7.2离散型随机变量及其分布列讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.2离散型随机变量及其分布列 知识归纳与试题检测(详解版) 【1】问题式教材知识归纳 （1）随机变量与离散型随机变量的概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X（ω）与之对应，我们称X为_______. 可能取值为_______或可以________的随机变量，我们称为离散型随机变量. 通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z. 【答案】 随机变量 有限个 一一列举 （2）概率分布列的概念：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，我们称X取每一个值的概率，为X的概率分布列，简_________. 【答案】 分布列 X … P … （3） 离散型随机变量的分布列可以用表格表示： （4）离散型随机变量分布列的两个性质 ①______________． ②__________． 【答案】 1 （5）两点分布的概念:对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”，定义如果，则，那么的分布列为： 0 1 ________ ________ 我们称服从两点分布或0－1分布. 【答案】 (6)【微思考】 ①如何利用离散型随机变量的分布列求离散型随机变量在某一范围内取值的概率？ ②离散型随机变量的概率可以用哪些方法表示？ 【答案】 ①离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各取值的概率之和. ② 离散型随机变量的概率可以用分布列、解析式、图象表示. 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（   ） A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 【答案】D 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列 【详解】解析  甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，所以有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．故选D． 2．随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率 【分析】利用分布列的性质计算即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 所以. 故选：C. 3．已知离散型随机变量的分布列如表所示，则常数为（    ） 0 1 A． B． C．或 D． 【答案】A 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】由离散型随机变量的分布列的性质进行求解． 【详解】由题意可得，解得． 故选：A． 4．设随机变量的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】由随机变量的分布列的性质得到答案. 【详解】由题意知，解得. 故选：B. 5．设离散型随机变量的分布列为下表，若随机变量，则（    ） 0 1 2 3 0.1 0.6 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【知识点】由随机变量的分布列求概率、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据离散型随机变量取各个值的概率和为1求得，由求出结果． 【详解】由分布列的性质知，所以． 因为，所以． 故选：A． 6．若随机变量X服从两点分布，则X的分布列可以为（   ） A． X 1 2 P 0.5 0.5 B． X 0 2 P 0.5 0.5 C． X 0 1 P 0.7 0.3 D． X 1 2 3 P 0.5 0.2 0.3 【答案】C 【知识点】两点分布 【分析】根据两点分布的概念即可求解. 【详解】根据两点分布的概念可知，只有C选项对应两点分布． 故选：C. 7．已知随机变量X服从两点分布，且，，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【知识点】两点分布、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据两点分布的性质以及概率的取值范围来确定实数的值. 【详解】因为随机变量服从两点分布，所以. . 整理得，解得，. 当时，，； 当时，，故不合题意. 综上，可得. 故选：A. 8．随机变量X的分布列为，其中a是常数，以下错误的是（    ）． A． B． C． D．以上均不正确 【答案】D 【知识点】由随机变量的分布列求概率、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据分布列的性质，列出方程求得，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】根据题意，随机变量的分布列为， 则，解得，故AB正确； 又，C正确； 故D错误. 故选：D 二、多选题 9．下列是离散型随机变量的是（    ） A．车载大灯的使用寿命X1 B．从1至4这4个数字随机抽取一个数字，记抽出数字1的次数为X2 C．某次物理实验测量所得的实验误差X3 D．某培养皿上的细菌个数X4 【答案】BD 【知识点】离散型随机变量与连续型随机变量的区分 【分析】根据离散型随机变量的概念，离散型随机变量是可取值为有限个或可以一一列举的随机变量，逐项判断即可． 【详解】对于A，车载大灯的使用寿命不能一一列举，故不是离散型随机变量； 对于B，从1至4这4个数字随机抽取一个数字，记抽出数字1的次数为能一一列举，是离散型随机变量； 对于C，某次物理实验测量所得的实验误差不能一一列举，不是离散型随机变量； 对于D，某培养皿上的细菌个数能一一列举，是离散型随机变量． 故选：BD． 10．已知离散型随机变量X的分布列为 X 2 4 6 8 P a 则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】由分布列中概率之和为1可得A正确；由分布列中概率的计算可依次判断BCD. 【详解】由分布列性质可知，解得，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 故选：AC． 11．一个盒子里放着大小、形状完全相同的1个黑球、2个白球、2个红球，现不放回地随机从盒子中摸球，每次取一个，直到取到黑球为止，记摸到白球的个数为随机变量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列 【分析】A选项，分析出所包含的情况，从而得到，BC选项，分析出所包含的情况，求出，D选项，利用的所有可能有，利用对立事件的概率公式求出． 【详解】A选项，，分为第一次即取到黑球， 或第一次摸到红球，第二次摸到黑球， 或前两次均摸到红球，第三次摸到黑球， 故，A错误； BC选项，，即第一次摸到白球，第二次摸到黑球， 或前两次一次摸到红球，一次摸到白球，第三次摸到黑球， 或前三次有两次摸到红球，一次摸到白球，第四次摸到黑球， 故，B错误，C正确； D选项，的所有可能有， 故，D正确． 故选：CD. 三、填空题 12．已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则_______ X 0 1 2 3 P a 5a 【答案】 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据分布列的性质求出，再根据随机变量之间的函数关系即可求解. 【详解】由分布列的性质可知： 解得 ， 由 ， 等价于 ，由表可知 ； 故答案为： 13．若随机变量的分布列如表所示，则的最小值为________． 【答案】 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】由分布列的性质可得，再应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件. 【详解】随机变量的分布列如表所示， ， ， ，当且仅当时取等号， 的最小值为． 故答案为：． 14．现有一质地均匀的正方体骰子（六个面分别标着数字1～6），连续投掷两次，记分别为第一次、第二次投掷后朝上的点数，设离散型随机变量，则的值为________. 【答案】 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、计算古典概型问题的概率 【分析】分析离散型随机变量时的情况，由古典概型的概率公式求解即可. 【详解】连续投掷两次质地均匀的正方体骰子，则总共有种情况， 时，两次投掷点数相差，共有种情况，， 故， 故答案为： 四、解答题 15．从集合的所有非空子集中，等可能地取出一个.记所取出的非空子集的元素个数为，求的分布列. 【答案】分布列见解析 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求集合的子集（真子集） 【分析】的所有可能值为1，2，3，4，5，进而利用古典概型概率公式求得的分布列. 【详解】依据题意，的所有可能值为1，2，3，4，5. 集合的所有非空子集有， 又，，，，. 故的分布列为 1 2 3 4 5 16．设随机变量X的分布列为，k=1，2，3，4，其中c为常数，求的值． 【答案】 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】利用离散型随机变量分布列的性质求得c，再利用求解. 【详解】解  由离散型随机变量分布列的性质可知 ， 所以． 解得． 所以， ． 17．已知随机变量的分布列： 1 2 3 4 5 (1)求a； (2)求，. 【答案】(1) (2)， 【知识点】由随机变量的分布列求概率、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】（1）由概率之和为1，求解即可； （2）由，求解即可. 【详解】（1）由，得. （2）， . 18．袋内有10个红球，5个白球，从中摸出2个球，记求的分布列． 【答案】分布列见解析 【知识点】两点分布、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】由服从两点分布求解. 【详解】解：由题设知服从两点分布，且，． 所以的分布列为 0 1 19．将8个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~8.现从中任取3个球，以X表示所取球的最大号码. (1)求的分布列； (2)求的概率. 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】由随机变量的分布列求概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）由已知判断随机变量的所有取值，并分别判断其概率，可得分布列； （2）由（1）的分布列可得概率. 【详解】（1）由已知可得随机变量的可能取值有：3，4，5，6，7，8， 所以，，，， 所以分布列为 3 4 5 6 7 8 （2）由（1）得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2离散型随机变量及其分布列 知识归纳与试题检测(学生版) 【1】问题式教材知识归纳 （1）随机变量与离散型随机变量的概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X（ω）与之对应，我们称X为_______. 可能取值为_______或可以________的随机变量，我们称为离散型随机变量. 通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z. （2）概率分布列的概念：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，我们称X取每一个值的概率，为X的概率分布列，简_________. X … P … （3） 离散型随机变量的分布列可以用表格表示： （4）离散型随机变量分布列的两个性质 ①______________． ②__________． （5）两点分布的概念:对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”，定义如果，则，那么的分布列为： 0 1 ________ ________ 我们称服从两点分布或0－1分布. (6)【微思考】 ①如何利用离散型随机变量的分布列求离散型随机变量在某一范围内取值的概率？ ②离散型随机变量的概率可以用哪些方法表示？ 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（   ） A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 2．随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（   ） A． B． C． D． 3．已知离散型随机变量的分布列如表所示，则常数为（    ） 0 1 A． B． C．或 D． 4．设随机变量的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 5．设离散型随机变量的分布列为下表，若随机变量，则（    ） 0 1 2 3 0.1 0.6 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 6．若随机变量X服从两点分布，则X的分布列可以为（   ） A． X 1 2 P 0.5 0.5 B． X 0 2 P 0.5 0.5 C． X 0 1 P 0.7 0.3 D． X 1 2 3 P 0.5 0.2 0.3 7．已知随机变量X服从两点分布，且，，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．或 8．随机变量X的分布列为，其中a是常数，以下错误的是（    ）． A． B． C． D．以上均不正确 二、多选题 9．下列是离散型随机变量的是（    ） A．车载大灯的使用寿命X1 B．从1至4这4个数字随机抽取一个数字，记抽出数字1的次数为X2 C．某次物理实验测量所得的实验误差X3 D．某培养皿上的细菌个数X4 10．已知离散型随机变量X的分布列为 X 2 4 6 8 P a 则（   ） A． B． C． D． 11．一个盒子里放着大小、形状完全相同的1个黑球、2个白球、2个红球，现不放回地随机从盒子中摸球，每次取一个，直到取到黑球为止，记摸到白球的个数为随机变量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则_______ X 0 1 2 3 P a 5a 13．若随机变量的分布列如表所示，则的最小值为________． 14．现有一质地均匀的正方体骰子（六个面分别标着数字1～6），连续投掷两次，记分别为第一次、第二次投掷后朝上的点数，设离散型随机变量，则的值为________. 四、解答题 15．从集合的所有非空子集中，等可能地取出一个.记所取出的非空子集的元素个数为，求的分布列. 16．设随机变量X的分布列为，k=1，2，3，4，其中c为常数，求的值． 17．已知随机变量的分布列： 1 2 3 4 5 (1)求a； (2)求，. 18．袋内有10个红球，5个白球，从中摸出2个球，记求的分布列． 19．将8个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~8.现从中任取3个球，以X表示所取球的最大号码. (1)求的分布列； (2)求的概率. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $