牌种类相同的概率，则，， 则经过3次后，. 事件“至少有1轮结束后，小明手里的两张牌种类相同”的对立事件为“两轮结束后，小明手里的两张牌种类不同”，其概率为， 所以事件的概率为. 【小问3详解】 设表示交换次后小明手中两张牌种类相同的概率，则，， 所以， 所以是以为首项，为公比等比数列， 所以，所以. 为了使游戏公平，小明获胜的概率应为，所以，解得. 18. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点在椭圆上. （1）求的方程； （2）已知上一点，且不在轴上，直线，与的另一个交点分别为，. （ⅰ）若点的坐标为，求直线的方程； （ⅱ）若，，求的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据条件，直接建立方程组，解出，即可求解； （2）（i）根据条件直接求出点坐标和直线的方程，联立椭圆方程，求出点坐标，即可求解；（ii）设，根据条件用和表示出点的坐标，再利用在椭圆上，可得，，即可求解. 【小问1详解】 由题知，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 （i）因为，又 ，由对称性知， 又，所以， 由，消并整理得到，解得或， 当时，，所以， 则，所以直线的方程为，即. （ii）设，，则， 又，则，解得，， 因为在椭圆上，则，即， 又，则， 易知，化简得，则， 又因为， 又，则，解得，， 因为在椭圆上，则，即， 又，则， 易知，化简得，得到， 故. 19. 如图所示，在直角梯形中，，，，分别是，上的点，且， ，（），，将四边形沿向上翻折，连接，，，在翻折的过程中，设（），记几何体的体积为． （1）求证：平面； （2）若平面平面． ① 求证：； ② 当取得最大值时，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）① 证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据题意先构建面面平行，即平面平面，因平面，平面，所以平面； （2）①过点作交于点，先证明平面．得到，再证平面，得到，因为，则可证平面，进而证得； ②由题意得到底面的距离为，设点到的高，可证平面，即点到底面的高为，在中使用等面积法可得，进而可使用割补法得几何体的体积，取的中点，连接，易得平面，即，在、、中，结合勾股定理与余弦定理，可得，，当且仅当时等号成立，故当取得最大值时，即取得最小值，，进而可求的值. 【小问1详解】 证明：根据题意可知，， 因为平面，平面，所以平面， 同理，因为平面，平面，所以平面， 又因为是平面内的两条相交直线，所以平面平面， 因为平面，所以平面． 【小问2详解】 ①证明：在平面内过点作交于点， 因为平面平面，平面平面，所以平面． 又因为平面，则； 根据题意，平面图形翻折后，， 且是平面内两条相交直线， 所以平面，又，得平面． 又平面，则， 因为是平面内两条相交直线，所以平面， 因为平面，所以． ②直角梯形中，，，且， 由①可知平面， 由（1）可知由题意平面平面， 所以到底面的距离为， 在中，设点到的高，即， 因为平面，而平面，所以， 因为，平面，所以平面， 故点到底面的高为， 在中，根据三角形的面积公式，∴； 几何体的体积为 ； 取的中点，连接， 因为，所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，所以平面，又因为平面，所以， 在中，， 在中，， 在中，，∴，化简得到， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 故当取得最大值时，即取得最小值，， 所以几何体体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铜川市2026届模拟预测（二）数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名，准考证号，座位号填写在本试卷上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效．作答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本题8共小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 已知集合，，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 将棱长为1的正方体的六个面的中点相连接可以得到一个八面体，则这个八面体的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 若向量，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域为，，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 函数是奇函数 D. 函数是偶函数 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线，是过右焦点且垂直于轴的弦，若点，到该双曲线的同一条渐近线的距离之和为2，则其离心率为（ ） A B. C. D. 2 7. 已知等比数列与等差数列，满足，，则（ ） A. B. C. D. 8. 耀州中学的225名同学与王益中学的256名同学一起春游，将两所中学的学生混合在一起，随机组合，重新组织队伍，要求每队人数相同且队伍数量尽可能少，那么耀州中学的沉香和王益中学的李飞出现在同一个队伍的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分） 9. 已知抛物线的焦点为．准线为，过点作斜率为的直线与抛物线交于两点，过的中点作轴的垂线和抛物线相交于点，和准线相交于点．则（） A. 准线的方程为 B. 抛物线过点的切线与所在直线平行 C. D. 存在值，使得的面积值为 10. 已知数列首项，且满足，下列说法正确的有（ ） A. B. 数列为等差数列 C. 数列的前项和大于4 D. 数列为单调递减数列 11. 将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若是偶函数，则（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上所有零点之和为，则的取值范围是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 假设为正整数，如果存在一个完全平方数，使得在十进制下这个完全平方数的各位数字之和为，那么就记作好数，（比如7就是一个好数，因为25的各位数字之和为7）那么在中共存在好数的个数是___________ 13. 在三角形中，角所对的边分别为．若，且三角形的周长为，则该三角形面积的最大值为_______________． 14. 我们把经过同一点且半径相等的圆称为共点等圆.在平面上过同一点有个共点等圆，其中任何两个圆都有两个不同的交点，但任何三个圆除点外无其他公共点，记这个共点等圆共有个交点，若，则__________. 四、解答题：（本题共5小题，共77分；15题13分；16-17题15分；18-19题17分；解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤） 15. 记为等差数列的前项和.已知且. （1）求的通项公式； （2）设函数，，求数列的前项和. 16. 在中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且． （1）若，求的大小； （2）设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段长度. 17. 小明和小红参加班级数学老师组织的游戏，游戏共2轮，每轮的规则如下：每轮开始时，小明和小红手中各有两张牌，一张是王牌，一张是鬼牌，每人每次独立地随机取出1张牌相互交换，交换3次后该轮结束.2轮进行完游戏结束． （1）记每轮游戏在交换1次后，小明手里王牌张数为，求的分布列及数学期望； （2）定义事件为“至少有1轮结束后，小明手里的两张牌种类相同”．求事件的概率 （3）若游戏改为仅进行1轮，交换次数变为变量．若老师规定：若最终小明手里两张牌相同，则小明获胜并获得奖金100元；若不同，则小红获胜并获得奖金100元．为了使游戏公平（即双方期望收益相等），交换次数应满足什么条件？ 18. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点在椭圆上. （1）求的方程； （2）已知上一点，且不在轴上，直线，与的另一个交点分别为，. （ⅰ）若点的坐标为，求直线的方程； （ⅱ）若，，求的值. 19. 如图所示，在直角梯形中，，，，分别是，上的点，且， ，（），，将四边形沿向上翻折，连接，，，在翻折的过程中，设（），记几何体的体积为． （1）求证：平面； （2）若平面平面． ① 求证：； ② 当取得最大值时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $