精品解析：湖南省长沙市南雅中学2024-2025学年九年级下学期入学考试数学试卷

2025年上学期九年级作业质量检测——数学 一．选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2025 D. 2. 2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列各运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚硬币十次，有五次正面朝上 B. 射击运动员射击一次，命中十环 C. 某彩票的中奖机会是，买1张一定不会中奖 D. 投掷一枚普通的正方体骰子，掷得的点数一定不大于6 5. 关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为﹣2和3，则( ) A. b＝1，c＝﹣6 B. b＝﹣1，c＝﹣6 C. b＝5，c＝﹣6 D. b＝﹣1，c＝6 6. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，的周长为，则的周长是（ ） A. B. C. D. 7. 一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形是(　　) A. 正六边形 B. 正七边形 C. 正八边形 D. 正九边形 9. 佳琪在处理一组数据“22，22，38，45，●”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在40～50之间，根据以上信息可以确定这组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 10. 在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，下列判断正确的是（ ） A. 戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9 B. 丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 C. 丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4 D. 甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9． 二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是______． 12. 圆锥的底面半径是4，母线长是6，则这个圆锥的侧面积为__________（结果保留）． 13. 如图，点A是双曲线上一动点，连接，作，使，当点A在双曲线上运动时，点B在双曲线上移动，则k值为______． 14. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，已知型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元．若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则不同的购买方案共有种___________． 15. 如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点分别在边上，过点E作于点H．当，，时，则的长为______． 三．解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23题每题9分，24、25题每题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： 17 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在中，，． （1）的度数为______； （2）分别以B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点D，连接，则的度数为______． 19. 《民法典》颁布实施已经一年多，胜利社区为了解社区居民对《民法典》内容的知晓情况，对社区居民进行了抽样调查，按知晓情况可分如下四类：A类——完全知晓；B类——知晓；C类——部分知晓；D类——不知晓．并根据调查结果制作了如下不完整的统计图． 知晓等级 频数（人） 频率 A m 0.1 B 20 0.4 C a n D 10 02 请根据图表中的数据回答下列问题： （1）表中________，________，________； （2）补全条形统计图； （3）为了加大《民法典》宣传力度，社区管理部门准备在完全知晓的居民中征集2名志愿宣传者，已知完全知晓的居民中有2名女性，其他为男性，求恰好抽到一男和一女的概率是多少． 20. 如图，，，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 某超市用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元． （1）求：甲、乙玩具的进货单价各是多少元？ （2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多60件，求：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具多少件？ 22. 如图，在中，，以为一边作平行四边形，且，连接交的延长线于点F，，延长交于点G． （1）求证：点A是的中点． （2）若，，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，若函数图象经过点，则称函数为“D函数”； （1）判断以下函数是否是“D函数”，是的在括号内打“√”，不是的打“×”； ①（______）；②（______）；③（______）； （2）已知“D函数”的图象与轴交于点A，点F是该函数图象上一动点．如图1，连接，若平分，求的解析式； （3）如图2，若将（2）中的抛物线平移后仍为“D函数”，且平移后的新抛物线与y轴交于点，过点B作轴交新抛物线于点C．连接，在新抛物线上是否存在点P使．若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 如图1，四边形内接于，对角线交于点，为的直径； （1）求证： （2）如图2，作于F，交于点，若，求的值； （3）记的面积为，的面积为，四边形的面积为，若满足，试判断四边形的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上学期九年级作业质量检测——数学 一．选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2025 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟悉相反数的定义是解题的关键． 根据只有符号不同的两个数互为相反数可得符合题意的选项． 【详解】解：根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数），可知：的相反数是． 故选：B． 2. 2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：数据384000用科学记数法表示为， 故选：C． 3. 下列各运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，合并同类项，二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键，根据合并同类项的法则，完全平方公式，二次根式的乘法法则，对各选项分析判断后利用排除法求解即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 4. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚硬币十次，有五次正面朝上 B. 射击运动员射击一次，命中十环 C. 某彩票的中奖机会是，买1张一定不会中奖 D. 投掷一枚普通的正方体骰子，掷得的点数一定不大于6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了随机事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】解：A．抛掷一枚硬币十次，有五次正面朝上，属于随机事件； B．射击运动员射击一次，命中十环，属于随机事件； C．某彩票的中奖机会是，买1张一定不会中奖，属于随机事件； D．抛掷一枚普通的正方体骰子，掷得的点数一定不大于6，属于必然事件； 故选：D． 5. 关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为﹣2和3，则( ) A. b＝1，c＝﹣6 B. b＝﹣1，c＝﹣6 C. b＝5，c＝﹣6 D. b＝﹣1，c＝6 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到﹣2+3＝﹣b，﹣2×3＝c，即可得到b与c的值. 【详解】由一元二次方程根与系数的关系得：﹣2+3＝﹣b，﹣2×3＝c， ∴b＝﹣1，c＝﹣6 故选：B. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根满足 ，是解题的关键. 6. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，的周长为，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键； 由和是以点为位似中心的位似图形，得，则，然后根据位似图形的周长之比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴周长为的周长， ∵的周长为， ∴的周长为， 故选：． 7. 一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，等腰三角形的性质，即可． 【详解】∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 8. 如图，为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形是(　　) A. 正六边形 B. 正七边形 C. 正八边形 D. 正九边形 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆周角定理可得正多边形的边所对的圆心角，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案． 【详解】如图，设正多边形的外接圆为，连接，， ， ， 而， 这个正多边形为正六边形， 故选：A． 【点睛】本题考查正多边形与圆，圆周角，掌握圆周角定理是解决问题的关键，理解正多边形的边数与相应的圆心角之间的关系是解决问题的前提． 9. 佳琪在处理一组数据“22，22，38，45，●”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在40～50之间，根据以上信息可以确定这组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均数，中位数，众数和方差，根据各位的特点和计算方法，进行判断即可． 【详解】解：∵平均数和方差跟一组数据的每一个数据都有关系， ∴无法确定平均数和方差， ∵众数为一组数据中出现次数最多的数据，当●是45时，有两个众数，当●不是45时，有一个众数， ∴不能确定众数， ∵将这组数据排序后，位于中间的一个为38， ∴中位数为38； ∴能确定这组数据的中位数， 故选B． 10. 在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，下列判断正确的是（ ） A. 戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9 B. 丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 C. 丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4 D. 甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9． 【答案】A 【解析】 【分析】先根据判断出乙同学手里拿的两张卡片上的数字是1和3，从而可得判断出丁同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5，再判断出甲同学手里拿的两张卡片上的数字是4和7，然后判断出丙同学手里拿的两张卡片上的数字是6和10，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意得：是由中的两个不相同的数字相加所得的数， 只能是1与3的和， 即乙同学手里拿的两张卡片上的数字是1和3， ， 丁同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5， ， 甲同学手里拿的两张卡片上的数字是4和7， ， 丙同学手里拿的两张卡片上的数字是6和10， 戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9， 故选：A． 【点睛】本题考查了随机事件、等可能事件，正确列出每位同学的所有可能结果，进行逐一判断是解题关键． 二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义可知，即可得出答案． 【详解】因为分式有意义， 所以， 可得． 故答案为：． 12. 圆锥的底面半径是4，母线长是6，则这个圆锥的侧面积为__________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的计算，熟练掌握圆锥侧面积的计算方法是解题的关键． 根据圆锥的底面求出底面圆的周长，从而得到圆锥侧面展开图形的弧长，然后利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径是4， ∴圆锥的底面圆的周长为：， 即圆锥侧面展开图形弧长为， 又∵母线长是6， ∴圆锥的侧面积为：， 故答案为：． 13. 如图，点A是双曲线上一动点，连接，作，使，当点A在双曲线上运动时，点B在双曲线上移动，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，利用条件构造三角形相似是解题的关键，过作轴于点,过作轴于点,利用反比例函数系数的几何意义得到,由条件证得,进而即可得解． 【详解】解：如图，过作轴于点,过作轴于点, 点A是双曲线上一动点，点在双曲线上移动， ， , , ,且, , ， ， ， ， ， 故答案：. 14. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，已知型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元．若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则不同的购买方案共有种___________． 【答案】3 【解析】 【分析】设购进A种型号的汽车为a辆，B种型号的汽车为b辆，根据题意列二元一次方程，根据整数解即可求解； 【详解】解：设购进A种型号的汽车为a辆，B种型号的汽车为b辆，根据题意得， ， 整理得：， ∴， ∵为正整数， 当，，，符合题意， ∴共有3种方案， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程，根据整数解求解是解题的关键． 15. 如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点分别在边上，过点E作于点H．当，，时，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、菱形的性质，勾股定理，根据菱形性质和解直角三角形求出，，继而求出再根据，即可求． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴， 又∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三．解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23题每题9分，24、25题每题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，绝对值意义，进行计算即可． 【详解】解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算法则是解本题的关键． 先用平方差公式和单项项乘以多项式的法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 18. 如图，中，，． （1）的度数为______； （2）分别以B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点D，连接，则的度数为______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，证得是等边三角形是解答本题的关键． （1）先根据题意求出线段，然后运用勾股定理逆定理即可解答； （2）先根据垂直平分线的性质可得，再结合可得；再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而得到是等边三角形即可解答． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴， ∴，，, ∴, ∴． 【小问2详解】 解：由图可知：是线段的垂直平分线， ∴, ∵，即, ∴, ∵，， ∴, ∴,即是等边三角形， ∴． 19. 《民法典》颁布实施已经一年多，胜利社区为了解社区居民对《民法典》内容的知晓情况，对社区居民进行了抽样调查，按知晓情况可分如下四类：A类——完全知晓；B类——知晓；C类——部分知晓；D类——不知晓．并根据调查结果制作了如下不完整的统计图． 知晓等级 频数（人） 频率 A m 0.1 B 20 0.4 C a n D 10 0.2 请根据图表中的数据回答下列问题： （1）表中________，________，________； （2）补全条形统计图； （3）为了加大《民法典》宣传力度，社区管理部门准备在完全知晓的居民中征集2名志愿宣传者，已知完全知晓的居民中有2名女性，其他为男性，求恰好抽到一男和一女的概率是多少． 【答案】（1）5；15；0.3 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出总人数，根据总人数乘以0.1得到m；总人数减去A、B、D的人数可得a；a除以总人数50可得n； （2）根据人数补图即可； （3）列树状图解答． 【小问1详解】 解：总调查人数为人， ， ， ， 故答案为：5,15,0.3； 【小问2详解】 补全条形统计图如图： 【小问3详解】 由题意知，五名完全知晓的居民中有2名女性，3名男性，画树状图如图： 共有20种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的结果有12种， ∴恰好抽到一男和一女的概率为． 【点睛】此题考查了统计表与条形统计图，利用部分的数量及频率求总体人数，画条形统计图，列树状图求概率，正确理解统计图表是解题的关键． 20. 如图，，，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用“”可证明； （2）先利用全等三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后计算即可． 【小问1详解】 证明：，， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 21. 某超市用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元． （1）求：甲、乙玩具的进货单价各是多少元？ （2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多60件，求：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具多少件？ 【答案】（1）甲6元，乙5元；（2）112件 【解析】 【分析】（1）设甲种玩具的进货单价为x元，则乙种玩具的进价为元，根据结合“用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具件，根据进货的总资金不超过2100元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的整数，即可得出结论． 【详解】解：（1）设甲种玩具的进货单价为x元，则乙种玩具的进价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ． 答：甲种玩具的进货单价6元，则乙种玩具的进价为5元． （2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具件， 根据题意得：， 解得：， ∵y为整数， 答：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具112件． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式． 22. 如图，在中，，以为一边作平行四边形，且，连接交的延长线于点F，，延长交于点G． （1）求证：点A是的中点． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）20 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，平行四边形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定等等： （1）先由平行四边形的性质得到，再证明四边形是平行四边形，得到，可得，即可证明点A是的中点． （2）过点A作于H，先证明，进而得到，则，再证明，得到，设，则，解直角三角形得，由平行四边形的性质得到，则，解得，即可得到． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴点A是的中点． 【小问2详解】 解：如图所示，过点A作于H， ∵， ∴， ∴， ∵点A是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得， ∴． 23. 在平面直角坐标系中，若函数图象经过点，则称函数为“D函数”； （1）判断以下函数是否是“D函数”，是的在括号内打“√”，不是的打“×”； ①（______）；②（______）；③（______）； （2）已知“D函数”的图象与轴交于点A，点F是该函数图象上一动点．如图1，连接，若平分，求的解析式； （3）如图2，若将（2）中的抛物线平移后仍为“D函数”，且平移后的新抛物线与y轴交于点，过点B作轴交新抛物线于点C．连接，在新抛物线上是否存在点P使．若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①；②；③； （2）的解析式为 （3）满足条件的点的坐标为或 【解析】 【分析】(1)利用新定义代入计算即可得解； (2)如图，连，设直线与交于点，过作交于点，利用勾股定理和全等三角形的性质求出点M的坐标，然后利用待定系数法求解即可； (3)先求出平移后的解析式为，然后求出的值，进而可求出，设，利用三角函数值列出方程，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：①当时，，故此函数是“D函数”， ②当时，，故此函数不是“D函数”， ③当时，，故此函数是“D函数”， 故答案为：①；②；③； 【小问2详解】 解：如图，连，设直线与交于点，过作交于点， 由题意得， ，，轴， 平分， ，， ∴， ， ， ， ， ， ∴， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为； 【小问3详解】 解：存在，理由如下， ∵平移后的新抛物线与y轴交于点， ∴可设平移后的抛物线的解析式为， 平移后的抛物线仍为“函数”， 平移后的抛物线经过点， ，解得， 平移后的抛物线的解析式为， 轴， ， 如图，过点作于点E，则， ， ， ， 如上图，过点作直线轴，设直线与轴交于点，过点作于点，设， ，， ， ， ， 当时，解得， 时，与重合，不合题意，舍去， ， 当时，解得， 时，与重合，不合题意，舍去， ， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，解一元二次方程等知识点，熟练掌握其性质并能准确添加辅助线是解决此题的关键． 24. 如图1，四边形内接于，对角线交于点，为的直径； （1）求证： （2）如图2，作于F，交于点，若，求的值； （3）记的面积为，的面积为，四边形的面积为，若满足，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）详见解析 （2） （3）是矩形，详见解析 【解析】 【分析】(1)利用圆周角定理推出角相等，进而证出，利用相似三角形的性质即可得证； (2)先证出，利用相似比求出的长，进而即可得解； (3)如图，过点D作于于,设的面积是,的面积是，先证出，利用边角的关系得出，再利用相似得出，推出，，进而可证出四边形是平行四边形，又由为的直径，可得出四边形的形状是矩形． 【小问1详解】 证明：和都是所对的圆周角， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 为的直径， ， ， 于F， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴设，，则， ， ， ； 【小问3详解】 四边形是矩形，理由如下， 如图，过点D作于于, 设的面积是,的面积是， ,,,， ， 由得， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 由得，,， ， ， ， ， ， ， 点是的中点，此时和重合， 过点， ， 四边形是平行四边形， ， 是矩形． 【点晴】本题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定利性质，等腰三角形的判定和性质，三角函数，矩形的判定和性质等知识，熟练掌握其性质并能准确添加辅助线是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $